2009 - Guía de Ejercicios (Consumidores y Productores) 2a parte

Productores
1.- Construir las funciones de productividad media y marginal de X1 correspondientes a la función
de producción q=x1x2 – 0.2 x12 – 0.8 x22. Supóngase que x2=10. ¿Cuáles serán los valores de x1 a los
cuales su producto medio y marginal (respectivamente) es cero?
2.- Dada la función de producción CES q=A [αx1-ρ + (1 – α) x2-ρ] -1/ρ, calcular las elasticidades de
producción de X1 y X2. Demostrar que su suma es igual a la unidad.
3.- Obtener la trayectoria de expansión de los insumos para la función de producción q= A x1αxβ, si
α>0, β>0.
4.- La función de costo total de corto plazo de un empresario es C = q3 – 10 q2 + 17 q + 66.
Determinar el nivel de producción al cual el beneficio es maximizado si p=5. Computar la
elasticidad-producto del costo para este nivel de producción.
5.- Cada una de las siguientes funciones de producción es homogénea de grado uno. Derivar en
cada caso las productividades marginales de X1 y X2 y demostrar que son homogéneas de grado
cero:
q=(αx1x2 – bx12 – cx22)/(αx1+βx2)
q= A x1αx21-α + bx1 + cx2
6.- Un empresario utiliza dos procesos de producción distintos para producir dos productos, Q1 y
Q2. La función de producción de cada bien es CES, y el empresario obedece a la condición de
equilibrio para la minimización del costo total de cada producto. Suponga que Q1 tiene mayor
elasticidad de sustitución y un valor más bajo del parámetro α que Q2. Determinar la relación de
precios a la que la relación entre el uso de ambos insumos es la misma para ambos bienes. ¿Cuál es
el bien con la mayor relación de insumos si el cociente de precios es más reducido? ¿Cuál es el bien
con la mayor relación de insumos si el cociente de precios es más elevado?
7.- Un empresario usa un insumo para producir dos bienes sujeto a la función de producción x=A
(q1α+q2β) (con exponentes >1). Compra el insumo y vende los productos a precios fijos. Expresar
los niveles de producción que maximizan sus beneficios como funciones de los precios. Demostrar
que su función de producción es estrictamente convexa para q1, q2>0.
8.- Un empresario produce un producto con dos insumos usando la función de producción CobbDouglas q=Ax1αx21-α. Compra los insumos y vende lo producido a precios fijos. Está sometido a una
restricción o cuota que le permite comprar hasta x1α de X1. Pero hubiera comprado más de no ser por
la cuota. Determinar las condiciones para maximizar el beneficio del empresario. ¿Cuál es la
relación entre el valor del producto marginal de cada insumo y su precio? ¿Cuál es la relación
óptima entre la relación técnica de sustitución (RTS) y el cociente de precios?
9.- Sea Y el conjunto de producción. Se dice que la tecnología es aditiva si yЄY e y’ЄY→ y+y’ЄY.
Se dice que la tecnología es divisible si yЄY, 0≤t≤1 → tyЄY. Demostrar que si una tecnología es
simultáneamente aditiva y divisible, debe ser convexa y exhibir rendimientos constantes a escala.
10.- Usar el teorema de Karush-Kuhn-Tucker para obtener las condiciones válidas de maximización
del beneficio y minimización de los costos aún en soluciones en la frontera, o sea cuando algún
factor de producción no es utilizado.
11.- Calcular exactamente la función de beneficios de la tecnología y=xα cuando 0<α<1. Verificar
que la función es homogénea y cóncava en (p, w).
12.- Dada la función de producción f(x1 x2)= a1 ln x1 + a2 ln x2, calcular las funciones de demanda y
oferta que maximizan el beneficio, así como la función de beneficio. Suponga por sencillez que se
da una solución interior, y que ai>0.
13.- Una empresa tiene dos plantas. Una de ellas produce con arreglo a la función de producción
x1αx21-α, la otra con la función de producción x1βx21-β. ¿Cuál es la función de costos de esta
tecnología?
14.- La tabla siguiente corresponde a observaciones sobre la demanda de dos factores 1 y 2, a
precios w1 y w2 con un nivel de producción y para una empresa. Indicar si los datos observados son
consistentes con una conducta de minimización de los costos:
Observación
A
B
y
100
110
w1
2
1
w2
1
2
x1
10
14
x2
20
10
15.- La función de costos es c (w1, w2, y)=mín {w1, w2} y. ¿Cuál es la función de producción?
¿Cuáles son las demandas condicionales factoriales?
16.- La función de costos es c (w1, w2, y)=w1a w2b y. ¿Qué sabemos sobre los parámetros a y b?