MATEMÁTICAS II. Tema 6 EJERCICIOS DE PROPIEDADES Y TEOREMAS BÁSICOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 1. Demostrar que la derivada de la función f ( x) = x 3 − x 2 − x + 1 tiene una raíz real en el intervalo (− 1,1) . 2. Comprobar si la función f ( x) = 3x 2 − 5 satisface el Teorema de los incrementos finitos de Lagrange en el intervalo [− 2,0] y en caso afirmativo hallar el valor de x0 . 3. Comprobar si la siguiente función satisface el Teorema de los incrementos finitos de Lagrange en [0,2] y en caso afirmativo hallar el valor de x0 . 3 - x 2 f(x) = 2 1 x si 0 ≤ x ≤ 1 si 1 < x < +∞ f ( x) = x 2 − 2 x + 3 y 4. Comprobar si las siguientes funciones 3 2 g ( x) = x − 7 x + 20 x − 5 satisfacen el Teorema del valor medio de Cauchy en el intervalo [1,4] . 5. Hallar los siguientes límites utilizando la Regla de L`Hopital: ln x a) lim 2 x →1 x + x + 2 e) lim+ x→0 ln( x) ln[sen( x)] h) lim x x →0 x 1 2 c) lim x− x x → +∞ e ex −1 b) lim x →0 x 1 1 f) lim − x →1 x − 1 ln( x) 1 i) lim x →0 x tg ( x ) d) lim x → +∞ g) lim e − x ⋅ x x → +∞ j) limπ [1 + 2 ⋅ cos( x)]cos( x ) 1 x→ 2 6. Representar gráficamente la siguiente función: f ( x) = x 3 − 3x 2 + 4 ln( x) x 7. Representar gráficamente la siguiente función: f ( x) = x3 x2 −1 8. Representar gráficamente la siguiente función: f ( x) = 4 x − 12 ( x − 2) 2 9. Calcular máximos y mínimos de la siguiente función en el intervalo (− 2,5] : f ( x) = 1 2 ⋅ ( x − 1) ⋅ (4 − x ) 3 10. Determinar los parámetros a y b para que la función sea derivable en el punto x0 = 0 y estudiar máximos y mínimos en el intervalo [− 1,2) a ⋅ 2x - 1 f(x) = 2bx 2 + 2 si x < 0 si x ≥ 0 11. Hallar extremos absolutos e inflexiones de la siguiente función en el intervalo [− 4,3) : x ⋅ (x - 2 ) ⋅ (x + 3) f(x) = 2 x + 3 si x ≤ 1 si x > 1