EXAMEN ÔLGEBRA PRIMER PARCIAL (15-1-1999) TEORIA: 1.-

EXAMEN ÔLGEBRA PRIMER PARCIAL (15-1-1999)
TEORIA:
1.- Definición de retÃ−culo. Definición de retÃ−culo complementado. Leyes de De Morgan: enunciado y
demostración
2.- Demostrar que una aplicación lineal es inyectiva precisamente si su núcleo es (0). Demostrar, además,
que las aplicaciones lineales inyectivas transforman sistemas linealmente independientes en sistemas
linealmente independientes.
PROBLEMAS:
1.- Una pandilla de amigos, Luis, Jesús, Antonio, Bea, Benito y Sonia planean ir a pasar el fin de semana a
un refugio de la sierra. Sabemos que la excursión sólo se realizará si tres de ellos al menos acuden, de los
cuales uno por lo menos ha de ser chico. Además Sonia y Luis están enfadados, de tal forma que uno hará
siempre lo contrario que el otro. Por último sabemos que Jesús y Bea son siameses. Indica las variables
independientes de este problema. Calcula la expresión más sencilla que determine si la excursión se
realiza o no en función de las variables independientes.
2.- Consideremos los siguientes subespacios de ,
• Calcular una base, las ecuaciones implÃ−citas y paramétricas de cada uno de los subespacios.
• Calcular una base, las ecuaciones implÃ−citas, paramétricas y la dimensión de
• ¿Están y V3 en suma directa?, ¿son suplementarios?
3.-Para la realización de un determinado proyector se tienen las siguientes actividades:
A(6), B(2), C(5), D(7), E(2), F(1), G(3), H(3), I(4) y J(3), de tal forma que las relaciones de precedencia son:
A antes que D,E,F y G; B antes de F y G; G después de C; G antes que J; I después de E y F; D y E antes
de H. Calcular la tabla de precedencias, el grafo Pert, la duración del proyecto y las rutas crÃ−ticas. Se hace
un control a los 5 dÃ−as y se observa que todo sigue según lo previsto salvo que D no ha comenzado
todavÃ−a, a la actividad I la quedan 2 dÃ−as para concluir y que la actividad G lleva desarrollándose 1
dÃ−a. Indicar la nueva duración del proyecto y las rutas crÃ−ticas.
4.- Resuelve razonadamente las siguientes cuestiones,
• Dado el subespacio W del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, P2[x],
W= {a+bx+cx2/a+b+c=0},
¿Puedes encontrar dos subespacios suplementarios de W disjuntos entre sÃ−? En caso afirmativo indica una
base, las ecuaciones implÃ−citas y paramétricas de dichos subespacios.
b) La raya de Sheffer es una función lógica definida por la siguiente tabla de verdad:
pq
11
10
01
p/q
0
1
1
1
00
1
Demostrar que f (p, q)=[(p/p)/ (q/q)] es verdadera y encuéntrese una proposición equivalente a usando
únicamente la tabla de Sheffer (es decir, no se pueden utilizar ni la conjunción, ni la disjunción, ni la
implicación, ni la doble implicación, ni la negación).
TEST PRIMER PARCIAL (15-1-1999)
1.- Sea la aplicación definida por f(x)=x2+5. Entonces:
• f es inyectiva
• f es epiyectiva
• 2 Im f
2.- Sea A= {números naturales múltiplos de 4}. Se define en A la siguiente relación xRyy-x=12.
Entonces:
• 4 es el primer elemento
• 0 es el primer elemento
• R no es una relación de orden
3.- Sean a, b elementos de un álgebra de Boole A. El complementario de es:
• ninguna de las anteriores
4.- Sean A= {números naturales múltiplos de 4}, B= {números naturales múltiplos de 6}, C= {números
naturales múltiplos de 8}. Entonces es:
• { números naturales múltiplos de 12}
• { números naturales múltiplos de 24}
c) {números naturales múltiplos de 14}
5.- Sea A= Se define en A la relación . El elemento es:
• minimal
• maximal
• el último elemento
6.- Sea una aplicación lineal tal que f(1,2,0)=(3,-4,1), Ker(f)={(x,y,z), x+y+z=0} entonces f(1,1,1) es:
• (3,-4,1)
• (2,1,1)
• No se puede calcular con estos datos
7.- Sean E1={(1,2,0,-1),(2,1,1,0),(4,5,1,-2)} y E2={(x,y,z,t); x+y+z+t=0,2x+y=0, t=0} subespacios de .
