F Í S I

FÍSICA
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OPCIÓN A
1. a) Explique el significado de “fuerza conservativa” y “energía potencial” y
la relación entre ambos.
b) Si sobre una partícula actúan tres fuerzas conservativas de distinta
naturaleza y una no conservativa, ¿cuántos términos de energía potencial
hay en la ecuación de la energía mecánica de esa partícula? ¿Cómo
aparece en dicha ecuación la contribución de la fuerza no conservativa?
Unidad: Interacción gravitatoria.
Conceptos: Fuerza gravitatoria; Fuerza de rozamiento; Fuerza central y
conservativa: Energía potencial gravitatoria; Fuerzas no conservativas
RESPUESTAS:
a) Para calcular el trabajo realizado por

una fuerza F a lo largo de un

desplazamiento  r , aplicamos la
expresión:
 
W  F ·r , que es la definición del producto
escalar
de
dos
vectores:
 
W  F · r ·cos , siendo  el ángulo
formado por los vectores anteriores.
Esta expresión nos indica que el módulo de la fuerza debe ser constante en
todo el desplazamiento realizado por el cuerpo.
Para calcular el trabajo realizado por una fuerza central, como la gravitatoria,


dividimos el desplazamiento  r en infinitos desplazamientos ri , entre los que
el módulo de la fuerza central no varía. Hemos calculado el trabajo Wi . Si
repetimos
este
desplazamientos:
proceso para todos y cada uno de los infinitos
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B
 G·m´·m   G·m´·m 
W   F ·d r   
 C    
 C  ;
A
r
r
A
B

 

A
cada
uno
de
los
términos contenidos entre paréntesis se le denomina “energía potencial” –en
este caso, gravitatoria- Por lo tanto: W  Epg , nos indica que el trabajo
realizado no depende del camino seguido y sí de los puntos inicial y final de su
trayectoria. Será, pues, una fuerza conservativa.
Si tomamos el origen de potencial un punto situado en el infinito, r=  , el valor
de C=0.
Tanto la fuerza y la energía potencial están relacionados de la siguiente
manera:
W  Epg  
B
A
B
 
 

F·dr  E p    F·dr  F  E p
A
b) Por el apartado anterior, si existen tres fuerzas centrales y conservativas,
habrán otros tantos términos de variación de energías potenciales, por ejemplo:
gravitatoria, eléctrica y elástica.
En el caso de la fuerza de rozamiento, que como sabemos, tiene la misma
dirección pero sentido opuesto al desplazamiento, su módulo es constante en
toda la trayectoria.
Si suponemos un desplazamiento horizontal sobre una superficie con
coeficiente de rozamiento  , el valor del trabajo será:
 


W  F · r ·cos   ·m·g · r ·cos(180º )    ·m·g · r , luego, en este caso el
valor del trabajo sí depende de la trayectoria, por lo que sería una fuerza no
conservativa.
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2.
a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique
cómo varían con el tiempo la velocidad y la aceleración.
b) Comente la siguiente afirmación: “si la aceleración de una partícula es
proporcional a su desplazamiento respecto a un punto y de sentido
opuesto, su movimiento es armónico simple”.
Unidad: Movimiento vibratorio.
Conceptos: Cinemática de un M.A.S.; fuerza elástica.
RESPUESTAS:
a) Un M.A.S. presenta la siguiente ecuación de posición:
x(t )  A·sin(·t   0 ) , siendo:
x(t) la elongación de la partícula en el instante t
A, la máxima elongación o amplitud del movimiento.
ω, la pulsación o frecuencia angular
δ0 , desfase o fase inicial
δ= (·t   0 ) , fase
La velocidad vendrá dada por la primera derivada de la posición con respecto
al tiempo:
v

dx
 ·A·cos(·t   0 )  x
dt
De igual manera, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al
tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto a este:
4
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a

dv d 2 x
 2   2 ·A·sin(·t   0 )  x
dt dt
Representando las tres funciones respecto al tiempo, tendremos:
Supongamos una partícula que en el instante t=0, la partícula se
encuentra en x=0.




