Soluciones del Tema 3

Facultad de Económicas, Universidad de Castilla-La Mancha
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MATEMÁTICAS III PARA LA ECONOMÍA
MATEMÁTICAS III PARA LA EMPRESA
TEMA 3. INTEGRACIÓN IMPROPIA-SOLUCIONES
1.- (Nota: f (x) representa la función a integrar)
1. Impropia de primera especie.
2. Integral de Riemann (propia).
3. Impropia que se puede descomponer como las siguientes integrales impropias de segunda
especie:
Z
1
f (x) dx +
2
Z
−1
f (x) dx.
1
4. Integral de Riemann (propia).
5. Impropia de primera especie.
6. Integral de Riemann (propia).
7. Impropia que se puede descomponer como las siguientes integrales impropias de segunda
especie:
π/2
Z
f (x) dx +
2
Z
f (x) dx.
π/2
1
8. Impropia que se puede descomponer como las siguientes integrales impropias:
1
Z
f (x) dx +
∞
Z
f (x) dx,
1
0
siendo el primero de los sumandos de segunda especie y el segundo de primera especie.
9. Impropia de segunda especie.
10. Integral de Riemann (propia).
11. Impropia de primera especie.
12. Impropia de segunda especie.
13. Integral de Riemann (propia).
14. Impropia que se puede descomponer como las siguientes integrales impropias de segunda
especie:
Z
0
−1
15. Impropia de primera especie.
16. Integral de Riemann (propia).
17. Integral de Riemann (propia).
f (x) dx +
Z
0
1
f (x) dx.
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18. Impropia que se puede descomponer como las siguientes integrales impropias de segunda
especie:
Z
1
f (x) dx +
0
Z
2
f (x) dx +
5
Z
1
f (x) dx.
2
19. Integral de Riemann (propia). f (x) está acotada en (0,1], ya que
sen(x)
= 1.
x→0
x
lim
2.1.,3. y 5. son de primera especie.
2.,4. y 6. son de segunda especie.
3.1. -1
2. 1/4
3. No converge
4. No converge
5. -1
7. 2
8.
6. No converge
√
9. 2/ e
10. No converge
11. π/2
12. 1/2
13. No converge
14. 2
15. 2
cos(1)+sen(1)
2e
16. No converge
4.- (Nota: f (x) representa la función a integrar.)
1. Es convergente. Usar primer criterio con g(x) =
π/2
x2
2. Es convergente. Usar primer criterio con g(x) =
1
.
x2
y x ∈ [1, ∞).
3. Descomponer como las siguientes integrales impropias de segunda especie:
1/2
Z
f (x) dx +
Z
0
1
f (x) dx.
1/2
√
Ambas integrales son convergentes. Usar segundo criterio y g(x) = 1/ x, g(x) =
tivamente.
4. Convergente. Usar segundo criterio con g(x) = 1/x2 .
5. No converge.
6. Descomponer como las siguientes integrales impropias de primera especie:
Z
0
−∞
f (x) dx +
Z
0
∞
f (x) dx.
√1 ,
1−x
respec-
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Ninguna converge (utilizar la definición de convergencia).
7. Convergente. Usar segundo criterio con g(x) = e−x/2 .
8. Descomponer como las siguientes integrales impropias de primera especie:
Z
0
f (x) dx +
−∞
∞
Z
f (x) dx.
0
2
Ambas convergen. Usar segundo criterio con g(x) = −xe−x , para el primer sumando y segundo
2
criterio con g(x) = xe−x para el segundo sumando. (Es fácil demostrar por la definición que
R∞
−∞
g(x) dx converge.)
9. Convergente. Descomponer como las siguientes integrales impropias de segunda especie:
Z
0
1/2
f (x) dx +
Z
1
f (x) dx.
1/2
√
Usar en ambos casos segundo criterio y g(x) = 1/ x para el primer sumando y g(x) =
√1
1−x
para el segundo sumando.
10. Es convergente. Utilizar el segundo criterio con g(x) = 1/x2 .
11. No es convergente. Utilizar el segundo criterio con g(x) = x2 .
13. No es convergente. Utilizar el segundo criterio con g(x) =
1
.
x−1
14. No es convergente. Utilizar el segundo criterio con g(x) = 1/x.
15. No es convergente. Utilizar el segundo criterio con g(x) = 1/x2 .
16. Es absolutamente convergente (se demuestra usando el primer criterio y g(x) = 1/x5 ) y por
tanto es convergente.
17. Es absolutamente convergente (se demuestra usando el primer criterio y g(x) =
tanto es convergente.
18. No es convergente. Utilizar el segundo criterio con g(x) = 1/x.
19. No es convergente. Utilizar el segundo criterio con g(x) =
5.1.- 0.
2.- 0.
3.- ∞.
1
.
x−π/2
π/4
)
x7/2
y por