ENUNCIADOS Pruebas Logse Comunidad Valenciana

Pruebas Logse
Comunidad Valenciana
ENUNCIADOS
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
EJERCICIO A
Junio de 2002
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
x+y£5
PROBLEMA A1. Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones:
x + 3y ³ 9 . Representar la región
x ³ 0, y ³ 0
factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y hallar de forma razonada el punto o puntos de la región factible donde
las siguientes funciones alcanzan su máximo y su mínimo: a)
f (x, y) = 2x + 3y , b) f (x, y) = y - x
PROBLEMA A2. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 2115 €. Calcular de forma
razonada cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 €, cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el
50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que han pagado el billete
entero.
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
EJERCICIO B
Junio de 2002
PROBLEMA B1. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en
paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen 3 refrescos con cafeína y 3 sin cafeína, y los de tipo B contienen 2 con
cafeína y 4 sin cafeína. El vendedor gana 6 € por cada paquete de tipo A y 5 € por cada uno que venda de tipo B. Calcular de forma
razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular estos.
PROBLEMA B2. Los tres vértices de un triángulo son
A = (0,1) , B = (1, 2) y C = (3, 0) .
a) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C.
b) Hallar el punto de intersección de esta recta con la ecuación x + 3y = 2 .
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
EJERCICIO A
Septiembre de 2002
PROBLEMA A1. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha. con olivos de tipo
A ni más de 10 ha. con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3
m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225
€. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar e tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300
litros anuales d aceite,
a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite.
b) Obtener la producción máxima.
PROBLEMA A2. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX=2B-C, siendo:
æ
ö
A=ç 2 1 ÷
è -5 0 ø
EJERCICIO B
æ
ö
B = ç 3 -4 ÷
è -1 1 ø
æ
ö
C = ç -2 -7 ÷
è 13 2 ø
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Septiembre de 2002
PROBLEMA B1. Una empresa fabrica dos tipos de aparatos A y B que necesitan pasar por los talleres X e Y. En casa uno de los
talleres se trabaja 100 horas a la semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y 1 hora del taller Y y cada aparato B, 1 y 2
horas, respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 € y cada aparato B, a 150 €.
a) Obtener razonadamente cuántos aparatos de cada tipo han de producirse para que el ingreso posventas sea máximo.
b) ¿Cuál es el ingreso máximo?
PROBLEMA B2. Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela a la y=2x-3 que pasa por el punto de intersección de
y=3x-2 y 3x-2y=1
Departamento de Matemáticas
IES Doctor Balmis (Alicante)
Pruebas Logse
Comunidad Valenciana
SOLUCIONES
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Soluciones del ejercicio A
Junio de 2002
PROBLEMA A1.
x+y£5
Las inecuaciones x + 3y ³ 9 que determinan la región factible:
x ³ 0, y ³ 0
Los posibles puntos solución de la región factible son: A(0,3), B(0,5) y C(3,2).
a) Sustituyendo en f(x,y)=2x+3y se obtiene f(0,3)=9, f(0,5)=15 y f(3,2)=12. Luego el mínimo está en A
y el máximo en B.
b) Sustituyendo en f(x,y)=y -x se obtiene f(0,3)=3, f(0,5)=5 y f(3,2)=-1. Luego el mínimo está en C y el
máximo en B.
PROBLEMA A2
El sistema de ecuaciones es
æ 1
ç
ç 2
ç 10
è
1
-1
2
1
0
5
500
0
2350
ö æ
÷ ç
÷®ç
÷ ç
ø è
ì x + y + z = 500
ï
í9x +1,8y + 4, 5z = 2115
ï y = 2x
î
1 1
1
500 ö æ 1
÷ ç
2 -1 2
0 ÷®ç 0
5 2 10 2350 ÷ø çè 0
1
-1
-3
1
2
5
500
0
-150
ö æ 1
÷ ç
÷®ç 0
÷ ç 0
ø è
1
-1
0
1
2
-1
500
0
-150
Luego fácilmente se obtiene la solución (150,300,50).
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Soluciones del ejercicio B
Junio de 2002
PROBLEMA B1.
ì3x + 2y £ 120
ï
Las restricciones son í3x + 4y £ 180 que determinan la región factible:
ï x ³ 0, y ³ 0
î
Departamento de Matemáticas
IES Doctor Balmis (Alicante)
ö
÷
÷
÷
ø
Pruebas Logse
Comunidad Valenciana
PROBLEMA B2.
a) La pendiente mAB =1 y por tanto la recta paralela tendrá una ecuación del tipo
C, 0=3+n y su ecuación será y = x - 3.
ìy = x - 3
b) Resolviendo el sistema í
se obtiene el punto 11 , -1 .
4 4
î x + 3y = 2
(
y = x + n . Si pasa por
)
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Soluciones del ejercicio A
Septiembre de 2002
PROBLEMA A1.
ì 4x + 3y £ 44
ï
ï500x + 225y £ 4500
Las restricciones son í
que determinan la región factible:
ï x £ 8, y £ 10
ïî x ³ 0, y ³ 0
Los puntos posibles son A(0,10), B(7/2,10), C(6,20/3), D(8,20/9) y E(8,0).
Departamento de Matemáticas
IES Doctor Balmis (Alicante)
Pruebas Logse
Comunidad Valenciana
Sustituyendo en la función objetivo f(x,y)=500x+300y se obtiene: f(0,10)=3000, f(7/2,10)=4750,
f(6,20/3)=5000, f(8,20/9)=4667 y f(8,0)=4000. Luego se deben plantar 6 hectáreas de tipo A y 6,67
hectáreas de tipo B siendo la producción de 5000 litros de aceite.
PROBLEMA A2.
æ
AX = 2B - C = 2 ç 3 -4
è -1 1
æ 8 -1 ö 1 æ
X = A-1 ç
÷= ç
è -15 0 ø 5 è
ö æ -2 -7 ö æ 8 -1
÷-ç
÷=ç
ø è 13 2 ø è -15 0
0 -1 öæ 8 -1 ö æ 3
֍
÷=ç
5 2 øè -15 0 ø è 2
ö
÷. Y por tanto
ø
0 ö.
÷
-1 ø
Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales
Soluciones del ejercicio B
Septiembre de 2002
PROBLEMA B1.
ì3x + 2y £ 100
ï
Las restricciones son í x + 2y £ 100 que determinan la región factible:
ï x ³ 0, y ³ 0
î
Los puntos posibles son A(0,50), B(20,40) y C(100/3,0).
Sustituyendo en la función objetivo f(x,y)=100x+150y se obtiene f(0,50)=7500, f(20,40)=8000 y
f(100/3,0)=3333,3. Luego se deben fabricar 20 aparatos de tipo A y 40 aparatos de tipo B obteniéndose
una ganancia de 8000 euros.
PROBLEMA B2.
ì y = 3x - 2
La recta paralela tendrá de pendiente m=2. Resolviendo el sistema í
se obtiene el punto
î3x - 2y = 1
(1,1). Por tanto la recta pedida, en forma punto-pendiente, es y-1=2(x-1).
Departamento de Matemáticas
IES Doctor Balmis (Alicante)