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Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos: el
atractor de Lorenz y la dinámica de la
herradura de Smale
Ana Rechtman
www-irma.u-strasbg.fr/ rechtman/cv.html
1
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Qué es un sistema dinámico?
Tiempo discreto
Si tenemos un conjunto X y un mapeo f : X → X tal que el dominio y
la imagen se intersectan, entonces podemos analizar el sistema
dinámico definido por las iteraciones de f .
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Qué es un sistema dinámico?
Tiempo discreto
Si tenemos un conjunto X y un mapeo f : X → X tal que el dominio y
la imagen se intersectan, entonces podemos analizar el sistema
dinámico definido por las iteraciones de f .
Ejemplo: rotaciones del círculo
X = S1 = [0, 2π)/ ∼
f (x) = x + θ mod(2π).
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Qué es un sistema dinámico?
Tiempo discreto
Si tenemos un conjunto X y un mapeo f : X → X tal que el dominio y
la imagen se intersectan, entonces podemos analizar el sistema
dinámico definido por las iteraciones de f .
Ejemplo: rotaciones del círculo
X = S1 = [0, 2π)/ ∼
f (x) = x + θ mod(2π).
¿Qué pasa con las órbitas?
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Qué es un sistema dinámico?
Tiempo discreto
Si tenemos un conjunto X y un mapeo f : X → X tal que el dominio y
la imagen se intersectan, entonces podemos analizar el sistema
dinámico definido por las iteraciones de f .
Ejemplo: rotaciones del círculo
X = S1 = [0, 2π)/ ∼
f (x) = x + θ mod(2π).
¿Qué pasa con las órbitas?
Si θ es un múltiplo racional de π, todas las órbitas son periódicas.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Qué es un sistema dinámico?
Tiempo discreto
Si tenemos un conjunto X y un mapeo f : X → X tal que el dominio y
la imagen se intersectan, entonces podemos analizar el sistema
dinámico definido por las iteraciones de f .
Ejemplo: rotaciones del círculo
X = S1 = [0, 2π)/ ∼
f (x) = x + θ mod(2π).
¿Qué pasa con las órbitas?
Si θ es un múltiplo racional de π, todas las órbitas son periódicas.
Si θ no es un múltiplo racional de π, entonces todas las órbitas
son densas.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Sistema dinámico con tiempo discreto
Ejemplo: dinámica sur-norte
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Sistema dinámico con tiempo discreto
Ejemplo: dinámica sur-norte
Hay dos puntos fijos, los polos S y N.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Sistema dinámico con tiempo discreto
Ejemplo: dinámica sur-norte
Hay dos puntos fijos, los polos S y N.
Para todo otro punto,
limn→∞ f n (x) = N
limn→−∞ f n (x) = S
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Qué es un sistema dinámico?
Tiempo continuo
Si tenemos en Rn una ecuación diferencial
X 0 = F (X ),
con F : Rn → Rn . Las soluciones definen un flujo en Rn .
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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¿Qué es un sistema dinámico?
Tiempo continuo
Si tenemos en Rn una ecuación diferencial
X 0 = F (X ),
con F : Rn → Rn . Las soluciones definen un flujo en Rn .
Observación
F podría ser una aplicación que depende del tiempo, es decir,
tendríamos una ecuación diferencial de la forma x 0 = F (x, t).
En este caso la ecuación no es autónoma.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
4 / 18
Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo: una suspensión, pasar de tiempo discreto a continuo
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo: una suspensión, pasar de tiempo discreto a continuo
Ejemplo: un campo lineal en R2
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
5 / 18
Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo: una suspensión, pasar de tiempo discreto a continuo
Ejemplo: un campo lineal en R2
0 x
2
0
x
0
X =
=
0
y
0 −1/2
y
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
5 / 18
Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo: una suspensión, pasar de tiempo discreto a continuo
Ejemplo: un campo lineal en R2
0 x
2
0
x
0
X =
=
0
y
0 −1/2
y
Observemos que el origen es un punto fijo, pues el campo vectorial es
nulo. Decimos que el origen es una singularidad del campo vectorial.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
5 / 18
Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo: una suspensión, pasar de tiempo discreto a continuo
Ejemplo: un campo lineal en R2
0 x
2
0
x
0
X =
=
0
y
0 −1/2
y
Observemos que el origen es un punto fijo, pues el campo vectorial es
nulo. Decimos que el origen es una singularidad del campo vectorial.
¿Qué podemos decir sobre el comportamiento
cerca del origen?
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo en el intervalo [0, 1] ⊂ R
x 0 = cx(1 − x)
c>1
en x = 0 y x = 1 el campo vectorial es singular, por lo que son
puntos fijos.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo en el intervalo [0, 1] ⊂ R
x 0 = cx(1 − x)
c>1
en x = 0 y x = 1 el campo vectorial es singular, por lo que son
puntos fijos.
para toda x0 ∈ (0, 1) la solución x(t) de la ecuación diferencial
con x(0) = x0 satisface:
limt→∞ x(t) = 1
limt→−∞ x(t) = 0
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
6 / 18
Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo en el intervalo [0, 1] ⊂ R
x 0 = cx(1 − x)
c>1
