El modelo de intercambio y producción de Walras

XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
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XIX. EL MODELO DE INTERCAMBIO Y PRODUCCIÓN DE WALRAS 1
Este capítulo constituye un resumen de la importante contribución de Walras a la microeconomía
moderna. Constituye un punto culminante de la evolución teórica de nuestra disciplina. Por tal
motivo, les sugiero seguir su lectura acompañada de material complementario. Me parece
oportuno comentarles que, en el siglo pasado hubo grandes aportes que permiten una mejor
apreciación de su trabajo principal, los Éléments d’Économie Politique Pure. Esta obra merece ser
leída en el original, pero, claro, está en francés. Hay una edición electrónica de esta obra bajo el
título Léon Walras, Théorie Mathématique de la Richesse Sociale, 1883, hecha por Gallica. Entre
las extensiones del siglo pasado está la teoría del equilibrio general de K. Arrow y G. Debreu a la
que nos referiremos en el próximo capítulo, y un breve y preciso documento de Oscar Lange,
Price Flexibility and Employment (Bloomington, Indiana: The Principia Press, 1944). Mi exposición
se basará en gran medida en el aporte del economista Michio Morishima (1977) Walras'
economics: a pure theory of capital and money, a quien volveremos a encontrar cuando hablemos
sobre la teoría económica de Karl Marx.
1. Léon Walras : elementos biográficos
En 1874 apareció la obra capital del economista Léon Walras, Éléments d'Économie Politique
Pure. Esta obra introdujo muchos de los conceptos hoy utilizados en la teoría del equilibrio
económico. Posteriormente, Karl Gustav Cassel (1918) y Abraham Wald (1936) ampliaron y
corrigieron su tratamiento. Hacia 1950 hubo un resurgimento de interés en su teoría, cuando se
desarrollaron los primeros esquemas con tecnologías lineales y problemas de existencia. Con
Arrow, Debreu y Koopmans el modelo (denominado desde entonces de Walras-Cassel) fue
integrado con la tradición paretiana y se transformó en el modelo neo-walrasiano.
Walras era hijo del economista francés Auguste Walras. Auguste era un maestro de escuela y no
ejercía como economista profesional, aunque su pensamiento económico tuvo un profundo efecto
sobre el de su hijo. Pensaba que el valor de los bienes quedaba determinado comparando su
escasez con las necesidades humanas. Walras también heredó de su padre sus intereses por las
reformas sociales. Como los socialistas Fabianos, Walras deseaba nacionalizar la tierra, creyendo
que de esa manera aumentaría su valor y que las rentas derivadas de la misma serían suficientes
para mantener al país sin introducir impuestos.
Otra influencia importante fue la de Augustin Cournot, compañero de estudios. A través de
Cournot Walras cayó bajo la influencia del racionalismo francés y comenzó a utilizar matemáticas
en economía. Cournot había creado relaciones funcionales en las cuales las “cantidades están
vinculadas con los precios de demanda y con los costos.” También había sugerido la existencia de
curvas de demanda decrecientes.
Aunque Walras llegó a ser considerado como uno de los tres líderes de la revolución marginalista,
no estaba familiarizado con las otras dos grandes figuras del marginalismo, William Stanley
Jevons y Carl Menger, y de hecho desarrolló sus teorías de forma independiente. En 1874 y 1877
publicó sus “Elementos de Economía Pura”, una obra que lo encaramó como el padre de la teoría
1
V. Ladislaus von Bortkiewicz, (1890), "Léon Walras, Éléments d'économie politique pure, 2e edition",
Revue d'économie politique, Vol. 4, No. 1 (January-February); The History of Economic Thought Website;
Morishima, Michio (1977) Walras' economics: a pure theory of capital and money. Cambridge University
Press; Joseph A. Schumpeter, History of Economic Analysis, New York, Oxford Univ. Press, 7th ed., 1968;
Wikipedia: “Léon Walras”; Lange, O., Price Flexibility and Employment (Bloomington, Indiana: The Principia
Press, 1944); J. Henderon and R.E. Quandt, Microeconomic Theory, A Mathematical Approach, © 1958,
1971 by McGraw-Hill, Inc.; K. Lancaster, Economía matemática, Bosch, 1972.
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del equilibrio económico general. El problema que Walras se propuso resolver había sido
presentado por Cournot, en el cual podía demostrarse cómo se comportaban los mercados en
forma individual, pero se ignoraba cómo los bienes podían interactuar unos con otros afectando a
la oferta y la demanda. Walras creó un sistema de ecuaciones simultáneas intentando resolver el
problema de Cournot, pero reconoció que aunque el sistema fuera el correcto, el número de
incógnitas y la carencia de información lo hacía insoluble.
Cuando pasó a ser profesor de la Universidad de Lausanne, en Suiza, Walras fundó, bajo la
dirección de su discípulo italiano, el economista y sociólogo Vilfredo Pareto, la que luego sería
conocida como la escuela de economía de Lausanne. Por mucho tiempo las publicaciones de
Walras sólo estuvieron disponibles en francés, lo que implicó que sólo una pequeña parte de la
profesión estuviera famiarizada con sus trabajos. A partir de los años 1950, la situación cambió
gracias a la obra de William Jaffé, traductor de las principales obras de Walras, y editor de su
Correspondencia completa (1964).
Entre las obras principales de Léon Walras cabe mencionar: Francis Saveur, 1858; "De la
propriété intellectuelle", 1859, Journal des économistes; L'économie politique et la justice; Examen
critique et réfutation des doctrines économiques de M. P.J. Proudhon précédés d'une introduction
à l'étude de la question sociale, 1860; "Paradoxes économiques I", 1860, Journal des
économistes; "Théorie critique de l'impôt", 1861; De l'impôt dans le Canton de Vaud, 1861; Les
associations populaires de consommation, de production et de crédit, 1865; "La bourse et le
crédit", 1867, Paris Guide; Recherche de l'idéal social, 1868; "Principe d'une théorie mathématique
de l'échange", 1874, Journal des économistes; Éléments d'économie politique pure, ou théorie de
la richesse sociale (Elements of Pure Economics, or the theory of social wealth, transl. W. Jaffé),
1874. (1899, 4th ed.; 1926, rev ed., 1954, Engl. transl.); "Correspondance entre M. Jevons,
professeur a Manchester, et M. Walras, professeur à Lausanne", 1874, Journal des économistes;
"Un nuovo ramo della matematica. Dell' applicazione delle matematiche all' economia politica",
1876, Giornale degli economisti; Théorie mathématique de la richesse sociale, 1883; "Notice
autobiographique de Léon Walras", 1893; Études d'économie sociale; Théorie de la répartition de
la richesse sociale, 1896; Études d'économie politique appliquée; Théorie de la production de la
richesse sociale, 1898; "Théorie du crédit", 1898, Revue d'économie politique; "Sur les équations
de la circulation", 1899, Giornale degli economisti; "Cournot et l'Économique Mathématique", 1905,
Gazette de Lausanne; "La Paix par la Justice Sociale et le Libre Échange", 1907, Questions
Pratiques de Legislation Ouvrière; L'état et le chemin de fer; "Leone Walras, Autobiografia", 1908,
Giornale degli Economisti; "Un initiateur en économie politique, A.A. Walras", 1908, La Revue du
Mois; "Économique et méchanique", 1909, Bulletin de la Societe Vaudoise de Sciences Naturelles;
Correspondence of Léon Walras and related papers (ed. by William Jaffé, 3 vols.), 1965.
Walras elaboró sus Elementos a través de etapas progresivas en cuanto a complejidad y
generalidad. Sus ocho partes pueden ser resumidas de la siguiente manera:
(1) Walras define el alcance de la economía, de la teoría subjetiva del valor y del método
matemático;
(2) Discute el intercambio puro de dos bienes cuyas demandas y ofertas han sido derivadas
mediante la maximización de la utilidad; aquí se introduce al “subastador” y al proceso de tanteo
(tâtonnement) para la estabilidad.
