DCyT/AMII/Recuperatorio del 2 do parcial - 30/06/07 Apellido y Nombre: PRÁCTICA 1) f (x, y) = ln µ y2 − 1 x−y ¶ + p x2 + y 2 − 2 (a) Hallar y graficar D = Dom(f ) ¿ Es conexo? (b) Determinar si D es abierto. Justificar. (c) Hallar ac (D) y justificar si D es cerrado. 2) Hallar dominio, imagen y curvas de nivel de f (x, y) = exp ½³ x2 +y 2 2x ´2 ¾ . Representar en el dominio las curvas de nivel para los valores k = e , e4 ¿ Qué puede decir acerca del lim f (x, y) ? Justificar la respuesta mediante curvas de nivel. (x,y ) → (0,0) 3) f (x, y) = −3y + 4 π cos ³ πx y ´ ; Po (1, 2) (a) Determinar las direcciones α tales que fα0 (Po ) es máxima/mı́nima/nula. Hallar los valores de la máxima y la mı́nima derivadas direccionales en Po ~ (1, 2) es perpendicular a la curva de nivel de f por (1, 2) (b) Demostrar que ∇f 4) f (x, y) = xy y−x x+A si x 6= y si x = y (a) Calcular: lim f (x, g(x)) siendo g(x) = x + x2 x→0 (b) ¿ Existe algún valor de la constante A de modo que f resulte continua en el origen? Justificar. (c) ¿ Es f diferenciable en el origen? Justificar. (d) Calcular: fα0 (0, 0) siendo α = π/4 TEORÍA (T1) Sean f (x, y) = x2 + y 2 ; Po (1, 1). Calcular en Po , por separado, dz y ∆zT . Mostrar que coinciden (∆zT es el incremento del plano tangente). (T2) Demostrar por definición que f (x, y) = exy es diferenciable en el origen. ehk−1 y relacionarlo con el lim Ayuda: Averiguar primero el lim hk (h,k) → (0,0) (h,k) → (0,0) hk−1 √e h2 +k2