Conjuntos.url

ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
TEORIA DE CONJUNTOS
1. NOCION DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de
objetos que tienen características similares. A estos
objetos se les denomina ELEMENTOS de un
conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las
letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos
separados por coma o punto y coma, y encerrados
entre por ejemplo:
llaves,
=
=
=
2. DETERMINACION DE CONJUNTOS
A) Por extensión: Un conjunto esta determinado
por extensión cuando se observa todos y cada
uno
de
los
elementos
del
conjunto,
enumerándolos o indicándolos en forma sobre
entendida:
A = {1,2,3,4}
Ej.:
B = {1,4,9,16, 25,36}
C = {a, e, i, o, u}
Esta denotado por (B ⊂ A) .
Se lee:
B esta incluido en A
B esta contenido en A
B es subconjunto de A
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sea:
B = {3, 4, 5}
1
A
3
6
4
5
B
2
Luego (B ⊂ A)
Pero ( A ⊄ B)
Observación:
Ø Todo conjunto esta incluido en si mismo.
Ø Todo conjunto es subconjunto de si mismo
Ø El conjunto vacío esta incluido en todo conjunto
Ø Sea n(A) el número de elementos del conjunto
A, entonces:
Número de subconjuntos
nº subconjutos de A = 2 n( A )
Número de subconjuntos propios
B) Por comprensión: Un conjunto esta determinado
por comprensión cuando sus elementos se
caracterizan mediante una propiedad o
característica común.
Ej.: De los ejemplos anteriores
A = { x / x ∈ N ∧ x ≤ 4}
nº subconjutos propios de A = 2 n( A ) − 1
B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales
(=) si tienen los mismos elementos sin importar
el orden.
A=B⇔ A⊂ B ∧ B⊂ A
B = { x 2 / x ∈ N ∧ x ≤ 6}
C = { x / x es una vocal}
OJO:
No todo conjunto de puede expresar por comprensión y
extensión a la vez.
C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son
diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un
elemento que no posee el otro.
A≠B⇔ A⊄B∨B⊄A
En general:
D) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son
comparables sólo cuando uno de ellos esta
incluido en el otro.
forma del Caracteristicas
Conjunto = 

