3 El Teorema del Valor Medio Este capítulo explora una serie de conceptos y teoremas desarrollados en los albores del siglo XIX, cuando algunos matemáticos comenzaron a insistir acerca de la necesidad de proveer demostraciones más rigurosas de ciertos principios del Análisis que hasta entonces se aceptaban como evidentes. Los teoremas fundamentales, requieren para su demostración una descripción de las propiedades de los números reales que escapa a los objetivos de este curso, pero sus enunciados son fácilmente comprensibles e intuitivamente aceptables. Sin embargo no todo termina ahí. La segunda línea de dificultades todavía es ardua. Está compuesta de razonamientos de mediana complejidad que se siguen sólo con trabajo y atención. A veces, la Matemática resulta fastidiosa para el estudiante de otras disciplinas. Tal vez ese sería el caso con las demostraciones básicas que dejaremos de lado. Pero el resto del material incluye un ir y venir entre el problema práctico, la intuición y la formalización que es imprescindible en cualquier disciplina con base en las Ciencias Exactas. Invitamos al lector a sumergirse en estas páginas con entusiasmo. 3.1 Asíntotas Límites en el infinito. Asíntotas oblicuas y horizontales La palabra "infinito" señala en nuestro idioma un más allá de lo que expresan los números. Como los números se usan para contar y para medir, una mirada más fina distingue dos tipos de infinito. Aquí estaremos involucrados con el infinito de medir. Las variables reales continuas que estamos estudiando son variables de medir. Para contar se usan los enteros. La Matemática trata de evitar las discusiones filosóficas acerca del infinito y encuentra maneras algebraicamente operativas de describir los fenómenos relacionados con medidas infinitamente grandes e infinitamente pequeñas. Si pensamos en la dualidad entre las variables x y y = x1 , en el sentido de que una es tan grande cuanto pequeña es la otra, tendremos una manera de describir el acercamiento de x hacia el infinito con el acercamiento de y hacia el cero. Mirando ahora el procedimiento de cambiar variables para el cálculo de límites insinuado en el ejercicio 5 del capítulo 2., podemos adoptar la siguiente definición: Definición 1: lim f (x) := lim f x→∞ y→0 µ ¶ 1 , y (1) Capítulo 3. El teorema del valor medio con las consiguientes versiones laterales: µ ¶ 1 , lim f (x) := lim f + x→+∞ y y→0 µ ¶ 1 lim f (x) := lim f . − x→−∞ y y→0 (2) Ejemplos: 1. limx→∞ 2. limx→∞ 1 xn = limy→0 y n = 0 √ 1 n y = 0 √ n x = limy→0 ¡ ¢ 3. limx→∞ 1 + x1 = limy→0 (1 + y) = 1 4. 3 y1 − 2 3x − 2 y (3 − 2y) = lim 1 = 3. = lim x→∞ x + 4 y→0 y→0 y (1 + 4y) y +4 lim Habiéndose reducido la definición de límites en el infinito a límites en cero con el uso de otra variable, serán de aplicación en este nuevo punto límite (el cero) las propiedades estudiadas en el capítulo 2, con excepción, por ahora, de la segunda parte de la propiedad 1, y aclarando que en la propiedad 8, los entornos de ∞ son los complementos de los intervalos cerrados. Ejemplos: 5. Para calcular el límite en el infinito de una función racional, P (x) , x→∞ Q (x) lim caben tres posibilidades: (a) n = gr (P ) < m = gr (Q): se saca factor común xm en numerador y denominador. ¡ ¢ ¡ ¢ limx→∞ x12 − x23 + x34 x4 x12 − x23 + x34 0 x2 − 2x + 3 ¢ = ¡ ¢ = = 0. = lim 4 ¡ lim 2 1 2 1 4 x→∞ 3x + 2x − 1 x→∞ x 3 + 3 − 4 3 limx→∞ 3 + x3 − x4 x x (b) n = gr (P ) > m = gr (Q): se saca factor común xn en numerador y denominador. ¡ ¢ ¡ ¢ 3 + x23 − x14 x4 3 + x23 − x14 3x4 + 2x − 1 ¢ = lim ¡ 1 ¢. = lim 4 ¡ 1 lim x→∞ x2 − 2x + 3 x→∞ x x→∞ − x23 + x34 − x23 + x34 x2 x2 El numerador tiene límite no nulo y el denominador tiene límite cero. El cociente no tiene límite. (c) n = gr (P ) = gr (Q) : se saca factor común xn en numerador y denominador. ¡ ¢ ¡ ¢ limx→∞ 3 − x2 x 3 − x2 3 3x − 2 ¢= ¡ ¢ = lim ¡ lim 4 = 1 = 3. x→∞ x + 4 x→∞ x 1 + 4 limx→∞ 1 + x x Nótese que recalculamos el límite del ejemplo 4. 6. ¶ µ 1 sin x = lim · sin x = 0. lim x→∞ x x→∞ x Hemos usado la propiedad 8. de límites: seno está acotada y limx→∞ 70 1 x = 0 (ejemplo 1). 3.1. Asíntotas Ejercicio 1: Hallar limx→∞ f (x) para 3 −x 1. 2x 2. x4 −1 f (x) = 4. senx34x 5. 2x4 −1 7. −4x 8. 4 +x2 cos x x 3. x2 +1 πx2 −1 5x4 −x3 +3x+2 x3 −1 6. −x2 +1 x+5 2x4 −1 −4x3 +x2 9. 2x4 −1 −4x5 +x2 Cuando existe límite en el infinito de una función, digamos limx→∞ f (x) = b, ese comportamiento se refleja en el gráfico con un acercamiento de Gr (f ) a la recta y = b, ya que limx→∞ [f (x) − b] = 0. Este acercamiento se da hacia los "extremos" lejanos del gráfico en sentido horizontal y bien podría producirse en sólo uno de los extremos si el límite es de tipo lateral. En esos casos se dice que la recta y = b es una asíntota de f . Uno podría imaginar el fenómeno como una tangencia en el infinito. Este tipo de acercamiento también se da con rectas oblicuas Definición 2. La recta de ecuación y = l (x) = mx + b es una asíntota de la función f (o del gráfico de f ) si lim [f (x) − l (x)] = 0. x→∞ Si sólo uno de los límites laterales en el infinito se anula, se dirá que l es una asíntota en +∞ o en −∞, lo que corresponda. Ejemplos: 7. En los ejemplos 1 y 2, el eje cooredenado horizontal es una asíntota. en el ejemplo 3., la recta y = 1 es asíntota de la curva y = 1 + x1 , y en el ejemplo 4., la recta y = 3 es asíntota de la curva y = 3x−2 x+4 . Veamos los gráficos generados por el ordenador de estos dos últimos casos: y y 5 15 2.5 10 5 0 -5 -2.5 0 2.5 5 0 x -15 -10 -5 0 5 10 x -2.5 -5 -10 -5 figura 3.1.a. y =1+ 1 x figura 3.1.b. y = 71 3x−2 x+4 Capítulo 3. El teorema del valor medio 2 P (x) −3 8. La función racional f (x) = x2x−4 = Q(x) con gr (Q) = gr (P ) + 1. Si efectuamos la división entera de P por Q, obtendremos un cociente C de grado 1 y un resto r de grado 0, una constante: P = QC + r. Dividiendo entre Q, f (x) = r P (x) = C (x) + . Q (x) Q (x) C, polinomio de grado 1, es una recta. Y f − C = Qr , es una función racional con gr (Q) > gr (r) = 0. Según se vió en el ejemplo 5.a. el límite en el infinito es 0. Luego C (x) es una asíntota oblicua. x2 − 3 − x 2 + 2x 2x − 3 − 2x + 4 1 2x − 4 1 2 x +1 Entonces, y C (x) = 12 x + 1 es asíntota. y 1 1 , f (x) = x + 1 + 2 2x − 4 3.75 2.5 1.25 0 -2.5 0 2.5 5 x -1.25 figura 3.2. P (x) , hay asíntotas en el infinito cuando Resumiendo, para funciones racionales, f (x) = Q(x) gr (P ) < gr (Q) (el eje y = 0 es asíntota), cuando gr (P ) = gr (Q) (asíntota horizontal) y cuando gr (P ) = gr (Q) + 1 (asíntota oblicua). Si gr (P ) > gr (Q) + 1, aparecen polinomios asintóticos que se obtienen con el método de dividión entera propuesto en el ejemplo 8. En el ejemplo 6., sin embargo, presentamos una función no racional con límite nulo en el infinito, o sea con asíntota horizontal (el eje). ¿Cuál es el método general para encontrar asíntotas oblicuas (incluyendo entre estas las horizontales como caso particular? Supongamos que la recta y = l (x) = mx + b es asíntota de la función f . Nos interesa encontrar los números m y b. f (x) − mx − b → 0 ⇒ lim (f (x) − mx) = b (ejerc. 5, cap.2). x→∞ 72 3.1. Asíntotas Enronces, lim x→∞ Luego µ ¶ ¶ µ b f (x) f (x) − mx − m = lim = lim = 0. x→∞ x→∞ x x x f (x) = m. (3) x→∞ x La exixtencia del límite (3) es condición necesaria para que pueda haber asíntota. Pero no suficiente (ver ejemplo 10). m es el candidato a pendiente de la asíntota. Ahora habrá que verificar si existe b = lim [f (x) − mx] . lim x→∞ Si esto ocurre, entonces limx→∞ [f (x) − (mx + b)] = 0 y la recta y = mx+b es una asíntota. Ejemplos: 9. Vimos (ejemplo 6) que sin x x → 0 para x → ∞. Si hacemos f (x) = sin x + 0.1x − 1, x tendremos a la recta l (x) = 0.1x − 1 como asíntota. y 1.25 0 -20 -10 0 10 20 x -1.25 -2.5 figura 3.3 En nuestra definición de asíntota, nada impide que se encuentre con la curva, incluso muchas veces. √ √ 10. Buscamos asíntotas de y = f (x) = x. El primer paso es calcular limx→∞ xx = √ limx→∞ √1x = 0 = m. De haber asíntota, será horizontal. Pero limx→∞ x no existe. En consecuencia no hay asíntota. 