Entonces:
• E1 y E2 son suplementarios
• E1 y E2 están en suma directa
•
2
8.- Sea una aplicación lineal, {e1, e2, e3} una base de . f(e1)=(2,-1,0,0) y f(e2)=-f(e3)=(1,1,1,1). Entonces
• dim ker(f)=1
• f es inyectiva
• f es epiyectiva
9.- Sea E={e1=(-1,2,0), e2=(1,3,5), e3=(0,5,5)} un subespacio de Las coordenadas del vector
e= (3,-1,5) respecto de la base (e2, e3) de E son:
• (-3,2)
• (3,-2)
• (3,-1,5) E
10.- Sean E1= {(-1, 1,2), (3, 4,5)} E2= {(x, y, z) ; x+y+z=0} subespacios de . Entonces:
• dim =0
• dim=1
• dim=2
EXAMEN ÔLGEBRA PRIMER PARCIAL (16-1-1999)
TEORIA:
1.- Definición de elemento maximal y minimal. Definición de retÃ−culo distributivo. Propiedad asociativa
del Ã−nfimo: enunciado y demostración.
2.- Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que un sistema de vectores sea linealmente
independiente es que al menos uno de los vectores del sistema se escriba como combinación lineal de los
demás. Demostrar, además, que una base es un sistema de generadores minimal.
PROBLEMAS:
1.- Para la realización del programa semanal “Siete DÃ−as de Noticias” que se emite todos los domingos, se
sigue el siguiente proceso: el lunes se reúnen todos los redactores para decidir qué temas se tratarán en el
programa (dicha reunión les lleva todo el dÃ−a), simultáneamente el equipo de “catering” se encargará de
elegir el vestuario que lucirá la presumida presentadora, elección que durará 2 dÃ−as. Posteriormente, y
después de la reunión de los redactores, se entrará en contacto telefónico con las personas a entrevistar
por un lado (1 dÃ−a) y por otro se recogerán datos de sus biografÃ−as (1/2 dÃ−a) para poder elaborar las
preguntas de las entrevistas (1/2 dÃ−a). Una vez que se haya hablado por teléfono con los interesados y que
se hayan elaborado las preguntas, se procederá a la realización de las entrevistas (1 dÃ−a). Al mismo
tiempo y después de la recopilación de datos, se buscará en los archivos audiovisuales imágenes
adecuadas para acompañar a las entrevistas, esto les llevará 1 dÃ−a. Después de realizar las entrevistas
y de haber seleccionado las imágenes, todo ello se montará (labor en la que invertirán 3 dÃ−as) y se
elaborará el guión (2 dÃ−as) que será entregado junto con el vestuario a la presentadora para que se lo
aprenda (el guión) y se lo pruebe (el vestido), todo ello en 1 dÃ−a. Indicar las actividades de las que consta
el proyecto, elaborar el grafo Pert asociado y calcular la duración del mismo asÃ− como sus rutas crÃ−ticas.
Si el programa se adelanta un dÃ−a, ¿qué actividad hay que recortar preferentemente?
2.- Consideremos los subespacios de ,
3
• Calcular una base, las ecuaciones implÃ−citas y paramétricas de cada uno de los subespacios
• Calcular una base, las ecuaciones implÃ−citas, paramétricas y la dimensión del subespacio
• ¿Están V1 y V3 en suma directa?, ¿son suplementarios?
