exponencialesproblemasresueltos

FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARÍTMICAS
PROF. HÉCTOR GALICIA MUÑOZ
EJEMPLO. LA VIDA MEDIA DEL ESTRONCIO 90, ES DE 25 AÑOS. ESTO
SIGNIFICA QUE LA MITAD DE CUALQUIER CANTIDAD DADA DE ESTRONCIO 90
SE DESINTEGRARÁ EN 25 AÑOS.
A) SI UNA MUESTRA DE ESTRONCIO 90 TIENE UNA MASA DE 24 mg,
ENCUENTRE UNA EXORESIÓN PARA LA MASA m(t) QUE QUEDA DESPUÉS
DE t AÑOS.
B)ENCUENTRE LA MASA RESTANTE DESPUÉS DE 40 AÑOS.
SOLUCIÓN:
t
A) m t   24  2 25
40
B) m 40  24  2 25  7.92 mg
EJEMPLO. EN CONDICIONES IDEALES, SE SABE QUE CIERTA POBLACIÓN DE
BACTERIAS SE DUPLICA CADA 3 HORAS. SUPONGA QUE PRIMERO HAY 100
BACTERIAS.
A) ¿CUÁL ES EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DEPUÉS DE 15 HORAS?
B) ¿CUÁL ES EL TAMAÑO DESPUÉS DE t HORAS?
C) ESTIME EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DESPUÉS DE 20 HORAS
SOLUCIÓN:
15
N  15  100  2 3
A) N (15)  100  25
N (15)  3200 BACTERIAS
t
B) N  t   100  2 3
20
3
 
C) N 20  100  2
N (20)  10159 BACTERIAS
EJEMPLO SI UNA POBLACIÓN DE BACTERIAS COMENZÓ CON 100 Y SE
DUPLICA CADA TRES HORAS, LA CANTIDAD DE EJEMPLARES DESPUÉS DE t
t
HORAS ES N  f  t   100  2 3
A) ¿CUÁNDO HABRÁ 50000 EJEMPLARES?
SOLUCIÓN:
t
50000  100  2 3
t
ln 50000  ln 100  2 3
t
ln 50000  ln 100  ln 2
3
 ln 50000  ln 100 

t  3


ln 2
t  26.897 hrs.
EJEMPLO: EN ENERO DEL 2000 ADQUIRISTE UN AUTO EN $100000. SI CADA
AÑO DISMINUYE 13% SU VALOR INICIAL, ¿CUÁNTO VALDRÁ EN EL AÑO 2009?
SOLUCIÓN:
v t   100000   0.87
t
v 9  100000   0.87
9
v 9  $28554.4
EJEMPLO: SI INVIERTES $1500 EN UNA CUENTA BANCARIA QUE
PROPORCIONA 23% DE INTERÉS ANUAL A PLAZO FIJO DE 5 AÑOS. ¿CUÁL ES
EL MONTO QUE RECIBIRÁS AL CONCLUIR EL PLAZO DEL DEPÓSITO?
SOLUCIÓN:
v t   1500(1  i ) t
v 5  1500 1.23
v 5  $4222.96
5
EJEMPLO: UN ALMACÉN DE APARATOS ELECTRODOMÉSTICOS LIQUIDA
MERCANCÍA DE EXHIBICIÓN CON LIGEROS DETERIOROS, MEDIANTE EL
SISTEMA DE REDUCIR CADA AÑO 35% EL PRECIO DE ESTA MERCANCÍA QUE
VA QUEDANDO ALMACENADA. SI COMPRAS UN REFRIGERADOR
ALMACENADO TRES AÑOS, CON UN PRECIO INICIAL DE $12455, ¿CUÁNTO
PAGARÁS POR ÉL?
SOLUCIÓN:
v t   12445   1  0.35
v t   12445   0.65
t
v 3  12445   0.65
3
t
v 3  $3417.70
EJEMPLO: SI UN CUARTO DE JUGO DE NARANJA CONTIENE 200 mg DE
VITAMINA C Y ÉSTA SE OXIDA A RAZÓN DE 12.5 mg CADA MINUTO, ¿CUÁNTOS
mg DE VITAMINA HABRÁ EN EL JUGO SI LO CONSUMES DESPUÉS DE
TRANSCURRIDOS 35 MINUTOS DESDE SU ELABORACIÓN?
SOLUCIÓN:
t
 12.5 

O t   200  1 
 200 
O t   200   0.9375
t
O 35  200   0.9375
35
O 35  20.89 mg
EJEMPLO: EN UNA CIUDAD, DE 9000 HABITANTES SE ESPARCE UN RUMOR
DE MODO QUE CADA HORA SE DUPLICA LA CANTIDAD DE PERSONAS QUE SE
ENTERAN DEL MISMO. ¿CUÁNTAS PERSONAS CONOCERÁN EL RUMOR AL
CABO DE 12 HORAS?
SOLUCIÓN:
N  t   2t
N  t   212
N  t   4096 PERSONAS
EJEMPLO: SI DEPOSITAS $100000 EN UNA CUENTA BANCARIA QUE TE
PRODUCE INTERESES COMPUESTOS A 15% ANUAL. CALCULA EL SALDO EN
TU CUENTA AL CABO DE TRES AÑOS, SI LOS INTERESES SE CAPITALIZAN
CONTINUAMENTE.
SOLUCIÓN:
v t   100000  e 0.15 t
 
v 3  100000  e 0.15 3
v 3  $156831.22
EJEMPLO: ¿CUÁNTO TIEMPO DEBES DEJAR $25000 EN UNA CUENTA QUE
CAPITALIZA CONTINUAMENTE INTERESES A 18% ANUAL, PARA OBTENER
$50000?
SOLUCIÓN:
50000  25000  e 0.18t
ln 50000  ln 25000  e 0.18t
ln 50000  ln 25000  ln e 0.18t
ln 50000  ln 25000  018
. t ln e
ln 50000  ln 25000
t
018
.
t  385
.