MATEMÁTICA 1 “Hermana de la salud es la alegría” n b = r JRC rn = b ⇔ ” el símbolo, “b” el radicando o cantidad subradical y “r” la raíz. Donde: “n” es el índice, “ PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES. REPRESENTACIÓN una raíz ) n a Raíz de un cociente n a = b n n Raíz de otra raíz. Raíz de un producto DO a Si el = .M UN racional m n radicando es a =b el radicando es a m W el radicando = 8 3 −8 −2 = 3 27 8 5 4 0,25 = 0,5 4 2 = 22 = 4 1 = 64 6 6 6 1 1 = 2 64 4• 1 1 2 = 2• = 9 3 3 = 4 85 por que: (0,5)2 = 0,25 −1 1 ≠− , 16 4 2 porque es positivo negativo y el índice impar 1 = 9 (b)2 = a W W Si 4• −a c ≠− , b d negativo y el índice es par a por que: positivo y el índice par Si n 3 =2 4 1 = 64 3 a.b = n a .n b n Potencia de exponente a = m.n −8 = 27 2 GE m n 3 m n bm = b 2 2 a b Raíz de una potencia n ( 8) = a OM n L. C ( Potenciación enésima de EJEMPLO NI A PROPIEDADES 3 a = b 3 3 a c = + d b 1 1 − = 16 4 3 27 3 = 64 2 3 − 27 −3 porque: = 64 4 3 − 27 − 3 = 64 4 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 2 “Hermana de la salud es la alegría” JRC EJERCICIOS ( ) ( ) ( ) La raíz quinta de menos 1 es – 1 ( ) 5. La raíz cúbica de – 27 es – 3 ( ) 6. En ( ) 7. Si se tiene 100 OM Colocar verdadero (V) p falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes enunciados ( ) 8. Poniéndose ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x = y , entonces “x” es el índice “y” el radicando y “m” la raíz 1. Si tiene 2. La raíz cuadrada de menos 64 pertenece a los números R 3. Si n = 2, b = 0 ⇒ 4. 0 , porque (0 ) = 0 2 1 = a 1 2 0 =0 ⇒ el radicando es igual a la raíz 1 m .n 9. n a 10. n am + a = a m = −10 , es una afirmación verdadera ( m +1) n GE 11. 12. Simplificar: E = 1 2 c) 5 d) 5 0 3 W e) 5 8 Aplica propiedades para resolver los siguientes propiedades: W 2. .M UN 1 a) 5 8 b) 5 125 (aplicar propiedades) DO RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: 1. L. C 64 = 2 , se lee “ La raíz sexta de 64 es 2” NI A 6 m W 54 = 4 1 x = 9 25 3 −8 = 1000 4 1 = 16 3 − 0,027 = 1 = 64 16 = 64 7 1= 9 = 49 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA − 27 = 8 4 81 = 100 = − 32 = 1 = 49 256 = 3−2 = 3 24 = 1 = 49 Rpta.- 55 7 GE 16 − 2x 1 = 2 Rpta.- 1 1 2 DO 5. 1 = 8 .M UN 2. 2 − 3 Rpta.- 1 W 6. W W 4. NI A L. C N = 169 − 25 − − 64 = N = 169 256 = 25 = 3. 3 JRC OM 3 3 “Hermana de la salud es la alegría” 7. 256 − 32 = Rpta.- –1 ( 8 x 8 )( 6 2 x 32 ) = “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA JRC 1 3 = 2 27 4 x64 − 8. ( 1) L. C −1 = 81 2 ÷ −1 144 18 .M UN 11. Si: Q = − 3 −2 NI A 3 24 GE 10. OM 9 16 + = 4 4 3 DO 9. 4 “Hermana de la salud es la alegría” Hallar Q −2 = 1 49 W W 12. Si: N = 169 − 25 − W Hallar: 13. P = N = 2 1 − 256 1 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA Hallar: 5 “Hermana de la salud es la alegría” JRC P −3 = RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.- Cuando una fracción de denominador irracional se transforma en otra fracción equivalente con el denominador racional, se conoce con el nombre de racionalización de denominadores. A) CUANDO EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO.- Se busca un radical apropiado que multiplicado por el radical dado, dé una fracción con denominador racional. Este último radical se multiplica SOLUCIÓN: 1 5 Se tiene: Entonces: 1x 5 5 1 = = = 5 5x 5 5 x5 1 = 5 5 Rpta. 5 5 5 = 5 25 L. C Racionalizar: NI A EJEMPLO: OM también en el numerador. 1 7 2) Racionalizar 6 6 3) Racionalizar DO Racionalizar 2 3 W W W .M UN 1) GE EJERCICIOS 4) Racionalizar: 4 8 3 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 5) 6 “Hermana de la salud es la alegría” Racionalizar: JRC −5 5 B) CUANDO EL DENOMINADOR ES UN BINOMIO.