11. (a) La función sg (x) = √x 2 tiene dos asíntotas diferentes, y = 1 en +∞ y y = −1 x en −∞. Pero es discontinua en 0. (b) f (x) = √ x , x2 +1 también tiene asíntotas horizontales distintas en ±∞. En efecto, x 1 lim √ = lim sg (x) q 2 x→±∞ x +1 1+ x→±∞ 73 1 x2 = ±1. Capítulo 3. El teorema del valor medio 2 (c) f (x) = √xx2−1 , tiene asíntotas oblicuas diferentes en ±∞. Mostramos gráficos gen+1 erados por el ordenador de los dos últimos ejemplos. y y 1 10 7.5 0.5 5 0 -10 -5 0 5 10 x 2.5 -0.5 0 -10 -5 0 5 10 x -1 fig. 3.4.a. y= √ x x2 +1 fig. 3.4.b. y= 2 √x −1 x2 +1 Ejercicio 2: Encontrar, cuando las haya, asíntotas en el infinito de las siguientes curvas. 1. y = 2x3 −x x4 −1 2. y = cos x x 3. y = x2 +1 πx2 −1 4. y = 5x4 −x3 +3x+2 x3 −1 5. y = −x2 +1 x+5 6. y = 1 10 x 7. y = 2x4 −1 −4x4 +x2 8. y = √ 2x x2 +1 9. y = 3x2 x2 +1 + cos x x Límites infinitos. Asíntotas verticales Volvemos a mirar la función y = x1 . La simetría de esta curva muestra que lo que se pueda decir acerca del comportamiento de la variable x en el infinito debe ser válido para la variable y en el infinito. Si para decir que x → ∞, pedimos que x1 → 0, el mismo criterio servirá para la variable dependiente: y → ∞ si y sólo si y1 → 0. Definición 3. (El punto a hacia el que tiende la variable independiente puede ser un número ó ∞. También puede tratarse de una tendencia lateral). lim f (x) = ∞ x→a ⇔ 74 lim x→a 1 = 0. f (x) 3.1. Asíntotas Como 1 1 y = y, 1 = ∞. x→a f (x) (4) lim f (x) = 0 ⇔ lim x→a Y también lim f (x) = ∞ si y sólo si existe una función u = ϕ (x) tal que x→a lim ϕ (x) = 0 y f (x) = x→a 1 . ϕ (x) (5) Tal vez sea más útil decirlo de esta manera: y → ∞ para x → a si y sólo si y = 1 para cierta u tal que u → 0 para x → a. u Cuando en un entorno reducido de a el signo de f (x) permanece constante podremos ser más específicos y considerar el límite infinito con el correspondiente signo. Es decir, lim f (x) = +∞ ⇐⇒ lim f (x) = ∞ ∧ f (x) > 0 en un entorno reducido de a. x→a x→a Análoga definición para f (x) → −∞. Ejemplos: 12. Los siguientes límites se obtienen inmediatamente a partir de la definición. 1 x 1. lim x1 = ∞ 2. 3. lim x12 = +∞ ¡ ¢ 4. lim − x12 = −∞ x→0 x→0 5. 7. lim x = ±∞ lim 1 x−1 = −∞ x→0 6. x→±∞ x→1+ lim x→0− = +∞ 8. lim x3 = −∞ x→−∞ lim − tan x = +∞ x→( π2 ) √ 13. En la sección 2.3. se mencionó como no derivable a la función 3 x, con tangente vertical en el origen. Si calculamos el límite del cociente incremental en ese punto, √ 3 √ h 1 3 = lim √ lim = +∞, pues lim h2 = 0. 3 2 h→0 h h→0 h→0 h Si admitiésemos derivadas infinitas, éstas coincidirían con los puntos de tangente vertical. p Para la función |x|, en cambio, p |h| lim = −∞ y h→0− h 75 p |h| lim = +∞. h→0+ h Capítulo 3. El teorema del valor medio Habría derivadas laterales infinitas de distinto signo. No hay una recta tangente vertical sino semirectas tangentes verticales. y 1 y 0.5 0.5 0 -1 -0.5 1 0 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 x -0.5 -0.5 -1 fig. 3.5.a. x y= -1 √ 3 x fig. 3.5.b. y= p |x| El siguiente paso es averiguar cómo aceptan los nuevos límites infinitos las propiedades del límite .En este punto conviene antes aclarar que los reducidos de infinito son ¯ ¯ ª © © entornos ª conjuntos de la forma {x : |x| > M }, provenientes de x : ¯ x1 ¯ < δ = x : |x| > 1δ , donde ponemos M = 1δ . Para los límites laterales en el infinito, los semi-entornos considerados cuando x → +∞ y x → −∞ son, respectivamente, semirectas del tipo (M, +∞) y (−∞, −M ), ambas con M > 0. También cabe señalar que hasta definir los límites infinitos, en aquellos casos donde éste existe decíamos que no existía límite. Por lo tanto, si quisiéramos conservar la coherencia, deberíamos decir que "existe límite" y "existe límite infinito" son dos sucesos mutuamente excluyentes,.como si la frase "límite infinito" fuera una palabra nueva que no incluye a la palabra "límite". Sin embargo, resulta bastante más cómodo llamar límite finito al viejo límite y aceptar oraciones mucho más gratas al oído como "existe límite finito o infinito". Así lo haremos cuando no quepa confusión. Repasaremos las propiedades del límite, admitiendo ahora valores infinitos para ambas variables. Productos y cocientes. Tratamos con dos funciones, y = f (x) y z = g (x) . Nos interesa el límite de su producto y · z o su cociente yz , para x → a. a puede ser finito o infinito y el límite puede ser completo o lateral. 1. Si y → ∞, z → ∞ entonces y · z → ∞. En efecto, y = u1 , z = v1 con u, v → 0 =⇒ yz = 1 uv con uv → 0 =⇒ yz → 0. El ícono utilizado para recordar esta regla será el siguiente: ∞·∞=∞ (6) 2. Si z → ∞ y y está acotada en un entorno reducido de a, entonces yz → 0. Esto proviene de la regla 3(b) de los límites finitos, pues z = v1 con v → 0. Entonces, yz = yv → 0. El ícono es A =0 (7) ∞ (A por acotado). 76 3.1. Asíntotas 3. Si el acotado es el denominador y el infinito el numerador, el límite será infinito. Bajo los supuestos del caso 2 anterior, z 1 z y = y con → 0 =⇒ → ∞. y z y z ∞ =∞ A (8) 4. Un producto con un factor infinito y el otro que se mantenga alejado de cero, en cambio, tenderá a infinito, ya que el factor alejado de cero no encontrará cómo compensar la grandeza del ¯ ¯otro. Digamos que z se mantiene alejado de 0. Esto es, |z| ≥ ε > 0, ε fijo. Entonces, ¯ 1z ¯ ≤ M = 1ε es acotado. Ahora y·z =y· 1 1 z = y 1 z → ∞ según se discutió en el caso 3. Tener inversa acotada es lo mismo que ser la inversa de una acotada. De modo que la síntesis de este caso se representaría con A1 · ∞ = ∞,que coincide con (8). Nótese que este caso implica el caso 1, ya que una función con límite infinito sin duda se mantiene alejada de cero. 5. Si un factor tiende hacia cero y el otro hacia infinito, nada se puede afirmar del producto. Es un límite indeterminado, como lo es el ya conocido ícono 00 . Esto significa que cada caso paricular se resuelve atendiendo a sus peculiaridades pero que no hay reglas generales. Si tenemos y → 0, z → ∞, z = v1 con v → 0. Al realizar el producto yz = yv caemos en el caso 00 . 0 · ∞ = indeterminado. (9) ¤ £ 1 2¤ £1 Ejemplos: limx→∞ x ·£x =¤ limx→∞ x = ∞ (0 · ∞ = ∞). limx→∞ x2 · x = limx→∞ x1 = 0 (0 · ∞ = 0). limx→∞ x1 · x = 1 (0 · ∞ = 1) . 6. Si y → ∞, z → ∞ Nada se puede afirmar acerca de u, v → 0 =⇒ yz = uv , indeterminación del tipo 00 . Ejemplos: ¢ limx→∞ ¡ = 1 . 1 ∞ ∞ x x2 =0 ¡∞ ∞ y z. En efecto, y = ∞ = indeterminado ∞ ¢ ¡ ¢ 2 =0 , limx→∞ xx = ∞ ∞ ∞ =∞ , 1 u, z = 1 v con (10) limx→∞ x x = Sumas y restas. 1. Un sumando infinito ³ y otro ´ acotado produce una suma infiinita. Si y → ∞ y z está z acotada, y + z = y 1 + y . yz → 0 por (7). Luego 1 + yz se mantiene lejos de 0 y, ³ ´ por caso 4 de producto, y 1 + yz → ∞. A+∞=∞ (11) 2. Si y → ∞, z → ∞ nada se puede afirmar acerca de y + z.. En efecto, y = u1 , z = v1 con 0 u, v → 0 =⇒ y + z = u1 + v1 = u+v uv , indeterminación del tipo 0 . Sin embargo, si y y z tienen el mismo signo, ¡ ¢ u 1 + uv 1 + uv u+v = = → ∞, y+z = uv uv v 77 Capítulo 3. El teorema del valor medio pues uv > 0 ⇒ 1 + uv se mantiene lejos de cero, y es de aplicación el caso 4 de productos. El signo del límite, está dado por el signo de los sumandos, ya que es aquél de v. la tradición recuerda estos dos resultados con una simbología que supone que una variable que tiende a infinito lo hace siempre con un signo determinado y suprime el + delante de ∞ ∞ + ∞ = ∞, (12) ∞ − ∞ = indeterminado. Ejemplos: limx→0 £¡ limx→0 1 x ¡2 ¢ ¡ ¢ − ¢x1 =¤ limx→0 x1 = ∞ (∞ − ∞ = ∞) , limx→0 x1 − x1 = 0 + 18 − x1 = 18 (∞ − ∞ = 18) x (∞ − ∞ = 0) , Ejercicio 3: Calcular los siguientes límites. 