Electromagnetismo 2012/2013 Electrostática • • • • • • Definición Los conductores en electrostática. Campo de una carga puntual. Aplicaciones de la Ley de Gauss Integrales de superposición. Potencial electrostático – Definición e Interpretación. Integrales de superposición. – Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio. • Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, polarización de materiales. • Método de las imágenes. • Sistemas de conductores. Condensadores. • Energía y Fuerzas. Elmg 3f-1 José L. Fernández Jambrina Método de las Imágenes. • Es un método potente que permite resolver algunos problemas complicados. – Consiste en modificar el problema, ampliando el recinto, de forma que: » Resulte más sencillo. » Se sigan cumpliendo las condiciones del problema original. – Normalmente será necesario añadir cargas fuera del recinto original. • Ejemplo: carga frente a un plano conductor: +q +q d d ~ ρS d Φ= 0 -q José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3f-2 1 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Plano conductor indefinido • Problema original: ∆Φ = − δ (r − rq + ) ε q r r Z – Condiciones de contorno: Φ Plano = Φ z =0 = 0 » Regularidad en el infinito. +q r rq+ = dz$ • Problema imagen: O – Condiciones de contorno. » Regularidad en el infinito. – Solución: r q 2 x + y 2 + ( z − d )2 Φ I (r ) = 4πε ( Z ) − 1 2 ( − x 2 + y 2 + (z + d ) ) 1 2 −2 +q r rq+ = dz$ • La solución del problema imagen cumple las condiciones del problema original: r q 2 Φ I (r ) z =0 = x + y2 + d 2 4πε ( ) − 1 2 ( − x2 + y 2 + d 2 ) − 1 2 O r rq− = −dz$ = 0 -q Elmg 3f-3 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Plano conductor indefinido (2) • La solución del problema imagen verifica: q r r – La ecuación ∆Φ = − δ (r − rq + ) en z>0. ε Z +q r rq+ = dz$ » La carga imagen está fuera del recinto: es donde debe estar. O – Las condiciones de contorno. » Las condiciones de contorno son las adecuadas para garantizar la unicidad de la solución. » Conclusión: La solución del problema original es: 1 q 2 − r x + y 2 + ( z − d )2 2 − x 2 + y 2 + ( z + d )2 Φ (r ) = 4πε 0 ( ) ( Nota: se ha supuesto que en z<0 no hay cargas. José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ) − 1 2 ; 0 ≤ z ; z≤0 Elmg 3f-4 2 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Plano conductor indefinido (3) • Problema: Distribución de carga frente a un plano conductor indefinido a tierra en z=0: – Solución: r r ρ I (rI′) r 1 ρ (r ′) ′ Φ (r ) = + d V r r r r dV I′ ∫∫∫V ∫∫∫ V 4πε r − r′ I r − rI′ r r r r r rI′ = r ′ − 2(r ′ ⋅ zˆ )zˆ ρ I (rI′) = − ρ (r ′) V Z Z ρ r r′ ρ r rI′ ρI O O VI Elmg 3f-5 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Plano conductor indefinido (4) • Problema: Carga frente a dos planos conductores indefinidos. – Infinitas cargas cada vez más alejadas => Una serie convergente. -q -q +q 0V -q -q +q +q 0V +q +q -q -q +q 0V +q 0V -q -q -q +q +q +q -q +q José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3f-6 3 