FÍSICA SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla OPCIÓN A 1. a) Explique el significado de “fuerza conservativa” y “energía potencial” y la relación entre ambos. b) Si sobre una partícula actúan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no conservativa, ¿cuántos términos de energía potencial hay en la ecuación de la energía mecánica de esa partícula? ¿Cómo aparece en dicha ecuación la contribución de la fuerza no conservativa? Unidad: Interacción gravitatoria. Conceptos: Fuerza gravitatoria; Fuerza de rozamiento; Fuerza central y conservativa: Energía potencial gravitatoria; Fuerzas no conservativas RESPUESTAS: a) Para calcular el trabajo realizado por una fuerza F a lo largo de un desplazamiento r , aplicamos la expresión: W F ·r , que es la definición del producto escalar de dos vectores: W F · r ·cos , siendo el ángulo formado por los vectores anteriores. Esta expresión nos indica que el módulo de la fuerza debe ser constante en todo el desplazamiento realizado por el cuerpo. Para calcular el trabajo realizado por una fuerza central, como la gravitatoria, dividimos el desplazamiento r en infinitos desplazamientos ri , entre los que el módulo de la fuerza central no varía. Hemos calculado el trabajo Wi . Si repetimos este proceso para todos y cada uno de los infinitos desplazamientos: 2 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla B G·m´·m G·m´·m W F·dr C C ; A r r A B A cada uno de los términos contenidos entre paréntesis se le denomina “energía potencial” –en este caso, gravitatoria- Por lo tanto: W Epg , nos indica que el trabajo realizado no depende del camino seguido y sí de los puntos inicial y final de su trayectoria. Será, pues, una fuerza conservativa. Si tomamos el origen de potencial un punto situado en el infinito, r= , el valor de C=0. Tanto la fuerza y la energía potencial están relacionados de la siguiente manera: W Epg B A B F·dr E p F·dr F E p A b) Por el apartado anterior, si existen tres fuerzas centrales y conservativas, habrán otros tantos términos de variación de energías potenciales, por ejemplo: gravitatoria, eléctrica y elástica. En el caso de la fuerza de rozamiento, que como sabemos, tiene la misma dirección pero sentido opuesto al desplazamiento, su módulo es constante en toda la trayectoria. Si suponemos un desplazamiento horizontal sobre una superficie con coeficiente de rozamiento , el valor del trabajo será: W F · r ·cos ·m· g · r ·cos(180º ) ·m· g · r , luego, en este caso el valor del trabajo sí depende de la trayectoria, por lo que sería una fuerza no conservativa. 3 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla 2. a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique cómo varían con el tiempo la velocidad y la aceleración. b) Comente la siguiente afirmación: “si la aceleración de una partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a un punto y de sentido opuesto, su movimiento es armónico simple”. Unidad: Movimiento vibratorio. Conceptos: Cinemática de un M.A.S.; fuerza elástica. RESPUESTAS: a) Un M.A.S. presenta la siguiente ecuación de posición: x(t ) A·sin( ·t 0 ) , siendo: x(t) la elongación de la partícula en el instante t A, la máxima elongación o amplitud del movimiento. ω, la pulsación o frecuencia angular δ0 , desfase o fase inicial δ= (·t 0 ) , fase La velocidad vendrá dada por la primera derivada de la posición con respecto al tiempo: v dx · A·cos( ·t 0 ) x dt De igual manera, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto a este: 4 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla a dv d 2 x 2 2 · A·sin( ·t 0 ) x dt dt Representando las tres funciones respecto al tiempo, tendremos: Supongamos una partícula que en el instante t=0, la partícula se encuentra en x=0. Cuando se desplaza hacia la derecha, la elongación aumenta pero la velocidad, teniendo la misma dirección, disminuye y la aceleración se opone al desplazamiento aumentando en módulo. Al llegar al punto de máxima oscilación (x=A), la velocidad