1.- 4 lim 2x 4−1 2 x→0 −4x +x 2.- 4.- 2x3 −x 4 x→−1 x −1 5. -limx→ π − (2) lim lim x→ √1π x2 +1 πx2 −1 3.£¡ π 2 3 lim 2x4 −x x→1 x −1 ¢ ¤ − x tan x Cuando en un punto a ∈ R hay un límite infinito, el gráfico de la función se acerca hacia la recta vertical x = a. Decimos entonces que la recta es una asíntota vertical del gráfico de la función o, directamente, de la función. Ejemplos: 14. El eje vertical es asíntota de y = x1 . Nótese que los dos límites laterales son de distinto signo. No es este el caso en y = x12 , que también tiene la misma asíntota. y x fig. 3.6.a. y= 1 x fig. 3.6.b. 78 y= 1 x2 3.1. Asíntotas 15. En el ejemplo 7, el eje ”y” es asíntota de y = 1 + x1 y la recta x = −4 lo es de x2 −3 y = 3x−2 x+4 . En el ejemplo 8 también hay una asíntota vertical de y = 2x−4 : la recta x = 2 y 3.75 2.5 1.25 0 -2.5 0 2.5 5 x -1.25 figura 3.7. sin x 16. y = tan x = cos x tiene infinitas asíntotas verticales: los puntos de la forma k entero, en los cuales se anula el denominador. y π 2 10 5 0 -5 -2.5 0 2.5 5 x -5 -10 figura 3.8. 79 y = tan x + kπ con Capítulo 3. El teorema del valor medio Ejercicio 4: Encontrar, cuando las haya, asíntotas verticales de las siguientes curvas. 2 1 1.- y = 7x+2 2.- y = x −2x+1 3.- y = √x−2 3x−2 x+3 4.- y = 3.2 1 sin x 5.- y = sin 2x x2 Estudio de funciones Máximos y mínimos Quizás no haya en la naturaleza una función a la que le prestemos más atención que a la temperatura ambiente. Pensemos en la descripción de este parámetro en el transcurso de un día. Supongamos que medimos el tiempo en horas. Estará representado por una variable t que recorre el intervalo [0, 24]. Los valores correspondientes de la temperatura estarán representados por otra variable, digamos y, que la mide en cierta unidad: o C, por ejemplo. y = f (t) , 0 ≤ t ≤ 24. Uno puede imaginar cómo, mientras el tiempo recorre de izquierda a derecha el intervalo [0, 24] sin saltearse ningún punto, la temperatura se mueve, también ella sin saltearse puntos, pero oscilando, subiendo y bajando, sin salirse de un intervalo. Se puede pensar a la variable y como las posiciones que va ocupando el punto superior de la columna mercurial de un termómetro. En sus oscilaciones no puede pasar de un punto a otro sin pasar por los intermedios. Además, en algún instante pasará por una posición que no es superada en altura por ninguna otra (aunque si puede ser igualada): M, la temperatura máxima. Y en algún otro (o algunos otros) instante, pasará por la posición más baja, la temperatura mínima m. En definitiva, los valores f (t) correspondientes a los valores t ∈ [0, 24] , llenan un intervalo cerrado [m, M ] .¿Qué aspectos nos interesa conocer de esta función? Sin duda los extremos m y M del intervalo que soporta los valores de y y a qué horas fueron alcanzados, ya que ellos representan las temperaturas máxima y mínima de la jornada. Y también los subintervalos de oscilación de f . Cuándo la temperatura está en aumento y cuándo disminuye. El estudio de estas cuestiones, esto es la descripción del comportamiento de una función, constituye el objeto de esta sección. Definición 4. Diremos que una función f alcanza su máximo valor relativo al conjunto S ⊂ Dom (f ) en el punto a, si f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ S. El número f (a) es el máximo de f en S [f (a) = max f |S ] . Si S = Dom (f ), el máximo se llama absoluto1 . La definición de mínimo es idéntica, cambiando ≥ por ≤ . Para decir que f alcanza un máximo o un mínimo en un punto, sin querer especificar si se trata de uno o de otro, se se dirá que alcanza un extremo. Los ejemplos que siguen a continuación servirán también como introducción del lenguaje que usaremos. Debemos advertir que este es un tema en el que se ha generado cierta diversidad de lenguaje: no todos llaman a las cosas con el mismo nombre y, peor aún, se llama con el mismo nombre a cosas diferentes. Nosotros haremos nuestro aporte al caos. 1 Como siempre se dispone de cierta libertad para considerar arbitrariamente cuál es el dominio de una función, esta definición debe tomarse con el valor "relativo" que posee. 80 3.2. Estudio de funciones Ejemplos: y y 1.5 1 0.5 1 0 0 2.5 5 7.5 10 x 0.5 -0.5 0 -1 -0.5 0 0.5 1 x Ejemplo 1 -1 Ejemplo 2 y y 4 1 2 0.5 0 -1 0 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2 x x -0.5 -2 -1 -4 Ejemplo 3 y Ejemplo 4 4 3 2 b 1 a 0 -2 -1 0 Ejemplo 5 1 2 x Ejemplo 6 1. La función y = |x| + 1 alcanza su mínimo absoluto (que vale 1) en x = 0. 2. La función seno, alcanza su máximo absoluto en forma π2 + 2kπ con k entero. π 2. Y también en todos los puntos de la 3. y = x tiene su máximo relativo al intervalo (−1, 1] en x = 1. No tiene mínimo relativo a ese intervalo, pues el valor −1 ¡no lo¢ toma; Para cualquier a ∈ (−1, 1] , f (a) no es un = a−1 mínimo, porque, por ejemplo, f a−1 2 2 < a = f (a) . (Piense esto con cuidado) £ √ √ ¤ 4. La función aquí graficada, que tiene dominio en el intervalo − 3, 3 , no alcanza máximo ni mínimo. Tiene una discontinuidad en la que toma el valor 0, y a sus lados tiende hacia valores que no alcanza. ¯ ¯ 5. f (x) = ¯ x1 ¯ no tiene máximo ni mínimo absolutos. Tiene un mínimo relativo al intervalo (0, 1] en 1, y un máximo relativo a [1, +∞) en 1. 81 Capítulo 3. El teorema del valor medio 6. El gráfico que se muestra en el ejemplo 6 corresponde a una función que está definida en (−∞, +∞) y sigue, hacia los "extremos" del intervalo, la tendencia que muestra la figura. No tiene, en consecuencia, extremos absolutos. Sin embargo..."algo pasa" en los puntos a y b. También se observa un fenómeno similar en el gráfico del ejemplo 4. La próxima definición recoge esa peculiaridad. Definición 5. Una función f tiene en un punto a ∈ Dom (f ) un máximo local si existe un intervalo abierto I, a ∈ I ⊂ Dom (f ) (esto es un entorno I de a), respecto del cual f tiene un máximo relativo en a. Análoga definición para mínimo local . La existencia del concepto de extremo local provoca el contrapunto de llamar globales a los extremos definidos anteriormente. Los extremos locales no requieren la mención de un conjunto, son una propiedad del punto. Un extremo global, en cambio, lo es relativo a un conjunto. O absoluto si lo es con respecto a todo el dominio de la función. ¿Cuál es la relación entre extremos locales y extremos globales? El ejemplo 6 muestra una función que tiene un máximo local en a y un mínimo local en b, que no son absolutos. El máximo relativo mencionado en el ejemplo 3, no es máximo local. Ni aún considerando a la función como restringido su dominio a (−1, 1] : la definición de extremo local requiere que el punto sea interior al dominio. Lo que sí se puede decir es esto: Teorema 1: Si una función alcanza un extremo global relativo a un conjunto S en un punto interior a S, entonces la función tiene en ese punto un extremo local. Digamos de paso que el conjunto S a que se refiere la definición 1 será siempre un intervalo. Cualquier problema de búsqueda de extremos de una función se puede llevar a una búsqueda en un intervalo. La definición 1 no proporciona ninguna pista para encontrar extremos globales de una función. Si se logra adivinar un punto a en el cual se realiza un extremo de f , la definición dice cómo probar que en ese punto hay efectivamente un extremo. Los extremos locales de la definición 2, en cambio, mirados a través de los gráficos en los ejemplos 2, 4 y 6, sugieren un posible método de búsqueda. En un extremo local, cuando hay recta tangente, ésta es horizontal (el ejemplo 