Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos: el atractor de Lorenz y la dinámica de la herradura de Smale Ana Rechtman www-irma.u-strasbg.fr/∼rechtman/cv.html 3 Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 1 / 32 Ejercicios σ : Σ2 → Σ2 . . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . . Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 2 / 32 Ejercicios σ : Σ2 → Σ2 . . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . . Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos periódicos. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 2 / 32 Ejercicios σ : Σ2 → Σ2 . . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . . Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos periódicos. Dependencia de condiciones iniciales: Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 2 / 32 Ejercicios σ : Σ2 → Σ2 . . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . . Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos periódicos. Dependencia de condiciones iniciales: demostrar que para toda > 0 existen v , w ∈ Σ2 y n ∈ N tales que dΣ2 (v , w) < y dΣ2 (σ n (v ), σ n (w)) > 1. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 2 / 32 Ejercicios σ : Σ2 → Σ2 . . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . . Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos periódicos. Dependencia de condiciones iniciales: demostrar que para toda > 0 existen v , w ∈ Σ2 y n ∈ N tales que dΣ2 (v , w) < y dΣ2 (σ n (v ), σ n (w)) > 1. Demostrar que la dinámica es transitiva: Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 2 / 32 Ejercicios σ : Σ2 → Σ2 . . . v−2 v−1 . v0 v1 v2 . . . 7→ . . . v−2 v−1 v0 . v1 v2 . . . Aún mejor, para toda n ∈ N demonstrar que existen 2n puntos periódicos. Dependencia de condiciones iniciales: demostrar que para toda > 0 existen v , w ∈ Σ2 y n ∈ N tales que dΣ2 (v , w) < y dΣ2 (σ n (v ), σ n (w)) > 1. Demostrar que la dinámica es transitiva: existe un punto v ∈ Σ2 tal que para toda w y > 0 existe n ∈ N tal que dΣ2 (σ n (v ), w) < . Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 2 / 32 Regreso al atractor de Lorenz Encontrar una herradura en el atractor de Lorenz. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 3 / 32 Regreso al atractor de Lorenz Encontrar una herradura en el atractor de Lorenz. Estudiar el patron de Williams y Guckenheimer, conocido como el modelo geométrico de las ecuaciones de Lorenz. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 3 / 32 Recordatorio de la primera plática x 0 = σ(y − x) y 0 = rx − y − xz z 0 = xy − bz. con σ, r , b > 0 Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 4 / 32 Recordatorio de la primera plática x 0 = σ(y − x) y 0 = rx − y − xz z 0 = xy − bz. con σ, r , b > 0 (σ = 10, b = 8/3, r = 28). Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 4 / 32 Recordatorio de la primera plática x 0 = σ(y − x) y 0 = rx − y − xz z 0 = xy − bz. con σ, r , b > 0 (σ = 10, b = 8/3, r = 28). Para 0 < r ≤ 1, hay un sólo punto fijo que es el origen y todos sus valores propios son reales y negativos. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 4 / 32 Recordatorio de la primera plática Si r > 1, tenemos dos nuevos puntos fijos p p p1 = ( b(r − 1), b(r − 1), r − 1) p p p2 = (− b(r − 1), − b(r − 1), r − 1). cuyos valores propios cambian pero su parte real es siempre negativa. El origen es, para r > 1, un punto hiperbólico con dos dimensiones atractoras y una expulsora. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 5 / 32 Recordatorio de la primera plática Cuando r crece, Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 6 / 32 Recordatorio de la primera plática Para r = r0 ∼ 13,926, Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 7 / 32 Recordatorio de la primera plática Para r > r0 ∼ 13,926, Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 8 / 32 Buscando una herradura Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 9 / 32 Buscando una herradura Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré. Llamamos E al rectángulo. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 9 / 32 Buscando una herradura Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré. Llamamos E al rectángulo. Para x ∈ E definimos T (x) ∈ E como el primer retorno Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 9 / 32 Buscando una herradura Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré. Llamamos E al rectángulo. Para x ∈ E definimos T (x) ∈ E como el primer retorno (si existe). Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 9 / 32 Buscando una herradura Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré. Llamamos E al rectángulo. Para x ∈ E definimos T (x) ∈ E como el primer retorno (si existe). Observación o complicación La variedad estable del origen intersecta a E en una curva `. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 10 / 32 Buscando una herradura Para r > r0 ∼ 13,926, buscamos una sección de Poincaré. Llamamos E al rectángulo. Para x ∈ E definimos T (x) ∈ E como el primer retorno (si existe). Observación o complicación La variedad estable del origen intersecta a E en una curva `. Si x ∈ `, la órbita no regresa a E. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 10 / 32 Buscando una herradura Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 11 / 32 Buscando una herradura ¿Cuál es la imagen de los rectángulos A, B, C y D? Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 11 / 32 Buscando una herradura Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 12 / 32 Buscando una herradura Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 13 / 32 La “herradura” en el sistema de Lorenz De manera más esquemática tenemos Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 14 / 32 La “herradura” en el sistema de Lorenz De manera más esquemática tenemos Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 14 / 32 La “herradura” en el sistema de Lorenz De manera más esquemática tenemos ¿Por qué digo que esto es una herradura? Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 14 / 32 La “herradura” en el sistema de Lorenz De manera más esquemática tenemos ¿Por qué digo que esto es una herradura? Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 14 / 32 La “herradura” en el sistema de Lorenz Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 15 / 32 La “herradura” en el sistema de Lorenz El conjunto invariante (maximal) de T es un conjunto hiperbólico. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 15 / 32 La “herradura” en el sistema de Lorenz El conjunto invariante (maximal) de T es un conjunto hiperbólico. 0 1 A= 0 1 Ana Rechtman 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 15 / 32 Dinámica simbólica asociada Matriz de transición 0 1 A= 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A define un subconjunto de Σ4 de sucesiones admisibles que codifican la dinámica del conjunto invariante de T . Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 16 / 32 Otro manera de verlo: el patrón de Williams Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 17 / 32 Otro manera de verlo: el patrón de Williams Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 17 / 32 Otro manera de verlo: el patrón de Williams Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 18 / 32 Otro manera de verlo: el patrón de Williams Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 18 / 32 Otro manera de verlo: el patrón de Williams La dinámica de una aplicación así está conjugada a la dinámica de la aplicación x 7→ 2x mod(1). Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 18 / 32 La aplicación x 7→ 2xmod(1) ¿Cuál es la dinámica de las iteraciones positivas de x 7→ 2xmod(1)? Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 19 / 32 La aplicación x 7→ 2xmod(1) La segunda iteración Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 20 / 32 La aplicación x 7→ 2xmod(1) La segunda iteración ... y el desplazamiento La aplicación x 7→ 2xmod(1) está conjugada al desplazamiento en Σ+ 2. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 20 / 32 Nudos y flujos en dimensión 3 Teorema (Ghrist) Existe un flujo en S3 tal que todo nudo aparece como órbita periódica. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 21 / 32 ¿Cómo se ve S3 ? S3 y el mapeo de Hopf S3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 | |z1 |2 + |z2 |2 = 1}, Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 22 / 32 ¿Cómo se ve S3 ? S3 y el mapeo de Hopf S3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 | |z1 |2 + |z2 |2 = 1}, h : S3 → S2 ' R ∪ {∞} z1 (z1 , z2 ) 7→ z2 Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 22 / 32 ¿Cómo se ve S3 ? S3 y el mapeo de Hopf S3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 | |z1 |2 + |z2 |2 = 1}, h : S3 → S2 ' R ∪ {∞} z1 (z1 , z2 ) 7→ z2 ¿Qué son las fibras? Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 22 / 32 Fibración de Hopf Estudiemos los siguientes conjuntos: Las fibras h−1 (p) con p ∈ R2 ∪ {∞}, si 1 p = ∞; Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 23 / 32 Fibración de Hopf Estudiemos los siguientes conjuntos: Las fibras h−1 (p) con p ∈ R2 ∪ {∞}, si 1 2 p = ∞; p = 0; Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 23 / 32 Fibración de Hopf Estudiemos los siguientes conjuntos: Las fibras h−1 (p) con p ∈ R2 ∪ {∞}, si 1 2 3 p = ∞; p = 0; p ∈ R2 \ {0} ' C∗ . La imagen inversa del círculo {p ∈ R2 | |p|2 = 1}. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 23 / 32 Flujos en S3 y órbitas periódicas Flujo de Hopf Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de norma 1, Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 24 / 32 Flujos en S3 y órbitas periódicas Flujo de Hopf Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de norma 1, en particular la caractéristica de Euler de S3 es cero, Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 24 / 32 Flujos en S3 y órbitas periódicas Flujo de Hopf Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de norma 1, en particular la caractéristica de Euler de S3 es cero, el flujo de dicho campo vectorial es (z1 , z2 ) 7→ (eit z1 , eit z2 ) = φt (z1 , z2 ). Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 24 / 32 Flujos en S3 y órbitas periódicas Flujo de Hopf Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de norma 1, en particular la caractéristica de Euler de S3 es cero, el flujo de dicho campo vectorial es (z1 , z2 ) 7→ (eit z1 , eit z2 ) = φt (z1 , z2 ). Entonces, φ2π = φ0 = Id. ¿Cómo construir un flujo en S3 con sólo 2 órbitas periódicas?, Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 24 / 32 Flujos en S3 y órbitas periódicas Flujo de Hopf Tomamos un campo vectorial tangente a los círculos de Hopf y de norma 1, en particular la caractéristica de Euler de S3 es cero, el flujo de dicho campo vectorial es (z1 , z2 ) 7→ (eit z1 , eit z2 ) = φt (z1 , z2 ). Entonces, φ2π = φ0 = Id. ¿Cómo construir un flujo en S3 con sólo 2 órbitas periódicas?, ¿1? Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 24 / 32 Teorema para mañana Teorema (K. Kuperberg) Sea M una variedad compacta y sin frontera de dimensión 3. Entonces M admite un campo vectorial sin singularidades y sin órbitas periódicas de clase C ∞ . Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 25 / 32 Teorema para mañana Teorema (K. Kuperberg) Sea M una variedad compacta y sin frontera de dimensión 3. Entonces M admite un campo vectorial sin singularidades y sin órbitas periódicas de clase C ∞ . Demostración Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 25 / 32 Un poco de historia precedente al teorema de Kuperberg Desde 1950 Seifert pregunta si todo campo vectorial no singular en S3 tiene una órbita periódica. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 26 / 32 Un poco de historia precedente al teorema de Kuperberg Desde 1950 Seifert pregunta si todo campo vectorial no singular en S3 tiene una órbita periódica. Wilson construye ejemplos con un número finito de órbitas periódicas, en cualquier variedad compacta y sin frontera. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 26 / 32 Un poco de historia precedente al teorema de Kuperberg Desde 1950 Seifert pregunta si todo campo vectorial no singular en S3 tiene una órbita periódica. Wilson construye ejemplos con un número finito de órbitas periódicas, en cualquier variedad compacta y sin frontera. Schweitzer construye ejemplos sin órbitas periódicas de clase C 1 , en cualquier variedad compacta y sin frontera. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 26 / 32 Restricción a familias de campos de vectoriales En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales siempre tienen órbitas periódicas: Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 27 / 32 Restricción a familias de campos de vectoriales En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales siempre tienen órbitas periódicas: Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes). Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 27 / 32 Restricción a familias de campos de vectoriales En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales siempre tienen órbitas periódicas: Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes). Los campos geodesibles que preservan un volumen si la variedad no es un fibrado en toros sobre el círculo (Hutchings - Taubes, R.) Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 27 / 32 Restricción a familias de campos de vectoriales En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales siempre tienen órbitas periódicas: Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes). Los campos geodesibles que preservan un volumen si la variedad no es un fibrado en toros sobre el círculo (Hutchings - Taubes, R.) Los campos geodesibles de clase C ω en S3 (R.) Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 27 / 32 Restricción a familias de campos de vectoriales En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales siempre tienen órbitas periódicas: Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes). Los campos geodesibles que preservan un volumen si la variedad no es un fibrado en toros sobre el círculo (Hutchings - Taubes, R.) Los campos geodesibles de clase C ω en S3 (R.) Las soluciones de la ecuación autónoma de Euler de clase C ω y cuando la variedad no es un fibrado en toros sobre el círculo (Etnyre - Ghrist). Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 27 / 32 Restricción a familias de campos de vectoriales En dimensión 3, sabemos que algunas familias de campos vectoriales siempre tienen órbitas periódicas: Los campos de Reeb de una estructura de contacto (Taubes). Los campos geodesibles que preservan un volumen si la variedad no es un fibrado en toros sobre el círculo (Hutchings - Taubes, R.) Los campos geodesibles de clase C ω en S3 (R.) Las soluciones de la ecuación autónoma de Euler de clase C ω y cuando la variedad no es un fibrado en toros sobre el círculo (Etnyre - Ghrist). Teorema (G. Kuperberg) Toda variedad compacta y sin frontera de dimensión 3 admite un campo vectorial no singular y sin órbitas periódicas que preserva el volumen de clase C 1 . Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 27 / 32 Construcción de K. Kuperberg - paso 1 Los cilindros con coordenada r =constante son invariantes. Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 28 / 32 Construcción de K. Kuperberg - paso 2 Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 29 / 32 La trampa de K. Kuperberg Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 30 / 32 Autoinserciones Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 31 / 32 La desigualdad del radio Salvo en los puntos especiales, r̃ > r . Ana Rechtman Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos 32 / 32