Modelo de Harrod-Domar - Página Web de Domingo Israel Cruz Báez

Análisis Dinámico en Economía y Empresa
Sara Báez Ávila
Susana Santana González
ÍNDICE
 Reseña Histórica
 Hipótesis Teóricas-Económicas del Modelo
 Formulación Matemática del Modelo
 Resolución del Modelo
 Caso Mauritania
 Caso Estados Unidos
 Estudio de la Convergencia entre Mauritania y Estados Unidos
 Conclusiones
 Bibliografía
Reseña Histórica:
Roy Forbes Harrod
Economista británico. Seguidor de John Maynard Keynes, estudió las
condiciones del crecimiento armonioso en una economía capitalista y los posibles
factores que condicionan su inestabilidad. Harrod estudió la carrera universitaria en las
dos universidades más prestigiosas del país, en Oxford y Cambridge. Fue uno de los
discípulos más aventajados del famoso economista Keynes. En el año 1922, recién
licenciado, comenzó a impartir clases en el Christ Church de Oxford, donde permaneció
hasta 1967. Su actividad docente tan sólo se vio interrumpida por la Segunda Guerra
Mundial, en la que sirvió a su país como consejero personal del primer ministro
Winston Churchill.
Nombrado, entre los años 1945 a 1961, director adjunto del Economic Journal,
en el año 1948 publicó su primera obra de relieve, Towards a Dynamic Economics
(Hacia una economía dinámica), en la que afirmó, siguiendo la teoría keynesiana, que la
cuestión decisiva en el crecimiento económico de un país estribaba en la tasa de
aumento del producto nacional, necesario para garantizar el uso pleno de una cantidad
de capital siempre creciente.
En 1952 fue nombrado asesor del Fondo Monetario Internacional. Desde este
puesto, Harrod siguió haciendo notables aportaciones teóricas sobre comercio
internacional, los problemas de la liquidez internacional, los problemas de crecimiento
económico superando las condiciones del equilibrio estacionario y los ciclos
económicos; para ello se basó en esquemas del tipo de "principio de aceleración".
En relación a este último punto y teniendo en cuenta la función que realiza el
progreso técnico, Harrod elaboró un modelo económico, quizá el más célebre de todos
los modelos de crecimiento, que expuso en su artículo Essay in Dinamic Theory. De una
manera totalmente independiente, el estadounidense Ensey David Domar hizo el mismo
hallazgo en el año 1946, por lo que el modelo económico fue bautizado con el nombre
de Harrod-Domar.
Evsey David Domar
Economista estadounidense de origen polaco. Representante de la escuela
keynesiana, fue responsable del célebre modelo Harrod-Domar de crecimiento
económico, así como de diversos trabajos en historia económica.
Pasó su juventud en Manchuria y China, hasta que en 1936 emigró a los Estados
Unidos. Ingresó en la Universidad de Berkeley (California), donde se licenció en 1939,
y posteriormente pasó a la Universidad de Michigan en la que obtuvo el doctorado en
Estadística Matemática en 1941. En 1943 se licenció en Ciencias Económicas por la
Universidad de Harvard, materia en la que se doctoró en 1947 en ese mismo centro.
Entre 1943 y 1946 fue asesor económico del Consejo de Gobernadores de la Reserva
Federal, y al año siguiente profesor ayudante de Economía en el Instituto Carnegie de
Tecnología.
En 1946 contrajo matrimonio con Carola Rosenthal, con quien tuvo dos hijos.
Sus primeros trabajos trataron acerca del déficit público y su influencia sobre el
crecimiento económico, así como en las cuestiones del pleno empleo y la acumulación
de capital. En 1946 desarrolló, paralelamente a Roy F. Harrod, un modelo de
crecimiento basado en las tesis keynesianas sobre el papel ejercido por la demanda.
En 1958 fue nombrado profesor de Economía en el Instituto de Tecnología de
Massachusetts, centro en donde permaneció hasta su jubilación en 1984. Fue asesor
económico de varios organismos. Sus obras más destacadas fueron Expansión y Empleo
(1947), Acumulación de Capital y Fin de la Prosperidad (1949), Ensayos sobre Teoría
del Crecimiento Económico y Capitalismo (1957), La Granja Colectiva Soviética como
productor Cooperativo (1966), Las causas de la Esclavitud: una hipótesis (1970) y
Capitalismo,Socialismo y Servidumbre (1989).
El modelo Harrod-Domar expresa las condiciones que debe tener una economía
capitalista o de mercado para generar el volumen de demanda global necesario para
permitir el desarrollo sostenido y equilibrado. Sin abandonar nunca el sistema
keynesiano, este modelo considera la capacidad productiva como una variable a lo largo
del tiempo. Para garantizar el equilibrio a largo plazo no basta con el volumen de
ahorro, sino que es preciso que en todo momento se dé una total utilización de la
capacidad productiva, incrementada a través de las nuevas inversiones.