Cuando se desplaza hacia la derecha, la elongación aumenta pero
la velocidad, teniendo la misma dirección, disminuye y la aceleración
se opone al desplazamiento aumentando en módulo. Al llegar al
punto de máxima oscilación (x=A), la velocidad se anula y la
aceleración obtiene su máximo valor en módulo.
A partir de aquí la elongación decrece y la velocidad aumenta pero
en sentido contrario al inicial. La aceleración disminuye, hasta llegar
al punto de equilibrio donde la velocidad
es
máxima
y la
aceleración se anula.
Hasta el otro extremo de oscilación la elongación se hace negativa
disminuyendo hasta –A. La velocidad que era negativa se anula en
este punto. La aceleración tiene sentido positivo, alcanzando su
máximo valor en –A.
A partir de ahora la partícula
invierte su movimiento yendo hacia
la derecha aumentando la elongación, todavía en valores negativos,
y su velocidad es positiva aumenta hasta alcanzar el máximo en
x=0. La aceleración comienza disminuir hasta anularse en este
punto.
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b) Efectivamente, si la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al
tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto a este:
a

dv d 2 x
 2   2 ·A·sin(·t   0 )  x
dt dt
y si recordamos que: x(t )  A·sin(·t  0 ) , entonces:
a   2 ·A·sin(·t  0 )   2  x(t )
Conclusión: es cierta la afirmación.
3. Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, separados 5 m. Por
ellos circulan corrientes de 5A y 2A en el mismo sentido.
a) Dibuje en un esquema las fuerzas que se ejercen los conductores y
calcule su valor por unidad de longitud.
b) Calcule la fuerza que ejercería el primero de los conductores sobre una
carga de 10-6C que moviera paralelamente al conductor, a una distancia
de 0,5 m de él y con una velocidad de 100ms-1 en el sentido de la
corriente.
μ0=4π·10-7 NA-2
Unidad: Campo magnético.
Conceptos: Campo creado por una corriente rectilínea e indefinida. Ley de
Biot-Savart; Fuerza sobre un conductor; fuerza por unidad de longitud;
Fuerza sobre una carga en movimiento.
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RESPUESTAS:
a) Para calcular el campo magnético
creado por un conductor rectilíneo
indefinido acudimos a la expresión:
B
 0 ·I
·u B , siendo u
2 ·r
B
un vector
unitario perpendicular al vector unitario que
contiene a la corriente “I” y al vector unitario
que contiene la posición a la distancia “r”, es
decir: u I u r . Calculamos el campo magnético que crea el conductor 1 en la
posición del conductor 2:
i
 ·I
B1  0 1 0
2 ·d
0
j
0
1
k
I ·
1  1 0 ·  i Tesla
, siendo I1 la
2 ·d
0
 
intensidad de corriente que circula por el conductor 1 y “d” la distancia que
separa ambos conductores.



Para calcular la fuerza que ejerce “1” sobre “2”: F12  I 2 ·(l2  B1 ) , siendo I2 la
intensidad de corriente del segundo conductor y l2 su longitud.
i

F12  I 2 · 0
 B1
módulos:
j
0
0
k
l2  I 2 ·l2 ·B1·  j N
0

 ·I
F12  I 2 ·l 2 ·B1  I 2 ·l 2 · 0 1
2 ·d
 
, aplicando
. Para un conductor indefinido nos
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daría una fuerza infinita. Para evitar este problema definimos la fuerza por
unidad de longitud:

F12
l2
 f12  I 2 ·B1  I 2 ·
0 ·I 1
2 ·d
Razonamos de la misma manera la fuerza ejercida por el conductor “2” sobre el
“1”:
i
j
0
1
 ·I
B2  0 2 0
2 ·r
0
i

F21  I1· 0
B2
Por lo tanto:

F21
l1
 f 21 

F12
l2

F21
l1
j
0
0
k
I ·
1  2 0 · i Tesla
2 ·r
0

k
l1  I1·l1·B2 · j N
0
 f 21  I 1·B2  I 1·

0 ·I 2
. Sustituyendo las valores dados
2 ·d
 f12  4·107 N
Nos indica que es una fuerza atractiva, es decir, los conductores tenderían a
aproximarse.
b) La fuerza ejercida sobre una carga debida a un campo magnético viene dada
por la expresión:
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
 
F  q·(v  B1 ) , siendo “q” la carga eléctrica; “v”, la velocidad que posee la carga

y, “ B1 ”, el campo magnético generado –en este caso- por un conductor eléctrico.
Por ello, calculamos previamente el campo magnético generado a 0,5 m. por el
conductor de 5A:
i
 ·I
B1  0 1 0
2 ·d
0

