Problemes_PAU_Algebra.pdf

PROBLEMES PAU ÀLGEBRA
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Setembre 2007
Setembre 2006
Juny 2006
Setembre 2005
Juny 2005
Juny 2000
Juny 1999
Madrid 2001
Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos.
Comprueba que las siguientes matrices tienen el mismo determinante:
1
1
1 
 1+ a


1
1 
 1 1− a
A= 
1
1 1+ b
1 


 1

1
1
1
−
b


y
 1+ a
1

 1 1− a
B= 
1 1


1 1

Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos.
1 1
1 1
1+ b
1
1 1− b







 1 3

Sea la matriz A = 
 1 4
a) (1 punto) Calcula A–1
b) (1 punto) Resuelve el sistema
  5   x    21
A ⋅    +    =  
  − 1  y    24 
Madrid 2000
Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos.
Sea el sistema
 − x + λ y + 2z = λ

 2x + λ y − z = 2
 λ x − y + 2z = λ

a) (1 punto) Discutir la compatibilidad del sistema según los diversos valores
de λ
b) (1 punto) Resolver el sistema para λ = – 1
c) (1 punto) Resolver el sistema para λ = 2
Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos.
Se considera el sistema de ecuaciones
 ax + y + z = (a − 1)(a + 2)

2
 x + ay + z = (a − 1) (a + 2)

3
 x + y + az = (a − 1) (a + 2)
a) (1 punto) Comprobar que es compatible para todo valor de a
b) (1 punto) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones para a = 1 y para a = – 2
c) (1 punto) Resolverlo para a = – 2
Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos.
Considerar el sistema de ecuaciones
( λ − 1)x +
x
+
donde
a)
b)
c)
y
+
y
+
( λ − 1)y −
z =
z =
z =
1

λ
0 
λ es un número real.
(1 punto) Discutirlo según los valores del parámetro λ
(1 punto) Resolverlo para λ = 0
(1 punto) Resolverlo para λ = 3
Madrid 1999
Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos.
λx +

Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones  x −
 x +

y +
y
λx +
z =
=
z =
1
λ
1
a) (1 punto) Discute la compatibilidad del sistema en función del parámetro λ
b) (1 punto) Encuentra, cuando existan, sus soluciones.
Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos.
Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones
a1
 a1x + b1y = c 1

S =  a2 x + b2 y = c 2
D = a2
a x + b y = c
a3
3
3
 3
Sy
b1
b2
b3
el siguiente determinante D:
c1
c2
c3
a) (1,5 puntos) Si S es compatible, ¿se verifica entonces que D = 0?
b) (1,5 puntos) Si D = 0, ¿se verifica entonces que S es compatible?
En cada apartado, justificar la respuesta.
Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos.
Hallar en función de a, el valor del determinante:
a a a a
2 a a a
∆ =
3 2 a a
4 3 2 a
Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos.
Un cajero automático contiene 95 billetes de 1.000, 2.000 y 5.000 pesetas y un
total de 200.000 pesetas. Si el número de billetes de 1.000 es el doble que el
número de billetes de 2.000. averiguar cuántos billetes hay de cada tipo.
Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos.
a) (1,5 puntos) Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente
sistemas de ecuaciones
 (a + 1)x + 2y + z = a + 3

ax + y
= a


ax + 3 y + z = a + 2

b) (1,5 puntos) Resolver el sistema en los casos en que resulte ser compatible
determinado.
Madrid 1998
Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos.
Consideramos el sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z, t
= 0
 x + 2y + z

y
+ 2z + t = 0

 2x + 2λ y
− t = 0

a) (1,5 puntos) Encuentra los valores de λ para los que el rango de la
matriz de los coeficientes del sistema es 2
b) (1,5 puntos) Resuelve el sistema anterior para λ = 0
Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos.
Un almacenista dispone de tres tipos de café: el A, a 980 PTA/kg; el B, a 875
PTA/kg; el C, a 950 PTA/kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para
suministrar un pedido de 1.050 kg a un precio de 940 PTA/kg. ¿Cuántos kilogramos
de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que deber poner del tercer tipo el doble
de lo que ponga del primero y del segundo juntos?
Ejercicio 3. Calificación máxima: 3 puntos.
Sean las matrices:
0 
 1


 − 2 2 0

A =  1 − 1
B = 
 3 − 1 1
− 2 2 


a) (1 punto) ¿Se cumple la igualdad rang(A · B) = rang (A) · rang (B)? Justifica
la respuesta.
 a b c
 tales que XA = I;
b) (1 punto) Encuentra todas las matrices X = 
d e f
donde I es la matriz identidad de orden 2
c) (1 punto) ¿Existe alguna matriz Y, cuadrada de orden 2, tal que AY = Bt? (Bt
es la matriz traspuesta de B.) Justifica la respuesta.