(propiedades) 
elemento
3. RELACION DE PERTENENCIA:
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte
∈) a dicho
de el. Además se dice que pertenece (∈
conjunto, en caso contrario “no pertenece” ( ∉ ) a
dicho conjunto.
OJO:
La relación de pertenencia se da entre un elemento y un
conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de
conjunto.
A⊂ B ∨ B⊂ A.
E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son
disjuntos cuando no tienen ningún elemento en
común.
F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son
equivalentes cuando tienen la misma cantidad
de elementos.
A <> B ⇔ n( A) = n(B)
4. RELACION ENTRE CONJUNTOS
A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el
conjunto A, si todos los elementos de B
pertenecen al conjunto A.
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
1
5. CLASES DE CONJUNTOS:
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de
elementos es limitada; es decir se puede contar
desde el primero hasta el último.
B) Conjunto Infinito: Cuyo número de elementos
es ilimitado.
6. CONJUNTOS ESPECIALES:
A) Unión ( AUB ): La unión de dos conjuntos A y
B es el conjunto formado por la agrupación de
todos los elementos de A con todos los
elementos de B.
AUB = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
A) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene
elementos. Este conjunto tiene la particularidad
de ser subconjunto de todo conjunto
B) Conjunto Unitario: También llamado Singleton,
es aquel que tiene un solo elemento.
C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que
contiene todos los demás conjuntos, simbolizado
por la letra U. No existe un conjunto universal
absoluto.
D) Conjunto Potencia o conjunto de partes:
Conjunto formado por todos los subconjunto que
es posible formar con un conjunto dado.
Simbolizado por P(A); que es potencia del
conjunto A.
A = {a, b, c}
entonces
los
Ej.:
Sea
subconjuntos de A son:
{a}, {b}, {c}, {a;b}, {a; c}, {b; c}, {a;b; c}, ∅
OJO:
∅ ) es subconjunto
El conjunto vació (∅
subconjunto de todo
conjunto
Propiedades:
AUB = BUA
A ⊂ ( AUB)
B ⊂ ( AUB)
AUA = A
AU∅ = A
B) Intersección: ( A I B) La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a los dos conjuntos
a la vez. (Elementos comunes a ambos).
Simbólicamente se define:
A I B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Entonces
P(A)= { {a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c};∅}
Luego el número de elementos del conjunto
potencia de A es:
n[P(A)] =# subconjuntos de A = 2n(A)
7. CONJUNTOS DE NÚMEROS: Veamos el siguiente
grafico:
Propiedades:
A I B = B I A
A I B ⊂ A
A I B ⊂ B
( A I B) ⊂ ( A U B) A I A = A
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS:
DISTRIBUTIVAS:
A U (B I C) = ( A U B) I ( A U C)
A I (B U C) = ( A I B) U ( A I C)
DE ABSORCION:
Donde:
C=Conjunto de los números complejos
C=
R=Conjunto
de los números reales
R=
Q=Conjunto
de los números racionales
Q=
Z=Conjunto
de los números enteros
Z=
N=Conjunto
de los números naturales
N=
A I ( A U B) = A
A U ( A I B) = A
A U ( A'I B) = AUB
A I ( A'U B) = A I B
8. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
2
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C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos conjuntos
A y B (en ese orden) es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A pero no a B.
Simbólicamente se define:
A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS:
LEYES DE D´MORGAN
( A U B)' = A'I B'
( A I B)' = A'U B'
Propiedades:
NUMERO DE ELEMENTOS
A − B ≠ B − A
( A − B) ⊂ A
El cardinal de un conjunto es el número de
elementos que tiene dicho conjunto:
n(∅ ) = 0
n( A ∪ B) = n( A ) + n(B) − n( A ∩ B)
n( A ∪ B ∪ C) = n( A) + n(B) + n(C) −
( A − B) ⊄ B
( A − B) U ( A I B) = A
D) Diferencia Simétrica: ( A∆B ): La diferencia
simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A o
B pero no a ambos. Simbólicamente se define:
A∆B = { x / x ∈ ( A U B) ∧ x ∉ ( A I B)}
n( A ∩ B) − n( A ∩ C) −
n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)
9. PAR ORDENADO: Es un conjunto que tiene dos
elementos (no necesariamente diferentes), en la
cual interesa el orden de estos, llamados también
componentes. Se denota (a;b)
10. PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos
A y B diferentes del vacío, se denomina producto
cartesiano de A y B (AxB), en ese orden, al
conjunto formado por todos los pares ordenados
(a;b) tal que las primeras componentes pertenecen
al conjunto A y las segundas componentes al
conjunto B. Simbólicamente se define:
Propiedades:
A∆B = B∆A
( A∆B) ⊂ ( A U B)
AxB = {(a; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
Si A I B = ∅ ⇒ A∆B = A U B
n(AxB)=n(A).n(B)
A∆A = ∅
A∆∅ = A
C
E) Complemento de un conjunto (A’),( A ):
Conjunto cuyos elementos pertenecen al
universo pero no al conjunto A. Simbólicamente
se define:
AC = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A}
NUMERACIÓN es la parte de la aritmética cuyo
objetivo consiste en expresar y escribir los números.
Es decir que es un conjunto de reglas y principios
para representar cualquier cantidad.
1. PRINCIPIOS
Propiedades:
Ø DEL ORDEN: Toda cifra en el numeral tiene un
orden, por convención se enumera de derecha a
izquierda.
A U A' = U
A I A' = ∅
( A' )' = A
(∅ )' = U ∧ (U)' = ∅
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SISTEMA DE NUMERACION
NUMERACION
3
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Ø 1a 1a
= n + xa
O
1a
(n)
14243
x veces
Ø DE LA BASE: Es un numeral referencial que nos
indica como se agrupan las unidades de un orden
cualquiera para formar la unidad colectiva del orden
inmediato superior.
del numeral