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Plano conductor indefinido (5) • Problema: Carga frente a dos planos conductores indefinidos. – Infinitas cargas cada vez más alejadas => Una serie convergente. Φ 2 cargas Φ 4 cargas Φ 6 cargas Elmg 3f-7 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Diedro conductor indefinido • Carga frente a un diedro cóncavo de 90º α=π π/2 +q -q +q -q +q +q -q – Funciona para cargas en la parte interior de diedros de ángulo α=π/n. – Para otros ángulos caen cargas en la región de estudio: +q ≈ +q -q -q +q +q -q +q ≠ Soluciones no válidas José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3f-8 4 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Diedro conductor indefinido (2) 1 1 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 1 1 Φ 0.5 0 0.5 1 Φ Carga puntual frente a un plano conductor Carga puntual frente a un diedro conductor de 90º Elmg 3f-9 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Esfera conductora • Problema a resolver: Distribuciones1 de carga frente a una esfera conductora a potencial cero. Q= -1.41 0.5 • Punto de partida: q= 1 – La superficie de potencial cero en un problema de dos cargas de 0 distinto signo es siempre una esfera. – En la figura: » q=+1 0.5 » Q= -1.41 Φ=0 1 1 0.5 0 0.5 1 Φ José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3f-10 5 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Esfera conductora (2) r 2 rQ = Dzˆ d q = r 2 ⇒ D Q – Sean Q y -q las dos cargas: Q>q>0. rq = dzˆ = D(q Q ) zˆ – Escogiendo el origen de forma que: Z – El potencial es: Q r 1 Q q Φ (r ) = − 2 2 4πε x 2 + y 2 + ( z − D )2 x 2 + y 2 + z − D(q Q ) -q – La ecuación de la superficie Φ = 0 : O Q2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x + y + z − D q Q = x + y + z − D q2 • Comprobación: ( [ ( ( [ ]) ]) ) Q2 2 Q2 2 Q2 2 q2 x + 2 y + 2 z − 2 zD + D 2 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 zD + D 2 2 q q q Q x2 + y2 + z 2 = ( ( ) ) 2 1− q2 Q2 2 q2 Q2 − q2 2 q D = 2 2 D = D = Dd Q2 q 2 −1 Q Q − q2 Q – Resultado una esfera centrada en el origen. Elmg 3f-11 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Esfera conductora (3) Z • Solución al problema de una carga puntual frente a una esfera conductora a tierra: – La imagen de una carga Q situada a una distancia D de una esfera conductora de radio a a tierra es otra carga: – De valor: a q=− Q D Q D q d a O 2 – Situada en línea entre el centro d = a D de la esfera y Q a una distancia: – El radio de la esfera es la media geométrica 2 de las distancias de las cargas a su centro. a = dD • Comentarios adicionales: – Este resultado vale tanto para cargas fuera o dentro de la esfera. – La carga total de la superficie conductora será igual a la carga interior ... » Con el mismo signo para el problema exterior. » Con el signo cambiado para el problema interior. José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3f-12 6 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Esfera conductora (4) r • Cálculo de E – Suponiendo Q fuera de la esfera: r Q 1 a Φ (r ) = − 2 2 4 2 4πε r 2 + D 2 − 2rD cosθ D r + a − 2ra D cosθ r r 1 ∂Φ ˆ ∂Φ E (r ) = −∇Φ = − rˆ − θ= r ∂θ ∂r Q r − D cosθ a D 2 r − a 2 D cosθ rˆ − = − 32 32 2 2 2 2 4 2 4πε r + D − 2rD cosθ D r + a − 2ra D cosθ 3 Q 1 a D sen θθˆ − − 32 32 2 2 2 2 4 2 4πε r + D − 2rD cosθ D r + a − 2ra D cosθ [ ] [ [ ] [ ( ) ] ] – Densidad de carga en la superficie de la esfera: r r Q D2 − a2 1 ρ S r =a = ε E (r ) ⋅ rˆ = − 2 2 r =a 4π a a + D − 2aD cosθ [ ] 32 Elmg 3f-13 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Esfera conductora (5) • Equipotenciales y líneas de campo de una carga puntual frente a una esfera a potencial cero. 1 1 0.5 0.5 Φ=0 0 0 0.5 0.5 1 0.5 0 0 0.5 José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 0.5 0.5 0 0 Φ=0 0.5 0.5 1 1 1 Ψ Carga fuera de la esfera. 1 1 1 1 Ψ Φ 1 0.5 0 0 0.5 1 Ψ Φ Ψ Carga dentro de la esfera Elmg 3f-14 7 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Cilindro conductor indefinido • Imagen de una línea de carga constante e indefinida paralela a un cilindro conductor indefinido. – Las superficies equipotenciales de dos líneas de carga constantes, indefinidas, paralelas y del mismo módulo y distinto signo son cilindros: 1 ρ L = −λ Y ρL = λ X 0.5 d d 0 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 Φ Elmg 3f-15 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Cilindro conductor indefinido (2) • Tomando como referencia el plano x=0, el potencial vale: ( x + d )2 + y 2 ( x − d )2 + y 2 r • La superficie de Φ (r ) = V : r λ Φ (r ) = ln 2πε = ( x + d )2 + y 2 λ ln 4πε ( x − d )2 + y 2 ρ L = −λ 4πε λ = ln ( x + d )2 + y 2 ( x − d )2 + y 2 ⇒e V 4πε λ = ( ( x + d )2 + y 2 ( x − d )2 + y 2 ) ( ) ( ) d = k2 ⇒ ) ⇒ x 2 + d 2 + 2 xd + y 2 = k 2 x 2 + d 2 − 2 xd + y 2 ⇒ ( ρL = λ X d V Y ( ) ⇒ x 2 k 2 − 1 − 2 xd k 2 + 1 + y 2 k 2 − 1 = −d 2 k 2 − 1 ⇒ 2 ⇒ x 2 − 2 xd ( 2 k + 1 2kd + y 2 = 2 ⇒ x − d 2 k −1 k −1 2 José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 2 k 2 +1 k 2 +1 4k 2 d 2 k 2 +1 = d 2 2 − d 2 = + y 2 + d 2 2 ⇒ 2 2 k −1 k 2 −1 k −1 k −1 ) 2 ¡Círculos! ¡Cilindros! Elmg 3f-16 8 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Cilindro conductor indefinido (3) • Parámetros de la superficie de Φ=V: 2 k 2 + 1 2kd x − d 2 + y2 = 2 k − 1 k −1 2 k =e – Cilindro: k 2 +1 » con centro en: xC = d 2 k −1 V 2πε λ y C = 0 y radio: a = 2kd k 2 −1 » Degenera en un plano si V = 0 ⇒ k = 1 • Propiedad interesante: 2 [( ) 2 ] Y d 2 k 2 − 1 + 4k 2 2kd d 2 + a2 = d 2 + 2 = = 2 k −1 k 2 −1 k +1 2 = d 2 2 = xC k − 1 2 ( ) d a 2 xC −λ λ X Elmg 3f-17 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Cilindro conductor indefinido Y – Trasladando el origen de coordenadas al eje del cilindro: k 2 +1 2d =− 2 xλ′ = d − d 2 d k −1 k −1 x′ = x − xC ⇒ 2 2 k + 1 2 dk − λ x−′ λ = −d − d =− 2 k 2 −1 k −1 (4) Y’ xC a d X λ x− λ a 2kd xλ′ = 2 a= 2 ⇒ k ⇒ xλ′ x′−λ = a x+′ λ k − 1 x′ = − ka −λ – El radio de cada cilindro equipotencial es la media geométrica de las distancias