Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo

SISTEMAS L.T.I.
INTRODUCCIÓN:
Gran parte de los sistemas físicos reales se pueden aproximar a sistemas lineales tiempo invariantes(LTI).
Como circuitos lineales o sistemas mecánicos. Por ello es muy importante el estudio del comportamiento de
dichos sistemas, y como podemos manejarlos.
REPRESENTACIÓN DE SEÑALES MEDIANTE IMPULSOS:
Es posible representar cualquier señal en tiempo discreto como una suma de Deltas de Kronecker. Para ello
basta recordar que:
Con lo que en general podemos decir que:
En tiempo continuo la situación es un poco más complicada. Para estudiarla hacemos una aproximación:
Tomamos la función
, y escalonamos la señal a procesar, como en la imagen:
Con ello nos queda que:
Haciendo tender
a cero:
Es decir, podemos expresar una señal, tanto de tiempo discreto como continuo, mediante una suma de deltas
de Kronecker o de Dirac según corresponda.
RESPUESTA AL IMPULSO DE UN SISTEMA Y CONVOLUCIÓN:
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TIEMPO DISCRETO:
Supongamos un sistema lineal. Si de dicho sistema yo conozco la respuesta a la delta desplazada, es decir,
conozco:
entonces, dada una secuencia tal como:
La respuesta del sistema a
será:
Si además el sistema es invariante en el tiempo, es decir:
Y conocemos
, entonces podemos conocer la respuesta del sistema ante cualquier señal. Para ello:
Y a esa operación, representada por
se le llama Suma de convolución. Como sabiendo
conocemos el comportamiento del sistema ante cualquier señal, definiremos los sistemas LTI mediante
, llamada respuesta al impulso del sistema. Además, toda propiedad de la convolución será aplicable a los
sistemas.
Veamos entonces las propiedades de los sistemas:
• Conmutativa:
Es decir:
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• Asociativa:
Es decir:
• Distributiva respecto de la suma:
Es decir:
Ejemplo:
Sean una señal
y un sistema dado por
Operamos:
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:
Análogamente nos queda:
Y la señal final queda como:
Siempre se verifica que el número de muestras de la señal resultante es el número de muestras de la señal de
entrada más el de la respuesta del sistema menos uno. Por otra parte, existen infinitos sistemas cuya respuesta
el impulso es la misma, pero solo existe uno que además sea lineal.
TIEMPO CONTINUO:
Supongamos un sistema lineal. Si de dicho sistema yo conozco la respuesta a la delta desplazada, es decir,
conozco:
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entonces, el resultado de introducir a dicho sistema una señal
será:
Si además el sistema es tiempo invariante, es decir:
Entonces:
Y a esa operación, representada por
se le llama Integral de convolución. Las características y propiedades son análogas a las de la suma de
convolución.
Ejemplo:
La integral se divide en varios trozos:
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La señal resultante es:
PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS LTI:
Intentamos hallar un método para hallar las propiedades de un sistema mediante su respuesta al impulso. Para
ello vamos a estudiar las propiedades y la convolución:
• Memoria:
Sabemos que:
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Por tanto la única manera de que la salida solo depende de la entrada actual es que:
Y en tiempo continuo:
• Sistema inverso:
Partimos de:
Lo que buscamos es
tal que:
Si logramos encontrar una función que cumpla dicha condición, entonces la función tendrá inversa.
• Causalidad:
La respuesta solo puede depender de valores actuales o anteriores, es decir:
Es decir,
no debe depender de
para
. Eso significa que todos los coeficientes
que multiplican a
para
han de ser nulos. Por tanto se ha de cumplir que
para
. Análogamente en tiempo continuo se ha de verificar que
para
.
• Estabilidad:
Ha de ocurrir que ante valores acotados de la entrada, la salida este acotada. Por tanto:
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Donde
Luego para que un sistema sea estable ha de ocurrir:
DEFINICIÓN DE UN SISTEMA MEDIANTE EC. DIFERENCIALES:
TIEMPO CONTINUO:
Es posible describir un sistema lineal mediante ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, es decir,
definirlos mediante una ecuación de la forma:
Pero dicha ecuación no nos definirá el sistema por completo. Necesitamos unas condiciones iniciales para
determinarlos por completo. Un claro ejemplo sería un circuito RLC, en el que habría que saber la carga
inicial del condensador.
Dada una ecuación diferencial, el sistema que representa solo es lineal si las condiciones iniciales dadas son
nulas.
TIEMPO DISCRETO:
Igualmente es posible describir un sistema discreto mediante una ecuación en diferencias, cuya forma es:
De tal manera que es posible escribir la solución
como la suma de una solución particular de la ecuación dada más la solución general de la ecuación
homogénea, y hacer:
Y aplicando condiciones auxiliares tendremos el sistema descrito.
El método para la resolución de dichas ecuaciones en diferencias es:
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Con lo que obtenemos una formula recursiva.
Hay un caso particular, en el que el sistema viene descrito por la ecuación:
En esta caso no se necesitan condiciones iniciales, al venir totalmente determinado por la ecuación, ya que
podemos hacer:
Y ya tenemos totalmente determinado el sistema.
Veamos un ejemplo de uso de la fórmula recursiva:
Condición inicial.
Introducimos una señal del tipo:
Hallamos la señal de salida:
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La señal total queda como:
Esta señal no es lineal, pues las condiciones iniciales no son nulas. Si es invariante en el tiempo.
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