INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
INTRODUCCIÓN
La Geometría Analítica tiene por objeto la resolución de
problemas geométricos utilizando métodos algebraicos. El
sistema que se emplea para representar gráficas fue
ideado por el filósofo y matemático francés Descartes
(1.596 -1.650), quien usó su nombre latinizado, Renatus
Cartesius, y por esta razón se conoce con el nombre de
ejes cartesianos.
OBJETIVOS
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Identificar las coordenadas de un punto en el plano y conocer su
interpretación geométrica.
Reconocer y representar gráficamente lugares geométricos de puntos a
distancia constante de los ejes.
Expresar en una tabla de valores y representar gráficamente las soluciones
de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Estudiar analíticamente la incidencia entre puntos y rectas.
Determinar la posición relativa entre dos rectas y, como aplicación, discutir y
resolver un sistema 2x2.
EVALUACIÓN
Al finalizar la unidad, y para determinar si has superado los objetivos previstos,
debes realizar en tu cuaderno cada una de las actividades propuestas en este test,
donde únicamente una de las respuestas es la correcta. Una vez resueltas, accede a
la página de evaluación y cumplimenta el formulario. Es conveniente que repitas en
tu cuaderno las actividades erróneas, si las hubiera.
Lugares geométricos.
Se llama lugar geométrico a cualquier conjunto de puntos que vienen
caracterizados por una cierta propiedad.
Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a
distancia fija r de un punto señalado, O, es la circunferencia centrada en O y con
radio r .
El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de
dos puntos dados, es la mediatriz del segmento que los une.
El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a distancia fija de
una recta, es un conjunto formado por dos rectas paralelas a la recta dada.
Ecuación de un lugar geométrico.
Para hallar la ecuación de un lugar geométrico se toma un punto genérico X de
coordenadas (x, y) y se intenta escribir en forma de ecuación la condición que
define al lugar.
Ejercicio: lugares geométricos
1) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos
A(2, 3) y B(-2, 7).
Resolución:
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A y
B. Se puede, por tanto, aplicar el método de los lugares geométricos:
· Se elige un punto arbitrario X(x, y).
· La condición para que el punto pertenezca a la mediatriz es que ambas distancias
sean iguales:
(x - 2)2 + (y - 3)2 = (x + 2)2 + (y - 7)2
x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = x2 + 4x + 4 + y2 - 14y + 49 Þ -8x + 8y - 40 = 0
La ecuación de la mediatriz es - 8x + 8y - 40 = 0.
2) Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en (3, 5) y de radio 5.
Resolución:
· Se toma un punto genérico X(x, y)
Su distancia al punto (3, 5) es:
· Para que el punto se halle sobre la circunferencia dada, ha de ser
que es la circunferencia pedida.
3) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 2x
- y + 5 = 0 es el doble de la distancia a la recta x + 2y - 6 = 0.
Resolución:
· Se toma un punto genérico X(x, y).
Su distancia a cada una de las rectas es:
La condición que define al lugar geométrico es d = 2 · d':
Þ | 2x - y + 5 | = | 2x + 4y - 12 |
Para que dos expresiones tengan el mismo valor absoluto es preciso que sean
iguales u opuestas. Se tienen pues dos soluciones:
2x - y + 5 = 2x + 4y - 12 Þ 5y - 17 = 0
2x - y + 5 = -2x - 4y + 12 Þ 4x + 3y - 7 = 0
Bisectriz de un ángulo.
Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo; por lo
tanto, la bisectriz está contenida en el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de los lados.
Este lugar geométrico está constituido por las bisectrices de los cuatro ángulos que
se forman al cortar las dos rectas. Dichas bisectrices coinciden dos a dos.
Así pues, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas está
constituido por dos rectas que son las bisectrices de los ángulos que forman.
Ejercicio: bisectrices de un ángulo
1) Hallar las bisectrices de los ángulos formados por las rectas 4x + 3y - 5 = 0 y
12x - 5y - 18 = 0.
Resolución:
· La distancia de un punto genérico X(x,y) a cada una de las rectas es:
· El punto genérico se encuentra en las bisectrices si ambas distancias son iguales:
· Esto da lugar a dos rectas cuyas ecuaciones son: