Matemáticas Álgebra Lineal Si V={ P(x) / P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn , ai ∈ R }.Demostrar que V es un espacio vectorial sobre el campo de los R y calcular la dim(V). Sean α,β ∈ R , f(x),p(x),g(x) ∈ P(x) i) condicion cerradura P.D. f(x)+g(x) ∈ P(x) f(x)+g(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) = (a0+b0)+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn) ∈ P(x) P.D αp(x)∈ P(x) αp(x)= α ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)= αa0+αa1x+αa2x2+…+αanxn ∈ P(x) ∴la suma y la multiplicación por escalar son cerrados ii) condición Asociativa. P.D. f(x) + [g(x) + p(x)] = [f(x) + g(x)] + p(x) f(x) + [g(x) + p(x)]= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + [(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)] = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn +[ (b0 + c0) + (b1x + c1x)+…..+ ( (bnxn + cnxn)] = (a0 + (b0 + c0)) + (a1x + (b1x + c1x))+…..+ (anxn + (bnxn + cnxn)) = ((a0+b0)+c0)+((a1x + b1x)+c1x)……+(anxn + bnxn)+cnxn) =[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] +(c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn) = [f(x) + g(x)] + p(x) ∴ se cumple la condición iii) Elemento neutro ∃! e ∈ P(x) ∩ ∀ a ∈ P(x) , e(x) + p(x) = p(x) + e(x) = p(x) sea e(x) = 0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn e(x) + p(x) = (0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) = (0+a0) + (0x + a1x )+…..+(0xn + anxn) = (a0 + 0) + (a1x + 0x)+….+(anxn + 0xn) = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x) ∴se cumple iv) Elemento inverso ∀ p(x) ∈ P(x) ∃! p(x)-1 ∈ P(x)∩ p(x) + p(x)-1 = e(x) sea p(x)-1 = (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+(-an )xn p(x) + p(x)-1 = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+ (-an )xn = (a0 – a0) + (a1x - a1x)+…..+(anxn – anxn) = 0+0x+….+0xn = e(x) ∴se cumple v) P.D. (α+β) p(x) = αp(x) + βp(x) (α+β) p(x) = (α+β) (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) = [(α+β)a0 + (α+β)a1x+…+ (α+β)anx2] =[αa0+βa0 + αa1x+βa1x+….+ αanxn+βanxn] = [α(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )+β (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )] = αp(x) + βp(x) ∴se cumple vi) P.D. α(βp(x)) = (αβ)p(x) α(βp(x)) = α[β (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)] = α(βa0 )+ α(βa1x)+…+ α(βanxn) = (αβ)a0 + (αβ) a1x +…..+ (αβ)anxn =(αβ)(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) =( αβ)p(x) ∴se cumple vii) P.D. α[p(x) + f(x)] = αp(x) + αf(x) α[p(x) + f(x)] = α[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] =α[(a0+b0) )+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn)] =αa0 + αb0 + αa1x + αb1x+….+αanxn + αbnxn =α (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + α(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) =α p(x) + αf(x) ∴ se cumple viii) ∀ x ∈ P(x) , 1*p(x) = p(x) 1*p(x)= 1*(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) =1*a0+1*a1x+1*a2x2+1*a3x3+......+1*anxn = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x) ∴se cumple ix) Suma Conmutativa f(x) + g(x) = g(x) + f(x) f(x) + g(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) =((a0+b0)+((a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn)) =((b0+a0)+((b1x + a1x)+……+(bnxn + anxn) =(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = g(x) + f(x) ⇒ como se cumplen las nueve propiedades ∴P(x) es un espacio vectorial la dimensión de un espacio vectorial es el numero de vectores de una base del espacio vectorial. P(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = [ a0 a1………..an] ∴dim(V)=n Dado W ={P(x) / grado P(x)≤}, verificar que {α1 α2 α3} es una base de W donde : α1 =-3x , α2 = 1+x2 , α3 =x2-5 ¿Es generador? Sean β1 ,β2 ,β3 ∈ R y a0 + a1x + a2x2 ∈ P(x) a0 +a1x + a2x2 = β1 (-3x) + β2 ( 1+x2) + β3 (x2-5) β2 - 5β = a0 -3,β1 =a1 β2 + β3 =a2 ∴si es generador es linealmente independiente? (a0,a1,a2) = (0,0,0) ⇒ ∴α1 = α2 = α3= 0 ∴ es una base para P(x) Demostrar que si {v1, v2,.......,vn} es base de V y si U1 = v1 U2 = v1 + v2 . . un = v1 + v2 +.......+ vn entonses {u, u,.......,un} es base de V Si V= { p(c) / grado p(x) ≤ 4 } y si A = { p(x) ∈ V/ p(4) =p(2) =0}, demostrar que A es un sub espacio de V • • ¿ 0 ∈ A? Si ¿ α(x+y) ∈ A ? sea α ∈ R, x,y ∈ A α[(a0 + a3 x3 + a4x4) + (a5 + a8 x3 + a9x4)] = α[(a0 + a5) + (a3 + a8 )x3 + (a4 + a9 )x4] ∈ A ∴ A es un subespacio de P(x) http://www.loseskakeados.com