(3) Introduce el intercambio en mercados múltiples; hace el recuento de “ecuaciones y de
incógnitas” a fin de hallar la existencia de situaciones de equilibrio; y considera al tanteo multimercado con un subastador;
(4) Incorpora a la producción (en las primeras ediciones, con coeficientes fijos; y en ediciones
posteriores, con tecnologías flexibles que le permiten hablar de la teoría de la productividad
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marginal) con un empresariado que no persigue beneficios; demuestra cómo la demanda de
factores se deriva como una demanda indirecta por los bienes;
(5) Introduce su teoría del capital, que incluye la capitalización de las ganancias futuras y presenta
una teoría del ahorro y del crédito;
(6) Introduce su teoría de la demanda de dinero como “encaisse desirée”; contempla al dinero
como brindando servicios futuros y, por ende, como “deseado” en un problema de elección
general;
(7) Considera a un mercado continuo y a una economía en crecimiento;
(8) Efectúa reflexiones sobre la competencia imperfecta y el monopolio.
Después de las repercusiones de los Éléments, Walras trató de mantener correspondencia con
virtualmente todo los economistas importantes de su época, desde Estados Unidos hasta Rusia,
en un esfuerzo por popularizar su nueva teoría. Halló simpatizantes y seguidores entre varios
jóvenes italianos con buena formación (p.ej. Barone y Pareto) y norteamericanos (p.ej. Moore y
Fisher). Pero en su mayor parte fue ignorado o despreciado por los economistas y matemáticos
contemporáneos.
En 1893, la cátedra de Walras fue continuada por su joven discípulo, Vilfredo Pareto. Entre ambos
formaron el núcleo de la que llegó a conocerse como Escuela de Lausanne. Aunque estaban de
acuerdo en las principales cuestiones teóricas, los detalles del programa de investigación
subsiguiente serían dictados más por los intereses de Pareto que por las preocupaciones de
Walras.
Walras había escrito sus Éléments de 1874 como parte de un proyecto más amplio, que resultó
inconcluso porque en los 1890s sus capacidades mentales habían comenzado a ceder y resultaba
dudoso que pudiera completar su gran obra de la forma en que lo había intentado originariamente.
Walras compiló de apuro dos volúmenes, los Études d'économie sociale (1896) y los Études
d'économie politique appliquée: Théorie de la production de la richesse sociale (1898) que
consideró complementarios, indivisibles y pilares de su teoría económica general en forma
conjunta con los Éléments.
Para su infortunio, la mayoría de los economistas consideró a los dos últimos volúmenes como
rellenos “livianos” o, lo que era peor aún, como una simple plataforma de política socialista. Hoy
en día, como entonces, sólo los Éléments son considerados como la “verdadera” contribución de
Walras. Aunque algunos economistas continúan creyendo que, al no ser tenidos en cuenta sus
dos otros volúmenes, la teoría moderna del Equilibrio General neo-walrasiana no adhirió – sea en
términos generales o en detalle – a la visión original de Walras.
Los economistas modernos también han descartado el intento de Walras, en una edición posterior
(1896) de sus Éléments, de ser acreditado como el descubridor de la teoría de la productividad
marginal de la distribución, dándole prioridad a Wicksteed. Es ampliamente reconocido que
Walras supo de este teorema por medio de Enrico Barone (aunque, por extraña coincidencia,
Walras había recibido el teorema escrito en una hoja de papel de un matemático de Lausanne,
Hermann Amstein, en 1877, ¡pero no había comprendido suficientemente el tratamiento
matemático como para saber qué hacer!).
Walras pasó los últimos años de su vida en una soledad plena de frustraciones, amargura por la
desatención hacia su obra, discapacitado por la senilidad y la enfermedad mental. Falleció en
1910.
2. Intercambio
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Walras apreció que, antes de pasar a considerar el funcionamiento de una economía capitalista,
era de vital importancia clarificar el problema del numerario (numéraire). Sea una economía en la
que todos los individuos son precio-aceptantes. Designamos como p=(p1,...,pn) al vector de
precios. Cada individuo está provisto de ciertas cantidades de los n bienes, x10,...,xn0 antes de
realizar transacciones, que desea convertir en cantidades x1, ...,xn a fin de maximizar su función
de utilidad 2 :
[1]
u=u(x1, ..., xn).
La restricción presupuestaria es la siguiente:
[2]
∑pi xi =∑pi xi0.
Adicionalmente, las cantidades que le deben quedar luego del intercambio deben ser no
negativas:
[3]
xi≥0
(i=1, ..., n).
Este problema [1]-[3] puede ser resuelto mediante las condiciones de KKT con las cuales
obtenemos las condiciones de primer orden para un máximo condicionado:
[4]
ui≤λpi (i=1, ...., n),
en las cuales ui denota a la derivada parcial de u con respecto a xi y λ al multiplicador de
Lagrange 3 . Si [4] rige como desigualdad estricta ‘<’ para algún i, luego el correspondiente xi debe
ser nulo en el máximo; en cualquier otro caso, xi≥0. Aunque Walras no incluyó en ninguna parte
de su libro las desigualdades [3], escribió lo siguiente: “Dados dos bienes en un mercado, cada
poseedor alcanza su máxima satisfacción, o utilidad máxima efectiva, cuando el cociente de sus
“raretés” [e.d. utilidades marginales] es igual al de sus precios... Naturalmente, es posible que una
parte del intercambio encuentre interesante ofrecer toda la dotación de uno de los dos bienes de
que dispone al comenzar el trueque [e.d. quedarse con xi=0 del bien i con xi0>0] o no demandar
nada del otro bien [e.d. demandar xi=0 para i con xi0=0].” Para este último caso concluyó: “La
cantidad demandada de uno de los dos bienes por un tenedor del otro bien resulta cero, cuando el
precio del bien demandado es igual o mayor que el cociente entre la intensidad de su deseo
máximo por él y la intensidad del último deseo que puede ser satisfecho con la cantidad poseída
del bien ofrecido [e.d. el cociente de utilidades marginales].” En cuanto al bien restante, expresó
que “el tenedor de uno de ambos bienes ofrecerá todo lo que tiene de ese bien cuando el precio
del bien demandado a cambio sea igual o menor que el cociente de intensidades del último deseo
que puede ser satisfecho por el bien demandado con relación a la intensidad de la necesidad
máxima satisfecha por el bien que es ofrecido.” De estas citas cabe deducir que Walras estaba al
tanto de las verdaderas condiciones de equilibrio del consumidor [4]. Y nada cambia al agregar
varios bienes dentro del análisis.
Como se vio en el Capítulo II, posteriormente hubo un análisis riguroso de los bienes libres por
economistas germanófonos como Zeuthen, Neisser, von Stackelberg, etc. Pero en Walras el
concepto de escasez por oposición al de bienes libres resulta fundamental en su teoría del valor.
2
Supondremos que u posee curvas de indiferencia convexas al origen por doquier.
Para el tratamiento matemático se seguirá el moderno enfoque de M. Morishima, sobre la base de que
enriquece el tratamiento del propio Walras.
3
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Walras no aceptó ni la teoría del valor-trabajo británica ni la teoría francesa de la utilidad, porque
ninguna de ellas consideraba en forma apropiada a la escasez. En contra de la primera escribió
que “si el trabajo tiene valor y es comerciable, lo es porque es útil y limitado en cantidad, es decir
escaso. El valor deriva por consiguiente de la escasez. Otras cosas que no sean trabajo, mientras
sean escasas, tienen valor y son comerciables como si fueran trabajo”. En contra de la teoría de la
utilidad dijo: “La utilidad ... de por sí no crea valor. Además de ser útil, una cosa debe ser escasa,
es decir no debe existir en cantidad ilimitada...El aire que respiramos, el viento que hace ondear
los sembradíos en la tierra, el sol que nos proporciona luz y calor y alimenta nuestras cosechas, el
agua y el vapor de agua, éstas y otras fuerzas de la naturaleza no sólo son útiles, sino
indispensables. Y sin embargo no tienen valor. ¿Por qué? Porque se encuentran en cantidades
ilimitadas y todos podemos hacer uso de ellas en la cantidad que deseemos cuando están
presentes, sin postergar nada o realizar a cambio ningún sacrificio.”
