ENUNCIADOS Pruebas Logse Comunidad Valenciana

Pruebas Logse
Comunidad Valenciana
ENUNCIADOS
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
EJERCICIO A
Junio de 2003
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA A1. Dada la siguiente ecuación matricial:
æ 3
ç
ç -2
ç 0
è
-2
1
1
ö
æ x
÷æ x ö ç
÷çç y ÷÷ + ç y
ø ç z
֏
ø
è
ö æ -10 ö
÷ ç
÷
÷=ç 6 ÷
÷ ç 3 ÷
ø è
ø
obtener de forma razonada los valores de x, y, z.
PROBLEMA A2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual
de 20 minutos para el modelo A y 30 minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10
minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6.000 minutos al mes y para el trabajo de máquina de 4.800
minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 € para el modelo A y de 10 € para el modelo B, planificar la
producción para obtener el máximo beneficio y calcular éste.
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
EJERCICIO B
Junio de 2003
PROBLEMA B2. Debo tomar al menos 60 mg de vitamina A y al menos 90 mg de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo
adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mg de vitamina A y 15 mg de vitamina B y
cada pastilla de la marca Y contiene 10 mg de cada vitamina. Además, no es conveniente tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo
que el precio de cada pastilla de la marca X es 50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro,
calcular de forma razonas:
a) Cuántas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mínimo.
b) Cuál es el coste mínimo.
PROBLEMA B3. Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron dos cafés, dos cortados y un café con leche y
debieron pagar 3 €. Al día siguiente toma-ron un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3,25 €. El tercer día
sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2,45 €. Calcular de
forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche.
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
EJERCICIO A
Septiembre de 2003
PROBLEMA A1. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los
kilómetros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se ha pagado 20 € y por un billete entre las poblaciones A y C se ha
pagado 32 €. Si la distancia de A a C es el doble de la distancia de A a B, calcular de forma razonada cuánto se tendrá que pagar por
un billete a una población que dista de A la mitad que B.
PROBLEMA A2. Una empresa dispone de un máximo de 16.000 unidades de un producto que puede vender en unidades sueltas o
en lotes de cuatro unidades. Para empaquetar un lote de cuatro unidades se necesita el triple de material que para empaquetar una
unidad suelta. Si se dispone de material para empaquetar 15.000 unidades sueltas, y si el beneficio que se obtiene por la venta de
cada unidad suelta es de 2 € y de cada lote de cuatro unidades es de 7 €, calcular de forma razonada el número de unidades sueltas
y de lotes de cuatro unidades que hay que preparar para maximizar el beneficio y calcular éste.
EJERCICIO B
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Septiembre de 2003
PROBLEMA B1. Dados los puntos del plano (1,1) y (3,-2), se pide:
a) encontrar la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos
b) deducir si dicha recta es para-lela a la recta de ecuación 3x+y=5
c) en este último caso, calcular el punto de corte.
PROBLEMA B2. Se pretende invertir en dos productos financieros A y B. La inversión en B ha de ser al menos de 3.000 € y no se
quiere invertir en A más del doble que en B. Se supone que A proporcionará un beneficio del 10% y B del 5%. Si se dispone de
12.000 €, calcular de forma razonada cuánto se debe invertir en cada pro-ducto para maximizar el beneficio y determinar éste.
Departamento de Matemáticas
IES Doctor Balmis (Alicante)
Pruebas Logse
Comunidad Valenciana
SOLUCIONES
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Soluciones del ejercicio A
Junio de 2003
PROBLEMA A1.
æ 3 -2 ö
æ x ö æ -10 ö
ç
÷æ x ö ç
÷ ç
÷
÷÷ + ç y ÷ = ç 6 ÷ se obtiene el sistema de ecuaciones:
A partir ç -2 1 ÷çç
y ø ç
ç 0
÷ ç
÷
1 ÷øè
è
è z ø è 3 ø
por reducción y sustitución da la solución ( -2,1, 2)
ì 4x - 2y = -10
ï
í-2x + 2y = 6 que
ïy + z = 3
î
PROBLEMA A2
ì x ³ 0 ì20x + 30y £ 6000
Las restricciones son í
yí
que determinan la región factible:
î y ³ 0 î20x +10y £ 4800
Los puntos posibles son A(240,0), B(210,60), C(0,200).