se anula y la aceleración obtiene su máximo valor en módulo. A partir de aquí la elongación decrece y la velocidad aumenta pero en sentido contrario al inicial. La aceleración disminuye, hasta llegar al punto de equilibrio donde la velocidad es máxima y la aceleración se anula. Hasta el otro extremo de oscilación la elongación se hace negativa disminuyendo hasta –A. La velocidad que era negativa se anula en este punto. La aceleración tiene sentido positivo, alcanzando su máximo valor en –A. A partir de ahora la partícula invierte su movimiento yendo hacia la derecha aumentando la elongación, todavía en valores negativos, y su velocidad es positiva aumenta hasta alcanzar el máximo en x=0. La aceleración comienza disminuir hasta anularse en este punto. 5 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla b) Efectivamente, si la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto a este: a dv d 2 x 2 2 · A·sin( ·t 0 ) x dt dt y si recordamos que: x(t ) A·sin( ·t 0 ) , entonces: a 2 · A·sin( ·t 0 ) 2 x(t ) Conclusión: es cierta la afirmación. 3. Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, separados 5 m. Por ellos circulan corrientes de 5A y 2A en el mismo sentido. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que se ejercen los conductores y calcule su valor por unidad de longitud. b) Calcule la fuerza que ejercería el primero de los conductores sobre una carga de 10-6C que moviera paralelamente al conductor, a una distancia de 0,5 m de él y con una velocidad de 100ms-1 en el sentido de la corriente. μ0=4π·10-7 NA-2 Unidad: Campo magnético. Conceptos: Campo creado por una corriente rectilínea e indefinida. Ley de Biot-Savart; Fuerza sobre un conductor; fuerza por unidad de longitud; Fuerza sobre una carga en movimiento. 6 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla RESPUESTAS: a) Para calcular el campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido acudimos a la expresión: B 0 ·I ·u B , siendo u B un vector 2 ·r unitario perpendicular al vector unitario que contiene a la corriente “I” y al vector unitario que contiene la posición a la distancia “r”, es decir: u I u r . Calculamos el campo magnético que crea el conductor 1 en la posición del conductor 2: i 0 ·I1 B1 0 2 ·d 0 j 0 1 k I · 1 1 0 · i Tesla 2 ·d 0 , siendo I1 la intensidad de corriente que circula por el conductor 1 y “d” la distancia que separa ambos conductores. Para calcular la fuerza que ejerce “1” sobre “2”: F12 I 2 ·( l 2 B1 ) , siendo I2 la intensidad de corriente del segundo conductor y l2 su longitud. i F12 I 2 · 0 B1 módulos: j k 0 l 2 I 2 ·l 2 · B1· j N 0 0 ·I F12 I 2 ·l 2 ·B1 I 2 ·l 2 · 0 1 2 ·d , aplicando . Para un conductor indefinido nos 7 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla daría una fuerza infinita. Para evitar este problema definimos la fuerza por unidad de longitud: F12 l2 f12 I 2 · B1 I 2 · 0· I1 2 ·d Razonamos de la misma manera la fuerza ejercida por el conductor “2” sobre el “1”: i 0·I 2 B2 0 2 · r 0 j k 0 1 1 0 I 2· 0 · i Tesla 2 · r i F 21 I 1 · 0 j k 0 l1 I 1 · l1 · B 2 · j N B2 0 0 Por lo tanto: F21 l1 f 21 F12 l2 F21 l1 f 21 I 1· B2 I 1· 0· I 2 . Sustituyendo las valores dados 2 ·d f12 4·10 7 N Nos indica que es una fuerza atractiva, es decir, los conductores tenderían a aproximarse. b) La fuerza ejercida sobre una carga debida a un campo magnético viene dada por la expresión: 8 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla F q·( v B1 ) , siendo “q” la carga eléctrica; “v”, la velocidad que posee la carga y, “ B1 ”, el campo magnético generado –en este caso- por un conductor eléctrico. Por ello, calculamos previamente el campo magnético generado a 0,5 m. por el conductor de 5A: i 0·I1 0 2 ·d 0 B1 F 10 6 · j k 0 1 1 0 I 1· 0 · i Tesla 2 ·10 2 ·d i j k 0 0 10 2 0 0 2 ·10 6 2 ·10 10 6 ( i )T j N Conclusión: La partícula realizará un movimiento circular uniforme como consecuencia de la fuerza que es perpendicular a la velocidad de la partícula. 