1 muestra que puede no haber tangente y el 3 que en extremos no locales la tangente puede no ser horizontal). Teorema 2: Si f alcanza un extremo local en un punto a y es derivable en ese punto, entonces f 0 (a) = 0. Demostración. Si f tiene un máximo local en a, f (a + h) − f (a) ≤ 0 para |h| chico. Luego, f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) ≤ 0 para h > 0 y ≥ 0 para h < 0. h h Tomando límites laterales, se deduce que D− f (a) ≥ 0 y D+ f (a) ≤ 0. Como f es derivable, debe ser f 0 (a) = 0 Si f tuviera un mínimo en a, −f tendría un máximo y entonces −f 0 = 0 ¥ Nótese que la recíproca no vale y la derivada de una función puede anularse en un punto sin que en él haya un extremo local. (y = x3 en x = 0). El teorema da candidatos a extremos locales. Ayudados por los dos teoremas, si lo que se busca son los extremos globales de una función relativos a un intervalo, se puede pensar de la siguiente manera: El máximo y el mínimo de la 82 3.2. Estudio de funciones función relativos al intervalo se pueden alcanzar en los extremos o en el interior del intervalo. Si un extremo (máximo o mínimo) es alcanzado en el interior del intervalo, entonces es local (teor. 1). Luego, o la función no es derivable o la derivada se anula.(teor. 2) Si llamamos puntos críticos a aquellos donde no existe derivada o la derivada es nula, un máximo o un mínimo sólo puede ser alcanzado en los extremos del intervalo o en un punto crítico. Uno está tentado a seguir este procedimiento para "pescar" extremos: se buscan todos los puntos críticos. Si son un número finito se calcula el valor de la función en ellos y en los extremos del intervalo (si es cerrado). El valor más grande es el máximo y el más chico es el mínimo. Eso está bien si existen máximo y mínimo relativos a ese intervalo!. En los ejemplos 1 a 6 vimos muchos casos en que no. Ejemplo 4. (revisitado). La función graficada en el ejemplo 4 responde a esta definición analítica: ¢ £ √ ¢ ¡ √ ¤ ½ ¡ 4 x − 4x2 + 3 sg(x) si x ∈ − 3, 0 ∪ 0, 3 f (x) = 0 si x = 0 x ). f es una función definida en (Recordamos de la sección 2.2. que sg (x) = |x| £ √ √ ¤ el intervalo cerrado − 3, 3 , derivable en el abierto salvo en el origen, donde ni siquiera es continua. ¡ ¢ ¡ ¢ f 0 (x) = 4x3 − 8x sg (x) = 4x x2 − 2 sg (x) , √ √ se anula − ª2 y en 2. Según la definición, el conjunto de los puntos críticos © √ en √ es − 2, 0, 2 (el 0 es P.C. porque f no es derivable). Si calculamos el valor de f en los P.C. y en los extremos del intervalo: ³ √ ´ ³ √ ´ ³√ ´ ³√ ´ f − 3 = 0, f − 2 = 1, f (0) = 0, f 2 = −1, f 3 = 0. √ √ Pero en − 2 y 2 sólo hay máximo y mínimo locales. Porque, claramente, lim f (x) = −3 y x→0− lim f (x) = 3, x→0+ valores que no son alcanzados; pero, cuando x está cerca del 0, f (x) sobrepasa √ por arriba el valor 1 alcanzado en − 2 y por abajo el valor −1 alcanzado en √ 2. En este intervalo la función no tiene extremos absolutos, por lo tanto el método no pudo pescar peces que no estaban en el estanque. Resulta entonces clara la importancia de saber a-priori si en un intervalo una función alcanza su máximo y su mínimo. Y aquí conviene recordar el ejemplo de la columna mercurial. La condición para que la variable dependiente recorra su imagen sin saltear puntos es la continuidad de la función. El resultado que describe esta situación es un teorema debido a Bolzano2 y Weierstrass3 .Su demostración se basa en propiedades de la recta real que nosotros no vamos a estudiar.en este libro, pero mirando los ejemplos, el resultado es convincente: Teorema 3. (de Bolzano y Weierstrass) Si f es una función continua e I ⊂ Dom (f ) es un intervalo, entonces f (I) es un intervalo. Si además I es cerrado, entonces f (I) es un intervalo cerrado. 2 Bernard Bolzano (1781-1848), matemático, lógico, filósofo y teólogo checo. 3 Karl Weierstrass (1815-1897), matemático alemán. 83 Capítulo 3. El teorema del valor medio Del teorema de B-W surge claramente que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo. Vamos a explicitarlo: Corolario 1. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza su máximo y su mínimo en [a, b] . Demostración. Por el teorema, f ([a, b]) = [c, d] para ciertos c y d. Como todos los valores f (x) con x ∈ [a, b] están en [c, d] , resulta, para todo x, c ≤ f (x) ≤ d. Pero además [c, d] = f ([a, b]) implica la existencia de dos puntos x1 , x2 ∈ [a, b] tales que f (x1 ) = c y f (x2 ) = d. Entonces ´ ´ ³ ³ y d = f (x2 ) = max f |[a,b] ¥ c = f (x1 ) = min f |[a,b] La función continua del ejemplo 3 no alcanza su mínimo porque el intervalo se abre en −1. La del ejemplo 4 no alcanza ningún extremo a causa de su discontinuidad. La del ejemplo 5, en (−∞, +∞) suma los dos males. Estamos hablando de los fracasos del teorema, pero disfrutaremos de sus éxitos. Saber que una función alcanza sus valores máximo y mínimo es importante. Para funciones continuas en intervalos cerrados funciona el método para pescar extremos. Ejemplos: 7. Le quitamos la discontinuidad al ejemplo 4, simplemente borrando la función£ sg. √ Ahora √ ¤ f (x) = x4 − 4x2 + 3, e investigamos por sus extremos en el intervalo cerrado − 3, 3 . Como ahora f es continua, sabemos, por el teorema de Bolzano - Weiertrass, que alcanza su máximo y su mínimo en ¡ese intervalo. Sólo puede alcanzarlos en los extremos o en ¢ 0 2 puntos críticos. f (x) = 4x x − 2 , de modo que el conjunto de los puntos críticos es √ ª © √ P C = − 2, 0, 2 . La evaluación de f en los candidatos da: ³ √ ´ ³√ ´ ³√ ´ ³ √ ´ 2 = −1, f 3 = 0. f − 3 = 0, f − 2 = −1, f (0) = 3, f y 3 2 1 0 -2 -1 0 1 2 x -1 figura 3.10 No habiendo otros puntos críticos, se concluye que la función alcanza su valor, √ máximo √ 3, solamente en el punto x = 0 y su mínimo, −1, en los puntos x = − 2 y x = 2, y en ningún otro. 84 3.2. Estudio de funciones 8. Supongamos ahora que queremos investigar extremos absolutos de la misma función f (x) = x4 − 4x2 + 3 en su dominio natural R. Como el dominio es un intervalo abierto, todo extremo absoluto debe ser extremo local. Sólo que ahora, como el intervalo es abierto, no funciona B - W asegurando la existencia de máximos y mínimos. Observamos que limx→∞ f (x) = +∞. Esto asegura que no puede haber máximos absolutos, ya que cualquier valor será superado. La única posibilidad que queda de obtener un extremo es el mínimo. Y debería mínimo √ ¤ local hallado √ entonces, por ser necesariamente ¡√ ¢ local, ser £el √ 2 = −1 en − 3, 3 . ¿Podrá ser en los puntos ± 2. Sabemos que f (x) ≥ f f (x) < −1 fuera de este intervalo? No. Porque f (x) > 0 allí. Conclusión: f no tiene √ máximo absoluto y alcanza su mínimo absoluto, que vale −1, en ± 2. Ejercicios: 5. Determinar máximos y mínimos, locales y globales relativos a los intervalos señalados, de las siguientes funciones. 1. 3. 5. 7. 9. x2 − 2x + 5 3x2 − x + 1 − 2x2 + 3x − 1 x3 − 3x sin x + cos x en en en en en £[−1, ¢2] 1 , 1 6 [0, 2] √ ¤ £ √ − 3, 3 (−∞, ∞) 2. 4. 6. 8. 2x2 − 3x − 1 − x2 + 2x + 2 x3 + 2 cos x en en en en (−∞, ∞) (−∞, 0] [−1, ¡ 3π1]¢ 0, 2 6. Probar, usando el teorema 3, y el ejercicio 53 del capítulo 1 que, si f es continua en el intervalo I, entonces y1 , y2 ∈ f (I) ⇒ [y1 , y2 ]∗ ⊂ f (I) . (En la sección 3.4. podrá encontrar este ejercicio resuelto, al igual que el ejercicio 8.) 7. Probar que Rg (sin) = Rg (cos) = [−1, 1] . 8. Probar que si f es una función continua en un intervalo y hay dos puntos x1 , x2 tales que f (x1 ) < 0 y f (x2 ) > 0, entonces existe por lo menos un punto ξ ∈ (x1 , x2 )∗ tal que f (ξ) = 0. (este resultado se conoce habitualmente como Teorema de Bolzano). 