3.- Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones,
• La tabla de verdad del operador lógico “o excluible”, , es la siguiente
pq
pq
11
0
10
1
01
1
00
0
Demostrar que pq tiene la misma tabla de verdad que . Construir la tabla de verdad de la proposición (pp) p.
• ¿Qué les tiene que ocurrir a las dimensiones de dos subespacios para que tengan un suplementario
común?. Calcula un subespacio suplementario común a los siguientes dos subespacios del espacio
vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, P2[x],
4.- Calcular el circuito de interruptores más simplificado posible para la siguiente función booleana,
TEST PRIMER PARCIAL (16-1-1999)
1.- Sea la aplicación definida por f(x)=x3+5. Entonces:
• f no es inyectiva
• f es epiyectiva
• 3 Im f
2.- Sea A={números naturales múltiplos de 4}. Se define en A la siguiente relación xRyy-x>16. Entonces:
• 16 es el último elemento
• 0 es el primer elemento
• R no es una relación de orden
3.- Sean a,b elementos de un álgebra de Boole A. El complementario de es:
•a
4.- Sean A={números naturales múltiplos de 6}, B={ números naturales múltiplos de 8}, C={ números
naturales múltiplos de 24}. Entonces es:
• { números naturales múltiplos de 12}
• { números naturales múltiplos de 24}
c){ números naturales múltiplos de 14}
5.- Sea A= Se define en A la relación . El elemento es :
4
• minimal
• maximal
• el último elemento
6.- Sea una aplicación lineal tal que f(2,1,0)=(3,-4,1), Ker(f)={(x,y,z), x+y+z=0} entonces f(1,1,1) es:
• (-3,4,-1)
• (3,-4,1)
• No se puede calcular con estos datos
7.- Sean E1={(1,-1,1,-1),(1,0,1,2),(3,-2,3,4)} y E2={(x,y,z,t); x+y+z+t=0,2x+y=0, t=0} subespacios de .
Entonces:
• E1 y E2 son suplementarios
• E1 y E2 están en suma directa
•
8.- Sea una aplicación lineal, {e1, e2, e3} una base de . f(e1)=(2,-1,0,0) y
f(e2)=2f(e3)=(1,-1,-1,1). Entonces
• dim ker(f)=2
• f es inyectiva
• f no es inyectiva
9.- Sea E={e1=(-1,2,0), e2=(1,3,5), e3=(0,5,5)} un subespacio de Las coordenadas del vector
e=(3,-1,5) respecto de la base (e1, e3) de E son:
• (-3,1)
• (3,-2)
• (3,-1,5) E
10.- Sean E1={(-1,1,2), (3,4,5)} E2={(x,y,z) ; x+y+z=0} subespacios de . Entonces:
• dim =0
• dim=1
• dim=2
EXAMEN ÔLGEBRA FINAL PRIMER PARCIAL (17-6-1999)
TEORIA:
1.- Demostrar que:
2.PROBLEMAS:
1.- a) Consideremos el espacio vectorial M3() de las matrices cuadradas de orden 3 con coeficientes reales.
Demostrar que:
5
tal que i>j
es un subespacio vectorial de M3() y calcular su dimensión.
• Sea una transformación lineal tal que T(1)=1+x; T(x2)=(a-1)x2. Calcular las dimensiones de la imagen y
del núcleo en función de los valores del parámetro real a
c) Simplificar y expresar el resultado en un circuito con puertas lógicas:
2.- Usando el diagrama de Karnaugh, construir el circuito de interruptores más simple posible para la
función booleana:
¿SerÃ−as capaz de dar el resultado sin usar Karnaugh?. Justificar la respuesta.
3.- Sea P2 (x) el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2 y
consideremos los siguientes subespacios:
V={P(x) P2(x) tal que P(x) no tiene término independiente}
W={P(x)=a+bx+cx2 ) P2(x) tal que a=0; b=2c
Z={1-x, x2 }
• Calcula una base, ecuaciones paramétricas e implÃ−citas de cada uno de los subespacios
• ¿Están V y W en suma directa?. Justifica la respuesta.