abcd(n) donde “n” es la base
Ø DE LAS CIFRAS: Las cifras son números naturales
inclusive el cero, que siempre son menores que la
base en la cual son empleados o utilizados.
abcd(n)
a<n ; b<n ; c<n ; d<n
Ø 1m 1n
= m + n + ... + p + a
O
1p
(a)
7. CONVERSION DE NÚMEROS A DIFERENTES
BASES:
A) CASO 1: De base “n” a base 10
Tenemos dos formas de conversión:
Ej. Convertir 321( 5 ) al sistema decimal:
Por descomposición polinómica:
321(5 ) = 3X5 2 + 2X5 + 1
2. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION:
321( 5 ) = 86
Por método de Ruffini:
∴ 321( 5 )
= 86
B) CASO 2: De base 10 a base “n”
3. NÚMERO CAPICÚA:
Número cuyas cifras equidistantes de los extremos
son iguales Se leen igual por ambos lados. Ej. 44,
343, 67876, etc. En general:
Se convierte por medio de las divisiones
sucesivas
Ej. Convertir 329 al sistema quinario: Por
divisiones sucesivas:
aa ; aba ; abba ; anitalavalatina ; etc.
4. DESCOMPOSICIÓN
POLINÓMICA
DE
UN
NÚMERO:
Es expresarlo como la suma de los valores relativos
da cada una de las cifras de dicho número.
Sea:
N = abc...xyz (n) ;
14243
∴ 329 = 2304 (5 )
m cifras
Descomponiendo polinómicamente se tiene:
C) CASO 3: De base “n” a base “m”
n ≠ m ≠ 10 .
N = anm −1 + bnm − 2 + cnm − 3 + .....yn1 + z
3
2
Ej. 3123( 4 ) = 3x 4 + 1x 4 + 2x 4 + 3
El primer paso, es convertir de base “n” a
5. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:
Se llamara “bloque” a un grupo de cifras.
Ej: Descompongamos
base 10
El segundo paso, es convertir el número
abcd(n) en bloques:
obtenido a base “m”.
abcd(n) = ab(n) .n2 + cd(n)
6. PROPIEDADES:
Ø El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.
(1
n4
−4
1)...(
n4
−3
1) (n) = nx − 1
24
x cifras
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donde
4
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abcde (n) − abc (n)
(n − 1)(n − 1)000 (n)
0, abcdedede...(n) =
11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN:
k
A) DE BASE n A BASE n :
Dado el número en base “n” se le separa en
grupos de k cifras a partir de la derecha
8. REGLAS PRÁCTICAS:
Ø Todas las cifras son menores que la base:
CIFRA < BASE
Ej. Expresar
Ø Si un número se expresa en dos sistemas
distintos, se cumple que:
Vemos que 8 = 2 ; se separa en grupo de 3
cifras
011101
Base 2: 10
{{
{ (2 )
3
2
Base 8:
9. CONVERSION DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS
MENORES QUE LA UNIDAD:
10011101( 2 ) a base 8
3
5
235 ( 8 )
B) DE BASE
n k A BASE n:
k
A) CASO 1: De base “n” a base 10
0 , abcd ( n ) = an − 1 + bn − 2 + cn − 3 + dn − 4
Ej. Convertir: 235 (8) a base 2
Ej: Convertir 0,32( 4 ) a base 10
2
0,32 ( 4 ) = 3x 4 −1 + 2x 4 −2
0,32( 4 )
0,32( 4 )
0,32( 4 )
↓
3
2
= + 2
4 4
3
2
= +
4 16
= 0,875
010
3
5
↓
↓
011 101
235 (8 ) = 10011101(2 )
12. TABLA DE NUMERACIÓN
B) CASO 2: De base 10 a base n
Ej. Convertir: 0,390625 a base 4
Se multiplica solo la parte decimal
0,390625x4 = 1,5625
0,5625x4 = 2,25
0,25x4 = 1,00
∴ 0,390625 = 0,121( 4 )
10. CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCION EN
DIFERENTES SISTEMAS
Número decimal exacto:
abc (n)
0, abc (n) =
1000 (n)
Número decimal periódico puro:
abc (n)
0, abcabcabc...(n) =
(n − 1)(n − 1)(n − 1) (n)
Número decimal periódico mixto:
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Dado el número en base n de cada cifra se
obtiene k cifras al convertirse a base n:
5
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INVERSA: O de descomposición, cuando conocido el
resultado de una operación directa y uno de los
números que intervino en dicha operación, se halla el
otro numero.
1. ADICION: Operación que tiene por finalidad reunir
varias cantidades en una sola.
S = a1 + a2 + a 3 + a 4 + ... + an
14444244443
n sumandos
Donde “S” es la suma total
2. RESTA O SUSTRACCION: Operación inversa a
la suma.
PROPIEDADES:
Ø
M+S+D=2M
Ø
Si:
abc − cba = mnp , Se cumple que:
n=9 y m+p=9
3. MULTIPLICACIÓN: Operación donde dada dos
cantidades multiplicando y multiplicador, se halla
una tercera llamada producto.
Donde:
A es el multiplicando
B es el multiplicador
P es el producto
4. DIVISION: En una división se identifican los
siguientes elementos: dividendo, divisor, cociente
y residuo
CUATRO OPERACIONES
Al estudiar los números, se observa que determinados
valores se modifican según la aplicación que se les da,
este proceso origina un valor final que reemplaza a los
iniciales. Esto ocurre en un conjunto de números
señalado debidamente.
Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una
parte de la aritmética que comprende el estudio de las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación y
división, en el conjunto de los números naturales y luego
por extensión en el conjunto de números enteros.
Una operación aritmética será:
DIRECTA: O de composición, cuando señalados dos
números cualesquiera, se obtiene un tercer número
como único resultado de dicha operación.
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6
Donde
D: Dividendo
d: divisor
q: cociente
r: residuo
ALGORITMO DE EUCLIDES: A la división
también la podemos expresar de la siguiente
forma:
CLASES DE DIVISION:
ARITMETICA
Ø
Ø
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DIVISION EXACTA: Cuando el residuo es cero
D=d.q r=0
DIVISION INEXACTA
n sumandos
POR DEFECTO:
D=d.q+r
n(n + 1)
2
S = 1 + 3 + 5... + (2n − 1) = n2
144424443
donde: 0<r<d
n sumandos
POR EXCESO:
D=d. (q+1)-R
S = 11+4
24
3 +4...4+3
n=
+2
+462+4
...4
+4
23
n = n(n + 1)
S = 2
1+444
n sumandos
donde 0<R<d
PROPIEDADES:
Ø r+R=d
2
2
S = 11
32 4
... 4
n2 =
+ 24
+2
+4
+3
4
4
n sumandos
Ø
El residuo máximo es una unidad menos que el
divisor
rmax = d − 1
Ø
 n(n + 1) 
S = 114
+ 244
+2
+4
+3
34
... 4
n =