9. Si f es continua en un intervalo (a, b) y no se anula en ese intervalo, entonces sg (f ) es constante. Funciones crecientes y decrecientes Retomando el ejemplo de la temperatura ambiente a lo largo de una jornada, con el que comenzamos este capítulo, se señaló allí á importancia de identificar los intervalos de tiempo durante los cuales la temperatura aumenta y aquellos en que la misma disminuye. Es clara la relación entre ese problema y la siguiente definición. Definición 6. f es creciente en el intervalo I si a, b ∈ I y a < b, implican f (a) ≤ f (b) . si bajo las mismas suposiciones la conclusión es f (a) < f (b) , diremos que f es estrictamente creciente. 85 Capítulo 3. El teorema del valor medio En un lenguaje más llano: la función f es creciente si cada vez que aumenta la variable independiente la variable dependiente no disminuye. Si el aumento de la v.i. significa también un aumento de la v.d. entonces f es estrictamente creciente. Hacemos notar que sólo definimos (porque sólo nos interesa) función creciente en un intervalo. Análogamente, cuando a < b ⇒ f (a) ≥ f (b) , la función es decreciente. Aunque obvio, no es tan fácil escribir la demostración de lo siguiente (ver ejercicio 28): Cuando una función es creciente o decreciente en un intervalo abierto y continua en el cerrado, conserva las mismas características en el cerrado. Inclusive si la monotonía4 es estricta. Cuando digamos "recorrer el gráfico de una función" supondremos que lo estamos haciendo en el sentido natural de la variable independiente: de menor a mayor, o sea de izquierda a derecha. Cuando se recorre el gráfico de una función creciente, no se desciende. Si la función es estrictamente creciente, se asciende. Con una estrictamente decreciente, por el contrario, se desciende. En una función creciente, los incrementos considerados para el cálculo de la derivada son del mismo signo: ∆x > 0 ⇒ ∆y ≥ 0 y también ∆x < 0 ⇒ ∆y ≤ 0. Por consiguiente, el cociente incremental es siempre no negativo y así se conservará su límite, si es que existe. Teorema 4. Si f es una función creciente en un intervalo, en cada punto x de ese intervalo en el que sea derivable será f 0 (x) ≥ 0. Si en cambio f es decreciente, será f 0 (x) ≤ 0. La idea de relacionar el carácter creciente o decreciente de la función con el signo de la derivada es muy interesante. Es generalmente más fácil mirar el signo de la derivada que verificar la definición de creciente. Pero para que el concepto sea realmente útil, lo que se necesita es un teorema recíproco que, cuando veamos que la derivada es positiva en un intervalo, nos permita asegurar que la función es creciente. Tal teorema vale pero la demostración es más difícil. La dejaremos para otra sección Teorema 5. Sea f una función derivable en un intervalo (a, b). Entonces: f 0 (x) ≥ 0 en (a, b) ⇒ f creciente en (a, b) . f 0 (x) ⇒ f decreciente en (a, b) . f 0 (x) > 0 en (a, b) ≤ 0 en (a, b) f 0 (x) < 0 en (a, b) ⇒ f eatrictamente creciente en (a, b) . ⇒ f estrictamente decreciente en (a, b) . Corolario. Si f 0 (x) = 0 en (a, b) entonces f es constante en ese intervalo. Pensando que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente al gráfico en ese punto, las relaciones expresadas en los teoremas 4 y 5 se compadecen perfectamente con la interpretación geométrica de crecimiento y decrecimiento. Todas estas herramientas son aplicables a mejorar nuestros análisis de máximos y mínimos. Volviendo sobre la condición f 0 (x0 ) = 0, que es necesaria para la existencia de un extremo local en un punto de derivabilidad x0 , no tenemos métodos para saber si en ese punto hay efectivamente un extremo y, en caso de haberlo, si se trata de un máximo o de un mínimo. Si se tiene un gráfico de la función, estaremos convencidos de que en el punto de tangente horizontal x0 hay un mínimo si observamos que el gráfico desciende hasta llegar a ese punto y luego 4 Se dice que una función es monótona en un intervalo cuando se quiere decir que es creciente o decreciente, sin especificar cuál de las dos. 86 3.2. Estudio de funciones comienza a ascender. Simétricamente, un máximo está precedido por un ascenso y seguido de un descenso gráfico ascendente Punto de máximo gráfico descendente gráfico ascendente Punto de mínimo figura 3.11 Hay cuatro maneras en que la derivada f 0 puede anularse en el punto x0 . a. Pasando de f 0 (x) < 0 para x < x0 a f 0 (x) > 0 para x > x0 . b. Pasando de f 0 (x) > 0 para x < x0 a f 0 (x) < 0 para x > x0 . c. Tocando el 0 en x0 pero permaneciendo positiva a su alrededor. d. Tocando el 0 en x0 pero permaneciendo negativa a su alrededor. Cada una de estas maneras conduce, según se acaba de explicar, a cuatro comportamientos distintos para la función f en x0 : a. Mínimo local en x0 . b. Máximo local en x0 . c. Gr (f ) ascendente en un intervalo con tangente horizontal en x0 . d. Gr (f ) descendente en un intervalo con tangente horizontal en x0 . f ' (x > 0) f ' (x ) < 0 f a. b. figura 3.12 87 c. d. Capítulo 3. El teorema del valor medio Ejemplos: 9. f (x) = x3 − 3x. Buscamos extremos locales y absolutos e intervalos de crecimiento decrecimiento. f 0 (x) = 3x2 − 3 = 3 (x + 1) (x − 1). El análisis del signo de f 0 es sencillo: f 0 < 0 en (−1, 1) y f 0 > 0 en (−∞, −1) y en (1, +∞) . Por lo tanto, el cero de f 0 en −1 es del tipo b. mientras que el cero en 1 es del tipo a. La función f decrece en el intervalo (−1, 1) y crece en los intervalos (−∞, −1) y (1, +∞) . En consecuencia, hay un máximo local en 1 y un mínimo local en −1. No existen extremos absolutos ya que lim f (x) = −∞ y x→−∞ lim f (x) = +∞. x→+∞ El análisis del signo de f 0 en los intervalos que separa sus ceros (esto es (−∞, −1) , (−1, 1) y (1, +∞), podría hacerse usando el ejercicio 9. En cada uno de los tres intervalos el signo es constante, por lo tanto, chequeando el valor de f 0 en un punto cualquiera, se sabe su signo en todo el intervalo. Por ejemplo, f 0 (0) = −3 ⇒ f 0 < 0 en (−1, 1) . 10. y = x3 es el ejemplo clásico de punto crítico del tipo c. La derivada 3x2 se anula en el origen conservándose positiva a ambos lados. La función es estrictamente creciente en (−∞, +∞) . ¿Por qué? Por supuesto, y = −x3 es el ejemplo de tipo d. 11. Hemos visto que limx→0 sin x x = 1. entonces la función ½ sin x si x 6= 0 x f (x) = 1 si x = 0 x . Si quisiéramos es continua en R. Además es derivable en R−{0} con f 0 (x) = x cos xx−sin 2 averiguar la derivabilidad en el origen, deberíamos calcular el límite del cociente incremental, sin h −1 f (0 + h) − f (0) sin h − h = lim h = lim . lim h→0 h→0 h→0 h h h2 Hasta que aprendamos a calcular este límite, miremos las gráficas de f y f 0 generadas por el ordenador. y 6π z2 z1 π figura 3.13 Las gráficas parecen indicar que existe f 0 (0) = 0. Pero, 88 x 3.2. Estudio de funciones i. no sabemos resolver la ecuación de los ceros de f 0 : x cos x − sin x = 0, equivalente a tan x = x. ii. Sí sabemos encontrar los ceros de f : sin x = 0 ⇔ x = kπ con k ∈ Z− {0}, y sabemos que entre dos ceros el signo de f se mantiene constante (ejercicio 9) iii. Si llamamos ... − z2 , −z1 , z0 = 0, z1 , z2 , ... a los ceros de f 0 , en esos puntos f tiene extremos locales. Entre dos de ellos consecutivos tendremos un intervalo de crecimiento o de decrcimiento de f (nuevamente por el ejercicio 9) iv. ¿Sabemos probar que f es creciente en (−π, 0) y decreciente en (0, π), para concluir que en 0 hay un máximo local? v. ¿Sabemos probar que absoluto en 0? sin x x < 1 para x 6= 0, y por lo tanto f tiene un máximo Muchas veces es mejor tener preguntas que respuestas. Ejercicios: 10. Para cada una de las siguientes funciones determinar los intervalos donde es creciente y aquellos donde es decreciente. 1. 3. 5. 7. f (x) = x3 + 1 f (x) = x3 + x − 2 f (x) = 2x3 + 5 f (x) = −4x3 − 2x 2. 4. 6. 