Sustituyendo en la función objetivo f(x,y)=15x+10y se obtiene: f(240,0)=3600, f(210,60)=3750,
f(0,200)=2000. Luego debo fabricar 210 lámparas del tipo A y 60 lámparas del tipo B, obteniendo un
beneficio de 3750 euros.
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Soluciones del ejercicio B
Junio de 2003
PROBLEMA B2.
ìx + y £ 8
ì20x + 30y £ 6000
Las restricciones son í
yí
que determinan la región factible:
î x ³ 0, y ³ 0 î20x +10y £ 4800
Los puntos posibles son A(6,0), B(8,0), C(2,6).
Departamento de Matemáticas
IES Doctor Balmis (Alicante)
Pruebas Logse
Comunidad Valenciana
Sustituyendo en la función objetivo f(x,y)=50x+30y se obtiene: f(6,0)=300, f(8,0)=400, f(2,6)=280.
Luego debo tomar 2 pastillas A y 6 pastillas B, siendo el coste de 280 euros.
PROBLEMA B3.
æ
ç 1
ç 1
ç 2
è
ì2x + 2y + z = 3
ï
Se plantea el sistema de ecuaciones í x + y + 3z = 3, 25 y aplicando el método de Gauss,
ï x + 2y + z = 2, 45
î
ö æ
3, 25 ö
1 3 3, 25 ÷ ç 1 1 3
÷
2 1 2, 45 ÷ ® ç 0 1 -2 -0,80 ÷ de donde se obtiene z = 0, 70 ; y = 0, 60 ; x = 0, 55.
2 1
3 ÷ø çè 0 0 -5 -3, 5 ÷ø
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Soluciones del ejercicio A
Septiembre de 2003
PROBLEMA A1.
ì x + y = 20
Si “x” el precio por Km del billete de A a B e “y” la cantidad fija: í
. La solución es x=12,
î2x + y = 32
y=6. Por tanto pagará 12 euros (6 fijos y 6 por la distancia recorrida).
PROBLEMA A2
ì x + 4y £ 16000
ï
Las restricciones son í3x + y £ 15000 que determinan la región factible:
ï x ³ 0, y ³ 0
î
Los puntos posibles son A(5,0), B(0,4), C(4,3) en miles de unidades.
Sustituyendo en la función objetivo f(x,y)=2x+7y se obtiene: f(5,0)=10, f(0,4)=28, y f(4,3)=29. Luego
debe preparar 4000 unidades sueltas y 3000 lotes de cuatro unidades y así alcanzará un beneficio de
29000 euros.
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Soluciones del ejercicio B
Septiembre de 2003
PROBLEMA B1.
a) Si (1,1) y (3,-2) pertenecen a la recta y=mx+n se cumple
ì1 = m ×1+ n
3
5
y resolviendo el sistema se obtiene y = - x + .
í
2
2
î-2 = m × 3+ n
b) En forma explícita la recta es y = -3x + 5 y tiene diferente pendiente. Por tanto no son paralelas.
Departamento de Matemáticas
IES Doctor Balmis (Alicante)
Pruebas Logse
Comunidad Valenciana
ì
3
5
ïy = - x +
c) Resolviendo el sistema í
2
2 se obtiene el punto de corte P 5 3 , 0 .
ïî y = -3x + 5
(
)
PROBLEMA B2.
ì x ³ 3000
ï
ï x £ 2y
Las restricciones son í
que determinan la región factible:
ï x + y £ 12000
ïî x ³ 0, y ³ 0
Los puntos posibles son A(8,4), B(3,1.5) y C(3,9) en miles de euros.
Sustituyendo en la función objetivo f(x,y)=0,10x+0,05y se obtiene f(8,4)=1000, f(3,1.5)=875 y
f(3,9)=750. Luego debe invertir 8000 euros en A y 4000 euros en B para obtener un beneficio de 1000
euros.
Departamento de Matemáticas
IES Doctor Balmis (Alicante)