Ondas elásticas en una columna de gas

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESIME CULHUACAN
Carrera: Ingeniería en Comunicaciones y
Electrónica
Asignatura: Ondas Mecánicas
Semestre Tercero
Onda Elástica en una Columna de Gas
Prof. M. en C. Sergio Iván Pérez Teniers
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Ondas Elásticas en una Columna de Gas
Considere las ondas elásticas que se producen en un gas debido a las
variaciones de presión. El sonido es el ejemplo más importante de este tipo
de onda. Para simplificar consideraremos las ondas que se propagan en un
gas encerrado en un tubo o cilindro.
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El razonamiento que se sigue para deducir la fórmula de la velocidad de
propagación del sonido en un gas, es muy semejante al de las ondas en una
barra, pero con una diferencia importante. Los gases son muy
comprensibles y su densidad cambia al modificarse la presión.
Consideremos de nuevo las dos partes del problema la deformación del
elemento que estaba inicialmente en la posición x, y su desplazamiento .
Sean p0 y 0 la presión y la densidad del gas en condiciones de equilibrio.
En estas condiciones p0 y 0 conservan el mismo valor en todo el volumen
del gas,
La masa del volumen en equilibrio es 0Adx y la masa del volumen
perturbado es A(dx+d), donde  es la densidad del gas perturbado. El
principio de la conservación requiere que dichas masas sean iguales.
 0 Adx  A(dx  d )
despejando 
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0 

A(dx  d )
0   (1 
Adx

)
x
0
1

x
En general como  / x es pequeño y lo podemos reemplazar


  0 1 
  

 x 
 

x 
  0   0 
La presión p está relacionada con la densidad  por la ecuación de estado,
que puede escribirse p= f(). Aplicando el desarrollo de Taylor.
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 dp  1
2 d p  1
3 d p 
p  p0     0       0   2      0   3   .........
 d  2
 d  3
 d 
Dado que la diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p0 es muy
pequeña podemos hacer aproximaciones que nos simplifican notablemente
el resultado
 dp 
p  p0    0  
 d 
la cantidad
 dp 
K  0  
 d 
recibe el nombre de modulo de elasticidad de volumen. Se expresa en N/m2
entonces podemos escribir
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Esta expresión corresponde a la ley de Hooke para fluidos.
  
p  p0  K  
 x 
Necesitamos la ecuación del movimiento del volumen elemental: aplicando
la segunda ley de Newton, fuerza igual a masa (densidad por volumen) por
aceleración (derivada segunda del desplazamiento). El gas a la izquierda de
nuestro elemento lo empuja hacia la derecha con fuerza pA y el gas a la
derecha lo empuja hacia la izquierda con fuerza p’A. Por lo tanto, la fuerza
resultante en dirección de +X es (p-p’)A= -Adp, ya que dp=p`-p entonces
la ecuación del movimiento
 2
0 Adx 2   Adp
t
p
 2
  0 2
x
t
ya que
p
 2
 K 2
x
x
comparando con la ecuación diferencial del movimiento
 2 K  2

t 2  0 x 2
Finalmente
v2 
K
0

P0
0
 es el índice adiabático del gas (1.4 para el aire) y 0 es la densidad (1.293 kg/m3), y p0
la presión normal (1 atm=1.013·105 Pa
Con estos datos, la velocidad de propagación del sonido en el aire es v=331 m/s.
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Variación de la velocidad del sonido con la temperatura
La velocidad del sonido en un gas no es constante, sino que depende de la temperatura.
De la ecuación de un gas ideal pV=nRT o bien,
La fórmula de la velocidad del sonido se expresa en función de la temperatura t del gas
en grados centígrados.
Para obtener esta expresión aproximada, se han tomado los dos primeros términos del
desarrollo de (1+t/T0)1/2 por el binomio de Newton
Sabiendo que T0=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) y M=28.95·10-3 kg/mol, tenemos
que
vs≈331.4+0.61·t
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