SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO (SISTEMAS LTI) tiempo.

SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO (SISTEMAS LTI)
Un sistema lineal invariante en el tiempo, el cual será referido en adelante por la abreviatura en inglés
de Linear Time Invariant Systems como LTI, es un sistema que además de ser lineal, es invariante en el
tiempo.
En la Clase 3, se demostró que cualquier señal discreta x[n] puede escribirse en términos de impulsos
como sigue:
(6.1)
Entonces, si un sistema realiza una transformación T[*] sobre una entrada x[n] a partir de la cual se
obtiene la salida y[n], se dice que el sistema es LTI si la respuesta y[n] puede escribirse como
(6.2)
donde h[n] es la respuesta al impulso unitario del sistema, esto es
(6.3)
A la operación expresada en la Ecuación (6.2), representada también como x[n]*h[n], es conocida como
convolución discreta o suma de convolución.
Como consecuencia de la Ecuación (6.2), se tiene que un sistema LTI puede ser completamente
caracterizado por su repuesta al impulso h[n] en el sentido de que, dada h[n], es posible calcular la
salida y[n] producida por cualquier entrada x[n].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demostración:
Dado que y[n] = T{x[n]}, x[n] puede ser representada como lo indica la Ecuación (6.1), y h[n] = T{δ[n]},
tenemos que
y ya que el sistema es lineal,
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------La convolución puede, además ser representada gráficamente y mediante software, como es el caso de
la función conv(x, h) en MATLAB.
Ejemplo:
Considere que la respuesta al impulso de un sistema LTI de tiempo discreto es h[n] = αnu[n] y la entrada
es x[n] = u[n], donde α es una constante tal que 0 < α < 1. Obtenga la salida y[n] para la entra dada x[n].
La entrada x[n] y la salida y[n] de un sistema LTI de tiempo discreto están relacionadas por las
ecuaciones de convolución:
Por lo tanto,
Para ayudar en la evaluación de la ecuación anterior, en la figura siguiente se muestran las versiones de
reflexión y desplazamiento de la respuesta al impulso para dos casos. Cuando n < 0, se puede apreciar
que las señales no se traslapan, por lo que x[k]h[n-k] = 0 para todos los valores de k.
Figura 6.1. (a) Caso 1: n < 0, las señales no se traslapan y
(b) Caso 2: n ≥ 0, las señales se traslapan entre 0 y n.
Por lo tanto,
Cuando n ≥ 0, como se puede observar, las curvas se traslapan de k = 0 a k = n. Por lo tanto, el producto
es diferente a cero en este rango. En consecuencia,
Uniendo los resultados para n < 0 y para n ≥ 0, se obtiene
lo cual puede ser combinado como
En la Figura 6.2 se pueden apreciar muestreos de x[n], h[n] y y[n] para α = 0.75.
Figura 6.2. Señales del ejemplo para α = 0.75.
Las propiedades de la convolución discreta (suma de convolución) son similares a las de la convolución
análoga (integral de convolución):
Conmutativa
(6.4)
lo que implica que la salida del sistema puede ser representada también como
(6.5)
Asociativa
(6.6)
Distributiva
(6.7)
Propiedades de un Sistema LTI

Sistemas con memoria y sin memoria
Ya que la salida y[n] de un sistema sin memoria depende únicamente del valor presente de la
entrada x[n], entonces, si el sistema es LTI, se tiene que
(6.8)
donde K es una constante (ganancia). Entonces, la respuesta al impulso correspondiente es
simplemente
(6.9)
Por lo tanto, si h[n0] ≠ 0 para n0 ≠ 0, el sistema discreto LTI tiene memoria.

Sistemas Causales y Anticausales
Se sabe que un sistema es causal si la salida depende únicamente de los valores presente y pasado
de la entrada. De la ecuación (6.2) se desprende que
(6.10)
Por lo tanto, para que el sistema sea causal, cada término de la segunda sumatoria del miembro
derecho de la ecuación debe ser cero porque contiene los valores futuros de la entrada. Esto se
cumple solamente si y solo si
(6.10)
Si se aplica este resultado en la Ecuación (6.5), se tiene que
(6.11)
Aplicando la condición de causalidad de la Ecuación (6.10) en la Ecuación (6.2), obtenemos de
manera alternativa que
(6.12)
Esta última ecuación muestra que los valores de la entrada x[n] usados para calcular la salida y[n]
son solamente aquellos para los que k ≤ n.
Además, si la entrada x[n] es causal (x[n] = 0 para n < 0) , se tiene que
(6.13)