 2 
n sumandos
3
El residuo mínimo en cualquier división inexacta
es 1
rmin = 1
5. COMPLEMENTO ARITMÉTICO DE UN NÚMERO
NATURAL:
Es lo que le falta a este para ser igual a la unidad del
orden inmediato superior de su cifra de mayor orden:
n(n + 1)(2n + 1)
6
3
3
2
3
8. CONTEO DE CIFRAS:
Para calcular la cantidad de cifras usadas en una
serie de números del 1 hasta N se usa la formula
siguiente:
CF1→N = (N + 1)k − 11
...3
11
12
k cifras
C.A.(abc...xyz) = 10 − abc...xyz
14243
m
Donde k es la cantidad de cifras que tiene N
m cifras
OTRO MÉTODO:
Para hallar el complemento aritmético del mayor
orden de un número, se restan las cifras de nueves y
la última cifra significativa de 10. Si hay ceros al final,
estos permanecen en el complemento.
C.A.(ab...yz) = (9 − a)(9 − b)...(9 − y)(10 − z)
1
424
3
1444442444443
m cifras
m cifras
6. COMPLEMENTO ARITMÉTICO
DIFERENTES DE 10:
EN
SISTEMAS
C.A.(abc( 8 ) ) = mnp(8 ) ; c ≠ 0
DIVISIBILIDAD:
Parte de la teoría de los números que estudia las
condiciones que debe cumplir un número entero para
ser dividido exactamente entre otros.
1. Divisor:
Se denomina divisor de un número, a cualquier
valor que lo divide exactamente mediante una
división entera.
Ejemplo:
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6,12
Divisores de 15: 1, 3, 5,15
2. Divisibilidad de un número:
Un número entero A es divisible entre otro entero B
(módulo), si al dividir A entre B resulta una división
exacta (cociente entero y residuo cero).
Se cumple:
c + p = 8 (valor de la base)

b + n = 7 
a + m = 7(valor de la base − 1)