en x = 0 y x = 1 el campo vectorial es singular, por lo que son
puntos fijos.
para toda x0 ∈ (0, 1) la solución x(t) de la ecuación diferencial
con x(0) = x0 satisface:
limt→∞ x(t) = 1
limt→−∞ x(t) = 0
El mapeo x 7→ x(1 − x) = x − x 2 tiene como derivada c(1 − 2x),
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
6 / 18
Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo en el intervalo [0, 1] ⊂ R
x 0 = cx(1 − x)
c>1
en x = 0 y x = 1 el campo vectorial es singular, por lo que son
puntos fijos.
para toda x0 ∈ (0, 1) la solución x(t) de la ecuación diferencial
con x(0) = x0 satisface:
limt→∞ x(t) = 1
limt→−∞ x(t) = 0
El mapeo x 7→ x(1 − x) = x − x 2 tiene como derivada c(1 − 2x),
x = 0,
Ana Rechtman
la derivada vale c
⇒0
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
es inestable
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Sistema dinámico con tiempo continuo
Ejemplo en el intervalo [0, 1] ⊂ R
x 0 = cx(1 − x)
c>1
en x = 0 y x = 1 el campo vectorial es singular, por lo que son
puntos fijos.
para toda x0 ∈ (0, 1) la solución x(t) de la ecuación diferencial
con x(0) = x0 satisface:
limt→∞ x(t) = 1
limt→−∞ x(t) = 0
El mapeo x 7→ x(1 − x) = x − x 2 tiene como derivada c(1 − 2x),
x = 0,
la derivada vale c
x = 1,
la derivada vale -c
Ana Rechtman
⇒0
⇒1
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
es inestable
es estable
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Las ecuaciones de Lorenz
Edward N. Lorenz (1917 - 2008),
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Las ecuaciones de Lorenz
Edward N. Lorenz (1917 - 2008), en 1967 propone el siguiente
sistema de ecuaciones:
x 0 = σ(y − x)
y 0 = rx − y − xz
z 0 = xy − bz.
con σ, r , b > 0
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
7 / 18
Las ecuaciones de Lorenz
Edward N. Lorenz (1917 - 2008), en 1967 propone el siguiente
sistema de ecuaciones:
x 0 = σ(y − x)
y 0 = rx − y − xz
z 0 = xy − bz.
con σ, r , b > 0 (σ = 10, b = 8/3, r = 28).
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
7 / 18
Las ecuaciones de Lorenz
Edward N. Lorenz (1917 - 2008), en 1967 propone el siguiente
sistema de ecuaciones:
x 0 = σ(y − x)
y 0 = rx − y − xz
z 0 = xy − bz.
con σ, r , b > 0 (σ = 10, b = 8/3, r = 28).
Primeras observaciones
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
7 / 18
Las ecuaciones de Lorenz
Edward N. Lorenz (1917 - 2008), en 1967 propone el siguiente
sistema de ecuaciones:
x 0 = σ(y − x)
y 0 = rx − y − xz
z 0 = xy − bz.
con σ, r , b > 0 (σ = 10, b = 8/3, r = 28).
Primeras observaciones
La simetría
(x, y , z) 7→ (−x, −y , z)
deja el sistema de ecuaciones invariante.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Puntos fijos
(0, 0, 0) es un punto fijo. ¿Hay otros?
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Puntos fijos
(0, 0, 0) es un punto fijo. ¿Hay otros?
x0 = 0 ⇒ x = y,
x2
z0 = 0 ⇒ z =
,
b
y 0 = 0 ⇒ x(r − 1) −
Ana Rechtman
x3
= 0.
b
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
8 / 18
Puntos fijos
(0, 0, 0) es un punto fijo. ¿Hay otros?
x0 = 0 ⇒ x = y,
x2
z0 = 0 ⇒ z =
,
b
y 0 = 0 ⇒ x(r − 1) −
x3
= 0.
b
La última ecuación es equivalente a
x2
= r − 1,
b
con soluciones x =
Ana Rechtman
p
b(r − 1).
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
8 / 18
Puntos fijos
x2
= r − 1,
b
Como b, r > 0, distinguimos dos casos:
Si 0 < r ≤ 1, el único punto fijo es el origen.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Puntos fijos
x2
= r − 1,
b
Como b, r > 0, distinguimos dos casos:
Si 0 < r ≤ 1, el único punto fijo es el origen.
Si r > 1, tenemos dos nuevos puntos fijos
p
p
p1 = ( b(r − 1), b(r − 1), r − 1)
p
p
p2 = (− b(r − 1), − b(r − 1), r − 1).
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
9 / 18
¿Qué más podemos decir de los puntos fijos?
Aproximación por la diferencial
f : Rn → Rn de clase C 2 en una vecindad de un punto x0 ,
entonces
f (x) = f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 )
)k
con limy →0 ko(y
ky k = 0.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
10 / 18
¿Qué más podemos decir de los puntos fijos?
Aproximación por la diferencial
f : Rn → Rn de clase C 2 en una vecindad de un punto x0 ,
entonces
f (x) = f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 )
)k
con limy →0 ko(y
ky k = 0.
En el caso de una ecuación diferencial X 0 = F (X ) las soluciones
cerca de un punto fijo se pueden aproximar por DF evaluada en el
punto fijo.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
10 / 18
¿Qué más podemos decir de los puntos fijos?
Aproximación por la diferencial
f : Rn → Rn de clase C 2 en una vecindad de un punto x0 ,
entonces
f (x) = f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 )
)k
con limy →0 ko(y
ky k = 0.
En el caso de una ecuación diferencial X 0 = F (X ) las soluciones
cerca de un punto fijo se pueden aproximar por DF evaluada en el
punto fijo.
F (x, y , z) = (σ(y − x), rx − y − xz, xy − bz),
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
10 / 18
¿Qué más podemos decir de los puntos fijos?
Aproximación por la diferencial
f : Rn → Rn de clase C 2 en una vecindad de un punto x0 ,
entonces
f (x) = f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 )
)k
con limy →0 ko(y
ky k = 0.
En el caso de una ecuación diferencial X 0 = F (X ) las soluciones
cerca de un punto fijo se pueden aproximar por DF evaluada en el
punto fijo.
F (x, y , z) = (σ(y − x), rx − y − xz, xy − bz),


