Gráficos 1 – Ud. desea comparar el rendimiento de tres grupos diferentes de empleados, para lo cual los encuesta y obtiene los datos. Que gráfico piensa Ud. le daría una primera impresión visual de la composición de los datos en los grupos y su comparativa? Estadística Descriptiva 2 – La tabla que se acompaña muestra impactos semanales que recibe una página web. Construya y grafique un histograma apropiado para sumarizar los datos. Calcule la media, la mediana, el modo, el mínimo, el máximo, la suma de errores, la suma de errores al cuadrado, la desviación estándar, la varianza, el rango, el rango interquartil. Probabilidades y Eventos 3 – Un grupo consultor de Market Research se especializa en proveer evaluaciones acerca de los prospectos de lugares para la instalación de nuevos centros de venta de indumentaria. El grupo evalúa en la siguiente escala: “bueno, neutral, o pobre”. 1 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena Los registros de pedidos de evaluaciones efectuadas a este grupo fueron examinadas, y se encontró que para todas los centros que resultaron exitosos, la evaluación fue buena en un 70%, neutral en un 20% y pobre en un 10%. Para las tiendas que fracasaron, la evaluación fue buena en un 20%, neutral en un 30% y pobre en un 50%. Es sabido también en la industria, que el 60% de los nuevos emprendimientos son exitosos, mientras que el restante 40% no prospera. a) Para una tienda elegida al azar, cuales la probabilidad que el prospecto será evaluado como bueno? b) Si el prospecto para una tienda es bueno, cual es la probabilidad que la tienda será exitosa? c) Los eventos “evaluación de prospecto buena”, y “tienda es exitosa” son estadísticamente independientes? d) Supongamos que cinco tiendas son elegidas al azar, cual es la probabilidad que al menos una sea exitosa? 4 – Se estima que 48% de cierta variedad del producto es consumida por mujeres y que 17.5% del consumo es realizado por persona de mas de 30 años. Asimismo, 4.7% del consumo del producto es realizado por mujeres mayores de 30 años. Ud. considera que los eventos "variedad del producto consumida por mujeres" y "variedad del producto consumida por personas de mas de 30 años" son eventos independientes? Probabilidad Condicional 5 – Un manager de restaurant clasifica a los clientes en “bien vestidos, normalmente vestidos, y pobremente vestidos”, y descubre que 50%, 40% y 10% de sus clientes caen respectivamente en esas categorías. El manager encuentra 2 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena que el 70% de las personas bien vestidas ordena vino, mientras que de las otras dos categorías, el 50% y el 30% ordenan vino. a) Cual es la probabilidad que un cliente elegido al azar ordene vino? b) Cual es la probabilidad que, si el manager ve entrar una persona bien vestida, la misma ordene vino? c) Si se ordena vino, cual es la probabilidad que haya provenido de una persona bien vestida? d) Si se ordena vino, cual es la probabilidad que haya provenido de una persona pobremente vestida? 6 - En un proceso de Auditoría Juan analiza 60% de los ítems auditados y José el restante 40%. El error promedio de acuerdo a los datos históricos de Juan es 5% mientras que el de José es 3%. Si tomamos un ítem auditado al azar a) Cual es la probabilidad que haya sido auditado incorrectamente? b) Si el ítem ha sido auditado incorrectamente, cual es la probabilidad que Juan sea el culpable del error? Distribución de Probabilidad Binomial 7 – Respecto del caso analizado en el Centro de Cómputos de precio de la acción y la aplicación de la distribución binomial, considerando que los parámetros no se modifican. Calcule la probabilidad que después de 7 períodos el valor de la acción supere $ 50. Cual es la media después de 7 períodos, cual es la desviación estándar”. Supóngase ahora que las probabilidades cambian, y la probabilidad de una suba es 0.7 contra una baja de 0.3. Como cambian los valores calculados anteriormente? 