F  106·
j
0
1
k

I ·
1  1 0 ·  i Tesla  2·106 ( i )T
2 ·d
0
 
i
0
 2·106
j
0
0
k
102  2·1010  j N
0
 
Conclusión: La partícula realizará un movimiento circular uniforme como
consecuencia de la fuerza que es perpendicular a la velocidad de la partícula.
4. En la explosión de una bomba de hidrógeno se produce la reacción:
2
1
H 13H 24He01n
a) Defina defecto de masa y calcule la energía de enlace por nucleón de
4
2
He .
b) Determine la energía liberada en la formación de un átomo de helio.
c)
4
2
3
c=3·108ms-1;m( 2 He )=4,002603u;m( 1 H )=2,01474u;m( 1 H )=3.01700 u; m
1
1
( 0 n )=1,008665 u; 1u=1,67·10-27 kg; m ( 1 p )=1,007825 u
9
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Unidad: Física nuclear
Conceptos: Núclido-isótopo; reacción nuclear; Defecto de masa; Energía por
nucleón.
RESPUESTAS:
a) Si sumamos las masas de cada una de las partículas que componen un
núcleo atómico (por ejemplo, en el núcleo de helio hay dos protones y dos
neutrones y por tanto m = 2 mp + 2 mn = 2  1,0072825 + 2  1,008665 =
4,03298 u), y esta masa la comparamos con la del núcleo (en el caso del
helio es 4,002603), se observa que hay una diferencia (en el caso del helio
de 0,030377 u). De acuerdo con estos datos, la masa del núcleo es menor
que la suma de las masas que tienen los nucleones cuando están
separados. A esta diferencia se le denomina defecto de masa, Δm.
Si llamamos Z al número atómico del núcleo, A al número másico, m la
masa del núcleo, mp la masa del protón y mn la del neutrón, podemos
expresar este defecto de masa como:
Δm = [ Z mp + (A – Z) mn ] – mHe
Si tuviese lugar la formación del núcleo de helio 2n + 2p  4 He se
2
observaría una disminución de la masa, que produciría una emisión de
energía calculable mediante la ecuación de Einstein:
Como Δm = 0,030377 u,

ΔE = Δm  c2 =

2
1,67 10-27 kg
1 eV
0,030377u 
 3  108 m/s  4,565 10-12 J 
 28,53MeV
1u
1,6  10-19 J
10
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Esta energía es pequeña porque se ha calculado la energía desprendida
al formarse un núcleo.
Definimos la energía por nucleón como:
En 
E
A
, siendo A el número
de nucleones es decir, la suma de neutrones y protones en el núcleo
citado. En este caso, A=4:
En 
E 28,53 MeV

 7,1325 MeV
A
4
b) Utilizando la definición de defecto de masas para la reacción nuclear
indicada:
m  m( 13 H )+ m(12H )  m( 24He)  m( 01n)
m  0,020472  0 , luego se trata de una reacción exoenergética. Este
2
defecto de masa, convertido a kg y multiplicado por c , nos dará la
energía desprendida en este proceso, por cada átomo de helio.
Efectivamente:
 Kg 
m  0,020472u·1,7·1027 

 u 
 0,0348024·1027 Kg
La energía desprendida en este proceso será:

·3·10 8 ms 1 2  3,132216 ·10 12 J
E  m·c 2  0,0348024 ·10 27  Kg
átomo
átomo



11
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
E  3,132216·1012 J
 1MeV 

·
 19,57 MeV
átomo 1,6·10 J 
átomo

13

OPCIÓN B
1. a) Modelos corpuscular y ondulatorio de la luz; caracterización y
evidencia experimental.
b) Ordene de mayor a menor frecuencia las siguientes regiones del
espectro electromagnético: infrarrojo, rayos X, ultravioleta y luz visible, y
razone si pueden tener la misma longitud de onda dos colores del
espectro visible: rojo y azul, por ejemplo.
Unidad: Óptica Física
Conceptos: Naturaleza de la luz; Modelo ondulatorio de Huygens;
Naturaleza dual de la luz; Efecto fotoeléctrico.
RESPUESTAS:
a) La naturaleza corpuscular de la luz fue amparada por Sir Isaac Newton, sin
embargo, el posicionamiento en los métodos mecánicos le conducía a
conclusiones erróneas. Como ejemplo, indicar que creía que la velocidad
de la luz en el agua era superior a la del aire. Aún cuando a principios del s.
XX se intentó ver en las conclusiones de Newton un método precursor,
realmente se trata de la obstinación de él.
Christiann Huygens promulgó la propagación de ondas mecánicas en
medios materiales, permitiendo explicar los fenómenos de: refracción,
reflexión, interferencias, etc…lo que le permitió definir el movimiento
ondulatorio. Sin embargo, ya en esa época se conocía la propagación de la
luz en el vacío, que no necesita medio material de propagación. Para salvar
este problema, se “inventó” un medio de extremada elasticidad al que se
denominó “éter” –posteriormente desechado, a principios del s. XX por las
experiencias de Michelson-Morley12
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Según la teoría ondulatoria, cualquier υ podría extraer electrones de un
metal dependiendo sólo de la intensidad de este movimiento ondulatorio. La
experiencia demostró que, para que se justificara este proceso, debíamos
entender este fenómeno como un conjunto de corpúsculos dotados de
energía proporcional a la frecuencia (υ). Además, la emisión de electrones
se producía a partir de ciertos valores de frecuencia y no dependía de la
intensidad de estos corpúsculos. Einstein encontró la relación entre la
frecuencia de la radiación incidente y la energía cinética de los
fotoelectrones emitidos (por ello, se le concedió el premio Nobel).
En 1.905 Einstein interpreta el efecto fotoeléctrico como un fenómeno de
partículas que chocan individualmente. Si el efecto fotoeléctrico tiene lugar
es porque la absorción de un solo fotón por un electrón incrementa la
energía de este en una cantidad h· . Algo de esta cantidad se gasta en
separar al electrón del metal. Esa cantidad, W e -función trabajo-, varía de
un metal a otro pero no depende de la energía del electrón. El resto está
disponible para proporcionar energía cinética al electrón. Así pues:
  e    e  . En consecuencia, el balance energético nos lleva a:
h·  We  Ec .
Se comprueba que, la frecuencia umbral y la relación lineal entre la energía
cinética del electrón, con respecto a la frecuencia, está contenida en esta
expresión. La proporcionalidad entre la corriente y la intensidad de radiación
puede ser entendida también en términos de fotones: una mayor intensidad
de radiación emite más fotones y, por tanto, un número mayor de electrones
pueden ser liberados. Pero no implica que aumenten su velocidad, que
queda en función del trabajo de extracción (W e).
b) Teniendo en cuenta la distribución del espectro electromagnético por
frecuencias:
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La ordenación de mayor a menor frecuencia sería:
Rayos X › UV › Visible › Infrarrojos
Por otro lado, los colores del espectro visible tienen frecuencias distintas, por lo
que sus longitudes de ondas también los serán. Efectivamente, conociendo la
relación entre frecuencia y longitud de onda:
v  · f
v , la velocidad de propagación;  , la longitud de onda del
movimiento ondulatorio; f , la frecuencia de ese movimiento.
; siendo
La velocidad de propagación es la de la luz (3·108 ms-1). Entonces:
Si
f rojo  f azul  c  rojo · f rojo
Igualando:
c  azul · f azul
azul · f azul  rojo · f rojo
Despejando:
Entonces:
y
f 
azul  rojo · rojo 
 f azul 
, como
f rojo  f azul
rojo  azul
14
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2. a) Enuncie la ley de Coulomb y comente su expresión.
b) Dos cargas puntuales q y –q se encuentran sobre el eje X, en x=a y en
x=-a, respectivamente. Escriba las expresiones del campo
electrostático y del potencial electrostático en el origen de
coordenadas.
Unidad: Campo eléctrico.
Conceptos: Campo eléctrico uniforme; Potencial eléctrico; Principio de
superposición;
RESPUESTAS:
a) El campo que crea una carga puntual
Coulomb.
se deduce a partir de la ley de
Consideremos una carga de prueba
, colocada a una distancia r de
una carga punto
. La fuerza entre ambas cargas, medida por un
observador en reposo respecto a la carga estará dada por:
La intensidad del campo eléctrico en el sitio en que se coloca la carga
de prueba está dada por:
y por lo tanto resulta:
=
donde
es un vector unitario
en la
dirección radial,
es la llamada permitividad del vacío y
=
es la
constante de Coulomb en el vacío, cuyo valor es
.
15
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Se tienen las
equivalencias
respectivamente. La unidad de intensidad de campo eléctrico es
(Newton por Culombio) o
(Voltio por Metro).
b) Supongamos un segmento en cuyos extremos se sitúan dos cargas
positivas q y q´, situadas en x=a y x=-a respectivamente. Aplicando el
principio de superposición:

E
T


 Eq  Eq .Desarrollando, tendremos:
 K ·(q)´ 
K·q 


·(

i
)

