Mecánica. Curso 2009/10 (Final Enero) Teórico-Práctica nº1: Estática (5 puntos) El sistema de la figura está formado por una placa triangular de masa m, una placa cuadrada de masa 4m y una barra de masa m, con la disposición y dimensiones que se indican. La barra apoya en uno de sus extremos sobre la placa triangular mediante un contacto puntual, mientras que el otro extremo se encuentra articulado a la placa cuadrada. Sobre la barra, a una distancia de 1/3 de su longitud respecto del contacto con la placa triangular, se ejerce una fuerza puntual de módulo F desconocido. Si se sabe la placa triangular se encuentra en el instante de vuelco y que ambas placas tienen un rozamiento suficiente para evitar que deslicen, calcular: (a) Centro de masas de todo el conjunto respecto de un sistema de referencia en el vértice inferior izquierdo de la placa triangular. (b) Diagramas del sólido libre. (c) Módulo de la fuerza F aplicada sobre la barra. (d) Coeficiente de rozamiento mínimo compatible con el equilibrio de la placa cuadra. Teórico-Práctica nº2: Mecánica de la partícula (5 puntos) En un experimento se estudia una partícula y se determinan los siguientes datos de su movimiento G G G G (1) La proyección de la aceleración a en dirección del vector b = i + j es igual a 2 . G G G (2) El producto vectorial del vector b anterior por la aceleración b × a es igual al vector G G G G c = 2ti − 2tj + 2k . (3) En el instante t=1s está en la posición (3;1;-2/3). (4) En el instante inicial la velocidad tiene un módulo igual a 2 y perpendicular al plano YZ. Determínese: (a) Velocidad y aceleración de la partícula. (b) Ecuaciones horarias y trayectoria de la partícula. (c) Aceleración tangencial y normal de la partícula. (d) Espacio recorrido entre el instante inicial y posición (3;1;-2/3). Mecánica. Curso 2009/10 (Final Enero) Problema nº1: Movimiento Relativo (10 puntos) Se tiene el mecanismo de la figura compuesto por una guía circular fija al suelo de radio R, un pasador A que se mueve por la guía circular, una varilla AB unida rígidamente al pasador A y perpendicular a la guía circular y una masa puntual P que se mueve sobre la varilla AB. Se toman un sistema de referencia fijo XYZ y otro móvil xyz solidario a la varilla AP, según se muestra en la figura. Inicialmente los ejes Y del sistema fijo e y del sistema móvil están alineados, en la figura se ha representado girado un ángulo ϕ para visualizar mejor el movimiento. El pasador A inicialmente está en reposo y empieza a girar en sentido antihorario con una aceleración α = kt donde k es una contante positiva, girando en 3 segundos cuatro vueltas y media. La partícula en el instante inicial está en reposo sobre el pasador A y comienza a moverse con una aceleración respecto a la varilla de módulo 1 m/s2. Determínese para un instante cualquiera: a) Velocidad y aceleración angular del pasador A. b) Velocidad y aceleración absoluta del pasador A escrita en la base vectorial del observador fijo y móvil. G c) Vector AB que une el pasador A con la masa P y su derivada con respecto al tiempo para el observador móvil. f) Ecuaciones horarias de P para el observador móvil. d) Velocidad absoluta de P para la base vectorial fija. e) Aceleración absoluta de P para la base vectorial fija. Mecánica. Curso 2009/10 (Final Enero) Teórico-Práctica nº1: Cinemática del Sólido Rígido (5 puntos) Se tiene un disco 1 articulado al suelo en su centro A, de radio 2R que gira con velocidad angular ωA y aceleración angular αA, en sentido antihorario. Sobre este disco está articulado en B un disco 2 de radio R que gira con velocidad y aceleración angulares respecto al disco 1 en sentidos horarios ωB y αB, respectivamente. Ambos discos en el instante inicial parten del reposo, el instante inicial es el representado en la figura. Del movimiento se saben los siguientes datos: 1) El disco 1 tiene una aceleración angular αA=k1t donde k1 es una constante y en 1 s gira media vuelta. 2) El disco 2 tiene una aceleración angular αB=k2 donde k2 es una constante y en 3 s alcanza una velocidad angular de módulo ωB=π/3 rad/s. Determínese si el instante de la figura representa la posición inicial: (a) Constantes k1 y k2. Dibujar la posición de los discos en el instante t=1 s. (b) La ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el instante cuando ha transcurrido 1 segundo. Teórico-Práctica nº2: Sistema de partículas (5 puntos) El sistema de la figura está formado por una varilla en forma de escuadra articulada al suelo en O con dos masas puntuales de masa m en los puntos A y B. El segmento OA de la escuadra se halla unido con el suelo a través de un pasador y un muelle de constante de rigidez k. De este modo, cuando la escuadra gira, el muelle se mantiene siempre en posición vertical. Calcular la ecuación diferencial en términos de la variable ϕ que rige el movimiento de la escuadra usando el sistema de referencia indicado. Nota: El muelle se encuentra en su posición natural cuando ϕ=0 (varilla OA en posición horizontal). En otras palabras, si ϕ>0, el muelle realiza una fuerza para recuperar esta posición. Mecánica. Curso 2009/10 (Final Enero) Problema nº1: Mecánica del Sólido Rígido (10 puntos) Se tiene una máquina compuesta por un cuadrilátero ABCD articulado al suelo por su vértice A, de lado L que está formado con un alambre de diámetro despreciable y densidad ρ=m/L. En los vértices B, C y D se acoplan unas masas puntuales cada una de masa igual a 2m. La máquina está accionada por un motor que la hace girar en sentido antihorario con velocidad y aceleración angular ω y α. Determinar en el instante de la figura: (a) Tensor de inercia en el punto A. (c) Momento cinético en el punto A. (d) Par T y potencia P del motor para realizar este movimiento. (e) Posición y aceleración del centro de masas. (f) Reacciones en el apoyo A.