−σ
σ
0
DF (x, y , z) = r − z −1 −x 
y
x −b
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
10 / 18
Descripción de los puntos fijos
¿Cuál es el valor de DF en el origen?
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Descripción de los puntos fijos
¿Cuál es el valor de DF en el origen?
En el origen,


−σ σ
0
DF (0, 0, 0) =  r −1 0 
0
0 −b
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
11 / 18
Descripción de los puntos fijos
¿Cuál es el valor de DF en el origen?
En el origen,


−σ σ
0
DF (0, 0, 0) =  r −1 0 
0
0 −b
¿Qué podemos decir de los valores propios?
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
11 / 18
Descripción de los puntos fijos
¿Cuál es el valor de DF en el origen?
En el origen,


−σ σ
0
DF (0, 0, 0) =  r −1 0 
0
0 −b
¿Qué podemos decir de los valores propios?
−b es un valor propio con espacio propio el generado por (0, 0, 1).
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
11 / 18
Descripción de los puntos fijos
¿Cuál es el valor de DF en el origen?
En el origen,


−σ σ
0
DF (0, 0, 0) =  r −1 0 
0
0 −b
¿Qué podemos decir de los valores propios?
−b es un valor propio con espacio propio el generado por (0, 0, 1).
Los otros dos valores propios corresponden a raíces de
λ2 + (σ + 1)λ + σ(1 − r ) = 0
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Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Descripción de los puntos fijos
¿Cuál es el valor de DF en el origen?
En el origen,


−σ σ
0
DF (0, 0, 0) =  r −1 0 
0
0 −b
¿Qué podemos decir de los valores propios?
−b es un valor propio con espacio propio el generado por (0, 0, 1).
Los otros dos valores propios corresponden a raíces de
λ2 + (σ + 1)λ + σ(1 − r ) = 0
λ =
Ana Rechtman
−σ − 1 ±
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
p
(σ − 1)2 + 4r
2
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Descripción de los puntos fijos
p
(σ − 1)2 + 4r
λ=
2
Para 0 < r < 1, las dos soluciones son negativas ⇒ el origen es un
punto atractivo.
−σ − 1 ±
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
12 / 18
Descripción de los puntos fijos
p
(σ − 1)2 + 4r
λ=
2
Para 0 < r < 1, las dos soluciones son negativas ⇒ el origen es un
punto atractivo.
Para r > 1, uno de las soluciones es positiva ⇒ el origen es un punto
hiperbólico.
−σ − 1 ±
Para r > 1 pequeña, todos los valores propios de DF (pi ) son reales y
negativos.
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
12 / 18
Descripción de los puntos fijos
p
(σ − 1)2 + 4r
λ=
2
Cuando r crece, dos de los valores propios DF (pi ) se vuelven
complejos y ambox puntos siguen siendo atractores.
−σ − 1 ±
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
13 / 18
Descripción de los puntos fijos
p
(σ − 1)2 + 4r
λ=
2
Cuando r llega al punto de transición r0 ∼ 13,926,
−σ − 1 ±
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Descripción de los puntos fijos
λ=
−σ − 1 ±
p
(σ − 1)2 + 4r
2
Finalmente para r > r0
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Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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Atractor de Lorenz
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
16 / 18
La herradura de Smale
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
17 / 18
La herradura de Smale
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
17 / 18
La herradura de Smale
Describir la región D2 del cuadrado C tal que f (D2 ) ⊂ C
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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La herradura de Smale
Describir la región D2 del cuadrado C tal que f (D2 ) ⊂ C
D2 = R1 ∪ R2
es el dominio de f 2 .
Ana Rechtman
Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos
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