a su centro de las líneas de carga. λ a a = bc 2 José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 −λ c b Elmg 3f-18 9 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Cilindro conductor indefinido • Aplicación: (5) Y – La distribución de carga imagen de una línea de carga constante, paralela a un cilindro conductor indefinido de radio a y a una distancia b, es otra línea del mismo valor y signo contrario situada a una distancia: a2 c= b – El potencial vale: ( a c −λ ρL = λ b ) 2 ( ) ( ) X 2 r x − a2 b + y2 ρ 2 + a 2 b − 2 ρ a 2 b cos ϕ λ λ Φ (r ) = ln = ln 2 2 4πε 4πε ρ 2 + b 2 − 2 ρb cos ϕ (x − b) + y – El campo: ( ) 2 r r r λ ρ 2 + a 2 b − 2ρ a 2 b cos ϕ E (r ) = −∇Φ(r ) = − ∇ ln 4πε ρ 2 + b 2 − 2ρb cos ϕ Elmg 3f-19 José L. Fernández Jambrina Imágenes: Cilindro conductor indefinido (6) • El campo: r r r ∂Φ 1 ∂Φ E (r ) = −∇Φ(r ) = − ρˆ − ϕˆ = ∂ρ ρ ∂ϕ = ( ) ( ) (a b)senϕ + (a b ) − 2ρ a λ ρ − b cos ϕ ρ − a 2 b cos ϕ ρˆ + − 2 2 2 2 2 2 2πε ρ + b − 2ρb cos ϕ ρ + a b − 2ρ a b cos ϕ + λ bsenϕ − 2 2 πε ρ + b − 2ρb cos ϕ ρ 2 2 2 2 2 ϕˆ b cos ϕ • La densidad superficial de carga (línea exterior al cilindro): r r ρ S (ϕ) = ρˆ ⋅ εE (r ) = ( ) ) ( λ a − b cos ϕ a − a 2 b cos ϕ = − 2 2 2 2 2 3 2π a + b − 2ab cos ϕ a + a b − 2 a b cos ϕ ( ) λ a − b cos ϕ b b − a cos ϕ λ a2 − b2 2 − = 2 2 2 2 2π a + b − 2ab cos ϕ a b + a − 2ab cos ϕ 2πa b + a 2 − 2ab cos ϕ José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ρ= a = Elmg 3f-20 10 Electromagnetismo 2012/2013 Imágenes: Cilindro conductor indefinido 1 1 0.5 0.5 σ 0 σ 0 0.5 (7) 0.5 1 1 1 0.5 0 0.5 1 1 Φ 0.5 0 0.5 1 Φ Línea de carga exterior al cilindro conductor Línea de carga interior al cilindro conductor Elmg 3f-21 José L. Fernández Jambrina Línea Bifilar • Dos cilindros conductores, indefinidos, iguales y paralelos. – El problema es colocar las líneas de carga: » De la figura: −λ a − 2D = R + r » Además: Y D V0 2 a 2 = rR » Combinando las ecuaciones: a +λ O d r D X V0 2 d R R r r = D ± D 2 − a 2 r 2 − 2 Dr + a 2 = 0 ⇒ R = D m D 2 − a 2 » De donde es inmediato que: d = D2 − a2 » Y ... (x + d )2 + y 2 r λ Φ (r ) = ln 4πε ( x − d )2 + y 2 José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 (D − a + d ) = λ ln D + D 2 − a 2 V0 λ = ln 2 4πε (D − a − d )2 4πε D − D 2 − a 2 2 ⇒ Elmg 3f-22 11 Electromagnetismo 2012/2013 Línea Bifilar C L= λ = V0 (2) 2πε D+ D −a 2 D− D −a 2 2 ln 2 2πε = ln D a+ D a− (D a )2 − 1 (D a )2 − 1 Elmg 3f-23 José L. Fernández Jambrina Coaxial descentrado • El planteamiento no es complicado. b A+δ = B ⇒ a +d +δ = b +d 2 2 2 ⇓ 2 a d 2 δ + a − b 2 d= −a 2 δ 2 A= b2 − δ2 − a 2 2δ 2 2 B= b2 + δ2 − a2 2δ A δ B • Las ecuaciones ... λ A+ ln 4πε A − λ B+ Vb = ln 4πε B − Va = José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 A2 − a 2 4πε A2 − a 2 ⇒ C = λ = 2 2 2 l V − V B −b A + A − a 2 B − B 2 − b2 a b ln 2 2 B −b A − A2 − a 2 B + B 2 − b 2 Elmg 3f-24 12 Electromagnetismo 2012/2013 Convocatoria Febrero 2002 José L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3f-25 13