Sistemas Estables (BIBO - Bounded Input Bounded
Output) e Inestables
Un sistema discreto LTI es estable o BIBO si
(6.14)
Esto es, si la suma de la ecuación anterior converge (es sumable):
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Demostración:
Si se asume que la entrada x[n] es acotada, es decir |x[n]| ≤ M, para un valor finito M < ∞, se tiene que
Observando la última sumatoria se puede ver que esta converge solamente si se satisface la Ecuación
(6.14).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Conexión en Serie (Cascada)
Dos sistemas de tiempo discreto están en cascada (interconectados en serie) si la salida de uno es la
entrada de otro como se muestra en la Figura 6.3. La respuesta al impulso h[n] de la interconexión
en cascada de dos sistemas discretos LTI es simplemente la convolución de las respuestas al impulso
individuales:
(6.15)
Figura 6.3. Representación Equivalente de sistemas discretos LTI en cascada.
La Ecuación (6.15) puede ser generalizada para M sistemas discretos LTI interconectados en cascada,
como se muestra a continuación:
(6.16)

Conexión en Paralelo
Dos sistemas de tiempo discreto están en paralelo si sus entradas son la misma señal y su salida es
una señal única igual a la suma de las señales de la salida de cada uno de los sistemas (ver Figura
6.4). La respuesta al impulso h[n] de la interconexión en paralelo de dos sistemas discretos LTI es
simplemente la suma de las respuestas al impulso individuales:
(6.17)
Figura 6.4. Representación Equivalente de sistemas discretos LTI en paralelo.
La Ecuación (6.17) puede ser generalizada para M sistemas discretos LTI interconectados en paralelo,
como se muestra a continuación:
(6.18)

Sistemas Invertibles
Si se tiene un sistema discreto LTI con respuesta al impulso h[n], se dice que el sistema es invertible
si al aplicar como entrada la respuesta al impulso a otro sistema se obtiene como respuesta la señal
impulso unitario δ[n]. En consecuencia, si el sistema inverso correspondiente es también LTI con
respuesta al impulso h1[n], como se muestra en la siguiente figura, h1[n] debe satisfacer la condición
(6.19)
En realidad el sistema inverso debe ser LTI dado que el sistema original es LTI.
Figura 6.5. Sistema discreto LTI Invertible y su sistema inverso.
En general, si el sistema inverso existe, se requiere de técnicas muy sofisticadas para determinar la
respuesta al impulso h1[n], y, aún de existir el sistema invertible, puede que esto no implique
propiedades adicionales de uso práctico para otras aplicaciones como en los casos de causalidad y/o
estabilidad.