En realidad, el objetivo de Walras en su teoría del intercambio era verificar el punto de vista de
que todas las cosas valiosas y comerciables son útiles y al mismo tiempo están disponibles en
cantidades limitadas, y recíprocamente. Para ello, prestó especial atención a la cantidad de un
bien demandado por un individuo a un precio cero. A esta cantidad la llamó la “utilidad extensiva”
de ese bien y la supuso finita. La utilidad extensiva total de un bien i es la suma de las utilidades
extensivas individuales. Es la cantidad total de i que los individuos querrán retener suando su
precio es nulo. En otros términos, es la suma de los xi sobre todos los individuos en pi=0. Como
cada xi depende no solamente de pi sino también de los precios restantes, la cantidad total Xi es
una función de todos los precios, de modo que la utilidad total extensiva, e.d. Xi calculada en pi=0,
puede tener fluctuaciones si cambian los precios de los otros bienes. Interpretado en terminología
moderna, esto puede plantearse en los términos siguientes: Sean p10, ...,pn0 los valores de
equilibrio general de los precios, y Xi(p10, ...,pi-10,0,pi+10,...pn0) la demanda total particular de utilidad
extensiva del bien i obtenida cuando los restantes mercados se encuentran en equilibrio. Entonces
el precio de equilibrio del bien i será nulo, e.d. pi0=0, si la ‘utilidad total extensiva’ es menor que la
cantidad poseída, e.d. Xi(p10, ...,pi-10,0,pi+10,...pn0)<Xi0 donde Xi0 representa la cantidad total
poseída del bien i entre todos los consumidores, e.d. la suma de xi0. Ésta es la regla que hoy es
llamada de los bienes libres.
Para un individuo escribimos di=xi-xi0 si su xi es mayor que si xi0, sj=xj0-xj si su xj0 es mayor que su
xj. El individuo comprará la cantidad di del bien i de otras personas y venderá la cantidad sj del
bien j a los demás. En el mercado la demanda total de i es la suma de las di sobre todos los
individuos y la oferta total la suma de las si. Las denotamos como Di(p1, ..., pn) y Si(p1, ...,pn). La
suma de la ecuación presupuestaria [2] para todos los individuos puede entonces escribirse como:
[5]
∑piDi(p1, ...,pn) = ∑piSi(p1, ..., pn),
ecuación que habitualmente es denominada la ley de Walras. Por consiguiente, un equilibrio
general se define como un estado de la economía sin demanda excedente positiva en ningún
mercado, es decir,
[6]
Di(p1, ..., pn)≤Si(p1, ..., pn)
∀i.
Como los precios son no-negativos, de [5] y [6] en forma conjunta se desprende que
[7]
Di(p1, ..., pn)<Si(p1, ..., pn)
porque en caso contrario se tendría
⇒ pi=0,
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∑piDi(p1, ...,pn) < ∑piSi(p1, ..., pn)
si hubiera un exceso de oferta en algunos mercados, lo que entraría en contradicción con la ley de
Walras [5].
Por definición resulta claro que el exceso de demanda, Di-Si, es idéntico a Xi-Xi0. Por lo tanto, la
ley de Walras y las condiciones de equilibrio pueden ser escritas de manera alternativa como:
[5’]
∑piXi(p1, ..., pn) = ∑piXi0
y
[6’]
Xi(p1 , ..., pn) ≤Xi0
∀i.
Si en una situación de equilibrio existe algún bien en exceso de oferta, regirá [7]. Lo que implica
que para los precios de equilibrio que satisfagan [6’], se tendrá la regla
[7’]
Xi(p1, ...,pn)<Xi0
⇒ pi=0.
Por consiguiente, los precios de equilibrio deben satisfacer la regla de los bienes libres.
¿Existe algún sistema de precios que satisfaga las condiciones [6] o [6’]? Walras abordó en forma
rigurosa este problema discutiendo el intercambio entre dos bienes A y B. Tomando a cualquiera
de ellos, por ejemplo a B, como bien numerario, supuso que las funciones de demanda Da, Db y
las de oferta Sa, Sb son continuas en el precio relativo de A con respecto a B. Por consiguiente,
como veremos en el capítulo siguiente, las funciones de exceso de demanda satisfacen todas las
condiciones necesarias para aplicar el teorema de punto fijo de Brouwer y hallar una solución de
[8]
Da(pa, 1)≤Sa(pa, 1)
y
Db(pb, 1) ≤Sb(pa, 1)
donde pb ha sido fijado igual a 1 porque B fue tomado como numerario. Luego, como veremos en
el capítulo XX y siguiendo la obra de Arrow y Debreu entre otros, debe existir al menos una
solución de [8] 4 .
A continuación, Walras encaró la tarea de hallar una solución de [6] (o de [6’]) en el caso general
de más de dos bienes. Al abordar esta tarea, utilizó un enfoque particular. Si hay n bienes,
tenemos ½n(n-1) pares de bienes que pueden ser intercambiados entre sí 5 . Debe hallarse un
equilibrio para cada par de la misma forma en que Walras lo halló para la economía con dos
bienes. Para ello, recurrió a la teoría del arbitraje desarrollada por Cournot, dejando de lado su
teoría del subastador. En esta teoría, que veremos en el punto 3, los precios de los bienes, en
términos de un numerario, son propuestos y ajustados por el subastador. Por otra parte, en el
4
A pesar de esta conclusión general, Walras afirmó que no habría solución de [8] en el caso siguiente
particular: “A cualquier precio de A en términos de B por debajo de Ap, ... con un gran número de
demandantes de A que ofrecen B a cambio de A, pero cuando ninguno demanda A a cambio de B.” En tal
caso, no habría ni demandantes ni oferentes de A ni de B al precio pa=Ap, por lo cual las desigualdades [8]
serían satisfechas como 0=0 a ese precio. Esta solución fue considerada por Arrow, Debreu y otros como
un equilibrio pero como no se registra intercambio en tal estado, Walras concluyó que no se trataba de un
equilibrio de intercambio.
5
Para llegar a este número realicen el siguiente cálculo: consideren una matriz cuadrada de n2
componentes, de la que hay que excluir a las componentes de la diagonal principal (n), quedando una
cantidad igual a n2-n=n(n-1). Pero sólo tienen sentido los precios relativos, de los cuales hay ½n(n-1).
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
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modelo de arbitraje no hay subastador; la negociación es conducida directamente entre dos
individuos, y el precio entre ambos bienes, por ejemplo el precio de i en términos de j, es una
relación de intercambio expost entre i y j. Se trata de dos modelos basados en conceptos
diferentes de los precios, y no resulta claro si ambos dan lugar al mismo equilibrio general.
Walras desarrolló un programa bastante completo de investigación. Para resolver el modelo con
subastador, que explica cómo los precios de equilibrio son determinados empíricamente en un
mercado con subastadores mediante el mecanismo de la libre competencia, propuso una teoría
económica; para resolver el problema de arbitraje, propuso un método analítico de acuerdo con el
cual cada una de las ½n(n-1) ecuaciones de intercambio bilateral es resuelta matemáticamente,
especificando la forma algebraica o analítica de las funciones de oferta y demanda, y ajustando
las soluciones de equilibrio parcial así obtenidas hasta satisfacer las condiciones para un arbitraje
completo. Aunque no fue completo, tuvo más éxito con el primer problema que con el segundo.