- El binomio denominador se multiplica por su SOLUCIÓN: 3 2+ 3 3 3( 2 − 3) = = 2 + 3 ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 6 − 32 6 −3 = = −( 6 − 3) −1 2−3 3 = − ( 6 − 3) Rpta. 2+ 3 GE Entonces: 3( 2 ) − 3( 3 ) = ( 2 ) 2 − ( 3) 2 NI A Ejemplo: Racionalizar L. C (de 3 + 5 su conjugada es: 3 − 5 ) altere. Así: OM conjugada. Este último binomio también se multiplica en el numerador para que la fracción no se Racionalizar: 2) Racionalizar: 3 = 3− 5 1 = 2− 3 W W W .M UN 1) DO EJERCICIOS: 3) Racionalizar: 5 2 = 4+ 3 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 7 “Hermana de la salud es la alegría” Racionalizar: 2+ 3 = 2− 3 5) Racionalizar: −3 = x −2 W W W .M UN DO GE NI A L. C OM 4) JRC “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 8 “Hermana de la salud es la alegría” JRC VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALES.- Para cualquier número real x, su valor absoluto se simboliza por x y se define así: x = { X si x > 0 (x positivo) 0 si x = 0 –x si x < 0 ( x negativo) OM EJEMPLOS: 1 1 1 − 26 − 25 1 2) − − + 6,5 = − 6,5 = − 6,5 = = 2 4 4 4 2 2 1) − 4 = −( −4) = +4 2 L. C Se observa de los ejemplos expuestos que para todo número real x, su valor absoluto x siempre es positivo: − x = x 1) NI A EJERCICIOS Hallar el valor absoluto de: 2 − 3 a) = 3 = 3 = c) 3 .M UN 3 3 2) GE −2 DO −3 b) 9 2 3 d) − = 2 e) − 2,5 = f) − 5 −2 = EFECTUAR 3 −4 +1 ÷ − 4 = 5 2 W W a) b) 4 − − 5 − 4,5 = 2 2 W 2 c) 2 − 12 1 − 1 x + • = 6 5 2 2 2 3 d) + 1 • − 1,6 = 2 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 9 “Hermana de la salud es la alegría” JRC INTERVALOS Son todos aquellos subconjuntos especiales de números reales, los cuales pueden graficarse en la recta numérica real. CLASES.- Los intervalos se clasifican en intervalos limitados e ilimitados A) INTERVALOS LIMITADOS.- Se tiene los siguientes: 1) INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUIERDA Y DERECHA.- Si a y b son números reales Notación simbólica: ]a, b[ , se lee: “Intervalo abierto en a y b”. b L. C a OM entonces intervalo abierto en a y b son todos los números comprendidos entre a y b. 2) NI A También: x ∈]a , b[ = {x ∈ R / a < x < b} notación conjuntista INTERVALO CERRADO POR LA IZQUIERDA Y DERECHA.- Si a y b son números reales, entonces intervalo cerrado en a y b son todos los números reales “x” e incluso a y b DO a GE Notación simbólica [a, b], se lee: “Intervalo cerrado en a y b” b También x ∈ [a , b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUIERDA Y CERRADO POR LA DERECHA.- Si a y b son .M UN 3) números reales, entonces intervalo abierto por la izquierda en a y cerrado en b, son todos los números reales “x”, tal que a<x ≤ b. W W W Notación simbólica ]a, b], se lee: “Intervalo abierto en a y cerrado en b”. 4) a b También: x ∈]a , b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} INTERVALO CERRADO POR LA IZQUIERDA Y ABIERTO POR LA DERECHA.- Si a y b son números reales, entonces intervalo cerrado por la izquierda en a y abierto en b, son todos los números reales “x”, tal que a a ≤ x < b . Notación simbólica: [a; b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b} “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 10 “Hermana de la salud es la alegría” a JRC b B) INTERVALOS ILIMITADOS.- Se tiene los siguientes: 1) INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUIERDA E INFINITO A LA DERECHA.- Son todos los números mayores que “a”, tal que a < x y b ∈ R . Notación simbólica: x ∈]a; ∞[ = {x ∈ R / a < x} “Intervalo abierto en a por la izquierda e infinito por la derecha”. Graficar: x ∈] − 3; ∞[= {x ∈ R / − 3 < x} OM EJEMPLO: ∞ a SOLUCIÓN: Se tiene: 2) L. C − 3 ∞ INTERVALO INFINITO A LA IZQUIERDA Y ABIERTO POR LA DERECHA.