Ajuste de funciones. Método de mínimos cuadrados

AJUSTE DE FUNCIONES, (MÉTODO DE MINIMOS CUADRADOS).
INTRODUCCIÓN
Cuando se trata de aproximación polinomial se establecen los métodos de interpolación de Newton y La
Grange. Para encontrar la ecuación de la cuna que contiene a todos y cada uno de los n puntos que definen a
una fusión tabular dada, como la que se presenta en la tabla siguiente y que se representa con todos los puntos
de la figura también siguiente. Esta ecuación resulta ser algebraica de grado (n−1). r
,.j−0.
Obsérvese que en la tabla aparecen n puntos y que en la figura curva continua representa la aproximación
polinomial de estos; es decir, la representación geométrica de los métodos de
interpolación. Ahora se trata de encontrar la ecuación de una curva que, aunque no pase por todos los puntos,
tenga pocas variaciones (sea suave, como la curva de los trazos de la figura anterior). y pase lo mas ceca
posible de todos. Generalmente" lo mas cerca posible se obtiene imponiendo el criterio de los mínimos
cuadrados. Antes de aplicar este criterio, debe de escogerse la forma de curva más suave que se va a ajustar al
conjunto de puntos dados. La ecuación de esa curva puede obtenerse por conocimiento previo del problema,
es decir, o la interpretación física del fenómeno, o en forma arbitraria observando que ecuación conocida
describe aproximadamente a esta curva. En lo que sigue, la curva que se va a ajustar, es la gráfica de un
polinomio de grado conocido m.
METODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Dada la función tabular definida por la tabla anterior se trata de obtener los valores de los coeficientes de la
función:
Y=F(x)=ao+a1X+a2X2+a3X3+ amxn−1........(1)
Cuya gráfica es una curva que se acerca a la mayoría de los puntos (curva de trazos de la figura anterior).
Se llama residuos a la diferencia de ordenadas de la curva para x=xi menos la del punto xi, yi representado por
Ri a este residuo, se tiene Ri=f(xi)−yi..t2),es decir:
Ri= a0+a1X+a2X2+a3X3+.....amxn−yi ........ (3) ,donde i=1 ,2,3,..n.
El método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los valores de los parámetros a0,a1 ,a2,a3,.....am;
de manera que haga mínima la suma de Ios cuadrados de los residuos.Esta suma vale Re=( o+Xj+Xi+Xi+...
+mXi−Yi)...... (4)
Se tiene el mínimo de esta igualdad a cero sus primeras derivadas parciales con .
respecto a todo y cada uno de sus parámetros .Derivando con respecto a ai, donde
j=0,1,2,3,...m; se obtiene :
Ri= (a0+a1X+ a2X2+a3X3+.....amxn−yi )2............ (4)
Ri = 2(a0+a1X+ a2X2+a3X3+.....amxn−yi ) Xi
1
igualando con cero esta derivada a:
a0+a1Xj+1+ a2Xj+2+a3Xj+3+.....amxyi+m ............ (5)
Finalmente, considerando j=0,1,.2,3,....,m; se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales.
na0+a1X+a2X2+a3X3+.....+amxm = y
a0x+a1X2+a2X3+a3X4+.....+amxm = xy
a0X2+a1X3+a2X4+a3X5+.....+amxm = x2y
a0X3+a1X4+a2X5+a3X6+.....+amxm = x3y
a0Xm+ a1Xm+1+a2Xm+2+ a3Xm+3 +..+amxm = xmy.......... (6)
en donde, por simplicidad se ha omitido los índices de X y Y, y los limites de las sumatorias , pero debe de
entenderse que estas son sobre todo los valores de X y Y dados la tabla inicial.