3. El tâtonnement
Si se supone la existencia de un equilibrio competitivo en el intercambio (que demostraremos en el
capítulo siguiente) el paso siguiente consiste en apreciar cómo este equilibrio es alcanzado en el
mundo real, o, en palabras de Walras, “de qué modo el problema del intercambio entre los bienes
... es resuelto empíricamente en el mercado por medio del mecanismo competitivo” (Éléments). A
fin de plantear el problema asumiremos como Walras que cada mercado está perfectamente
organizado, una abstracción que suelen hacer los científicos como cuando se trata de hallar las
leyes de movimiento que funcionan en un mundo idealizado sin fricciones.
El objetivo de Walras era clarificar el proceso de comercio competitivo. Se trataba de un tema
nuevo para él, cuando las teorías del monopolio y del monopsonio ya habían sido desarrolladas
por Cournot, con quien había comenzado a estudiar economía. Otorgó una mínima incidencia a
los elementos monopólicos, y justificó limitarse al análisis del comercio competitivo de la forma
siguiente: “Los mercados mejor organizados desde el punto de vista competitivo son aquellos en
que las compras y las ventas son realizadas mediante subastas, mediante la participación de
corredores de Bolsa, agentes comerciales o voceros que actúan como agentes que centralizan las
transacciones de tal manera que los términos de todo intercambio son anunciados abiertamente y
se concede una oportunidad a todo vendedor de bajar sus precios y a todo comprador de elevar
sus cotizaciones. De esta forma se opera en la Bolsa de valores, en los mercados comerciales, los
mercados de cereales, los mercados de peces, etc. Además de éstos, hay otros mercados como
los de las frutas, las verduras y las aves de corral, donde la competencia, aunque no esté tan bien
organizada, funciona bastante bien y de manera satisfactoria. Las calles de la ciudad con sus
depósitos y tiendas de todo tipo – peluqueros, carniceros, almaceneros, sastres, zapateros, etc. –
son mercados donde la competencia, aunque esté organizada de manera escasa, sin embargo
funciona en forma bastante adecuada. Sin duda alguna, también la competencia es la fuerza
primaria que determina el valor de las consultas al médico y al abogado, o de lo que gana un
músico o un cantor en un recital, etc.” Más aún, “lo comprado y lo vendido en [la bolsa de valores
de un gran centro de inversiones como París o Londres] son títulos de propiedad sobre formas
importantes de la riqueza social, como acciones del estado o de los municipios en los ferrocarriles,
canales, plantas metalúrgicas, etc.” Por consiguiente, los bienes más importantes tienen sus
propios mercados organizados, y los otros, aunque no estén tan bien organizados como para
hallar en forma precisa el equilibrio competitivo, se encuentran bajo la presión de la competencia,
de modo que los precios no se pueden apartar demasiado de sus valores de equlibrio. Por lo
tanto, la idealización walrasiana puede servir como una primera aproximación a la realidad. Como
dijo Walras, “¿qué científico elegiría deliberadamente un tiempo nublado para hacer
observaciones astronómicas en lugar de beneficiarse con una noche estrellada?”
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¿Cómo funciona la competencia en un mercado bien organizado? Por lo menos hay dos tipos de
comercialización competitiva. Según el más usado, todos los intercambios son provisorios y no
efectivos en tanto haya un exceso de oferta o de demanda en el mercado. Las cantidades de los
bienes en manos de los individuos no se alteran durante el proceso de tanteo, hasta que el
conjunto de precios de equilibrio no haya sido finalmente descubierto. Designamos con xi0=(x1i0,
..., xni0) a la dotación inicial del individuo i. A los precios p=(p1, ...,pn) su poder adquisitivo es M=
∑jpjxji0. Si es un tomador de precios, las cantidades que desea adquirir xi=(x1i, ...,xni) están
determinadas mediante la maximización de su función de utilidad ui(xi) sujeto a la restricción
presupuestaria:
[9]
∑j pjxji=∑j pjxji0.
Si los xji así determinados exceden (o son menores que) la cantidad xji0 que tiene, entonces
demandará (u ofrecerá) el bien j en cantidad xji-xji0 (o xji0-xji) en el mercado. Empero, Las
demandas u ofertas de los individuos no serán efectivas hasta que la demanda total de cada bien
sea igual a su oferta total, o en otro términos que se verifique para todos los bienes j=1, ...,n la
siguiente ecuación:
[10]
∑i xji = ∑i xji0.
Por consiguiente, mientras haya un exceso de demanda de al menos un bien, no habrá comercio;
los individuos permanecerán en el mercado con la misma cantidad de los bienes que tenían al
principio del tâtonnement. Sólo cuando se establezcan finalmente los precios de equilibrio, de
modo que [10] se cumpla para todo j, serán realizadas las transacciones y los individuos se irán a
su casa con las cantidades de los bienes deseadas, xi.
El segundo método de tâtonnement presupone que entre cualquier par de comerciantes puede
llegarse a un acuerdo durante el proceso de tâtonnement, aunque la ecuación [10] no se cumpla
para algunos bienes. Todos estos contratos son efectivos, por lo cual las cantidades de los
diversos bienes que están en poder de los individuos fluctúan de vez en cuando. Sin embargo, los
contratos de compra-venta firmados durante el proceso de tâtonnement no son llevados a cabo a
los precios respectivos cotizados en el mercado al momento de suscribirse los contratos, sino a
los precios de equilibrio establecidos cuando todos los excesos de demanda son eliminados en el
mercado. Cuando cambien los precios durante un tâtonnement, cambiarán las cantidades que el
individuo desea vender o comprar; pero siempre podrá anular un acuerdo suscripto a un precio
diferente, canjeando o revendiendo la cantidad necesaria con otro participante.
Designemos con xi*=(x1i*, ..., xni*) las cantidades que tiene el individuo i en cierto momento t* del
tâtonnement. En ese momento los precios son p=(p1, ..., pn). El individuo i comenzó el
tâtonnement con xi0, de modo que hasta ese momento ha comprado del bien j la cantidad (xji*-xji0),
si xji*>xji0, o vendido la cantidad (xji0-xji*), si xji*<xji0 hasta el instante t*. Si los precios actuales p son
de equilibrio, deberá pagar el monto neto ∑j pj(xji*-xji0), igual al gasto en compras menos el monto
adquirido por las ventas. Por otra parte, tiene stocks en especie, x1i*, ..., xni* que, evaluados a esos
precios significan un importe igual a ∑j pjxji*. Por consiguiente, su poder total de compras en t* es:
[11]
∑j pjxji* - ∑j pj(xji*-xji0)
en base al cual el individuo decide su nuevo plan de ventas. Es decir, en t* calculará la cantidad
de los bienes xi=(x1i, ..., xni) que querrá tener, de modo de maximizar su función de utilidad ui(xi)
sujeto a la condición de que el valor total de xi a los precios p sea igual a su poder de compras
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[11]. Obviamente [11] es igual a ∑j pjxji0 de modo que la ecuación de presupuesto en t* es idéntica
a [9], que es la restricción presupuestaria que existe bajo el primer tipo de comercio competitivo.
Luego, si utiliza el segundo método, un individuo tomador de precios responderá a los precios
dados como lo hace bajo el primer método (por lo cual, no habrá diferencia entre ambos métodos
en su demanda u oferta), aunque en el curso de las transacciones del tâtonnement algunos
intercambios tengan lugar en el segundo método, pero no en el primero. Podemos escribir luego a
la demanda excedente total del bien j en el mercado, cualquiera sea el método utilizado, como
Ej(p1, ..., pn) = ∑i xji(p1, ..., pn) - ∑i xjiu,
que resulta ser una función dependiente sólo de los precios.
