CONCEPTO DE LUGAR GEOMÉTRICO Introducción: A partir de objetos ya conocidos se generaliza el concepto de Lugar Geométrico, que abarca a múltiples problemas de Geometría plana y del Espacio. Se estudian con detalles los más conocidos y luego se resuelven dos problemas: uno de construcción y otro que consiste en hallar un lugar geométrico de un punto variable en el plano. 1. LUGARES GEOMÉTRICOS ELEMENTALES Circunferencia: La circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que cumplen que su distancia a un punto fijo dado es constante. Se puede definir por comprensión: Cfa(O, r) ={X є Ω / d(X,O) = r}. En este conjunto están todos los puntos del plano que satisfacen la condición de distar r de O, y sólo ellos. Decimos en otros términos: Dados un punto O y un número real r >0, se llama circunferencia de centro O y radio r, al lugar geométrico de los puntos del plano que distan de O la distancia r. Mediatriz de un segmento: Teniendo en cuenta que la mediatriz de un segmento es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de sus extremos, podemos definir: Dados dos puntos A y B se llama mediatriz del segmento AB al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y de B. mz( ( AB) {X / d ( X , A) d ( X , B)} Bisectriz de un ángulo: El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes a y b, es la unión de las cuatro bisectrices de los ángulos que ellas determinan. bz( ((a, b)) {X / d ( X , a) dX , b)} Paralela media: El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas paralelas a y b, es la recta paralela a ambas y a igual distancia de a y de b. { X / d ( X , a) dX , b)} Unión de paralelas: Dada una recta r y un número real d, se llama unión de paralelas al lugar geométrico de los puntos del plano que distan de r la distancia d. {X / d ( X , r ) d} 2. PROBLEMAS Problema 1. T y M son puntos fijos en la recta r. Se consideran las circunferencias C variables, tangentes a la recta r en el punto T. Por el punto M se traza la otra recta tangente a C , siendo L el punto de contacto. Hallar el lugar geométrico de L. Solución: Se observa que los dos segmentos MT y ML son iguales, por ser segmentos de tangentes desde un mismo punto (M). Además M y T son fijos, por lo que d(M,L) es constante, ya que d(M,L) = d(M,T). Conclusión: los puntos L equidistan de M entonces están en la circunferencias de centro M y radio d(M,T) Es decir que el lugar geométrico de L está incluido en la circunferencia de centro M. Ahora vamos a estudiar si todos los punto de dicha circunferencia son punto del lugar, o hay que excluir a alguno. CONSTRUCCIONES Introducción: Nos referimos en este material a la posibilidad de construir figuras geométricas utilizando únicamente regla y compás. Este problema de la constructibilidad de figuras ha sido objeto de estudio desde los geómetras griegos hasta nuestros días. Existen problemas que pueden resolverse utilizando sólo regla y compás, y existen otros, para los que se demuestra que dicha construcción es imposible. Estos detalles no serán expuestos en este trabajo, el cual sólo atenderá a algunos de aquéllos problemas que si son resolubles mediante estos dos instrumentos. Al decir “regla y compás” nos referimos a la construcción utilizando rectas y circunferencias. Entendemos que las construcciones son teóricas, y que los dibujos o gráficos constituyen un instrumento valioso; pero no debemos confundir la construcción física (que invariablemente tiene errores) con la que es nuestro objeto de estudio.