Principales Contribuciones al Crecimiento del Tercer Mundo:
El pionero de la doctrina de las etapas de crecimiento económico fue W. W.
Rostow, él establecía que cada sociedad, de acuerdo a su dimensión económica, debería
ser considerada dentro de alguna de las siguientes "etapas": la sociedad tradicional; las
condiciones previas para el despegue hacia el crecimiento autosostenido; el despegue; el
camino hacia la madurez; y la era del consumo masivo. Con esto se argumentaba que
los países subdesarrollados que se encontraran en la primera o segunda etapa
alcanzarían un nivel de crecimiento autosostenido siempre que siguieran un conjunto de
reglas; dentro de las que resaltaba, principalmente, el fomento del ahorro interno y
externo en forma tal que con ese ahorro se proporcionaran los recursos necesarios para
mantener un nivel de inversión suficiente con el que se generara crecimiento.
Luego de la doctrina de Rostow surge una teoría del crecimiento fundamentada en las
ideas del británico John Maynard Keynes. Dicha teoría sentó las bases del crecimiento
económico de la postguerra en los países industrializados y enfatiza en un equilibrio
económico a largo plazo. Los encargados de su elaboración fueron Evsey Domar y Roy
Harrod.
Harrod y Domar se preocuparon por averiguar cuan capaz sería una economía de crecer
en estado estable. Dicho estado se refiere a un período en que la producción y el empleo
crecen de una forma proporcional y constante, así como el ahorro y la inversión capaces
de generar la existencias de capital suficientes para mantener la relación capitalproducto
fija.
Dentro del modelo Harrod-Domar se distingue la producción de una única mercancía
compuesta que puede consumirse, o acumular como existencias de capital; además, la
oferta de trabajo es homogénea. Este modelo toma en cuenta los siguientes supuestos:
1.
La población y la mano de obra crecen a una tasa proporcional constante (n) y
además son determinadas exógenamente.
2.
La proporción de ahorro neto (s) e inversión neta con respecto al producto neto
es invariable o fija.
3.
No hay cambio tecnológico. La tecnología está representada por coeficientes
fijos que son: la fuerza de trabajo necesaria para cada unidad de producción, y la
relación capital / producto (nivel de capital necesario para cada unidad de
producción, v).
Harrod y Domar establecen que estos supuestos son válidos en la descripción de
"economías en crecimiento" si y sólo si el ahorro es igual al producto de la relación
capital / producto por la tasa de crecimiento de la población y de la mano de obra, o sea
s = vn. Si una economía logra esto, entonces, habrá llegado al estado estable.
La ecuación de crecimiento de Harrod-Domar refleja que la tasa de cambio del PNB
está determinada por la razón del ahorro nacional y la relación capital/producto, así:
PNB = F(s, v), de esta manera se establece que lo único que las economías necesitan,
para crecer rápidamente, es aplicar una política económica orientada a ahorrar e invertir
(productivamente)
más.
Tanto la teoría de las etapas de crecimiento de Rostow como el modelo Harrod-Domar
pasaron a ser tan sólo una herramienta intelectual con respecto a los países
subdesarrollados, ya que el deseo de querer implantar un "nuevo Plan Marshall" a
dichas economías (a las que se transferían enormes cantidades de capital) no
funcionaría, pues a diferencia de los países europeos después de la segunda guerra
mundial, los países subdesarrollados no contaban con las condiciones necesarias para
que la ayuda que se les proporcionara se tradujera en crecimiento y mucho menos en
desarrollo. Además, de esto se deduce que el ahorro y la inversión son características
necesarias
del
crecimiento,
pero
no
suficientes.
Con los modelos neoclásicos de cambio estructural se superan algunos de los problemas
de las teorías del crecimiento por etapas. La teoría del cambio estructural centra su
análisis en la manera en la que los países subdesarrollados, (que poseen estructuras
económicas de subsistencia) modifican su estructura para convertirse en sociedades más
modernas y complejas que dan mayor importancia al rol de la industria y de los
servicios dentro de su economía.
Hipótesis del Modelo:
Desde un punto de vista económico, las hipótesis de Harrod son esencialmente
diferentes a las de Domar.
En el de Harrod, aparece una clara hipótesis de comportamiento referente a las
decisiones de inversión de los empresarios que da lugar a una función de inversión.