4. En la explosión de una bomba de hidrógeno se produce la reacción: 2 1 H 13H 24He 01n a) Defina defecto de masa y calcule la energía de enlace por nucleón de 4 2 He . b) Determine la energía liberada en la formación de un átomo de helio. c) 4 2 3 c=3·108ms-1;m( 2 He )=4,002603u;m( 1 H )=2,01474u;m( 1 H )=3.01700 u; m 1 1 ( 0 n )=1,008665 u; 1u=1,67·10-27 kg; m ( 1 p )=1,007825 u 9 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla Unidad: Física nuclear Conceptos: Núclido-isótopo; reacción nuclear; Defecto de masa; Energía por nucleón. RESPUESTAS: a) Si sumamos las masas de cada una de las partículas que componen un núcleo atómico (por ejemplo, en el núcleo de helio hay dos protones y dos neutrones y por tanto m = 2 mp + 2 mn = 2 1,0072825 + 2 1,008665 = 4,03298 u), y esta masa la comparamos con la del núcleo (en el caso del helio es 4,002603), se observa que hay una diferencia (en el caso del helio de 0,030377 u). De acuerdo con estos datos, la masa del núcleo es menor que la suma de las masas que tienen los nucleones cuando están separados. A esta diferencia se le denomina defecto de masa, Δm. Si llamamos Z al número atómico del núcleo, A al número másico, m la masa del núcleo, mp la masa del protón y mn la del neutrón, podemos expresar este defecto de masa como: Δm = [ Z mp + (A – Z) mn ] – mHe Si tuviese lugar la formación del núcleo de helio 2n + 2p 4 He se 2 observaría una disminución de la masa, que produciría una emisión de energía calculable mediante la ecuación de Einstein: Como Δm = 0,030377 u, ΔE = Δm c2 = 2 1,6710-27 kg 1 eV 0,030377u 3 108 m/s 4,56510-12 J 28,53MeV 1u 1,6 10-19 J 10 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla Esta energía es pequeña porque se ha calculado la energía desprendida al formarse un núcleo. Definimos la energía por nucleón como: En E A , siendo A el número de nucleones es decir, la suma de neutrones y protones en el núcleo citado. En este caso, A=4: En E 28,53MeV 7,1325 MeV A 4 b) Utilizando la definición de defecto de masas para la reacción nuclear indicada: m m( 13 H )+ m( 12H ) m( 24He) m( 01n ) m 0,020472 0 , luego se trata de una reacción exoenergética. Este 2 defecto de masa, convertido a kg y multiplicado por c , nos dará la energía desprendida en este proceso, por cada átomo de helio. Efectivamente: Kg m 0,020472u·1,7·10 27 u 0,0348024·10 27 Kg La energía desprendida en este proceso será: ·3·108 ms 1 2 3,132216·10 12 J E m·c 2 0,0348024·10 27 Kg átomo átomo 11 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla E 3,132216·10 12 J 1MeV · 19,57 MeV átomo 1,6·10 J átomo 13 OPCIÓN B 1. a) Modelos corpuscular y ondulatorio de la luz; caracterización y evidencia experimental. b) Ordene de mayor a menor frecuencia las siguientes regiones del espectro electromagnético: infrarrojo, rayos X, ultravioleta y luz visible, y razone si pueden tener la misma longitud de onda dos colores del espectro visible: rojo y azul, por ejemplo. Unidad: Óptica Física Conceptos: Naturaleza de la luz; Modelo ondulatorio de Huygens; Naturaleza dual de la luz; Efecto fotoeléctrico. RESPUESTAS: a) La naturaleza corpuscular de la luz fue amparada por Sir Isaac Newton, sin embargo, el posicionamiento en los métodos mecánicos le conducía a conclusiones erróneas. Como ejemplo, indicar que creía que la velocidad de la luz en el agua era superior a la del aire. Aún cuando a principios del s. XX se intentó ver en las conclusiones de Newton un método precursor, realmente se trata de la obstinación de él. Christiann Huygens promulgó la propagación de ondas mecánicas en medios materiales, permitiendo explicar los fenómenos de: refracción, reflexión, interferencias, etc…lo que le permitió definir el movimiento ondulatorio. Sin embargo, ya en esa época se conocía la propagación de la luz en el vacío, que no necesita medio material de propagación. Para salvar este problema, se “inventó” un medio de extremada elasticidad al que se denominó “éter” –posteriormente desechado, a principios del s. XX por las experiencias