Ahora vamos a representar mediante p(t)=[p1(t),p2(t), ...,pn(t)] a los precios “gritados” por un agente
de precios en el mercado en el momento t durante una sesión de comercio competitivo, y
mediante Ej(t) a la demanda excedente del bien j que corresponde a estos precios, Ej[p(t)]. Se
supone que, si la demanda de j es superior (o inferior) a su oferta en t, el agente elevará (bajará)
su precio en proporción al exceso de demanda positivo (o negativo). El factor de proporcionalidad,
que sería llamado por Lange el “grado de flexibilidad del precio”, podría ser diferente según de qué
bien se trate, pero en el análisis siguiente haremos el supuestos simplificador que se trata del
mismo parámetro para todos los bienes. También supondremos que el grado de flexibilidad es
proporcional al nivel de precios, de tal forma que si una unidad de exceso de demanda genera un
aumento de v centavos al precio $1, el precio aumentará en v pesos al precio de $100. Por lo
tanto, el grado de flexibilidad de precios viene dado por v∑k pk(t), donde v es una constante
positiva para todos los bienes. En tal caso, la ecuación de ajuste de precios del bien j puede ser
escrita como:
[12]
pj(t+1)-pj(t) = v[∑k pk(t)] Ej(t)
(j=1, ..., n).
Pero en esta fórmula no hay consideración alguna de que la negatividad del precio pj(t+1) no tiene
ningún sentido; en realidad, tal podría ser el caso si Ej(t) adopta un valor negativo para un valor
suficientemente pequeño de pj(t), ya que entonces se tendría un valor negativo de pj(t+1). Para
evitarlo, supondremos que [12] sólo es válida en tanto dé lugar a un precio no-negativo en t+1; en
caso contrario, probablemente el agente gritaría un precio cero en lugar de sumir al mercado en
un innecesario estado de confusión resultante de gritar el precio según la fórmula anterior. Esto lo
expresamos diciendo que el agente utilizará la siguiente fórmula revisada de tâtonnement:
[13]
pj(t+1) = max {pj(t) + v[∑k pk(t)] Ej(t), 0}
(j=1, ..., n).
Hasta ahora no hemos hablado de la normalización de los precios; pero los precios son relaciones
de cambio entre los bienes; si hay arbitraje perfecto, son relaciones de cambio con relación al
numéraire. ¿Qué bien podría desempeñar el rol de numerario? Bueno, no puede ser un bien libre:
sería imposible y carente de sentido evaluar a los bienes con relación a un bien libre. ¿Qué tipo de
bien no es libre? Esto lo podemos responder una vez que hayamos desplegado todo el proceso
de tanteo. Pero necesitamos un numerario de arranque.
Para evitar lo que parece una paradoja, armaremos un bien compuesto hecho con una unidad de
cada bien existente y lo consideraremos como nuestra mercancía patrón o numerario. Ahora
podemos estar tranquilos de que, definitivamente, no se tratará de un bien libre, porque siempre
habrá al menos algunas componentes de esta mercancía compuesta que no serán libres (si todas
las componentes fueran libres, no existirían bienes escasos en toda la economía, y desaparecería
el problema económico.)
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
533
El valor de una unidad de la mercancía compuesta es igual a la suma de los precios de todos los
bienes: ∑k pk(t). Una unidad del bien j se intercambia con pj(t)/ ∑k pk(t) unidades de la mercancía
compuesta porque son equivalentes. Esta relación de intercambio la denotaremos como qj(t):
[14]
qj(t) = pj(t)/ ∑k pk(t)
y proporciona el precio del bien j en el momento t, con relación al numéraire escogido, y
[15]
qj(t+1) = pj(t+1)/ ∑k pk(t+1)
será el precio correspondiente en t+1. Dividiendo numerador y denominador del segundo miembro
de [15] por ∑k pk(t), sustituyendo [13] en [15] y teniendo en cuenta [14]:
[16]
max [qj(t) + v Ej(t), 0]
qk(t+1) = ───────────────
∑k max [qk(t)+vEk(t), 0]
(j=1, ..., n)
Las funciones de exceso de demanda Ej(t) (j=1, ...,n) son las sumas de las funciones de exceso de
demanda de los individuos para todos aquellos que maximizan ui(xi) sujeto a la restricción
presupuestaria [9].
Resulta obvio que el punto de máximo no será afectado aunque reemplacemos [9] por la
restricción de presupuesto normalizada
[9’]
∑j qjxji=∑j qjxji0.
Por consiguiente las funciones de exceso de demanda son funciones de los precios relativos, a
saber
[17]
Ej(t) = Ej[q1(t), ...,qn(t)].
Es evidente que las ecuaciones de ajuste de precios [16] que transforman q(t) en q(t+1) satisfacen
dos condiciones: 1º) la condición de normalización de precios, según la cual la suma de los qj(t+1)
es idénticamente igual a uno, y 2º) la condición de no-negatividad, según la cual los precios no
caerán por debajo de cero aunque exista un enorme exceso de oferta. También se tiene, por
definición de función de exceso de demanda, a partir de [9’]:
[18]
∑j qj Ej(q) ≡ 0,
que vale de forma idéntica para todos los posibles qs y es referida como la ‘ley de Walras’.
Si q(t)≠q(t+1) habrá un cambio de los precios entre t y t+1. Un punto tal que q(t)=q(t+1) se dice ser
un punto fijo o un sistema de precios estacionario. El matemático Brouwer ha establecido un
resultado que desarrollaremos en el capítulo siguiente, y que ha sido interpretado de la siguiente
manera por los economistas: existe al menos un punto fijo, siempre que las funciones de exceso
de demanda sean continuas. Llamemos q a ese punto fijo, luego por [16]:
[19]
qj= max [qj +vEj(q), 0]/c
(j=1,..., n),
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
534
en donde c= ∑k max[qk+vEk(q), 0]. Como c>0 6 se desprende de [19] que si qj>0, entonces qj
+vEj(q) >0, y por lo tanto Ej(q)=(c-1)qj/v. Por [19], Ej(q)≤0 si qj=0. Luego se obtiene
Ej(q)
{
=(c-1)qj/v
si
qj>0,
≤0
si
qj=0.
Es evidente que estas funciones de exceso de demanda no satisfacen la ley de Walras a menos
que c=1. Por consiguiente,
Ej(q)
=0
si
qj>0,
≤0
si
qj=0.
{
En otras palabras, en el punto fijo en el cual los precios dejan de cambiar, (1º) no existe ni
demanda excedente ni oferta excedente de ningún bien escaso (con precio positivo), y (2º) puede
haber exceso de oferta para un bien libre (con precio cero), pero no existe posibilidad de exceso
de demanda. Por consiguiente el punto fijo del proceso de tâtonnement proporciona un sistema de
precios de equilibrio que constituye el sistema de precios al que las cantidades demandadas son
iguales a las ofrecidas, con excepción de los bienes libres. Queda así establecida la existencia de
un equilibrio de intercambio.
4. Estabilidad del equilibrio
Para discutir la estabilidad de los precios de equilibrio Walras no se basó en las ecuaciones [16].
Para su análisis, excluyó en primer término a los bienes libres, con lo cual ni siquiera tuvo
necesidad de construir un bien compuesto, ya que podría haber tomado a cualquiera de los bienes
restantes. Walras recurrió al trabajo de Cournot, que había dictado clases de mecánica en Lyon,
de modo que le resultó sencillo discutir el problema de estabilidad desde el punto de vista
dinámico apropiado. Por ejemplo, escribió: “Un equilibrio [estable] es exactamente similar al de un
cuerpo suspendido cuyo centro de gravedad yace directamente por debajo del punto de
suspensión, de modo que si este centro de gravedad fuera desplazado de la línea vertical debajo
de su punto de suspensión, retornaría automáticamente a su posición original a través de la fuerza
gravitatoria. Este equilibrio, sería, por consiguiente, estable.” También: “[El equilibrio de un cuerpo
inestable sería] similar al de un cuerpo suspendido cuyo centro de gravedad yace directamente
por debajo del punto de suspensión, de modo que si en algún momento este centro de gravedad
abandonara la línea vertical arriba de su punto de suspensión, no retornaría automáticamente sino
mantendría su movimiento alejándose cada vez más, hasta que, por medio de la fuerza
gravitatoria, alcanzara una posición vertical por debajo del punto de suspensión. Este equilibrio es
inestable.” Luego, gracias a Cournot, los economistas pudimos discutir desde el vamos la
estabilidad del equilibrio económico como un problema dinámico, acerca de si un desplazamiento
forzado fuera de la posición de equilibrio daría lugar a un movimiento que permitiera restaurar
dicho equilibrio eventualmente.