8. f (x) = x2 − x + 5 f (x) = −x3 + 2x + 1 f (x) = 5x2 + 1 f (x) = 5x3 + 6x 11. Usar el comportamiento de la función en intervalos contiguos para determinar si los puntos críticos corresponden a máximos o mínimos locales o ninguno de los dos. 1. y = x3 − 2x2 + 3x + π 3. y = sin x 2. y = 2x4 − 4x2 + 5 4. y = x3 − 3x 12. Para cada una de las funciones siguientes a) Hallar el máximo y el mínimo en el intervalo dado. b) Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento. 1. (x − 1)1/3 + 12 (x + 1)2/3 2. x2/5 + 1 [−2, 7] [−1, 1] 13. Se va a fabricar una caja sin tapa con una base cuadrada y una superficie constante C. Determinar los lados de la caja si el volumen ha de ser máximo. 14. Un recipiente en forma de cilindro sin tapa superior ha de tener un área de superficie fija C. Hallar el radio de su base y su altura si ha de tener un volumen máximo. 15. Resolver los dos problemas anteriores cuando la caja y el recipiente están cerrados por arriba. (El área de un círculo de radio x es πx2 y su longitud es de 2πx. El volumen de un cilindro de altura y y cuya base tiene radio x es πx2 y.) 16. Demostrar que entre todos los triángulos de área dada, el triángulo equilátero es el de menor perímetro. 89 Capítulo 3. El teorema del valor medio Comparación de funciones Si f (x) < g (x) para todo x en un intervalo I, diremos que f < g en I. Análogamente se definen el resto de las desigualdades: >, ≤, ≥ . Si f (a) ≤ g (a) en el extremo izquierdo de un intervalo y f no crece más que g, es de esperar que la desigualdad se mantendrá en todo el intervalo. Teorema 6. Si f, g son funciones continuas en [a, b) y derivables en (a, b), si además f (a) ≤ g (a) y f 0 ≤ g 0 en (a, b) entonces f ≤ g en [a, b) . Si f 0 < g 0 en (a, b) entonces f < g en (a, b) .Análogamente,si f (b) ≤ g (b) en el extremo derecho y g 0 ≤ f 0 en (a, b), entonces f ≤ g en (a, b], con la desiguldad estricta en el caso correspondiente. Demostración. Se considera la función g−f. De las hipótesis sigue que (g − f ) (0) ≥ 0 y que (g − f )0 = g 0 − f 0 ≥ 0 en (a, b) , luego (g − f ) es creciente en ese intervalo.y por lo tanto también en [a, b) . En consecuencia, para todo x, (g − f ) (x) ≥ (g − f ) (a) ≥ 0. Esto es, f (x) ≤ g (x) para x ∈ [a, b) . La demostración de la desigualdad estricta queda a cargo del lector. Para la comparación en el extremo derecho, aplicar el resultado ya probado a f (−x) y g (−x) ¥ g g a f b a f b figura 3.14 Ejemplos. 12. Tomar f (x) = sin x y g (x) = x en [0, +∞) . Como sin 0 = 0 y sin0 x = cos x ≤ 1 = g 0 (x), se deduce que sin x ≤ x para x ≥ 0. Como una consecuencia, resulta sinx x ≤ 1 para x > 0. Para x < 0 la desigualdad permanece por tratarse de una función par (luego simétrica). Queda con esto zanjada la pregunta v. del ejemplo 11.: sinx x tiene un máximo absoluto en x = 1. d sin x x 13. Consideremos la función dx = x cos x−sin , por cuyo signo en el intervalo (0, π) x x2 nos interrogábamos en el ejemplo 11 (iv). Ya que el denominador es positivo, basta considerar f (x) = x cos x − sin x, y compararla contra g (x) = 0. f (0) = 0 y f 0 (x) = cos x − x sin x − cos x = −x sin x < 0 en (0, π) . Sigue del teorema 6 que f < 0 en (0, π) , y de allí que sinx x es decreciente en ese intervalo. 90 3.2. Estudio de funciones Ejercicios. 17. Probar que tan x > x si 0 < x < π/2. 18. Probar que t+ 1 ≥2 t para t > 0 (Ver qué pasa a ambos lados de 1). Convexidad - concavidad Un ingrediente más será útil para hacer el gráfico aproximado de una función. Suponga que usted viene transitando a lo largo del gráfico de una función, en el sentido natural: según crece la x. Salvo que se encuentre en un tramo recto, usted estará en una curva que gira hacia la izquierda o hacia la derecha. Hacia el lado que gira, la carretera va envolviendo una concavidad y hacia el otro va dejando una convexidad (si estas palabras no son de su lenguaje corriente, hay un truco para recordarlas: concavidad = con cavidad). Giro hacia la izquierda. Concavidad hacia arriba Sentido de avance Punto de inflexión Giro hacia la derecha. Concavidad hacia abajo. figura 3.15 Cuando la curva gira hacia la izquierda, las rectas tangentes en los sucesivos puntos también van girando hacia la izquierda y por lo tanto sus pendientes van creciendo. De igual modo, al 91 Capítulo 3. El teorema del valor medio girar hacia la derecha las pendientes de las sucesivas tangentes disminuyen. x1 x2 x1 x2 Concavidad hacia arriba. x1 < x2 ⇒ pendiente de la tangente en x1 Concavidad hacia abajo. x1 < x 2 ⇒ pendiente de la tangente en x1 menor que la pendiente de la tangente en x2 mayor que la pendiente de la tangente en x 2 figura 3.16 Por lo tanto, si la función f de quien la curva es el gráfico es derivable en todo el intervalo, tendremos la siguiente asociación: • Concavidad hacia arriba = f 0 creciente. • Concavidad hacia abajo = f 0 decreciente. Cuando existe derivada segunda, el signo de ésta es un dato para determinar el carácter creciente o decreciente de la derivada primera. En este caso, • f 00 ≥ 0 en (a, b) ⇐⇒ f cóncava hacia arriba en (a, b) . • f 00 ≤ 0 en (a, b) ⇐⇒ f cóncava hacia abajo en (a, b) . Si f es cóncava hacia arriba y hacia abajo en dos intervalos contiguos y la derivada segunda existe y es continua en la unión de ambos, ella pasa de positiva a negativa y debe anularse en el punto fronterizo. En este punto se dice que la función tiene un punto de inflexión. Cuando existe derivada segunda, ésta se anula en los puntos de inflexión. No es cierto, sin embargo, que siempre que se anula la derivada segunda hay un punto de inflexión (ver ejemplo ) Ejemplos: 4 2 Ya ´sabemos que 14. Veamos nuevamente la función del ejemplo 8. f (x) = q 4x ´ ³+ 3. q ³ x − 2 0 3 00 2 f (x) = 4x − 8x. Ahora f (x) = 12x − 8 = 12 x − 3 x + 23 . Usando el teorema de Bolzano y testeando los valores de f 00 en un punto de cada intervalo, = f´00 (1) =³q 4 > 0 ´∧ f 00 (0) = −8 < 0 =⇒ f ³ cóncava f³00 (−1) q q qhacia ´ arriba en 2 −∞, − 23 y en − 23 , 23 . En los dos 3 , +∞ , y f cóncava hacia abajo en puntos de anulación de la derivada segunda la función cambia el sentido de su concavidad y por lo tanto se trata de puntos de inflexión 92 3.3. El teorema de unicidad 2 dy d y 2 sin x = cos12 x , dx 15. Volvamos al ejemplo 16. de la sección 3.1. y = tan x, dx 2 = cos3 x = 0 para x = kπ con k entero. Es fácil ver que ´ ³ ³ d2 y π´ π d2 y y , kπ . > 0 en kπ, kπ + < 0 en kπ − dx2 2 dx2 2 ¢ ¡ De ¡modo que, ¢para cada k ∈ Z, se distinguen dos intervalos contiguos kπ − π2 , kπ y kπ, kπ + π2 donde f pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. En los puntos de frontera kπ hay un ounto de inflexión. En cambio, en la separación entre dos de estas duplas de intervalo, que son los puntos de la forma kπ + π2 la tangente es diacontinua con asíntota vertical y no se considera que haya punto de inflexión. Ejercicios 19. Para las siguientes funciones, estudiar intervalos de concavidad - convexidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Trazar gráficos aproximados. 1.- 3x2 − 3x − 6 2.- −x2 + 2x − 4 3.- −2x3 − 3x + 5 4.- 2x3 − 9x2 + 12x 5.- x4 − x2 + 1 6.- x5 + x 20. Determinar todos los puntos de inflexión de sin x y de cos x. 21. Para la función f (x) = x4 − 8x2 + 16 (a) Demostrar que f tiene exactamente dos puntos de inflexión. (b) Trazar la gráfica de f . Deteminar explícitamente los puntos críticos. Determinar las regiones de convexidad-concavidad. 