3 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena Distribución de Probabilidad Hipergeométrica 8 – Supóngase que existen cuatro posiciones a cubrir en una empresa. Se presentan 10 hombres y 7 mujeres. Partiendo de la base que las posibilidades de ser elegidos son las mismas para todos (no hay discriminación por sexo). Cual es la probabilidad que los puestos sean cubiertos por 2 hombres y 2 mujeres?; y por 1 hombre y tres mujeres? Distribución Binomial y Aproximación de Poisson a la distribución binomial 9 – Un analista predice que 3.5% de pequeñas empresas (a partir de datos de series de tiempo) pedirán la quiebra durante el próximo año. Para una muestra de 100 empresas, calcule la probabilidad que por lo menos tres pidan la quiebra el año que viene. Identifique la distribución que usaría, y detalle porque usarían una distribución que la aproxima, aplicándola efectivamente. Distribución de Probabilidad Uniforme 10 - Las llamadas por teléfono recibidas en una central de reclamos de una empresa tienen un mínimo de 35 y un máximo de 65 por día. Suponiendo que solamente estos dos datos le son proporcionados y se le pide que haga un análisis, Que distribución utilizaría? Porque? Cual es la forma de la función de densidad de la variable aleatoria Cual es el rango de probabilidades positivas? Cual sería la media, la varianza y la desviación estándar de la función de densidad escogida? 4 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena Cual es la probabilidad que se reciban entre 40 y 50 llamadas en un día de acuerdo a los datos que maneja. Distribución Normal, Intervalos de Confianza y Value at Risk 11 – Supóngase que los retornos anuales sobre acciones de una corporación siguen una distribución normal con media 13% y desviación estándar de 10%. Cual es la probabilidad que el rendimiento del siguiente año se encuentra entre 10% y 15%. Cual es la probabilidad que sea negativo? Con que probabilidad el retorno puede exceder 20% en un año? Combinación lineal de variables con distribución Normal, Intervalos de Confianza y Value at Risk 12 – Ahora supóngase que existe otra corporación con retornos normales con media 15% y desviación estándar 9%. Ud. construye un portafolio comprando 50% del total en acciones de la primera corporación, y 50% en la segunda con sus ahorros. Identifique una nueva variable aleatoria como combinación lineal de estas variables. Que distribución sigue esta variable? Cual es su media? Cual es la probabilidad que los retornos de este portafolio sean negativos? 5 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena Imagínese ahora que en lugar de ser acciones en distintas corporaciones, las inversiones son los recursos asignados a dos de las unidades de negocio que maneja su empresa. A grandes rasgos, en que cambiaría el marco de análisis? Test de Hipótesis para proporciones 13 – Su empresa hace un estudio de mercado donde testa la aceptación que podría tener un nuevo producto. En el segmento de demanda definido como A, la encuesta diseñada siguiendo las pautas estudiadas determina que el 40% de la muestra estaría de acuerdo en sustituir un producto alternativo por el que Ud. está ofreciendo. Ud. tomó una muestra de 50 personas. En el segmento de demanda definido como B, el 55% tomaría la misma actitud. En este caso el tamaño de la muestra fue de 45 personas. La pregunta que Ud. se hace es: se puede decir que el segmento B prefiere más que el segmento A la variante del producto? Adicionalmente, construya un intervalo de confianza del 99% para la proporción de la muestra del segmento A 14– Suponga que estima que 43% de la población cree que un cierto candidato va a triunfar en las elecciones. Encuentre la probabilidad que en una muestra de 80 personas el 50% crea que ganará dicho candidato. Intervalos de Confianza para retornos y varianzas 15 - Utilizando las series de datos sobre que se proporcionan respecto de la cotización del franco francés y del marco en Nueva York en el archivo intervalo.xls, calcule los retornos en %, estime la media y la volatilidad de los retornos; construya un intervalo de confianza del 95% para al media de retornos 6 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena del Franco, y del 99% para el marco. Construya similares intervalos de confianza para la varianza muestral de ambas series. Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en las medias. Finalmente, construya un intervalo de confianza para el ratio de varianzas, utilizando una distribución F. Proporción muestral y estimación del tamaño de la muestra 16 – Ud. es el manager de una empresa, y su Gerente de ventas le asegura un grado de aceptación del 35% para un nuevo producto que se lanzará durante el año. Como se aseguraría Ud. que después si en una muestra el grado de aceptación es de 30%, el Gerente de Ventas no lo atribuya a un error de muestreo o una variación aleatoria en función de la muestra (es decir que no obstante Ud. observe ese porcentaje, el Gerente le diga que se debe a una variación aleatoria). Describa paso a paso como se aseguraría, calcule el tamaño de muestra necesario, y elija finalmente el tamaño a ser muestreado. 