Walras discutió la estabilidad del equilibrio en el contexto de una economía con varios bienes. A
pesar de ello, todavía se atribuye a Hicks el primer intento de generalizar a cualquier número de
Si c fuera negativo, se tendría qk+vEk(q)≤0 para todo k. Como qk≥0, se tiene que ∑kqk2+v∑kqkEk(q)≤0. Por
la ley de Walras, el segundo término del 1º miembro es igual a 0, mientras que el primero debe ser positivo
porque qk≥0 y ∑k qk=1. Luego se tiene una contradicción, 0<0.
6
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
535
mercados las condiciones de estabilidad para un único mercado (les sugiero leer General
Equilibrium Models and Stability Analysis Of John Hicks, del website History Of Economic Theory
and Thought) Por ejemplo, Lange escribió: “Walras formuló [la condición de estabilidad] de una
manera que limitaba su aplicabilidad al análisis de equilibrio parcial. En un enfoque de equilibrio
general las condiciones de estabilidad deben tener en cuenta las repercusiones del cambio de un
bien sobre los precios de otros bienes así como la dependencia del exceso de demanda (o exceso
de oferta) de un bien con respecto a los precios de los demás bienes del sistema. Ésta fue la tarea
que desarrolló el profesor Hicks.”
Sin embargo, hay una diferencia entre los análisis de estabilidad de Walras y de Hicks, que está
vinculada con la segunda característica del análisis de estabilidad de Walras, a saber, que Walras
se preocupó aparentemente del comportamiento dinámico de los precios, mientras que Hicks no
derivó sus condiciones de estabilidad en forma explícita de un modelo dinámico. Supongan que
p1(t), ...,pn-1(t) no son precios de equilibrio, de manera que:
[20]
E1[p1(t),...,pn-1(t), 1]≠0.
Luego p1(t) se trasladará a p1(t+1), de manera de establecer el equilibrio parcial en el mercado del
bien 1; es decir,
[21]
E1[p1(t+1), p2(t),...,pn-1(t), 1]=0.
Walras también presenta una diferencia con Hicks al tratar las repercusiones del cambio del precio
del bien 1 sobre los precios de los bienes restantes. A diferencia de Hicks, ordenó a los distintos
mercados de determinada manera y procedió suponiendo que las repercusiones tenían lugar de la
siguiente forma: en primer término, el cambio del precio del bien 1 causa un desbalance en el
mercado del bien 2, de tal forma que su precio se ve alterado hasta p2(t+1), cuando se igualan las
cantidades demandadas y ofrecidas en ese mercado y los restantes precios permanecen en p3(t),
..., pn-1(t); es decir,
E2[p1(t+1),p2(t+1),p3(t), ...,pn-1, 1]=0.
Posteriormente es ajustado el precio del bien 3 de forma similar:
E3[p1(t+1),p2(t+1),p3(t+1),p4(t), ...,pn-1(t), 1]=0,
y así sucesivamente. Luego de todos estos ajustes, se tiene
[22]
E1[p1(t+1),p2(t+1), ...,pn-1(t+1), 1]≠ 0
ya que ha sido violada la ecuación [21] porque los precios p2(t),p3(t),..., pn-1(t) se modificaron y
ahora son, respectivamente, p2(t+1),p3(r+1), ...,pn-1(t+1). Pero la desigualdad [22] en t+1 está más
próxima al equilibrio que la desigualdad [20] si se satisface la condición siguiente:
[23]
‌ E1[p1(t+1),..., pn-1(t+1), 1] ‌ < ‌ E1[p1(t), ..., pn-1(t), 1] ‌ .
Walras afirmó lo siguiente: “ Esta [condición] será más probable que se cumpla si recordamos que
el cambio desde [p1(t) hasta p1(t+1)], que redujo la desigualdad [20] a una igualdad, ejerció una
influencia directa que invariablemente fue en dirección hacia la igualdad para la demanda [del bien
1]; mientras que los cambios [subsiguientes – Jaffé] desde [p2(t) hasta p2(t+1), p3(t) hasta p3(t+1)],
..., que desplazaron a la desigualdad anterior más lejos aún de la igualdad, ejercieron influencias
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
536
indirectas, algunas hacia la igualdad y otras en dirección opuesta, al menos en lo que a la
demanda del [bien 1] se refiere, de manera que hasta cierto punto se anulan entre sí. Luego, el
nuevo sistema de precios [p1(t+1), ...,pn-1(t+1)] está más próximo al equilibrio que el antiguo
sistema de precios [p1(t), ...,pn-1(t)] y sólo es necesario continuar con este proceso siguiendo estos
lineamientos para que el sistema se acerque más y más al equilibrio.” Supongan ahora que, si se
verifica exceso de demanda de un bien positivo (o negativo), un equilibrio parcial de este mercado
puede restablecerse aumentando (o disminuyendo) su precio. Luego,
p1(t+1)>o<p1(t) si E1[p1(t), ..., pn´1(t), 1] >o<0.
Por otra parte, [23] implica que
E1[p1(t+1), ..., pn-1(t+1),1]-E1[p1(t), ..., pn´1(t),1]< o > 0
si E1[p1(y+1), ..., pn-1(t+1),1]> o < 0. Por lo tanto, la condición de estabilidad de Walras implica
[24]
E1[p1(t+1), ...,pn-1(t+1), 1] – E1[p1(t),...,pn-1(t), 1]
───────────────────────────── <0
p1(t+1) – p1(t)
Es decir, requiere que un cambio del precio del bien 1 induzca un cambio de su exceso de
demanda en dirección opuesta luego de que los restantes precios han sido ajustados. Así
formalizada, la condición de estabilidad de Walras es muy similar a la que obtuvo Hicks 7 . Es
interesante observar que en su condición de estabilidad [23] Walras tomó al valor absoluto de la
función de exceso de demanda E1(t) como una función de Lyapunov, aunque su método era
rudimentario. En tal sentido estaba más próximo a los economistas de la posguerra como Arrow,
Hurwicz y otros que al mismo Hicks, que no planteó en forma explícita el movimiento dinámico de
los precios, o Samuelson, que en lugar del método de Lyapunov resolvió las ecuaciones
dinámicas de ajuste de los precios a fin de examinar si éstos convergirían eventualmente a sus
valores de equilibrio correspondientes.
Volvamos a la ecuación [16] que representa al sistema original de tâtonnement. Al iniciarse el
proceso, t=0, los precios iniciales gritados por los agentes son q(0). Las únicas restricciones son:
(i) no pueden ser negativos; (ii) su suma es igual a 1. Fuera de ello, son arbitrarios. La fórmula [16]
determina entonces q(1) en base a q(0), q(2) en base a q(1); etc. Cada término de la sucesión
infinita {q(t)}, t=1,2,... generado de esta forma satisface estos dos requerimientos. Lo cual significa
que cada q(t) está acotado, y por el teorema de Bolzano-Weierstrass (ver pág. 69-70) la sucesión
{q(t)} tiene un punto límite, digamos q0. Ahora consideren una segunda sucesión {q(t)} que arranca
en q0: q1=f(q0); q2=f(q1);... donde f(q)=[f1(q), f2(q), ..., fn(q)] y fj(q) es el 2º miembro de [16].