Ø El cero (0) siempre es múltiplo de todo entero
positivo.
7. SUMAS NOTABLES:
Sea: t 1 , t 2 , t 3 ,..., t n una progresión aritmética,
144244
3
n ter min os
Ø Un número entero negativo puede ser múltiplo
de un número entero positivo.
3. Multiplicidad de números:
entonces la suma será:
S = t 1 + t 2 + t 3 + ... + t n =
TEORIA
TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD
(t 1 + t n ).n
2
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Se dice que un número entero es múltiplo de otro
entero positivo llamado modulo, si el primero es el
7
ARITMETICA
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resultado de multiplicar el segundo por otro factor
entero.
Si A es múltiplo de B lo representaremos como:
Ø Todo número es múltiplo de la base en la cual
esta escrito mas la última cifra
o
abcd (n) = n+ d
A=KB donde K={…,-2,-1,0,1,2…}
5. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton
o
A = B (Notación de Leibnitz)
o
Ø
Si un número entero no es divisible entre cierto
modulo (divisor), se puede representar como un
múltiplo del modulo más cierto residuo por defecto:
o
A = B.k + r
A = B+ r
ó
Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide
a A cuando esta contenido un número entero y
exacto de veces.
+ = o
o
o
o
o
( )n = Ø
(3+ a)(3+ b)...(3+ z) = 3+ a.b....z
o
o
N = a.b.c
o
o
⇒
N = a.b.c
°
a
Ø Divisibilidad por
5 n si sus “n” ultimas cifras son
n
ceros o forman un número divisible por 5 .
°
Ø Divisibilidad por 3 o 9:
Un número es divisible por 3 o 9 cuando la
suma de sus cifras es múltiplo de 3 o 9
respectivamente.
Ø Si a una cantidad “n” se le multiplica por una
fracción irreducible y el resultado es un número
entero, entonces “n” es el múltiplo del
denominador.
Sea
Si
n, m ∈ Z y f =
a
.n = m
b
a
(fracción irreducible).
b
⇒
o
o
o
o
abcd = 3 entonces a + b + c + d = 3
Si
abcd = 9 entonces a + b + c + d = 9
Ø Divisibilidad por 11:
Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras
de orden impar con la suma de las cifras de
orden par deberá ser cero o múltiplo de 11.
o
Ej.: Si
abcdefg = 11 ⇒
o
a b c d e f g = 11
1 1 1 1 1 1 1
+ − + − + − +
o
a + c + e + g − (b + d + f ) = 11 ∨ 0
o
5a = 7 ⇒ a = 7
o
Si
o
Si
o
n=b
Ø Principio de Arquímedes:
Dados dos números enteros cuyo producto es
divisible por un cierto modulo, si uno de tales
números no admite divisores comunes con el
modulo, aparte de la unidad, entonces el otro
número será divisible por dicho modulo. Ej.:
Si
5n :
Es divisible por
 ° ⇒ N = MCM( a; b )
b