1. El ahorro depende del ingreso.
2. La inversión depende del ingreso.
3. En consecuencia, todo ahorro se invierte.
En el modelo de Domar por el contrario no hay función de inversión (en el sentido
de relación de comportamiento), pues su problema es diferente: lo que el quiere es
determinar la tasa a la cual la inversión debe de crecer para que no haya capacidad
ociosa, y no introduce función de inversión alguna para explicar cómo ésta puede en
realidad crecer a esa tasa.
1. La inversión incrementa la capacidad productiva.
2. La capacidad productiva, incrementa a su vez la producción potencial.
3. Dicha producción debe ser absorbida por un incremento de la demanda agregada
(consumo más inversión).
Formulación Matemática del Modelo:
Planteamiento según Harrod:
-El ahorro viene dado por: St = sYt-1
-La inversión adopta la forma: It = k (Yt – Yt-1)
-El equilibrio se consigue igualando el ahorro a la inversión, por lo tanto:
sYt-1 =
k (Yt – Yt-1)
de donde,
kYt
y por tanto
– (k+s) Yt-1 = 0
Yt – [(k+s)/k] Yt-1 = 0
- La solución de esta ecuación homogénea es:
Yt = A [(k+s)/k]t = A [(1 + (s/k))]t
* Nota:
· Propensión marginal (y media) a ahorrar “s”
· Coeficiente de aceleración “k”
· Renta nacional “Y”
· Valor inicial de la renta “A”
· Tasa de crecimiento constante “s/k” (A ésta, Harrod la denomina tasa de crecimiento
garantizada y es tal que, si la renta crece a ese ritmo, asegura la continua igualdad a lo
largo del tiempo entre el ahorro y la inversión, es decir, que permite alcanzar un
equilibrio dinámico. Se caracteriza por ser inestable).
- Equilibrio dinámico:
St = sYt-1 = sA [(k+s)/k]t-1 ,
It = k (Yt – Yt-1) = k [A ((k+s)/k)t – A((k+s)/k)t-1]
La ecuación de la inversión puede ser transformada del siguiente modo
It = k A((k+s)/k)t-1 [((k+s)/k)-1] = k A((k+s)/k)t-1[s/k]
De modo que
It = [(k+s)/k]t-1
es igual a la expresión de St , puesto que hemos obtenido Yt
como función del tiempo, imponiendo la condición de que It = St .
Planteamiento según Domar:
- La capacidad productiva viene dada por:
P´ =  I
- En equilibrio, un aumento en la producción es igual a un aumento en la demanda
agregada:
(1) Y´ = C´ + I´
(2) Y´ = ( 1-s)Y´ + I´
(3) Y´ = ( 1/s)I´
- El incremento en la producción potencial deberá ser igual al de la producción real, es
decir
Y´ = P´
- De acuerdo con lo expuesto anteriormente, observamos
I(t) =  sI
la cual expresa la relación que debe cumplir la inversión
para que la capacidad productiva esté totalmente utilizada en el tiempo, cuya solución es
I(t) = I0e s  t
- Si la inversión crece a “  s”, la producción aumentará en la misma proporción,
integrando con respecto al tiempo los dos miembros (Y´, I(t) ), tenemos
sY = I + A
sY = I0e s  t + A
es decir,
Y = (1/s) I0es  t + (A/s)
- Suponiendo que partimos de una situación de equilibrio, tendremos que tener sY0 = I0
de modo que, Y0 = (1/s) I0
y, consecuentemente, A debería ser cero. En estas
condiciones
Y(t) = Y0e s  t
Y por tanto también Y crecerá a la tasa  s .Por consiguiente, la renta crece a un ritmo
que es el mismo que se obtiene en el modelo de Harrod (  s = s/k).