• Si E={ } es un P2(x) donde ¿Quiénes pueden ser para que E esté contenido en ?.
4.-Grafo Pert: A antes que D,E; E,F,G después de B y C; D,E,H antes que J; H,I,K después de F;
L después de G, I
• A(10); B(5); C(6); D(6); E(4); F(3); G(10); H(1); I(2); J(1); K(3)
• Control a los 10 dÃ−as. G retardo de un dÃ−a; I le queda 1 dÃ−a para acabar.
EXAMEN ÔLGEBRA FINAL FEBRERO (22-1-1999)
TEORIA:
1.- Teorema de Steinitz y teorema de la base: enunciados y demostración.
2.- Criterio de diagonalización con el polinomio caracterÃ−stico: enunciado y demostración.
6
PROBLEMAS:
1.- a) Dadas las relaciones de precedencia siguientes: A antes de D, E y F; E, F, G después de B y C; D, E,
F antes de H e I después de E, F, G, escribir el grafo Pert asociado y calcular las flechas más tempranas y
más tardÃ−as asÃ− como las holguras y caminos crÃ−ticos sabiendo que las duraciones ( en horas) de las
actividades son: A(2), B(3), C(4), D(5), E(1), F(2), G(3), H(1) e I(1).
b) Simplificar, expresando el resultado final en un circuito de interruptores,
2.- Consideremos los subespacios vectoriales del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual
que 2, P2[x]
• Calcular una base, la dimensión y las ecuaciones implÃ−citas y paramétricas de cada uno de los
subespacios
• ¿Se verifica que ?. Razona la respuesta.
• Calcular una base, la dimensión y las ecuaciones paramétricas e implÃ−citas del subespacio
3.- Sea un endomorfismo cuya matriz en la base ordinaria de , B={e1, e2, e3}, es
• Es f automorfismo?. Indica sendas bases de los subespacios ker(f) e Im(f).
• Sea B'={u1, u2, u3} otra base de tal que f(e1)=-u1-u2+2u3, f(e2)=4u1+3u2-3u3 y f(e3)=u1+u3. Calcular la
matriz de cambio de base de B' a B. Dado el vector v=6u1+9u2+10u3, calcular T(v) expresado en la base
canónica.
• Calcular los valores y vectores propios de f y determinar si diagonaliza.
4.- Se considera en el espacio euclÃ−deo el subespacio V={(1,-1,0), (0,1,1)} respecto de la base {e1, e2, e3}
tal que .
• Calcular la matriz del producto escalar en la base dada.
• Calcular el subespacio incidente a , donde W={(3,1,2), (0,-1,1)
• Ortonormalizar la base {e1+e2, e1+e3, e2+ e3}
TEST FINAL FEBRERO (22-1-1999)
1.- Sea la aplicación definida por f(x)=x2+5. Entonces:
• f es inyectiva
• f es epiyectiva
• 2 Im f
2.- Sean a,b elementos de un álgebra de Boole A. El complementario de es:
• ninguna de las anteriores
7
3.- Sean A={números naturales múltiplos de 4}, B={ números naturales múltiplos de 6}, C={ números
naturales múltiplos de 8}. Entonces es:
• { números naturales múltiplos de 12}
• { números naturales múltiplos de 24}
c){ números naturales múltiplos de 14}
4.- Sea A= Se define en A la relación . El elemento es :
• minimal
• maximal
• el último elemento
5.- Sean E1={(1,2,0,-1),(2,1,1,0),(4,5,1,-2)} y E2={(x,y,z,t); x+y+z+t=0,2x+y=0, t=0} subespacios de .