17 – Ud. lleva adelante una encuesta sobre intención de voto sobre un candidato. Ud, debe determinar el tamaño de muestra para que en términos estadísticos la intención de voto muestral difiera entre 3% y 5% de la verdadera intención de voto poblacional. Cual es el tamaño de muestra apropiado para lograr este margen de error como máximo? Intervalos de Confianza para medias muestrales y proporciones (con test de hipótesis) 18 – Una muestra aleatoria de consumidores tipo tipo X produjo las siguientes cifras de consumos mensual de un producto nafta, en kilómetros por cada ½ litro. 7 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena 29 26 27 22 25 23 26 25 28 30 Asimismo, una muestra independiente de doce consumidores tipo Y produjo los siguientes resultados: 24 24 25 25 20 25 25 24 26 26 26 26 a) Utilice un estimador insesgado de la diferencia en el consumo mensual de los dos tipos de consumidores y calcule su varianza y error estándar. b) Utilice un estimador insesgado para obtener un estimador puntual de la diferencia entre las proporciones poblacionales de consumidores tipo X que consumen mas de 25 por mes y la proporción poblacional de consumidores tipo Y que producen los mismos resultados y calcule su varianza y error estándar. Estimación de Valor de Cartera, Intervalos de Confianza y test de Hipótesis (medias muestrales y proporciones muestrales) 19 - Un auditor saca una muestra aleatoria de 20 clientes con Cuentas a Cobrar de los 500 que posee la empresa. El auditor lista la cantidad de cada cuenta y verifica si los documentos presentados cumplen con los procedimientos establecidos. Los datos se presentan de la siguiente manera (cantidades en pesos, S = Si, y N =No): 8 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena Estime el monto total por cobrar de las 500 cuentas de la empresa, y establezca un limite para el error de estimación. Considera Ud. que la cuenta por Cobrar promedio de la firma excede $ 250, Porque?; establezca la proporción de cuentas que no cumplen con los requisitos. 20 – Respecto de Value at Risk: a) Explique muy brevemente el significado. b) Suponga que Ud. construye un portafolio de inversiones por $ 250.000, y en base a los datos históricos Ud. calcula el retorno esperado de ese portafolio en 15% y su volatilidad en 6%. Suponga que los retornos se distribuyen 9 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena normalmente. Determine un nivel de confianza apropiado, y calcule el VaR del portafolio. c) Calcule la probabilidad que los retornos seas negativos. Tablas de Contingencia y Pruebas de Asociación 21 – Suponga que a Ud se le presenta la siguiente tabla de datos de análisis contingencia sobre las preferencias de 1981 consumidores de cinco segmentos de edad sobre siete medidas diferentes de productos. 200 grs. 1/2 kilo 1 kilo 2.5 kilos 10 kilos 20 kilos 50 kilos 55 14 53 157 61 120 12 472 83 5 33 127 11 23 39 321 17 31 33 3 32 5 0 121 98 158 68 69 43 35 97 568 84 337 38 246 87 274 54 410 60 207 26 209 150 298 499 1981 menor de 10 años entre 10 y 20 años entre 20 y 30 años entre 30 y 40 años mas de 40 años Realice una prueba de asociación entre ambos atributos y determine donde conviene focalizar esfuerzos de marketings. Regresión 22– Adjunto se le proporciona una hoja de resultado de una regresión de cálculo de demanda de nafta. Los conceptos correspondientes son: pnp = precio neto con 10 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena impuestos (en centavos por litro), qpc = cantidad consumida por habitante (en litros por mes), ypc = pbi por habitante, ver = variable dummy del verano (1 para diciembre, enero, febrero y marzo, 0 para los restantes meses). qpc = 1 + 2.ver + 3.ypc + 4.pnp Se le pide interprete el grado de ajuste de la regresión, y la significancia estadística de los coeficientes estimados. Es probable que el verdadero valor de alguno de los coeficientes sea cero? Porqué? Según el modelo, cuanto varía el consumo de nafta per cápita por cada centavo de incremento en el precio?. Que le está indicando la variable “ver”? Son correctos los signos de los coeficientes de acuerdo a la teoría económica? 11 Universidad del CEMA - Métodos Cuantitativos Prof. José P Dapena