*Nota:
· Producción Potencial “P (t)”
· Producción (Renta) Efectiva “Y”
· Productividad Potencial Social Media de la Inversión “  ”
· Inversión “I”
· Incremento de Volumen de Capital “k”
· Tasa Constante (proporcional) “s  ”
· Constante Arbitraria “A”
Resolución del Modelo (Caso Mauritania)
Año Producto Interno Bruto (PIB) per capita (US$)
2000
1910
2001
2000
2002
1800
2003
1900
2004
1800
2005
1800
2006
2200
2007
2600
2008
1800
*Según Harrod:
RSolve
k
y t
k
y t
s
k
s
y t
1
0, y t , t
1 t
C 1
k
Supongamos que la propensión (marginal y media) al ahorro
es
0.2
“s”,
el
coeficiente
de
aceleración
“k”
es
entonces:
k=2
s=0.2
RSolve
y t
k
s
k
y t
1
0, y 0
1800 , y t , t
2,
*Según Domar:
=0.5
s=0.2
DSolve[{y'[t] *s*y[t],y[0]1800},y[t],t]
y t
y t_
1800
1800
1800
0.1 t
0.1` t
0.1 t
m=Table[y[t], {t,0,20}]
{1800,1989.31,2198.52,2429.75,2685.28,2967.7,3279.81,362
4.75,4005.97,4427.29,4892.91,5407.5,5976.21,6604.73,7299
.36,8067.04,8915.46,9853.11,10889.4,12034.6,13300.3}
ListPlot[m,PlotJoinedTrue,PlotStyleHue[0.8]]
12000
10000
8000
6000
4000
2000
5
10
15
20
Resolución del Modelo (Caso Estados Unidos)
Año Producto Interno Bruto (PIB) per capita (US$)
2000
33900
2001
36200
2002
36300
2003
37600
2004
37800
2005
40100
2006
41600
2007
44000
2008
46000
*Según Harrod:
k=2
s=0.2
RSolve
y t
y t_
k
y t
s
k
y t
1
0, y 0
13860 , y t , t
13860. 1.1t
t
13860.` 1.1`
13860. 1.1t
m=Table[y[t], {t,0,20}]
{13860.,15246.,16770.6,18447.7,20292.4,22321.7,24553.8,2
7009.2,29710.1,32681.2,35949.3,39544.2,43498.6,47848.5,5
2633.3,57896.7,63686.3,70055.,77060.5,84766.5,93243.1}
ListPlot[m,PlotJoinedTrue,PlotStyleHue[0.4]]
80000
60000
40000
20000
5
*Según Domar:
10
15
20
=0.5
s=0.2
DSolve[{y'[t] *s*y[t],y[0]13860},y[t],t]
y t
13860
y t_
13860
0.1 t
13860
0.1` t
0.1 t
m=Table[y[t], {t,0,20}]
{13860,15317.7,16928.6,18709.,20676.7,22851.3,25254.6,27
910.6,30846.,34090.1,37675.4,41637.7,46016.8,50856.5,562
05.1,62116.2,68649.,75868.9,83848.1,92666.5,102412.}
ListPlot[m,PlotJoinedTrue,PlotStyleHue[0.6]]
100000
80000
60000
40000
20000
5
Al
10
15
20
aplicar el modelo de Harrod y Domar a los casos de Mauritania, en
referencia a un país subdesarrollado, y Estados Unidos, en representación de los países
desarrollados, observamos en ambos casos el crecimiento continuo de la renta a lo largo
del tiempo.
Estudio de la Convergencia entre Mauritania y
Estados Unidos:
*Mauritania:
m={{0,1910},{1,2000},{2,1800},{3,1900},{4,1800},{5,1800},
{6,2200},{7,2600},{8,1800}}
{{0,1910},{1,2000},{2,1800},{3,1900},{4,1800},{5,1800},{6
,2200},{7,2600},{8,1800}}
g1=ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.4]]
2600
2400
2200
2000
2
4
6
8
En esta gráfica podemos observar que la renta es oscilante en el tiempo.
*Estados Unidos:
m={{0,9255},{1,9963},{2,10082},{3,10400},{4,10990},{5,117
50},{6,12310},{7,13130},{8,13860}}
{{0,9255},{1,9963},{2,10082},{3,10400},{4,10990},{5,11750
},{6,12310},{7,13130},{8,13860}}
g2=ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.10]]
13000
12000
11000
10000
2
4
6
8
*Mauritania y Estados Unidos:
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
2
4
6
8
Esta gráfica muestra la no convergencia entre Mauritania y Estados Unidos,
dado la gran diferencia de los niveles de renta de dichos países. Además, podemos
observar el continuo crecimiento de Estados Unidos (naranja), a diferencia del
estancamiento que presenta Mauritania (verde).
Conclusiones:
El sistema económico no puede avanzar a una velocidad mayor que la que la
tasa natural permite. Si la tasa de crecimiento posible fuera superior a la tasa natural se
produciría una tendencia crónica a la depresión, por el mecanismo explicado
previamente. Por esto, cuando la tasa permitida empieza a exceder la tasa natural,
aquella debe ser reducida. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si la tasa de ahorro es muy
elevada lo que podría hacer pensar que es beneficioso para el crecimiento de la
economía, cuando podría producir un resultado exactamente opuesto al deseado. Como
conclusión, podríamos decir que la tasa de crecimiento permitida no puede superar a la
tasa natural, sino que debería ser igual.
Bibliografía:
* Métodos y Modelos Matemáticos de la Dinámica Económica (Giancarlo
Gandolfo).
*Análisis Discreto en Economía y Empresa
Concepción, Javier A. Barrios García).
* www.indexmundi.com
(Concepción González