Morishima demuestra que si f genera precios q(ti), q(ti+1), q(ti+2),... que convergen de modo
uniforme a q0, q1, q2,... entonces
[25]
q1=f(q0), q2=f(q1), ..., q0=f(qr-1),
sucesión en la que qt≠q0, t=1,2, ..., r-1. Si r=1 tendríamos q0=f(q0) y por lo tanto q0 sería un
conjunto de precios de equilibrio con una trayectoria de tanteo q(t) convergente a q0. Si r>1 la
trayectoria convergiría a un ciclo límite q0q1...qr-1q0 que nunca se acercaría al conjunto de precios
de equilibrio.
7
Hicks, J. R. (1946), Value and Capital, Clarendon Press. Versión en español: “Valor y Capital”. 3ª Ed. en
español. Fondo de Cultura económica (1968).
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
537
Por lo tanto la condición necesaria y suficiente de estabilidad es que r sea igual a 1. Para entender
más intuitivamente esta condición, extenderemos el concepto de punto fijo a órdenes de
dimensión más elevada. Sea un ciclo de longitud r definido por [25]; por sustitución:
q0=f<f{...f[f(q0)]…}>.
Denotando como Fr a la transformación f realizada r veces, hallamos que q0 es un punto fijo de Fr,
que será llamado un punto fijo de orden r. En forma semejante, q1,q2,...,qr-1 son puntos fijos del
mismo orden. Es decir, qi=Fr(qi), i=0,1,2, ..., r-1. Además, es cierto que hay además otro punto fijo
de orden r, llamémoslo de orden 1, q*, que satisface q*=f(q*). Se puede ver que, efectivamente, q*
es también un punto fijo de todos los órdenes más elevados:
q*=f<f{...f[f(q*)]…}>.
Haremos ahora la distinción entre q* y los puntos qi que son los puntos de partida de trayectorias
que regresan por primera vez desde su partida luego de r períodos, llamados puntos fijos propios
de orden r; se trata de los puntos estacionarios del sistema cuando r períodos elementales han
sido consolidados en un único período comprehensivo. Ahora podemos apreciar que la condición
de estabilidad r=1 de [16] si no existen puntos estacionarios de orden superior; la trayectoria debe
aproximarse a algún punto de equilibrio que sea un punto fijo de orden 1. Luego, si el punto fijo de
orden 1 es único y el único de cualquier orden, no existirá ningún ciclo y el equilibrio
correspondiente al punto fijo será globalmente estable.
Por consiguiente la unicidad del punto fijo de cualquier orden es una condición suficiente para la
estabilidad. Pero la unicidad del punto fijo de orden 1 no implica necesariamente estabilidad. Esto
lo podemos ver mediante un ejemplo con funciones de exceso de demanda que satisfagan el
axioma débil de la preferencia revelada (ver capítulo IV, pág. 112). Aunque este axioma sea
natural y plausible para las funciones de exceso de demanda de un individuo, es muy restrictivo
para las funciones de exceso de demanda del mercado, y el ejemplo resulta interesante porque
ilustra que el equilibrio único – que es consecuencia del axioma – no es necesariamente estable.
Las trayectorias no se aproximarán al equilibrio con un r>1, si parten de un punto inicial arbitrario,
aunque lo harán (con r=1) si comienzan en un punto inicial particular. Que una trayectoria converja
a un ciclo o a un equilibrio, o a cuál ciclo o equilibrio converja, dependerá completamente de la
posición inicial de arranque.
El siguiente es un ejemplo de lo afirmado. Consideren una economía con dos bienes que tienen
funciones de exceso de demanda iguales a:
[26]
E1= (-p1+5/3 p2) / ∑j pj ,
E2= - (p1/p2) (-p1+5/3 p2) / ∑j pj .
Estas funciones satisfacen la ley de Walras: p1E1 +p2E2=0. Normalizando los precios de manera
de tener p1+p2=1, se obtiene
[26’]
E1=5/3 –8/3 p1,
E2= (-p1/(1-p1)) (5/3 – 8/3p1),
con lo cual los precios de equilibrio son:
[27]
p1*=5/8,
p2*=3/8
a los cuales E1*=0 y E2*=0.
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
538
A continuación veremos que el axioma débil de la preferencia revelada se cumple entre
p*=(p1*,p2*) y cualquier otro sistema normalizado de precios p=(p1,p2). Como p1E1*+p2E2*=0, las
cantidades demandadas y ofrecidas son factibles en el sentido de que satisfacen la restricción
presupuestaria. Sin embargo las demandas excedentes E1(p), E2(p) son elegidas a los precios p,
por lo cual [E1(p),E2(p)] sería prefirido a [E1*, E2*]. El axioma débil requiere que E1(p) y E2(p) no
sean factibles en p*; en caso contrario se hubiera elegido [E1(p),E2(p)]. La no-factibilidad requerida
implica que
[28]
p1*E1(p)+p2*E2(p)>0.
Sustituyendo [26’] y [27] en el primer miembro de esta expresión, se tiene
(5 – 8p1)2
p1*E1(p) + p2*E2(p) = ────────
24 (1 – p1)
expresión definida positiva para todo 0<p1<1. Lo cual demuestra que la desigualdad [28] del
axioma débil debe cumplirse.
El axioma débil implica unicidad del conjunto de precios de equilibrio, porque si así no fuera
existiría otro conjunto de precios p** al cual E1**=0 y E2**=0, en cuyo caso la desigualdad [28] no
sería válida entre p* y p** (aquí excluímos las soluciones de esquina y situaciones en que las
curvas de indiferencia tienen angulosidades). Sin embargo, esto no implica la unicidad de puntos
fijos de orden mayor; por ejemplo, las funciones de demanda excedente [26’] tienen puntos fijos
de orden 2. Aplicando la fórmula [16] a [26]:
p(t+1)= (¾,¼),
p(t+2)=(¼,¾),
p(t+3)= (¾,¼)
poniendo p(t) igual a (¼,¾). Luego, tanto (¼,¾) como (¾,¼) son puntos fijos de orden 2.
Ahora podemos calcular el sendero de tâtonnement usando la ecuación de ajuste
1
p1(t+1)= ─────────────────────────
p1(t)
1+max[0.6 - ─────── [1 – 1.6p1(t)], 0]
[1 – p1(t)]2
ecuación obtenida a partir de [16] bajo el supuesto v=1 y sustituyendo la ecuación [26’]. Las dos
trayectorias calculadas arrancan en la posición inicial p1=0.62 (muy próxima al punto de equilibrio
p1*=5/8) y otra desde p1=0.24 (muy próxima al punto fijo de orden 2, p1=¼). Los resultados están
mostrados en las dos figuras siguientes, (a) y (b).
539
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0
5
10
15
20
25
30
0
Figura (a)
5
10
15
20
25
30
Figura (b)
Es interesante observar que, pese al cumplimiento del axioma débil de la preferencia revelada,
tanto el punto de equilibrio como el ciclo de equilibrio de orden 2 son inestables. Las figuras
demuestran a las claras que las trayectorias calculadas divergen de ambos y se aproximan a un
mismo ciclo límite de orden 8. De la figura (a) surge que la trayectoria que arranca en p1=0.62 está
muy próxima al ciclo en t=29, mientras que en la figura (b) el sendero a partir de 0.24 diverge
gradualmente del ciclo de equilibrio de orden 2 (con amplitud [¼,¾]) hacia el ciclo de orden 8.
Estas conclusiones sobre la inestabilidad son válidas para cualquier punto inicial excepto p1=0. Es
curioso que el equilibrio resulte estable sólo para p1=0, que es la posición inicial más remota
posible. En tal caso, tendremos p1(1)=5/8 para un p1(0)=0, y desde entonces será p1(t)=5/8.