ao ± r
o

⇒ N = MCM(a; b ) ± r
Ø N=
o
b ± r
Ø N=
2n :
Ø Divisibilidad por 5:
Un número es divisible por 5 cuando termina en
cifra 5 o cero.
o
Ø Si
6. Criterios de divisibilidad:
Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un
numeral nos permite anticipar entre que cantidades
es divisible dicho numeral.
2 n si sus “n” ultimas cifra son
n
ceros o forman un número divisible por 2 .
Ø
o
⇔ k es impar
Es divisible por
o
o
⇔ k es par
o
Ø Divisibilidad por
k. = o
Ø
o k
a + r
k
Ø (a− r ) = 
o
a − r k
k ∈ Z+
o
. = o
Ø
o
− = o
Ø
si
Ø Divisibilidad por 2:
Un número es divisible por dos cuando termina
en cifra par o cero.
4. Principios de la divisibilidad
Ø
o
(a + r )k = a + r k
o
Ø Divisibilidad por 7:
Cuando la suma algebraica del producto de sus
cifras (de derecha a izquierda) por 1,3,2,-1,-3,2,1,3,2,-1… respectivamente, deberá ser 0 ó
múltiplo de 7.
o
21a = 35 ⇒ 3a = 5 ⇒ a = 5
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8
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
o
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
a b c d e f g h=7
1{
3 2 3 1 2 3 1
1
424
3 123
+
−
1. NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO:
Son números que admiten únicamente dos
divisores, siendo estos la unidad y el mismo.
+
o
a + 3b − (2c + 3d + e ) + 2 f + 3g + h = 7
Ø Divisibilidad por 13
Cuando la suma algebraica del producto de sus
cifras (de derecha a izquierda) por 1,-3-4,1,3,4,1,… respectivamente, deberá ser múltiplo
de 13.
o
abcdefgh = 13
a b c d e f g h = 13
3
1 4 3 1 4 3{
1
{1
23 123
+
−
2. NÚMERO COMPUESTO:
Son números que admiten más de dos divisores.
Ej.: 4, 6, 8, 10, 12,…etc.
3. LA CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO
COMPUESTO N ES:
o
−
Ej.: 2, 3, 5, 7, etc.
CDN = CD compuestos + CD primos + 1
+
o
h − (3g + 4 f + e) + 3d + 4c + b − 3a = 13
4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI):
Ø Divisibilidad por 33 Y 99:
Cuando la suma algebraica del producto de sus
cifras (de derecha a izquierda) por 1 y 10
respectivamente, deberá ser múltiplo de 33 o 99.
Es cuando un conjunto de dos o más números
admiten como único divisor común a la unidad.
Ej.: 4 y 9, 8 y 15, etc.
NOTAS:
o
abcdefgh = 33
Ø Todo número primo mayor que 3 siempre es de
o
a b c d e f g = 33
1 10 1 10 1 10 1
o
la forma
cumple.
6± 1 : lo contrario no siempre se
o
a + 10b + c + 10d + e + 10f + g = 33
o
Respectivamente: abcdefgh = 99
Ø Algunos números primos descubiertos por
matemáticos son:
Lucas:
o
a b c d e f g = 99
1 10 1 10 1 10 1
Ø Algo probablemente cierto, pero aun no
demostrable: Todo número par, es la suma de
los números primos
o
a + 10b + c + 10d + e + 10f + g = 99
Fermat:
7. RESTOS POTENCIALES:
Son todos los residuos que dejan las potencias
sucesivas enteras y positivas de un número N
(diferente de cero) al ser divididos entre otro “m”
(modulo).
Potencias
sucesivas
N0
Resultados en
función de “m”
o
m+ 1
o
N1
m+ r1
N2
m+ r2
N3
m+
+ r3
4
m+ r4
Restos
potenciales
r1
n 2 − n + 41 valida únicamente para n ∈ Z +
y n ≤ 40
5. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES
PRIMO O NO:
6. TEOREMA
FUNDAMENTAL
ARITMÉTICA:
r3
DE
LA
“Todo entero positivo mayor que uno, se puede
descomponer como el producto de factores primos
r4
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
Ø Formulas del calculo de números primos:
Ej.: ¿El número 139 es primo?
r2
o
N
n
22 + 1
Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del
numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada
uno de los números primos menores o iguales a
dicha aproximación:
1
o
o
2 127 − 1 que tiene 39 cifras
9
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes,
esta descomposición es única.”
Llamada también “DESCOMPOSICION CANONICA”
Se llama MCD de un conjunto de dos o más
números enteros positivos, al entero que cumple
dos condiciones:
OJO:
No confundir con la descomposición polinómica que
vimos en sistema de numeración.
Ø Es un divisor común de todos
Ø Es el mayor posible
Sea “N” un número mayor que 1, entonces dicho
número lo podemos expresar de la siguiente manera:
Ej.: Sea A
Entonces
A, B, C;…; Factores primos
α, β, λ , ... ; Exponentes
360 = 2 .3 .5
Ø Por descomposición simultáneamente:
2
El MCD es el producto de los factores comunes
extraídos a los números hasta que sean
PESI.”Se busca solo los factores comunes”.
Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18
7. DIVISORES DE UN NUMERO “N”
Ø Cantidad de divisores de un número:
Es igual al producto de los exponentes de sus
factores primos previamente aumentados en la
unidad.
CD(N) = (α + 1)(β + 1)(λ + 1)....
Ø Algoritmo
sucesivas:
SD(N) =
β +1
λ +1
A −1 B −1 C −1
.
.
.....
A−1
B−1
C−1
Ø Producto de los divisores de un número:
Ø Suma de las inversas de los divisores de un
número:
SD(N)
N
8. INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE
EULER
Es la cantidad de números enteros positivos
menores que un número dado y primos con él. Sea
el número N descompuesto canónicamente
N = A α .Bβ .Cλ ...
o
Divisiones
q 1 q2 q3 q4 q 5
}
r 1 r 2 r 3 r4
r1 r 2 r 3 r 4 r 5
}
11. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Se llama MCM de un conjunto de dos o más
números enteros positivos, al entero que cumple
dos condiciones:
Ø Es un múltiplo de todos
Ø Es el menor posible
12. DETERMINACIÓN DE MCM
Ø Por descomposición Canónica:
El MCM es igual al producto de los factores
primos comunes elevados a los mayores
exponentes posibles.
1
1
1

Ψ(N) = N. 1 − . 1 − . 1 − 
A
B 
C

Ej.:
Sea
entonces
9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
Euclides
r2 = r3 .q 4 + r4

