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Diplomatura en Ciencia y Tecnologı́a
Análisis Matemático II - Recuperatorio Segundo Parcial - 27/06/06
Apellido y Nombre:
1) Dada f (x, y) =
√
TEMA A
y 2 −2y−x
ln (x+2y)
a) Expresar analı́ticamente D = Dom(f ). Graficar.
b) Si existe, hallar:
i) Un punto P ∈ D tal que P 6∈ D ◦ . Justificar si D es abierto o no.
ii) Un punto Q ∈ ac(D) tal que P 6∈ D. Justificar si D es cerrado o no.
2) Sea f (x, y) =
xy 2
x2 −y 4
a) Calcular, si existe, el lı́mite radial de f (x, y) teniendo al (0, 0)
(
f (x, y) si |x| 6= y 2
b) Sea g(x, y) =
0
si |x| = y 2
Determinar si g es continua en el punto (0, 0). Justificar.
3) Dada f (x, y) =
ey
e x+ e y
(a) Caracterizar las curvas de nivel y hallar la imagen de f
(b) Determinar la dirección de máxima derivada direccional en cada punto de R2
4) Dada S : x ln (y + z) + x ln x + y − z = 0 encontrar todos los puntos de S donde el plano
tangente es:
a) paralelo al plano XZ
b) paralelo al plano π : x + 2y − 2 = 0
5) Utilizando la regla de la cadena:
a) Siendo u = x2 y − y 2 donde y = g(x) expresar
b) Siendo w = f (x, y) ln (f (x, y) + y) expresar
d2 u
dx2
∂w
∂y
TEORÍA
~ (a, b) es perpendicular a la curva de nivel
I) Dada f (x, y) = ln (x + 3y) demostrar que ∇f
de f que pasa por el punto (a, b)
II) Mostrar por definición que f (x, y) =
x
y
es diferenciable en (1, 1)