·
i

2
·
(i )(N / C )
a2
a2
a2
K ·q
El potencial electrostático, definido como:
V K·
q
r,
y aplicando el
principio de superposición para ambas cargas, nos lleva a:
q
q
VT  Vq  Vq  K ·  K ·
0
a
a
3. Se lanza un cohete de 600 kg desde el nivel del mar hasta una altura de
1.200km sobre la superficie de la Tierra. Calcule:
a) ¿Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del cohete?
b) ¿Qué energía adicional habría que suministrar al cohete para que
escapara a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa altura.
16
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G=6,67·10-11N·m2·kg-2: MT=6·1024 kg; RT=6.370km
Unidad: Interacción gravitatoria.
Conceptos: Fuerza gravitatoria; Fuerza central y conservativa: Energía
potencial gravitatoria; Velocidad de escape; Velocidad orbital; Tª generalizado
de la energía; Energía mecánica.
RESPUESTAS:
a) El trabajo realizado por una fuerza central, en este caso la gravitatoria, viene
dado por la expresión:
B
 G·m´·m
  G·m´·m

W   F ·d r   
 C    
 C  ; W  Epg , nos indica que
A
rA
rB

 

el trabajo realizado no depende del camino seguido y sí de los puntos inicial y
final de su trayectoria y será, además, conservativo. A cada término contenido
entre paréntesis se le denomina energía potencial gravitatoria.
Si tomamos el origen de potencial un punto situado en el infinito, r=  , el valor
de C=0.
 G·M T ·m 
 G·M T ´·m 
 y rB la órbita:  
 R  h  , por lo
RT 

T


Si rA es la superficie terrestre:  
tanto, la variación de la energía potencial gravitatoria será:
 1
 1  G·M T ·m h 
 
, sustituyendo los valores:
E pg  G·M T ·m·

·
RT  h 
RT
 RT RT  h 
E pg  5,9755·109 J
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b) Supongamos ahora al satélite en el punto “A” que es el de la órbita alcanzada
r=RT+h y, el punto a alcanzar “B”, sería el infinito (r=∞) con velocidad final nula.
Aplicando el teorema generalizado de la energía:
Ec  Epg  Eext , siendo Eext la energía suplementaria que hay que
comunicar al satélite. Desarrollando esta expresión:
Ec ( B)  Ec ( A)  E pg ( A)  E pg ( B)  Eext  Em ( B)  Em ( A)  Eext ,
como
energía mecánica en el punto B es nula, por las condiciones indicadas,
entonces:
 Em ( A)   Eext , luego: Eext 
G·M T ·m
Sustituyendo los valores indicados:
2·r
Eext  1,586·1010 J
4. En una cuerda tensa de 16 m. de longitud, con sus extremos fijos, se ha
generado una onda de ecuación:
y( x, t )  0,02·sen ·x ·cos(8 ·t )
a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse.
Calcule su longitud de onda y su frecuencia.
b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda
que se encuentran a 4 m. y 6 m. respectivamente de uno de los
extremos y comente los resultados.
Unidad: Movimiento ondulatorio.
Conceptos: Características de un movimiento ondulatorio; ecuación de onda.
Interferencia; ondas estacionarias.
18
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RESPUESTAS:
a) La ecuación de onda dada corresponde a una onda estacionaria, generada por
la superposición de dos ondas de igual frecuencia, amplitud y velocidad de
propagación, pero con sentidos opuestos. Además, presenta un nodo en el
punto x=0 y es de tipo transversal, puesto que sus puntos vibran
perpendicularmente a la dirección de propagación: y(x,t)
Por comparación con la ecuación general de una onda estacionaria con nodo
en x=0:
y( x, t )  2·A·sen(k ·x)·cos(w·t ) , deducimos que:
k
2

     2 m, y, w 
2
 2 · f  8  f  4 Hz
T
b) Para calcular la velocidad de un punto de la cuerda –velocidad de fasederivamos la expresión dada respecto al tiempo:
vf 
dy ( x, t )
 8 ·0,02·sen ( ·x )·sen (8 ·t ) , sustituyendo los puntos dados,
dt
tendremos:
vf
x 4
vf
x 4 ,5

dy ( x, t )
 8 ·0,02·sen ( ·4)·sen (8 ·t )  0ms 1
dt

dy ( x, t )
 8 ·0,02·sen ( ·4,5)·sen (8 ·t )  0,5026·sen (8 ·t )ms 1
dt
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SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS
POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla
Por lo tanto, el punto x=4 se encuentra en uno de los extremos de oscilación y,
para x=4,5 se encuentra en sentido descendente de la oscilación, con un valor
máximo, en el origen de oscilación, de la velocidad de 0,5026 ms-1
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