- Son todos los NI A números menores que b, tal que x < b y b ∈ R Notación simbólica: x ∈] − ∞; b[ = {x ∈ R / x < b} “Intervalo infinito a la izquierda y abierto por la derecha en b”. x ∈] − ∞;3[ = {x ∈ R / x < 3} GE EJEMPLO: 3) DO solución −∞ ∞ 3 INTERVALO CERRADO POR LA IZQUIERDA E INFINITO A LA DERECHA.- Son todos los .M UN números reales mayores o igual que a, tal que a ≤ x y a ∈ R . Notación simbólica: x ∈ [a; ∞[ = {x ∈ R / a ≤ x} “Intervalo cerrado en a por la izquierda e infinito a la derecha”. ∞ a INTERVALO INFINITO A LA IZQUIERDA Y CERRADO POR LA DERECHA.- Son todos los W 4) W −∞ W números reales menores o igual que b, tal que x ≤ b y b ∈ R . Notación simbólica: x ∈ [−∞; b[ = {x ∈ R / x ≤ b} “Intervalo infinito a la izquierda y cerrado en b por la derecha” −∞ b 1 1 EJEMPLO: Graficar: x ∈ [−∞;− [= {x ∈ R / x ≤ − } 2 2 SOLUCIÓN: Se tiene: “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 11 “Hermana de la salud es la alegría” −∞ .... -4 -3 -2 -1 0 JRC 1 2 ... ∞ EJERCICIOS COLOCAR VERDADERO (V) O FALSO (F) DESPUÉS DE ANALIZAR CUIDADOSAMENTE LOS 1) ] − 5;6] = {x ∈ R / − 5 < x < 6} ( ) 2) [3; ∞[ = {n ∈ R / 3 < n} ( ) 3) ] − ∞;−3[= { y ∈ R / y ≤ −3} ( ) 4) [ 6 ; ∞[= {x ∈ R / 6 ≤ x} ( ) OM SIGUIENTES EJERCICIOS: Infinito por la izquierda y cerrado por la derecha. 6) Abierto por la izquierda e infinito por la derecha 7) Cerrado por la izquierda y derecha 8) Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha 9) Abierto por la izquierda y derecha ] − ∞;− 26 ] ................................ NI A 5) L. C COLOCAR UN EJEMPLO, CON NOTACIÓN DE INTERVALO: ................................. GE ................................. .................................. .................................. 11) Infinito por la izquierda y abierto por la derecha ................................. 12) Abierto por la izquierda y derecha .................................. DO 10) Cerrado por la izquierda e infinito por la derecha = ] − ∞;−8] 14) {m ∈ R / m ≥ 5} = ...................... 15) {n ∈ R / 1 < n ≤ 2} = ...................... 16) {x ∈ R / − 0,5 < x} = ...................... 17) {x ∈ R / 2 < x < 3} = ...................... 18) { y ∈ R / − 3 < y} = ...................... 19) {m ∈ R / − 8 ≤ m < 8} = ...................... 1 5 20) {t ∈ R / ≤ t ≤ } 3 4 = ...................... W W 13) {x ∈ R / x ≤ −8} W .M UN LOS SIGUIENTES CONJUNTOS EXPRESAR EN FORMA DE INTERVALO. COMPLETAR EN LOS ESPACIOS VACÍOS: REPRESENTACIÓN GRAFICA NOTACIÓN NOTACIÓN SIMBÓLICA CONJUNTISTA [ −3;2[ {x ∈ R / − 3 ≤ x < 2} “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 12 “Hermana de la salud es la alegría” 1 ] ;18] 2 JRC {y ∈ R / 1 < y ≤ 18} 2 ] − ∞;6] [3; ∞[ {m ∈ R / m ≥ 3} 4 ] ; ∞[ 5 [ −5;1,5] L. C ∞ OM {x ∈ R / − 25 ≤ x ≤ 25} {x ∈ R / x ≥ 9} NI A ] − 2; ∞[ {x ∈ R / − 3 < x ≤ 2} GE OPERACIONES CON INTERVALOS: REUNIÓN, INTERSECCIÓN Y DIFERENCIA.- Para resolver operaciones con intervalos es recomendable graficarlos con la finalidad de hacer más sencillo las 1) EJEMPLOS: DO operaciones. Dados M = [3; 6[ ; N = ]5; ∞[ , hallar: b) M ∩ N .M UN a) M ∪ N SOLUCIÓN c) M − N d) N − M Completar y señalar la respuesta. W a) M ∪ N = 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 W W b) M ∩ N = c) M − N = 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 d) N − M = “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 13 “Hermana de la salud es la alegría” JRC EJERCICIOS 1) Colocar verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios: a) ]2;3[∪]2;5] = ]2;5] ( ) b) [ −5;1] ∪ [1;2] = [1;3] ( ) c) [ −5;−3] ∩ [ −2;5] = φ d) [2;8] − [2;8] = φ ( ) e) [ −6;−1] ∩ [0,1] = [ −1;0] ( ) f) [0,5;1] − [5;5,5] = φ ( ) a) ] − ∞;4[∪] − ∞; ∞[ = b) [5;6] ∪ [4;1] c) [ −10;0]∪] − 6;0[ d) ]5;8[∩]6;9[ NI A 2) Resolver las siguientes operaciones y representar gráficamente. OM ) L. C ( = W W W .M UN = DO GE = e) [ −6;3] ∩ [−6;−2] = f) ] − 4;2]− ]0;4] = “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 14 “Hermana de la salud es la alegría” JRC ] − ∞;1] − [0;6] = 1) Representa en la recta real y escribe con notación de intervalos Calcula y representa en la recta real. ]− 4;4]∩ ]0;6[ W W W a) .M UN 2) DO GE NI A A = {x x ∈ R;1 / 2 < x ≤ 3} L. C OM g) b) ]− 4;4] − [− 2;5] “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 4) JRC Expresa la inecuación correspondiente. a) [− 4;+∞[ b) [− 4;+3[ OM 3) 15 “Hermana de la salud es la alegría” Determine el intervalo al que pertenece x. Dados los conjuntos A = {x / − 4 ≤ x ≤ 5} DO 5) GE NI A L. C ( x + 2) ∈ ]− 5;3] A–B Dados los conjuntos W 6) W .M UN Halla y representa en la recta numérica. B = {x / − 7 ≤ x < −1} A = {x / − 4 ≤ x ≤ 5} W Halla y representa en la recta numérica. 7) B = {x / − 7 ≤ x < −1} A∪ B Continúa la solución aplicando las propiedades de valor absoluto. “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 16 “Hermana de la salud es la alegría” JRC 8) OM 2 x − 3 = 15 Resuelve la siguiente ecuación aplicando las propiedades de valor absoluto. Continúa la solución aplicando las propiedades de valor absoluto .M UN 9) DO GE NI A L. C x−3 −3 = 0 3 W W W 2X + 4 = 6 − X 10) Resuelve la siguiente ecuación aplicando las propiedades de valor absoluto. X +6 −3= 0 3 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” 17 “Hermana de la salud es la alegría” 11) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación GE NI A L. C 6x − 2 < 2x + 6 JRC OM MATEMÁTICA W .M UN 6x − 2 ≤ 2x + 6 DO 12) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación W 13) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación W 6x − 2 > 2x + 6 14) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6x − 2 ≥ 2x + 6 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 18 “Hermana de la salud es la alegría” OM 15) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación JRC GE NI A L. C 6x − 2 < 2x + 8 W .M UN 4x − 2 ≤ 2x + 6 DO 16) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 17) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación W W 6 x − 2 > 3x + 9 18) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6 x − 4 ≥ 2 x + 10 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” 19 “Hermana de la salud es la alegría” JRC NI A L. C OM MATEMÁTICA GE RESUELVE EN TU CUADERNO RESOLVER LAS ECUACIONES: 6. 4X = 8 2. − X + 4 =1 7. 2X +1 = X 3. 2X −1 = X +1 8. 5 − 4X = X 4. 3X − 8 = X + 2 9. 2X + 3 = 8 5. 4X + 7 = X − 2 10. 10 − 7 X = − 3 − 2 X DO X =6 W W .M UN 1. W RESOLVER LAS INECUACIONE 11. 4 X − 8 < 3 X + 7 16. − X + 8 ≤ 2 X − 15 < 20 + 3 X 12. 5 X − 3 > −2 X + 8 17. − 2 X + 3 ≥ 8 − X > 3 X − 5 13. 6 X + 7 ≥ 2 X + 11 18. 2 X − 1 < 4 X − 3 < X − 9 14. X − 9 < 4 X − 3 < 2 X − 1 19. 3 X − 5 ≥ 2 X + 4 ≥ X − 5 15. X − 3 < 2 X − 1 < 3 X + 7 20. X − 5 > 2 X + 4 > 3 X − 5 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar” MATEMÁTICA 20 “Hermana de la salud es la alegría” JRC 21. X < 6 31. 4 X > 8 22. − X + 4 ≤ 1 32. 2 X + 1 < X 23. 2 X − 1 > X + 1 33. 5 − 4 X < 5 24. 3 X − 8 ≥ X + 2 34. 2 X + 3 > 8 25. 4 X + 7 ≤ X − 2 35. 10 − 7 X ≥ 4 L. C 26. X + 3 ≤ 4 OM RESOLVER LAS INECUACIONES 27. 5 − X ≤ 7 NI A 28. 2 X + 1 ≤ 3 X − 4 29. 3 X + 2 < 4 X − 1 W W W .M UN DO GE 30. 10 − X ≥ 3 X − 1 “El que trabaja puede pregonar lo que ha hecho; el qué nada hace, debe callarse, y no criticar”