Entonces:
• E1 y E2 son suplementarios
• E1 y E2 están en suma directa
•
6.- Sea T:una aplicación lineal epiyectiva, y sea A es la matriz asociada a T. El sistema AX=B es:
• compatible determinado
• compatible indeterminado
• depende de B
7.- Sea T un endomorfismo de cuya matriz en la base {e1,e2} es . La matriz de la aplicación lineal T*
respecto de la base dual de {e1,e2} es:
a) b) c)
8.- Sea {e1,e2} una base de y sea {w1,w2}, su base dual. Si la matriz de cambio de base de la base{w1,w2} a
una base {} es , entonces las coordenadas de 3w1-2w2 respecto de la base {} son:
• 3,-1 b) 5,-7 c) 4,1
9.- Sea T un endomorfismo de cuya matriz en una base B es diagonal. Entonces:
•0
• AT(x) tiene tres raÃ−ces reales distintas
• T-3Id es diagonal
10.- Sea P2(x) =<1,x,x2>, y sea f el endomorfismo de P2(x) definido por: f(p(x))=p'(x) cuya matriz en la base
{1,x,x2} es A. Entonces:
• f es biyectiva
• el sistema AX= es compatible
• f no es lineal
EXAMEN ÔLGEBRA SEGUNDO PARCIAL (28-5-1999)
8
TEORIA:
1.2.PROBLEMAS:
1.- Sea U2() el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales. Consideramos
el endomorfismo T de dicho espacio definido por: T(A)=A-At
• Calcular la matriz de T respecto de la base canónica de U2()
• Calcular la matriz de T respecto de la base (usando la matriz de cambio de base)
B=
• Calcular la base de e
2.- Sea [P2(x)] el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes ctes de grado menor o igual que 2
dotado del siguiente producto escalar: P(x)Q(x)=a0b0+a1b1+a2b2 donde
P(x)=a0+a1x+a2x2;
Q(x)=b0+b1x+b2x2;
• Matriz del producto escalar respecto de la base {1+2x, x, x+x2 }
• Calcular el subespacio incidente y el ortogonal a W={x, x-x2, x2 }
• Ortonormalizar la base { 1+x, 1+x2, x2 } empleando la matriz del apartado a)
3.- Resolver:
4.- a) Calcular el siguiente determinante de orden (n+2)(n+2) usando una ecuación
La empresa “ El cerdito feliz” posee dos fábricas de embutidos en Guijuelo la primera se dedica a la
producción de chorizo y la segunda a la de salchichón, debido a limitaciones del personal no se producen
más de 400 Kg. de cada embutido diarios; por otra parte en total la producción ha de ser de 550 Kg. diarios.
Se debe producir más chorizo que salchichón. Los precios son: Chorizo a 1400 pts/Kg. Salchichón a 1250
pts/kg. Sabiendo que toda la producción es vendida ¿cuántos kilos deben fabricarse de cada producto para
obtener más beneficios?
TEST SEGUNDO PARCIAL (28-5-1999)
1.- Los endomorfismos de tienen vector propio
• siempre
• nunca
• a veces
2.- Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial cuyo polinomio caracterÃ−stico es x3-1 entonces:
9
• T diagonaliza
• T3 diagonaliza
• T3 no diagonaliza
3.- Sea T: una aplicación cuya matriz en B y B' es A; si AX=B es S.C.D B. Entonces:
• T es inyectiva y no epiyectiva
• T es epiyectiva y no inyectiva
• T es biyectiva
4.-Sean B={(1,1),(1,-1)} y B'={(1,0),(0,1)} dos bases de cuyas bases duales son B*={ W1, W2} y
respectivamente. Las coordenadas de respecto de la base B* son:
• (2,8)
• (1,4)
• no se puede calcular
5.- ¿Quién es la base ortonormal donde el producto escalar es ?
•,
• (1,0), (0,1)
•
6.- Sean B y U dos subespacios vectoriales de tal que: B={x+2y+3z=0}; U=Entonces:
• dim
7.- La solución general de una ecuación diferencial es: ¿Cuál es el grado de la ecuación?
•3
•2
•1
8.- Sea un producto vectorial definido por: e1e1=4;e1e2=2; e2e1=2; e2e2=1 Entonces:
• (e1+2e2)e1=0
• e1 y e2 son libres
• e1 y e2 no son generadores.
9.- Sabiendo que ; ¿Cuál es el signo de ?
