M. C. ESCHER Primera regla para la construcción de mosaicos de Escher. Partiendo de un triángulo o cuadrilátero, se obtiene una figura que compone un mosaico de Escher, recortando un trozo de un lado (cuya frontera sea menor que la mitad de dicho lado) y se añade en el mismo lado mediante un giro de 180º con centro en el punto medio del lado en cuestión. Segunda regla para la construcción de mosaicos de Escher. Para construir la pieza básica, se recorta un trozo de figura en un lado y con centro en un vértice se gira y se añade dicho trozo en otro lado. Los giros son de 60º o 120º, y los vértices de giro no pueden ser consecutivos. 1 LOS MOVIMIENTOS IMPLICADOS. Para poder acoplar las piezas, debido a la forma de construirlas, estas no pueden estar todas en la misma posición. Es necesario por tanto recurrir a la geometría dinámica para conocer como tiene que ir dispuestas. LAS DIRECCIONES DE TRASLACIÓN. Una vez obtenido un motivo mínimo, fruto de acoplar las primeras piezas, el resto del mosaico se obtiene desplazando este motivo sobre dos direcciones diferentes. 2 Las reglas 1 Y 2 utilizadas conjuntamente. 1.- Diseña piezas, utilizando ambas reglas a la vez sobre polígonos diferentes al triángulo. 2.- Deduce si se pueden aplicar ambas reglas conjuntamente sin ningún tipo de restricción. 3.- Observa que la pajarita nazarí también se ajusta a este tipo de diseño. 3 Regla 3 de construcción de diseños en los mosaicos de Escher. Partamos de un paralelogramo o un hexágono con lados opuestos paralelos. Para crear una figura que forme un mosaico basta seguir la siguiente regla: Toda parte recortada en un lado se traslada paralelamente al lado opuesto. LA CONSTRUCCIÓN DEL MOSAICO NOTAS: Si la rotación de la pieza se hace en un cuadrado sobre el centro del mismo lado, el montaje hay que hacerlo por simetría y si se hace por traslación sobre el lado opuesto, la traslación se hace por traslación. En una pieza cuadrada también se puede hacer un giro de 90º interior o 270º exterior. 4 A) Por traslaciones. Sobre un paralelogramo o un hexágono, se modifica (o "recorta") un lado y se traslada la modificación (o se añade lo recortado) hacia el lado opuesto: B) Mediante giros de 180º con el centro en el punto medio de un lado de un cuadrilátero, triángulo o hexágono. 5 C) Mediante giros de 60º, 90º o 120º desde un vértice en algunos polígonos. Los vértices desde los que se gira no pueden ser contiguos. D) También se pueden utilizar técnicas mixtas. Utilizamos primero la técnica C al modificar un lado del triángulo y girar 60º desde un vértice. En el otro lado que queda sin modificar utilizamos la técnica B: 6 Observaciones sobre las técnicas estudiadas Un mismo mosaico puede ser generado mediante técnicas diferentes. Aquí tenemos tres formas distintas de obtener el famoso "avión", presente como la pajarita y el hueso en los azulejos de la Alhambra. En el primer caso se obtiene directamente mediante técnicas de Escher, y en los otros casos al dibujar el mosaico que se realiza girando la trama 1 o por simetrías en la trama 2 (compruébalo fácilmente dibujando las tramas sobre un papel cuadriculado). 7