de Michelson-Morley12 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla Según la teoría ondulatoria, cualquier υ podría extraer electrones de un metal dependiendo sólo de la intensidad de este movimiento ondulatorio. La experiencia demostró que, para que se justificara este proceso, debíamos entender este fenómeno como un conjunto de corpúsculos dotados de energía proporcional a la frecuencia (υ). Además, la emisión de electrones se producía a partir de ciertos valores de frecuencia y no dependía de la intensidad de estos corpúsculos. Einstein encontró la relación entre la frecuencia de la radiación incidente y la energía cinética de los fotoelectrones emitidos (por ello, se le concedió el premio Nobel). En 1.905 Einstein interpreta el efecto fotoeléctrico como un fenómeno de partículas que chocan individualmente. Si el efecto fotoeléctrico tiene lugar es porque la absorción de un solo fotón por un electrón incrementa la energía de este en una cantidad h· . Algo de esta cantidad se gasta en separar al electrón del metal. Esa cantidad, W e -función trabajo-, varía de un metal a otro pero no depende de la energía del electrón. El resto está disponible para proporcionar energía cinética al electrón. Así pues: e e . En consecuencia, el balance energético nos lleva a: h· We Ec . Se comprueba que, la frecuencia umbral y la relación lineal entre la energía cinética del electrón, con respecto a la frecuencia, está contenida en esta expresión. La proporcionalidad entre la corriente y la intensidad de radiación puede ser entendida también en términos de fotones: una mayor intensidad de radiación emite más fotones y, por tanto, un número mayor de electrones pueden ser liberados. Pero no implica que aumenten su velocidad, que queda en función del trabajo de extracción (W e). b) Teniendo en cuenta la distribución del espectro electromagnético por frecuencias: 13 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla La ordenación de mayor a menor frecuencia sería: Rayos X › UV › Visible › Infrarrojos Por otro lado, los colores del espectro visible tienen frecuencias distintas, por lo que sus longitudes de ondas también los serán. Efectivamente, conociendo la relación entre frecuencia y longitud de onda: v · f ; siendo v , la velocidad de propagación; , la longitud de onda del movimiento ondulatorio; f , la frecuencia de ese movimiento. La velocidad de propagación es la de la luz (3·108 ms-1). Entonces: Si frojo fazul c rojo· frojo Igualando: c azul· fazul azul· fazul rojo· frojo Despejando: Entonces: y frojo azul rojo· fazul , como frojo fazul rojo azul 14 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla 2. a) Enuncie la ley de Coulomb y comente su expresión. b) Dos cargas puntuales q y –q se encuentran sobre el eje X, en x=a y en x=-a, respectivamente. Escriba las expresiones del campo electrostático y del potencial electrostático en el origen de coordenadas. Unidad: Campo eléctrico. Conceptos: Campo eléctrico uniforme; Potencial eléctrico; Principio de superposición; RESPUESTAS: a) El campo que crea una carga puntual Coulomb. se deduce a partir de la ley de Consideremos una carga de prueba , colocada a una distancia r de una carga punto . La fuerza entre ambas cargas, medida por un observador en reposo respecto a la carga estará dada por: La intensidad del campo eléctrico en el sitio en que se coloca la carga de prueba está dada por: y por lo tanto resulta: = donde es un vector unitario en la dirección radial, es la llamada permitividad del vacío y = es la constante de Coulomb en el vacío, cuyo valor es . 