Problema 1.−Encontrar la mejor recta que se ajuste a Ias puntos de la siguiente tabla:
X01234567
Y24365798
Y=F(X)=ao+a1X
nao+a1X=Y
aoy+a1X2 = XY
8ao+28 a1 =44
28ao+140a1=193
método de gauss −jordan
8 28 44 1 3.5 5.5 1 0 2.249
28 140 193 0 42 34 0 1 0.929
R1 − R1/8 R2 − R2/42
R2 − R2(−28)R1 R1 − (−35)R2+R1
ao= 2.249
a1= 0.929 ,por lo tanto Y=F(x)= 2.249+.929X
SUMA
X 0 1 2 3 4 5 6 7 25
2
Y 2 4 3 6 5 7 9 8 44
X2 0 1 4 9 16 25 36 49 140
Y2 0 4 6 18 20 35 54 56 193
Por regla de cramer se tiene que:
Y=F(X)= 2.250+ .929X
Sustituyendo se tiene que para :
X=0
Y=F(X)= 2.250+ .929(0)=2.250
X=1
Y=F(X)= 2.250+ .929(1)=3.179
X=2
Y=F(X)= 2.250+ .929(2)=4.108
X=3
Y=F(X)= 2.250+ .929(3)=5.037
X=4
Y=F(X)= 2.250+ .929(4)=5.966
X=5
Y=F(X)= 2.250+ .929(5)=6.895
X=6
Y=F(X)= 2.250+ .929(6)=7.824
X=7
Y=F(X)= 2.250+ .929(7)=8.753
Problema 2.− Número de graduados en una escuela durante un periodo de 5 años es el siguiente:
Año: 1 2 3 4 5
Numero: 260 400 420 490 650
a) Encontrar las ecuaciones algebraicas de primero, segundo y tercer grado que mejor se ajusten a los datos.
3
b) Si:
pc2/cn−m−1)
Es una medida del grado de aproximación ¿cual de las tres ecuaciones se aproxima mas a los datos?
c) Grafique los puntos y las curvas de las tres aproximaciones obtenidas en a).
a) Para el primer grado se tiene la forma general siguiente:
y = f (x) = a0 a1x
*la cual genera el siguiente sistema de ecuaciones.
na0 + a1 x = y
a0 x + a1 x2 =xy
b) Para el segundo grado se tiene:
y=f (x) = a0 + a1x+ a2x2
*la cual genera el siguiente sistema de ecuaciones:
na0 + a1 x+ a2x2= y
a0 x + a1 x2+ a2x3= y
a0 x2 + a1 x3+ a2x4= x2y
C) Para el tercer grado se tiene lo siguiente:
f=(x)= a0 +a1x + a2 x2+a3x3
* y su sistema de ecuaciones será:
na0 + a1 x+ a2x2 a3x3 = y
a0 x + a1 x2+ a2x3 a3x4 = xy
4
a0 x2 + a1 x3+ a2x4 +a3x5 = x2y
a0 x3 + a1 x4+ a2x5 +a3x6 = x3y
Lo cual genera la función tabular ampliada siguiente:
X y x2 x3 x4 x5 x6 xy x2y x3y
1 260 1 1 1 1 1 260 260 260
2 400 4 8 16 32 64 800 1600 3200
3 420 9 27 81 243 729 1260 3780 11340
4 490 16 64 256 1024 1960 1960 7840 31360
5 650 25 125 625 3125 15625 3250 16250 81250
15 2,220 55 225 979 4425 20515 7530 29730 127410
Sustituyendo los valores de la tabla en el sistema de ecuaciones de primer grado se tiene:
5a0 +15a1=2220
15a0 +55a1=7530
Utilizando el método de eliminación completa de Gauss− Jordan se tiene:
5 15 220 1 3 444
15 55 7530 0 10 870
1 0 183
0 1 87
ao= 183
a1=87
Y=f (x)=183+87x Ecuación de primer grado.
Para la obtención de la ecuación de segundo grado se tiene:
5ao+ 15 a1+ 55a2=2,220
15 ao+ 55 a1+ 255 a2=27,530
55 ao+ 255 a1+ 979 a2=29,730
El método de Gauss Jordan .
5
5 15 55 2220 1 3 11 444
15 55 225 7530 0 10 60 870
55 225 979 29930 0 60 374 5310
R1/5; R2− 15R1:R3−55R1 R2/10; R1− 3R2:R3−60R2
1 0 −7 183 1 0 0 228,603
0 1 6 87 0 1 0 48,426
0 0 14 90 0 0 1 6,429
R/14; R1+ 7R3:R2−6R3
ao =228,003
a1=48.426
a2=6.429 : .Y=f (x)=228.003+48.426x+6:429
Para la obtención de la ecuación de tercer grado, se obtiene.