Respuesta Escalón Unitario
La respuesta escalón unitario s[n] de un sistema discreto LTI con respuesta al impulso h[n] se
obtiene de la siguiente manera:
(6.20)
De la ecuación anterior se tiene que
(6.21)
Respuestas a Impulso y Convoluciones Especiales
Algunos casos importantes de respuestas a impulso son las siguientes:
Retraso Unitario
h[n] = δ[n-1]
(6.22)
Avance Unitario
h[n] = δ[n+1]
(6.23)
h[n] = u[n]
(6.24)
Acumulador
Igualmente, existen algunas convoluciones con propiedades especiales:
δ[n+1] * δ[n-1] = δ[n]
(6.25)
δ[n+1] * δ[n] = δ[n+1]
(6.26)
δ[n-1] * δ[n] = δ[n-1]
(6.26)
u[n] * δ[n+1] = u[n+1]
(6.27)
u[n] * δ[n-1] = u[n-1]
(6.28)
Ecuaciones Diferencia
Las ecuaciones diferencia juegan el mismo papel en un sistema de tiempo discreto que el que juegan las
ecuaciones diferenciales en un sistema de tiempo continuo. Estas ecuaciones diferencia pueden
describir tanto implementaciones en hardware como en software de sistemas de tiempo discreto y
pueden ser descritas mediante diagrama a bloques como se mostrará más adelante.
A continuación se muestra un sistema discreto descrito por una ecuación diferencia lineal de orden
finito con coeficientes constantes:
(6.29)
donde el orden del sistema se refiere al retardo más grande (N o M) que aparezca en la ecuación. En
analogía con el caso de tiempo continuo, la solución general para la salida y[n], dada para una entrada
particular x[n], es
y[n] = yp[n] + yh[n]
(6.30)
Es decir, la suma de una solución particular yp[n] que satisface la Ecuación (6.29) y una solución
homogénea yh[n] que satisface la Ecuación (6.29) con x[n] = 0, o lo que es lo mismo, que satisface la
ecuación diferencia homogenea
(6.31)
La forma exacta de la secuencia yh[n] está determinada por N condiciones auxiliares del sistema, siendo
yh[n] en realidad un miembro de la familia de soluciones de la forma
(6.32)
Sustituyendo la Ecuación (6.32) en la Ecuación (6.31), se puede observar que los números complejos zm
deben ser raíces del polinomio
(6.33)
La ecuación (6.32) asume que todas las N raíces del polinomio de la Ecuación (6.33) son distintas. La
forma de los términos asociados con raíces múltiples es ligeramente diferente, pero siempre hay N
coeficientes indeterminados.
Ya que yh[n] tiene N coeficientes indeterminados, se requiere de un conjunto de N condiciones auxiliares
para obtener una salida y[n] única para determinada entrada x[n]. Estas condiciones auxiliares pueden
consistir en especificar valores fijos de y[n] para valores específicos de n, tales como y[-1], y[-2], ..., y[-N],
y posteriormente resolver un conjunto de N ecuaciones lineales para obtener los valores de los N
coeficientes indeterminados.
Alternativamente, si las condiciones auxiliares son un conjunto de los valores auxiliares de y[n], los otros
valores de y[n] pueden ser generados reescribiendo la Ecuación (6.29) en la forma de la expresión
recursiva siguiente:
(6.34)
Esto significa que si se cuenta con una entrada x[n] y un conjunto de valores auxiliares consistente en los
valores de las N salidas pasadas (y[-1], y[-2], ..., y[-N]), entonces se puede obtener y[0]. Entonces se
puede aplicar nuevamente la Ecuación (6.34) para obtener y[1] con y[0], y[-1], ..., y[-N+1]. Los próximos
valores de y[n] pueden ser obtenidos aplicando una y otra vez este procedimiento. Si la salida y[n] se
obtiene utilizando este procedimiento, se dice que es calculada recursivamente. Esta recursividad
implica que el cálculo de la salida no solo involucra el uso de la secuencia de entrada x[n], sino que
también requiere de valores previos de la secuencia de salida.
Para generar los valores de y[n] para n < -N (otra vez asumiendo que los valores y[-1], y[-2], ..., y[-N] son
dados como condiciones auxiliares, se puede reacomodar la Ecuación (6.29) en la forma
(6.35)
Ejemplo: (Dr. Humberto Ochoa)
Si se tiene el sistema de tiempo discreto y[n] = 2 y[n-1] - y[n-2] + 0.5 x[n] + 0.5 x[n-1] con condiciones
auxiliares y[-1] = y[-2] = 1, encuentre las salidas de las primero cuatro muestras para las entradas
a) x[n] = δ[n]
n
0
1
2
3
x(n-1)
0.0
1.0
0.0
0.0
x(n)
1.0
0.0
0.0
0.0
y(n-2)
1.0
1.0
1.5
2.5
y(n-1)
1.0
1.5
2.5
3.5
y(n)
1.5
2.5
3.5
4.5
x(n-1)
0
1
-1
1
x(n)
1
-1
1
-1
y(n-2)
1.0
1.0
1.5
2.0
y(n-1)
1.0
1.5
2.0
2.5
y(n)
1.5
2.0
3.5
3.0
b) x[n] = (-1)n u[n]
n
0
1
2
3
Representación de Ecuaciones Diferencia mediante Diagrama a Bloques
La Figura 6.5 muestra los bloques que representan las operaciones básicas que componen a una
ecuación diferencia.
Figura 6.5. (a) Sumador básico, (b) multiplicador y (c) elementos de retardo.
Ejemplo:
La representación en bloques de la ecuación diferencia recursiva de primer orden y[n] = x[n] + y[n-1] es
Ejemplo:
La representación en bloques de la ecuación diferencia recursiva de primer orden y[n] = x[n] + b x[n-1] +
ay[n-1] es