15 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla Se tienen las equivalencias respectivamente. La unidad de intensidad de campo eléctrico es (Newton por Culombio) o (Voltio por Metro). b) Supongamos un segmento en cuyos extremos se sitúan dos cargas positivas q y q´, situadas en x=a y x=-a respectivamente. Aplicando el principio de superposición: E T E q E q .Desarrollando, tendremos: K ·( q )´ K ·q ·( i ) · i 2 · (i )( N / C ) a2 a2 a2 K ·q El potencial electrostático, definido como: V K· q , r y aplicando el principio de superposición para ambas cargas, nos lleva a: q q VT Vq Vq K · K· 0 a a 3. Se lanza un cohete de 600 kg desde el nivel del mar hasta una altura de 1.200km sobre la superficie de la Tierra. Calcule: a) ¿Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del cohete? b) ¿Qué energía adicional habría que suministrar al cohete para que escapara a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa altura. 16 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla G=6,67·10-11N·m2·kg-2: MT=6·1024 kg; RT=6.370km Unidad: Interacción gravitatoria. Conceptos: Fuerza gravitatoria; Fuerza central y conservativa: Energía potencial gravitatoria; Velocidad de escape; Velocidad orbital; Tª generalizado de la energía; Energía mecánica. RESPUESTAS: a) El trabajo realizado por una fuerza central, en este caso la gravitatoria, viene dado por la expresión: B G·m´·m G·m´·m W F ·d r C C ; W Ep g , nos indica que A rA rB el trabajo realizado no depende del camino seguido y sí de los puntos inicial y final de su trayectoria y será, además, conservativo. A cada término contenido entre paréntesis se le denomina energía potencial gravitatoria. Si tomamos el origen de potencial un punto situado en el infinito, r= , el valor de C=0. G·M T ·m G·M T ´·m y rB la órbita: , por lo RT RT h Si rA es la superficie terrestre: tanto, la variación de la energía potencial gravitatoria será: 1 1 G· M T ·m h E pg G· M T ·m· · , sustituyendo los valores: RT h R R h RT T T E pg 5,9755·10 9 J 17 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla b) Supongamos ahora al satélite en el punto “A” que es el de la órbita alcanzada r=RT+h y, el punto a alcanzar “B”, sería el infinito (r=∞) con velocidad final nula. Aplicando el teorema generalizado de la energía: Ec Ep g Eext , siendo Eext la energía suplementaria que hay que comunicar al satélite. Desarrollando esta expresión: Ec ( B ) Ec ( A) E pg ( A) E pg ( B ) Eext Em ( B ) Em ( A) Eext , como energía mecánica en el punto B es nula, por las condiciones indicadas, entonces: Em ( A) Eext , luego: Eext G· M T ·m Sustituyendo los valores indicados: 2·r Eext 1,586·1010 J 4. En una cuerda tensa de 16 m. de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación: y ( x, t ) 0,02· sen · x ·cos( 8 ·t ) a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m. y 6 m. respectivamente de uno de los extremos y comente los resultados. Unidad: Movimiento ondulatorio. Conceptos: Características de un movimiento ondulatorio; ecuación de onda. Interferencia; ondas estacionarias. 18 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla RESPUESTAS: a) La ecuación de onda dada corresponde a una onda estacionaria, generada por la superposición de dos ondas de igual frecuencia, amplitud y velocidad de propagación, pero con sentidos opuestos. Además, presenta un nodo en el punto x=0 y es de tipo transversal, puesto que sus puntos vibran perpendicularmente a la dirección de propagación: y(x,t) Por comparación con la ecuación general de una onda estacionaria con nodo en x=0: y ( x, t ) 2· A·sen ( k · x )·cos( w·t ) , deducimos que: k 2 2 2 m, y, w 2 · f 8 f 4 Hz T b) Para calcular la velocidad de un punto de la cuerda –velocidad de fasederivamos la expresión dada respecto al tiempo: vf dy ( x, t ) 8 ·0,02· sen ( · x )· sen (8 ·t ) , sustituyendo los puntos dados, dt tendremos: vf x 4 vf x 4 ,5 dy ( x, t ) 8 ·0,02· sen ( ·4)· sen (8 ·t ) 0ms 1 dt dy ( x, t ) 8 ·0,02· sen ( ·4,5)· sen (8 ·t ) 0,5026· sen (8 ·t )ms 1 dt 19 SOLUCIONARIO A LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROPUESTAS POR LAS UNIVERSIDADES ANDALUZAS Departamento de Economía Financiera y Contabilidad de Melilla Por lo tanto, el punto x=4 se encuentra en uno de los extremos de oscilación y, para x=4,5 se encuentra en sentido descendente de la oscilación, con un valor máximo, en el origen de oscilación, de la velocidad de 0,5026 ms-1 20