•1
• -1
• no se puede saber con estos datos
10.- Si los vectores e1, e2, e3 tienen de valor propio (1, 2, 3) ¿Los valores propios de 2e1,2e2, 2e3 son?
• (1, 2, 3)
• (2, 4, 6)
•2
10
EXAMEN ÔLGEBRA SEGUNDO PARCIAL(29-5-1999)
TEORIA:
PROBLEMAS:
1.- Sea P2(x) el espacio de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2.
Consideremos el endomorfismo T del mismo, tal que :
T(1+x)=T(1-x2)=1+x
T(x-x2)=x2. Calcular:
• Matriz de T respecto de la base canónica de P2(x)
• Matriz de T respecto de la base B={1+x, 1-x2, x-x2 } usando la matriz de cambio de base
• Estudiar las dimensiones de e
2.- Sea [P2(),.] el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2,
dotado del siguiente producto escalar: P(x)Q(x)=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2); Calcular:
• Matriz del producto escalar respecto de la base {1-2x, x, 1+x2 }
• Calcular el subespacio incidente y ortogonal a W={1-x, x2 }
• Ortonormalizar la base { 1+x, 1-x2 } de un subespacio de dimensión 2 de P2()
3.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
4.- a) Calcula el valor del siguiente determinante (n+2) (n+2), usando una ecuación en diferencias:
b) La empresa MGM tiene en sus plantaciones dos tipos de viñas: Las extras y las normales. En la presente
temporada la UE ha fijado unas limitaciones a su producción: no se deben recoger más de 200 toneladas de
uva extra y 200 toneladas de normales; y la producción conjunta debe superar las 100 toneladas. Además la
tradición familiar marca que la producción extra debe ser superior o igual que la normal. Si venden todas
las uvas a una renombrada bodega a 600 pts/Kg. las extras y a 400 pts/Kg. las normales, ¿Cuántos kilos de
cada tipo deben recoger para obtener el máximo beneficio?.
TEST SEGUNDO PARCIAL(29-5-1999)
1.- Sea T un endomorfismo de y sea e . Entonces e es un vector propio de T:
• siempre
• nunca
• a veces
2.- Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial complejo cuyo polinomio caracterÃ−stico es x3-1
entonces:
• T diagonaliza
• T no diagonaliza
• todos los vectores propios de T son linealmente dependientes.
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3.- Sea T: una aplicación lineal cuya matriz en B y B' de respectivamente A; si AX=B es S.C B. Entonces:
• T es inyectiva y no epiyectiva
• T es epiyectiva y no inyectiva
• T es biyectiva
4.-Sean B={(1,1),(1,-1)} y B'={(1,0),(0,1)} dos bases de cuyas bases duales son B*={ W1, W2} y
respectivamente. Las coordenadas de respecto de la base B* son:
• (2,8)
• (1,4)
• no se puede calcular
5.-Sean e1 , e2 dos vectores de y sea G la matriz definida por:
• (e1+2e2)e1=0
• e1 y e2 son L.dependientes
• e1 y e2 no son generadores.
6.- Sean E y V dos subespacios vectoriales de tal que: Eo={(1,1,-1),(2,-3,1)} Vo={(2,-3,1)} Entonces:
• dim
7.- La solución general de una ecuación diferencial Y'''-5Y''+8Y'-4Y=0 es:
•
8.- Sea {e1, e2, e3 } una base de en la cual la matriz del producto escalar es: Entonces:
• e3 no es ortogonal a e1+e2
• e2 no es ortogonal a e1+e3
• e1 no es ortogonal a e2+e3
9.-Sea A una matriz de 62X62 inversible y sea B la matriz obtenida a partir de A permutando las columnas
mediante la permutación: e ; Entonces:
•
10.- Sea T un endomorfismo y sean e1, e2, e3 tres vectores propios de T de valor propio 1. Entonces:
• e1-e2 no es un vector propio
• e1-2e2 no es un vector propio
• e1+e2 es un vector propio
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