MCD( A;B) = r4 ⇒ B = r1 .q 2 + r2
 A = B.q + r

1
1
PD(N) = NCD(N)
SID(N) =
de
Es un procedimiento que se utiliza para calcular
el MCD de solo 2 números. Su desarrollo se
fundamenta en la teoría de la división.
Ø Suma de divisores de un número
α +1
= 22.32.5 y B = 23.3.5 2
MCD = 22.3.5
Ej.: Descomponer en sus factores primos el número
360.
3
Ø Por descomposición Canónica:
El MCD es igual al producto de los factores
primos comunes elevados a los menores
exponentes posibles.
N = A α .Bβ .Cλ ...
Donde:
10. DETERMINACIÓN DEL MCD
10
A = 22.32.5 y B = 23.3.5 2
MCM = 2 3 .3 2 .5 2
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
Ø Por descomposición simultáneamente:
Ø MCD(a,b,a+b)=
El MCM es el producto de los factores comunes
multiplicados con los respectivos PESI.
a.b(a + b)
,
d2
d=MCD(a,b)
Donde
Ej.: Hallar el MCD de 24, 18, 30
Ø
MCD( An; Bn; Cn) = n.MCD( A; B; C)
13. PROPIEDADES DEL MCD Y MCM:
Ø
MCM( An; Bn; Cn) = n.MCM( A; B; C)
Ø
MCD(
A B C
MCD( A; B; C)
; ; )=
n n n
n
Ø
MCM(
A B C
MCM( A; B; C)
; ; )=
n n n
n
Ø
MCD(pk − 1; ph − 1) = pMCD(k;h) − 1
Ø Si A y B son PESI, entonces:
MCD(A,B)=1
Ø Si A y B son PESI, entonces:
MCM(A,B)=A.B
Ø El producto de dos enteros positivos siempre es
igual al producto de su MCM y el MCD. Es decir:
MCM( A; B).MCD( A; B) = A.B
Ø Sea A = Kα y B = Kβ Donde:
primos entre si (PESI). Entonces:
NÚMEROS FRACCIONARIOS
FRACCIONARIOS
α y β son
MCD( A; B) = K
f=
a
numerador
=
b
deno min ador
1. CLASIFICACIÓN: Se puede clasificar:
MCM( A; B) = K.α.β
Ø Por comparación de sus términos:
Ø Sea MCM( A, B) = p
entonces:
y
MCM(C, D) = q ,
valor es menor que uno o también aquella
en la que el numerador es menor que el
MCM( A, B, C, D) = MCM(p, q)
Ø Sea MCD( A, B) = p
entonces:
y
Fracciones propias: Son aquellas cuyo
MCD(C, D) = q ,
denominador es decir:
Ej.:
MCD( A, B, C, D) = MCD(p, q)
Ø Si un conjunto de enteros positivos se
reemplazan dos o más de ellos por su MCD o su
MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de
dichos enteros no es alterado. Es decir:
MCM( A; B; C ) = MCM(MCM( A; B ); MCM(B; C ))
MCM( A; B; C; D ) = MCM[ MCM( A ; B ); MCM(C; D )]
14. CASOS ESPECIALES:
3 2 7
, , , etc.
5 7 13
Fracciones impropias: Son aquellas cuyo
valor es mayor que uno, o también, aquella
en la que el numerador es mayor que el
denominador, es decir:
MCD( A; B; C ) = MCD(MCD( A; B ); MCD(B; C ))
MCD( A; B; C; D ) = MCD[ MCD( A; B ); MCD( C; D )]
a
<1
b
Ej.:
a
>1
b
4 9 15
, etc.
, ,
3 7 13
Fracciones iguales a la unidad: Son
aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o
también en la que el numerador y el
denominador son iguales, es decir:
Ø MCD(a;a+b)=MCD(a;b)
Ej.:
Ø Si a y b son primos entre si entonces
MCD(a+b; a-b)= 1 ó 2
a
=1
b
4 9 13
, , , etc.
4 9 13
Ø Por su denominador:
Ø MCD(a,b)=MCD(a ± b;m),
Donde
m=MCM(a,b)
Fracciones ordinarias o comunes: Son
aquellas cuyo denominador es diferente a
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
11
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
una potencia de 10. Es decir
a
; si:
b
b ≠ 10 n , n ∈ N
5 14 4
, , etc
,
Ej.:
17 3 7
Fracciones Decimales: Son aquellas cuyo
denominador es una potencia de 10. Es decir:
a
n
; b = 10 , n ∈ N
b
4
5 14
, etc
,
,
Ej.:
10 100 1000
14
{
4. CLASIFICACIÓN
DECIMALES:
Fracciones homogéneas: Son aquellas
denominadores
son
3. NÚMERO DECIMAL: Representación lineal de
una fracción. Consta de dos partes: parte entera y
parte decimal. Ej.: 14,356
iguales.
cuyos denominadores son diferentes. Ej.:
puro: Cuando el periodo
empieza inmediatamente después de la
coma decimal.
Ej.:
Fracciones
reductibles: Son aquellas
fracciones donde numerador y denominador
se pueden simplificar.
5
1 25
, etc
= =
10 2 50
)
0,3333... = 0,3
0,8787...
Periódico mixto: Cuando el periodo
empieza de una cifra (o grupo) después de
la coma decimal.
Ej.: 0,3424242…
0,45366666…
5. CONVERSIÓN DE DECIMALES A FRACCIÓN :
Fracciones irreductibles: Son aquellas
fracciones donde los términos son PESI.
3 14 4
, etc
,
,
10 13 17
Ø Números decimales exactos: La fracción será
igual al número formado por las cifras
decimales divididos entre la unidad seguida de
tantos ceros como cifras decimales.
NOTA:
0, abc =
Ø
Se llama fracción equivalente, cuando
una fracción tiene el mismo valor que la otra pero
sus términos son diferentes:
5
1
=
10 2
Ej:
0,35 =
abc
1000
35
7
=
100 20
Ø Números decimales inexactos:
Ø
Se llama número mixto, a aquel que
tiene parte entera y parte fraccionaria.
7
3 2
, etc.
,1 , 3
5 7 13
2. MCD Y MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS:
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
NÚMEROS
Periódico
Ø Por la relación de los divisores de sus
términos
4
LOS
Ø Número decimal exacto: Cuando tiene un
número limitado de cifras.
Ej.: 0,2; 0,356; etc.
5 14 4
, , etc
,
10 15 11
Ej.:
DE
Ø Número decimal inexacto: Cuando tiene un
número ilimitado de cifras.
Ej.: 0,333…; 0,324444…
Los números decimales inexactos pueden ser:
Fracciones heterogéneas: Son aquellas
Ej.:
356
{
Ej.
5 14 4
,
,
, etc
13 13 13
Ej.:
,
parte entera parte decimal
Ø Por la comparación de los denominadores:
cuyos
Ø El MCD de varias fracciones irreductibles es
igual al MCD de los numeradores entre el MCM
de los denominadores.
Ø El MCM de varias fracciones irreductibles es
igual al MCM de los numeradores entre el MCD
de los denominadores.
12
Periódico puro: La fracción esta dada por
el número formado por las cifras del periodo
divido entre tantos nueves como cifras
tenga el periodo.
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
0, abcabc... =
abc
999
Entonces la proporción aritmética será:
a-b=c-d
36 12
4
Ej: 0,363636 ... =
=
=
99 33 11
Periódico mixto: La fracción esta dada por el
número formado por todas las cifras de la
parte decimal menos la parte no periódica
entre tantos nueves como cifras tenga el
periodo seguida de tantos ceros como cifras
tenga la parte no periódica.
0,205555 ... =
a y d : extremos
b y c : medios
a y c : antecedentes
b y d : consecuentes
4. TIPOS DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA:
P.A. CONTINUA:
abc − a
0, abcbcbc... =
990
Ej:
Donde:
Los términos medios son iguales.
a-b=b-c
205 − 20 185
37
=
=
900
900 180
Donde:
b : Media aritmética o diferencial
c : tercera diferencial
RAZONES Y PROPORCIONES
P. A. DISCRETA:
Los cuatro términos son diferentes.
1. RAZONES:
a-b=c-d
Es la comparación matemática de dos cantidades.
Es decir es el resultado de compara dos cantidades
por medio de una diferencia o por medio de un
cociente.
Donde:
d : cuarta diferencial de a, b y c
5. PROPORCION GEOMETRICA:
Es la igualdad de dos razones geométricas dadas
sabiendo que:
TIPOS:
RAZON ARITMETICA:
a
c
=k y =k
b
d
Es la razón por diferencia
a – c =r
a c
=
b d
Antecedente – Consecuente = Razón
RAZON GEOMETRICA:
Donde:
a y d: extremos
b y c : medios
a y c : antecedentes
b y d : consecuentes
Es la razón por cociente.
a
=k
b
6. TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:
antecedente
= Razón geométrica
con sec uente
P.G. CONTINUA:
Cuando los términos medios son iguales. Es
decir:
2. PROPORCIONES:
Es la igualdad de dos razones. Es decir, es la
comparación de dos razones iguales ya sean
aritméticas o geométricas.
3. PROPORCION ARITMETICA:
Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas,
sabiendo que:
Donde:
b : media proporcional o geométrica
a, c: tercera proporcional
P.G. DISCRETA:
a-b=r y c-d=r
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
a b
=
b c
13