22. Considerando los siguientes aspectos: (i) Puntos críticos. Máximos y mínimos locales. (ii) Intervalos de crecimiento - decrecimiento. (iii) Puntos de inflexión. (iv) Intervalos de convexidad - concavidad. (v) Asíntotas. (vi) Intersecciones con ejes y asíntotas. Trazar gráficas de las curvas que se indican a continuación. x2 +2 x−3 1. − y= 4. − y =x+ 3 x 2. − y= x+1 x2 +1 5. − y= 2 √x x+1 7. − y= x2 −1 x2 −4 93 3. − y= 2x−3 3x+1 6. − y= x+1 x2 +5 Capítulo 3. El teorema del valor medio 3.3 El teorema de unicidad Volvemos sobre el corolario del teorema 5. Es claro que si f 0 = g en un intervalo, no es f la única función con esa propiedad. Basta tomar h (x) = f (x) + c con cualquier constante c para que h0 (x) = f 0 (x) = g (x) . Pero del corolario del teorema 5 se infiere que esa es la única manera de tener dos funciones con la misma derivada: una y otra difieren en una constante. Dada una función g definida en un intervalo, no sabemos si existe alguna f tal que f 0 = g pero si existe alguna existen infinitas, difiriendo dos cualesquiera de ellas en una constante. Esto es: Si y = F (x) y y = G (x) son dos soluciones de la ecuación diferencial dy = f (x) , dx a < x < b, entonces existe una constante C tal que G (x) = F (x) + C, a < x < b. En efecto, (G − F )0 (x) = G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0 para todo x ∈ (a, b). Luego, por el corolario del teorema 5, G − F es constante en el intervalo. Por lo tanto existe una constante C tal que G − F = C. Esto es, G = F + C. Ejemplos. 1. Una función constante queda determinada sabiendo su valor en un punto. Por eso en el PVI1 de la sección 2.6., del cual sabemos encontrar la solución, podemos aseverar que ésta es única. ½ 0 s (t) = v0 + at, 0<t<∞ PVI1 s (0) = x0 s (t) continua en [0, +∞) . Si s1 y s2 son dos soluciones, s1 − s2 es constante, digamos s1 − s2 = c. Pero por la continuidad en 0, limt→0+ [s1 (t) − s2 (t)] = s1 (0) − s2 (0) = x0 − x0 = 0. Por otra parte, limt→0+ [s1 (t) − s2 (t)] = limt→0+ c = c. Luego c = 0 y s1 = s2 . 2. Consideramos ahora el PVI2 de la sección 2.6 le asociamos el problema homogéneo PH: 00 00 u + ω2 u = 0 u + ω2 u = 0 u0 (0) = A PVI2 PH u0 (0) = 0 u (0) = B u (0) = 0 1.- Si u, v son dos soluciones de PVI2 su diferencia es solución de PH. (verifíquelo) 2.- Pero PH sólo admite la solución trivial u = 0. En efecto, si multiplicamos la ED por 2u0 , obtenemos i0 h¡ ¢ 2 2u0 u00 + 2ω 2 u0 u = u0 + ω 2 u2 = 0. Luego, (u0 )2 + ω 2 u2 es constante. Para obtener su valor basta calcularla en t = 0, y usando las CI resulta (u0 )2 + ω 2 u2 = 0 para todo valor de t. Como ambos términos son no negativos, se deduce que deben ser nulos los dos. En particular, u2 = 0 y, por consiguiente, u = 0. 3.-Se concluye que PVI2 tiene solución única. (aquella que se encontró en el ejercicio 39 del práctico 4) 94 3.4. Las demostraciones Ejercicios. 23. Mostrar que la condición f 0 = 0 en un conjunto S no basta para afirmar que f es constante si S no es un intervalo. 24. Suponer que f es una función diferenciable de t. (a) Si f 0 (t) = −3 para todo t ∈ R, ¿Qué pueden decir acerca de f (t) ? (b) Y si f 0 (t) = −3 y f (0) = 1? 25. Supongamos que existen dos soluciones, f y g de la ecuación diferencial dy = y, dx x ∈ R, y que f (x) 6= 0 para todo x. Demostrar que existe una constante C tal que g = Cf. Hint. Diferenciar el cociente g/f . 26. Una partícula se mueve sobre el eje x hacia la derecha a velocidad constante de 7m/seg. Si al instante t = 9 la partícula está a una distancia de 2m a la dereche del origen, hallar su posición en función de t. 3.4 Las demostraciones Teorema de Bolzano La primera parte del teorema 3 implica que una función continua toma todos los valores intermedios. Lo explicitaremos como corolario, para facilitar su referencia. Comúnmente este resultado se menciona como teorema de Bolzano. Corolario 2 (del teorema 3). Si f es continua en el intervalo [a, b], y c ∈ (f (a) , f (b))∗ , existe ξ ∈ (a, b) tal que f (ξ) = c. Demostración. Por el teorema, f ([a, b]) es un intervalo. Además, f (a) , f (b) ∈ f ([a, b]). Sigue del ejercicio 53 en el capítulo 1 que [f (a) , f (b)]∗ ⊂ f ([a, b]). Luego c ∈ f ([a, b]) y, por lo tanto, existe ξ ∈ [a, b] tal que f (ξ) = c. Además, a 6= ξ 6= b 95 Capítulo 3. El teorema del valor medio porque f (ξ) = c y f (a) 6= c 6= f (b) . Entonces ξ ∈ (a, b) ¥ f (a ) c f (b ) a ξ2 ξ1 ξ3 b figura 3.17 Ejemplos. 1. Una lectura posible de este corolario es la siguiente: si a, b ∈ Dom (f ) con f continua, entonces [f (a) , f (b)]∗ ⊂ Rg (f ) . 2. Si f es continua en [a, c) y limx→c− f (x) = +∞ entonces [f (a) , +∞) ⊂ Rg (f ) . Para probar esta afirmación, bastará ver que, para todo M > f (a) , [f (a) , M ] ⊂ Rg (f ). Pero si f (x) → +∞ es posible encontrar b ∈ (a, c) tal que f (b) > M (ver ejercicio 27). Ahora, usando el ejemplo 1, [f (a) , M ] ⊂ [f (a) , f (b)] ⊂ Rg (f ) . 3. Existencia de raíces n−ésimas. f (x) = xn es continua en [0, +∞) y además, f (0) = 0, limx→+∞ f (x) = +∞. Sigue del ejemplo 2. que [0, +∞) ⊂ Rg (f ) . Esto es, que para cada número no negativo y, existe x ≥ 0 tal que xn = y. Si n es impar es fácil ver que también existen raíces n-ésimas de números negativos. 4. Si f es continua en [a, b] y, digamos, f (a) < 0 mientras que f (b) > 0, el teorema de¡ Bolzano puede ser usado para aproximar una raíz de la ecuación f (x) = 0. Se evalúa ¢ a+b y: f 2 • f • f ¡ a+b ¢ 2 ¡ a+b ¢ 2 ¡ a+b ¢ 2 ,b ¡ a+b ¢ > 0 =⇒ f tiene un cero en a, 2 < 0 =⇒ f tiene un cero en En ambos casos hemos encerrado una raíz en un intervalo de longitud mitad que el inicial. Iterando n veces el procedimiento encerraremos una raíz en un intervalo de longitud b−a 2n . El teorema del valor medio Si se considera una curva descripta paramétricamente (ver vector tangente en sección 2.5): ½ x = f (t) , a ≤ t ≤ b, y = g (t) 96 3.4. Las demostraciones los extremos de la misma tienen coordenadas (f (a) , g (a)) , (f (b) , g (b)) . Luego, la pendiente de la cuerda que los une es g (b) − g (a) . m1 = f (b) − f (a) Por su parte, el vectoe tangente en un punto interior de la curva, (f (t) , g (t)) , es (f 0 (t) , g 0 (t)). En consecuencia, la pendiente de la recta tangente en ese punto será m2 = g 0 (t) . f 0 (t) g (b ) − g (a ) g ' (τ ) f ' (τ ) f (b ) − f (a ) figura 3.18 Decir ahora que la cuerda es paralela a la tangente en un punto intermedio de la curva es postular la existencia de un número τ ∈ (a, b) para el cual se verifica la igualdad g 0 (τ ) g (b) − g (a) = 0 . f (b) − f (a) f (τ ) (13) La prueba de este resultado es el objeto de esta sección. Ya que de paralelas entre cuerdas y tangentes se trata, comenzaremos con el resultado básico en esa dirección. En realidad, toda la dificultad técnica está en demostrar que hay una tangente paralela a la cuerda en alguna situación simple. Luego los trucos son sencillos. Teorema 7 (Rolle5 ) Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) . Supongamos además que la cuerda entre los extremos del gráfico de f es horizontal, esto es, que f (a) = f (b) . Entonces existe un punto interior ξ ∈ (a, b) tal que f 0 (ξ) = 0 (O sea que la tangente 5 Michel Rolle (1652-1716), matemático francés 97 Capítulo 3. El teorema del valor medio al gráfico es horizontal) tangente Gr(f) f (a ) = f (b ) cuerda a ξ b figura 3.19 Demostración. Según el corolario 1 del teorema 3 (Bolzano - Weierstrass),.la función f alcanza su máximo y su mínimo en el intervalo cerrado [a, b] . Si alguno de los dos es alcanzado en un punto interior entonces la derivada en ese punto debe anularse (teoremas 1 y 2). Caso contrario, el máximo y el mínimo son alcanzados en los extremos del intervalo, pero como f toma el mismo valor en ambos extremos, se deduce que el máximo y el mínimo son iguales. Esto sólo es posible si f es constante. Pero en tal caso f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b) ¥ La fórmula 13 es el centro del teorema del valor medio. Pero, para tener sentido, requiere que f (a) 6= f (b) . Con un pasaje de términos se evita el problema. Teorema 8. (del valor medio de Cauchy6 ) Sean f y g funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b) . Entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que [g (b) − g (a)] f 0 (ξ) = [f (b) − f (a)] g 0 (ξ) (14) Demostración. Bastará considerar la función Φ (x) = [g (b) − g (a)] f (x) − [f (b) − f (a)] g (x) . y verificar que cumple con las hipótesis del teorema de Rolle: Φ (a) = g (b) f (a) − g (a) f (a) − f (b) g (a) + f (a) g (a) = f (a) g (b) − f (b) g (a) . Φ (b) = g (b) f (b) − g (a) f (b) − f (b) g (b) + f (a) g (b) = f (a) g (b) − f (b) g (a) . Luego, Φ (a) = Φ (b) . Obviamente Φ es continua en [a, b] y derivable en (a, b). Por lo tanto, para algún punto ξ ∈ (a, b) , debe ser Φ0 (ξ) = 0. Pero Φ0 (ξ) = [g (b) − g (a)] f 0 (ξ) − [f (b) − f (a)] g 0 (ξ) = 0 ⇒(14) ¥ Para obtener (13) a partir de (14) es necesario que no se anulen los denominadores. Para ello se debe agregar una hipótesis: Corolario 1. Con las hipótesis del teorema, si además f 0 no se anula en (a, b), entonces existe un punto τ ∈ (a, b) para el cual se verifica (13). Demostración. Sólo se debe verificar que tampoco se anula f (b) − f (a) . Pero si esto ocurriera, por el teorema de Rolle habría un punto donde se anula la derivada, cosa que estamos suponiendo que no ocurre. 6 Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemático francés. 98 3.4. Las demostraciones Tomando f (x) = x, la curva se convierte en (x, g (x)) , que es el gráfico de la función g. En ese caso, el teorema toma una forma más sencilla y también la interpretación geométrca. f (b ) f (a ) a ξ b figura 3.20 Corolario 2. (Lagrange7 ) Si g es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que g (b) − g (a) = g 0 (ξ) . b−a El teorema del valor medio de Lagrange es la herramienta que necesitamos para completar la demostración del teorema 4. Demostración del teorema 4. Bajo la hipótesis de que f 0 ≥ 0 en (a, b) debemos demostrar que f es creciente en ese intervalo. Sean a < x1 < x2 < b. Debemos probar que f (x1 ) ≤ f (x2 ) . Como f es derivable en (a, b) , verifica las hipótesis del teorema de Lagrange en [x1 , x2 ] . Luego, f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ) ≥ 0 x2 − x1 para algún ξ ∈ (x1 , x2 ) . Como x2 − x1 > 0, debe ser f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0. Si f 0 fuera estrictamente positiva en el intervalo, sería f 0 (ξ) > 0. Entonces la conclusión sería f (x2 ) − f (x1 ) > 0, de donde sigue que f es estrictamente creciente. La prueba de los casos f 0 ≤ 0, f 0 < 0 es totalmente análoga ¥ Funciones convexas Retomamos el tema concavidad - convexidad de la sección 3.2. Por razones que no viene al caso profundizar, en el lenguaje matemático se llama convexas a las funciones cóncavas hacia arriba. Este concepto no requiere derivabilidad, por ejemplo la función |x| es convexa. Pero a nosotros sólo nos interesa estudiar la convexidad en relación con las propiedades de la derivada. Por eso adoptaremos una definición en este contexto. Recordamos de la sección 2.3. (fórmula (3)) que la recta tangente al gráfico de la función f en el punto x0 es el gráfico del polinomio de grado 1 x0 Naturalmente, 7 x0 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) . (x0 ) = f (x0 ) . Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matemático francés. 99 (15) Capítulo 3. El teorema del valor medio Definición 7. La función f , derivable en (a, b) , es convexa (estrictamente convexa) en ese intervalo si dado x0 ∈ (a, b), x0 (x) ≤ f (x) para todo x ∈ (a, b) (respectivamente, x0 (x) < f (x) para todo x ∈ (a, b) , x 6= x0 ). Gr f x0 Gr l x0 figura 3.21 Teorema 9. Si la función derivable f es convexa en un intervalo, entonces f 0 es creciente en ese intervalo. Si la convexidad es estricta, f 0 es estrictamente creciente. Demostración. Dados dos puntos x1 , x2 en el intervalo, f (x2 ) ≥ f (x1 ) ≥ x2 (x1 ) . Usando (15), x1 (x2 ) y f (x2 ) ≥ f (x1 ) + f 0 (x1 ) (x2 − x1 ) , (16) de donde − f (x2 ) ≥ −f (x1 ) − f 0 (x2 ) (x2 − x1 ) . (17) y f (x1 ) ≥ f (x2 ) + f 0 (x2 ) (x1 − x2 ) , Sumando (16) con (17) viene o, lo que es lo mismo, ¤ £ 0 ≥ f 0 (x1 ) − f 0 (x2 ) (x2 − x1 ) , ¤ £ 0 f (x2 ) − f 0 (x1 ) (x2 − x1 ) ≥ 0. Esta es la condición para que f 0 sea creciente. Para la convexidad estricta, la cuenta es la misma cambiando adecuadamente las desigualdades ¥ Si la derivada segunda de la función convexa existe, será no negativa (No se puede asegurar positividad estricta en todos los puntos aún en el caso en que la función sea estrictamente convexa, por ejemplo y = x4 ). Recíprocamente, derivada segunda positiva en todo el intervalo implica convexidad. Teorema 10. Si existe la derivada segunda en el intervalo (a, b) , f 00 ≥ 0 en (a, b) =⇒ f convexa en (a, b) f 00 > 0 en (a, b) =⇒ f estrictamente convexa en (a, b) . Demostración. Fijado un punto x0 ∈ (a, b), debemos comparar f con x0 para establecer la desigualdad x0 ≤ f . Esto se hace en dos pasos, en los intervalos (x0 , b) y (a, x0 ), usando las técnicas de comparación del teorema 6.ya que x0 (x0 ) = f (x0 ) . Para establecer que x0 ≤ f en (x0 , b), se requiere que 0x0 ≤ f 0 en ese intervalo. Pero, de acuerdo con la definición (15), 0x0 (x) = f 0 (x0 ) . Ahora, f 00 ≥ 0 en (a, b) implica que f 0 es creciente y, para x > x0 , será f 0 (x) ≥ f 0 (x0 ) = 0 (x) . Para probar que x0 ≤ f en (a, x0 ) se usa la otra mitad del teorema x0 6. Las desigualdades estrictas necesarias para la convexidad estricta también están previstas en el citado teorema ¥ 100 3.5. Complementos 3.5 Complementos Notas En la sección 2.2. se presentó el concepto de límite y se lo caracterizó con seis propiedades básicas. En el ejemplo 5 se presentaron un par de funciones que no tenían límite (en realidad ahora diríamos que se trata de límites infinitos) y el ejemplo 6 mostró a la función sin x1 , que no tiene en el origen límites ni infinitos ni laterales. Nada parecido puede pasar con una función monótona en un intervalo. En este caso siempre existen límites laterales y las discontinuidades sólo pueden ser de "salto finito". Una prueba de esta afirmación requiere una definición formal de límite y alguna descripción de propiedades de los números reales que en este nivel no estamos manejando. Pero se trata de un hecho intuitivamente evidente y lo aceptaremos como la séptima propiedad del límite: 7. Si f es una función monótona en un intervalo (a, b), entonces existen los límites laterales lim f (x) y x→a+ lim f (x) . x→b− Ejercicios *27. Demostrar: (a) Si la función f es creciente en (a, b) entonces, para todo c ∈ (a, b), limx→a+ f (x) ≤ f (c) ≤ limx→b− f (x). Si f es decreciente las desigualdades se invierten y si f es estrictamente monótona las desigualdades son estrictas. (b) Si f es creciente en (a, b) y c ∈ (a, b), entonces limx→c− f (x) ≤ f (c) ≤ limx→c+ f (x) . Para f decreciente valen desigualdades inversas. (c) Si f es creciente en (a, b) y c ∈ (a, b), entonces, para a < x1 < c < x2 < b, f (x1 ) ≤ lim f (x) ≤ f (c) ≤ lim f (x) ≤ f (x2 ) . x→c− x→c+ Y si f es estrictamente creciente, f (x1 ) < lim f (x) ≤ f (c) ≤ lim f (x) < f (x2 ) . x→c− x→c+ Obvias modificaciones para el caso decreciete. *28. Si f es creciente en (a, b) y continua en [a, b] , entonces f es creciente en [a, b]. Esto es, ∀x ∈ (a, b) , f (a) ≤ f (x) ≤ f (b). Si el crecimiento de f en (a, b) es estricto, el crecimiento en [a, b] también resulta estricto: ∀x ∈ (a, b) , f (a) < f (x) < f (b) . *29. Si limx→c f (x) = ∞, dado M > 0, en cualquier entorno reducido de c es posible encontrar un x tal que |f (x)| > M . Hint. Usar ejercicio 30 del capítulo 2. 30. Si f es una función convexa y en algún intervalo es creciente o en algún punto es f 0 (x) > 0, entonces limx→+∞ f (x) = +∞. Estudiar propiedades similares en −∞ y para funciones cóncavas. 101