5 ao+ 15 a1+ 55 a2 +225 a3 =2,220
15 ao+ 55 a1+ 225 a2 +979 a3 =7,530
55 ao+ 225 a1+ 979 a2+4.425 a3 =29J730
225 ao+ 979 a1+ 4.425 a2 +20.515 a3 =127410
Utilizando el método de Gauss− Jordan, se tiene:
5 15 55 225 2220 1 3 11 45 444
15 55 225 979 7530 0 10 60 304 870
55 225 979 4425 29930 0 60 374 1950 5310
22 5 979 4425 20515 127410 0 304 1950 10390 27510
R1/5; R2− 15R1 R3−55R1; R4−225R1 R2/10; R1− 3R2:~−60R2 :R4−304R2
• 0 −7 −46.2 183 1 0 0 16.8 228,603
0 1 6 30.8 87 0 1 0 −23.6 48!426
0 0 14 126 90 0 0 1 9 6,429
0 0 126 1148.4 1062 0 0 0 14.4 251,946
6
R314; R1+ 7R3' :R2−6R3: R4−.,126R3 R4/14.4; R1'f1'78" R4:R2+23.6 R4:R3− 9R4
1 0 0 −65.930 55
0 1 0 461.332
0 0 0 −151.0355
0 0 1 −17.496
a0 =65.930
a1=461.332
a2=151.035
a2;;: 1 7.496
:. Y=f (x)=−65.930+461.332x−151.035~ +17.496x2
Sustituyendo en la ecuación de primer grado se tiene:
Para X=1 Para X=3
Y=f(x)=183+87(1)=270 Y=f(x)=183+87(3)=444
Para X=2 Para X= 4
Y=f(x)=183+87(2)=357 Y=f(x)=183+87(4)=531
Para X=5
Y=f(x)=183+87(5)=618
Sustituyendo para la ecuación de segundo grado se tiene:
Para X=1
Y=f (x)=228.003+48.426(1)+6.429(1)2 =282.858
Para X=2
Y=f (x)=228.003+48.426(2)+6.429(2)2 =350.571
Para X=3
Y=f (x)=228.003+48.426(3)+6.429(3)2 =431.142
Para X=4
Y=f (x)=228.003+48.426(4)+6.429(4)2 =524.571
7
Para X=5
Y=f (x)=228.003+48.426(5)+6.429(5)2 =630.858
Sustituyendo para la ecuación de tercer grado se tiene:
Para X=1
Y=f (x)=65.930+401.332(1 )−151.035(1 )2 +17.496(1 )3=261.863
Para X=2
Y=f (x)=65.930+401.332(2)−151.035(2)2 +17.496(2)3=392.562
Para X=3
Y=f (x)=65.930+401.332(3)−151.035(3)2 +17.496(3)3=431.143
Para X=4
Y=f (x)=65. 930+401.332(4)−151.035(4)2 +17.496(4)3=482.582
Para X=5
Y = f (x)=65.930+401.332(5)−151.035(5)2 +17.496(5)3=651.855
Como el grado de aproximación esta determinado por ER1/(n−m−1)
Donde: R1 =diferencia de ordenadas o residuos y:
R1 =f(x1) −Y1
f(x1)=EI valor de ordenada de la curva suave.
Año #de egresados ec.de1er grado ec.de2° grado ec.de 3° grado
Xyyyy
1 260 270 282.858 261.863
2 400 357 350.571 392.562
3 420 444 431.142 431.143
4 490 531 524.571 482.582
5 650 618 630.858 651.855
Si : R=f(x1)−y1 (valor de la ordenada de la curva a tratar).
yi= Valor de la ordenada de la función tabular.
8
n=N° de pares ordenados (puntos) de la función tabular.
M= Grado de la ecuación
9
:. Se observa a través de los resultados obtenidos que la ecuación con mayor grado de aproximación es la del
tercer grado, ya que hace mínima la diferencia entre los cuadrados de las diferencias de sus ordenadas con las
de función tabular.
C) Aplicando el método de los mínimos cuadrados obtener las expresiones que permitan valuar los parámetros
de la curva de ecuación y=a+bx+c/x que mejor se ajusta al conjunto de n
A puntos dados (x1,y,) para ajustar a los puntos:
.X −2 −1 1 2 4
Y −6 −5 9 10 15
10
11
12
13
14