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
Cuando todos los términos son diferentes. Es
decir:
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n
=k
b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n
a c
=
b d
a1.a 2 .a 3 .....an
= kn
b1.b2 .b3 .....bn
Donde: d: cuarta proporcional
7. PROPIEDADES
GEOMÉTRICA
DE
LA
PROPORCIÓN
a c
Si :
= es una proporción geométrica.
b d
n
n
n
n
n
n
n
b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n
= kn
REGLA DE TRES
Entonces:
n
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n
a±b c±d
=
b
d
La regla de tres puede ser: Simple o compuesta.
1. REGLA DE TRES SIMPLE:
a±b c±d
=
a
c
Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y
una desconocida (incógnita). Puede ser Directa o
inversa.
a+b c+d
=
a−b c−d
Ø R3S DIRECTA:
Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que
son directamente proporcionales.
a
c
=
b±a d±c
Método 1:
Aplicando
la
definición
directamente proporcional.
a+c b+d
=
a−c b−d
RAZONES
magnitud
BC
A C
= ⇒x=
A
B x
a±c a c
= =
b±d b d
8. SERIE
DE
EQUIVALENTES
de
Método 2:
Una
vez
planteado
el
multiplicación será en aspa.
problema
la
GEOMÉTRICAS
Es la igualdad de dos o más razones geométricas.
Sea:
a
a
a1
= k; 2 = k;....; n = k;
bn
b2
b1
Ax=BC ⇒ x =
Entonces:
a
a1 a 2 a 3 a 4
= ... = n = k
=
=
=
bn
b1 b2 b 3 b 4
Ø R3S INVERSA:
Es el resultado de comparar 2 magnitudes que
son inversamente proporcionales
Donde:
a1, a 2 , a3 ,...an : Antecedentes
b1, b2 , b3 ,...bn : Consecuentes
Método 1:
Aplicando
la
definición
inversamente proporcional.
K= constante de proporcionalidad
Se cumple que:
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
BC
A
A.B = C.x ⇒ x =
14
de
AB
C
magnitud
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
Método 2:
Una vez planteado el problema la multiplicación
será en sentido paralelo.
AC=Bx ⇒ x =
Ej: Obreros, maquinas,
esfuerzo, rendimiento, etc.
animales,
habilidad,
2º Circunstancias:
Condiciones en el tiempo para realizarla.
Ej.: días horas diarias, raciones diarias, etc.
3º Efecto:
La obra en, si lo realizado y los inconvenientes o
condiciones que pone el medio para la realización
del trabajo.
Ej. Las medidas de la obra, dificultades, resistencia
del medio, etc.
AC
B
circunstancia
acción
efecto
Si las cantidades proporcionales van de más a más o
de menos a menos, la regla es directa; si van de
menos a más o de más a menos, la regla es inversa.
Serie1 Hombres
Animales
Maquinas
Serie2 Habilidad
Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se
dividen entre otro dato.
Finalmente, se igualan los productos de los valores
que se encuentran en una misma raya.
Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y
se dividen entre el otro dato del problema
3. RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES MÁS
CONOCIDAS:
MÉTODO PRÁCTICO:
2. REGLA DE TRES COMPUESTA:
Es cuando al dar una serie de “n” valores
correspondientes a “n” magnitudes y una segunda
serie de “n-1” valores correspondientes a las
magnitudes mencionadas. La finalidad de la regla de
3 compuesta es determinar el valor desconocido de
la segunda serie de valores.
Método 1: “Ley de los signos”
Se colocan los datos de manera que los valores
pertenecientes a una misma magnitud estén en una
misma columna.
Se compara la magnitud donde se encuentra la
incógnita con las demás magnitudes con el siguiente
resultado
Si son directamente proporcionales: arriba (-) y
Días
Rapidez
características
h/d, raciones
Nº de obreros
Nº de obreros
Nº de obreros
Nº de obreros
Velocidad
Nº de obreros
Nº de dientes
Obra
Obra
Trabajorealizado
Medidadelaobra
dificultades
DP
obra
IP
eficiencia
IP
días
IP
horas diarias
IP
tiempo
DP
dificultad
IP
nº de vueltas
DP
días
DP
horas por día
PROMEDIOS Y PORCENTAJES
1. PROMEDIOS
abajo (+)
Si son inversamente proporcionales: arriba (+) y
abajo (-)
El valor de la incógnita esta dado por un quebrado
donde el numerador es el producto de los términos
que tiene (+) y el denominador es el producto de los
términos que tienen (-)
Método 2: “De las rayas”
a 1 , a 2 , a 3 ,... a
Donde:
Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:
1º Causa o acción:
Realizadores de la obra o acción y condiciones que
tiene para realizarla.
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
Es un valor representativo de otras varias
cantidades que tiene la característica de ser mayor
que el menor de ellos y menor que el mayor de
ellos.
Dadas las siguientes cantidades:
15
n
a 1 : Menor cantidad
a n : Mayor cantidad
Se llama promedio P a una cantidad referencial y
cumple:
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
a1 ≤ P ≤ a n
n2 : Número de elementos del segundo grupo.
TIPOS:
Ø MEDIA ARITMETICA (Ma): Es aquel promedio
que provienen de la suma de n cantidades
divididas entre n.
a1 + a2 + a3 + ... + an
=P
n
Es decir el número de elementos del grupo
correspondiente.
PROPIEDADES
Ø Ma, Mg y Mh los promedios de n números;
entonces siempre se cumple:
Ma > Mg > Mh
Para dos números a y b:
Ø Sean dos números y hallando su Ma y Mh
siempre:
a+b
Ma =
2
AxB=MaxMh
Ø MEDIA GEOMETRICA (Mg): Es aquel promedio
que proviene de la raíz enésima del producto de n
cantidades.
Ø Se cumple:
Mg = MaxMh
Mg = a1.a2 .a 3 .....an
n
Ø La diferencia entre la media aritmética y la
media geométrica de 2 números A y B esta
dado por:
Para 2 números a y b:
Mg = a.b
Ma − Mg =
Ø MEDIA ARMONICA.(Mh): Es la inversa de la
media aritmética
de las inversas de las n
cantidades dadas.
( A − B)2
4(Ma + Mg)
2. PORCENTAJES
n
Mh =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
a1 a 2 a 3
an
Llamado también tanto por ciento. Se dice así, a
una determinada cantidad con relación a 100
unidades.
La regla del tanto por ciento es una aplicación de
la regla de tres simple directa.
Para 2 números a y b:
Mh =
NOTACION:
2ab
a+b
Sea:
Ø PROMEDIO PONDERADO (P). Promedio de
promedios, es cuando tenemos el promedio
aritmética de dos o mas grupos y queremos
determinar el promedio de todos en conjunto,
aplicamos el promedio aritmético ponderado.
P=
ma1n1 + ma 2n2 + ma 3n3 + ...mamnm
n1 + n2 + n3 + ... + nm
Donde:
5
100
• 5% indica que de cada 100 unidades se
consideran 5.
• Una cantidad total representa el 100%
• Una cantidad aumentada en el 10%
representa el 110%
• Una cantidad disminuida en un 10 %
representa 90%
APLICACIONES:
DESCUENTOS SUCESIVOS:
Cuando a una cantidad se le aplica mas de un
descuento, los cuales equivalen a un descuento
único que se obtiene de la siguiente forma:
ma 1 : Promedio aritmético del primer grupo
ma 2 : Promedio aritmético del segundo grupo
Y así sucesivamente; también
n1 : Número de elementos del primer grupo
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
5% =
16
D xD 

Du = D1 + D2 − 1 2  %
100 

ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
AUMENTOS SUCESIVOS:
Cuando una cantidad se le aplica más de un
aumento, los cuales equivalen a un aumento único,
que se obtiene de la siguiente forma:
A xA 

Au =  A1 + A 2 + 1 2  %
100 

PF = PV + D
En caso de pérdida se cumple:
PV = PC − perdida
Donde:
OJO:
Si hubiera más de dos descuentos primero se encuentra
el descuento único de los dos primeros y luego se halla
un nuevo descuento único con el valor encontrado y el
siguiente y así sucesivamente.
APLICACIONES COMERCIALES:
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
PV = PC + GB
GB = GN + G
17
PC=Precio de costo
PV=Precio de venta
PF=Precio fijado
GB=Ganancia bruta
D=Descuento o rebaja
GN=Ganancia Neta
G=Ganancia