Ésta no deja de ser una conclusión decepcionante: la fórmula del tâtonnement [16] no permite
hallar necesariamente a todo conjunto de precios de equilibrio, aunque sí en algunos casos.
Empero, todavía se puede creer que en el mundo real el método del tâtonnement de hallar los
precios de equilibrio funcionará de modo más eficaz y poderoso que cualquier teoría matemática
del ajuste de los precios. El subastador siempre aprende de la experiencia y nunca reacciona de
la misma forma en que lo hizo en circunstancias similares previas. No es un robot que aplica
rígidamente la fórmula [16] manteniendo constante el grado de flexibilidad de los precios v en
todas las circunstancias; con seguridad ajustará este valor de v cuando halle que, con ese valor,
[16] da lugar a oscilaciones no amortiguadas de los precios. Será, en otros términos, más
cuidadoso en el proceso de ajuste de precios.
Hasta ahora hemos tratado el caso de un sistema con el intervalo de tiempo requerido para una
ronda de tanteo igual a 1 y un coeficiente de ajuste de los precios igual a v. Podemos ahora
generalizar el enfoque suponiendo que una ronda de tanteo requiere h unidades de tiempo y los
ajustes de los precios en ese intervalo son proporcionales a la longitud del intervalo, de modo que
el coeficiente de ajuste sería vh. Podemos entonces escribir la ecuación [16] como:
[29]
max{qj(t)+vhEj[q(t)], 0}
qj(t+h)= ─────────────────
∑k max{qk(t)+vhEk[q(t)], 0}
(j=1, ..., n)
Definiendo como es habitual la derivada con respecto a t qj’(t)=limh→0[qj(t+h) – qj(t)] /h, el proceso
modificado se transforma en un sistema de ecuaciones diferenciales:
[16’]
donde
qj’ = Fj(q) – qj [∑k Fk(q)]
(j=1, ..., n)
540
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
1
[30]
Fj(q)=limh→0 max [vEj(q), - ─── qj] =
h
{
vEj(q)
si
qj>0,
max[vEj(q), 0]
si
qj=0.
(Mediante la notación qj’ será representará la derivada dqj/dt). Este sistema de ecuaciones
diferenciales será estable siempre que las funciones de exceso de demanda cumplan con el
axioma débil de la preferencia revelada. Esta es una notable diferencia del sistema de ecuaciones
diferenciales y del sistema de ecuaciones en diferencias finitas. La demostración de esta
propiedad es estándar y no será repetida aquí (si están interesados, pueden consultar J.
Henderson and R.E. Quandt, Microeconomic Theory, ch. 5, o la obra de Morishima, pág. 44). En
otras palabras, si se verifica el axioma débil, el ajuste continuo de los precios hace posible excluir
cualquier posibilidad de ciclo límite, lo que no es posible cuando usamos el ajuste discreto de las
ecuaciones en diferencias [16]. Si aproximamos a las ecuaciones en diferencias mediante
ecuaciones diferenciales [29], tomando un h suficientemente pequeño, concluímos que el axioma
débil de la preferencia revelada es una condición suficiente de estabilidad, en un mercado bien
organizado en sentido de que el subastador puede realizar los ajustes de precios con suficiente
frecuencia. En tal caso, la estabilidad dependerá de la capacidad del subastador así como de las
formas de las funciones de exceso de demanda. En una economía real, gracias a la capacidad y
al sentido común del subastador, los comerciantes llegan en forma habitual a un acuerdo sobre
los precios de equilibrio al término de una sesión de tâtonnement, a menos que se presenten
circunstancias catastróficas en el mercado.
5. La ley de Walras y la producción
Una vez analizado el problema del intercambio, ignorando que en realidad los bienes son
producidos mediante factores de producción como el trabajo, la tierra y los bienes de capital,
Walras pasó a considerar el tema más complejo de formación de un equilibrio general en una
economía donde la producción es simultánea con el intercambio. En esta economía, no solamente
serán variables los precios de los bienes (o productos) a ser intercambiados, sino además los
precios de los factores usados en su producción; y tanto productos como insumos deben ser
determinados. Y aún así el sistema no es lo suficientemente general, porque la producción o
reproducción de los bienes de capital será totalmente ignorada y nos concentraremos sólo en la
producción de los bienes de consumo 8 . Por consiguiente, en la economía sólo hay dos grupos de
bienes y servicios: los bienes y los factores productivos. Hay industrias o empresas, cada una de
las cuales produce un único bien mediante bienes y factores, y estos últimos no son producidos.
Hay consumidores que compran las mercancías usando el ingreso de los factores de los que son
propietarios. Pero no hay bancos, ni gobierno, ni comercio internacional. Los factores dinámicos
de largo plazo, como los períodos de producción y las expectativas, así como la inversión, son
todos ignorados.
Supongan que hay n bienes y m factores. Usaremos la siguiente notación: xi y ci para la
producción y el consumo del bien i, rk para la oferta del factor k (i=1,...,n; k=1,...,m); pi será el
precio del bien i y vk el precio del factor k; p y v serán los vectores (p1, ...,pn) y (v1, ...,vm). Cada ci
8
Walras discutió la reproducción de los bienes de capital en forma separada, en su “Teoría de la Formación
del Crédito y del Capital”, que forma parte de su teoría del crecimiento económico y que no consideraremos
en este curso, concentrándonos ahora sólo sobre la teoría de la producción walrasiana. En la teoría que
desarrollaremos desaparece la diferencia entre factores producibles y no-producibles, de modo que en esa
economía abstracta no es necesario clasificar a los individuos como trabajadores, terratenientes o
capitalistas. Todos aparecen como propietarios de algunos factores de producción.
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
541
es una función continua de los precios de los bienes y servicios, p y v, y será escrita ci=ci(p,v). En
forma similar, rk=rk(p,v). Estas funciones son derivadas mediante la maximización de la utilidad de
los individuos, y por consiguiente son homogéneas de grado cero en los precios p y v y satisfacen
la identidad presupuestaria (derivada de las ecuaciones de presupuesto de los individuos)
[31]
∑i pici(p,v,) ≡ ∑k vkrk(p,v).
A continuación indicamos la cantidad del bien i necesaria para producir una unidad del bien j
mediante aij y la cantidad del factor k empleado por unidad de producción del bien j mediante bkj.
La demanda industrial del bien i asciende a ∑j aijxj y el empleo del factor k a ∑j bkjxj, luego las
condiciones de equilibrio general con producción son: (i) las condiciones de demanda-oferta de los
bienes,
[32]
∑j aij xj +ci(p,v)≤xi
(i=1, …,n),
(ii) las condiciones de demanda-oferta de los factores,
[33]
∑j bkj xj ≤ rk(p,v)
(j=1, ..., m),
y (iii) las condiciones de precio-costo de los bienes,
[34]
pj ≤ ∑i aijpi + ∑k bkjvk (j=1, ..., n).
Como vimos en el capítulo XVIII de programación lineal, en las inecuaciones [32] y [33] rige el
teorema de holgura complementaria, como veremos más adelante nuevamente, ya que si se
verifica la desigualdad estricta para algún bien i o algún factor k, entonces el correspondiente
precio pi o vk será nulo; es decir que si hay producción excesiva de determinado bien, o un factor
no es plenamente utilizado serán bienes libres (la regla de los bienes libres), en tanto que si las
inecuaciones [34] rigen como desigualdades estrictas para alguna industria j, su producción
correspondiente xj será cero; es decir que las industrias no rentables serán cerradas (la regla de
rentabilidad).
Ahora podemos discutir la validez de la ley de Walras, extendiéndola al caso de producción. Si
definimos a las funciones de demanda excedente de bienes y factores como:
Ei(p,v,x)= ∑j aij xj + cj(p,v) - xi
(i=1,...,n),
(k=1,…,m),
Fk(p,v,x)= ∑jbkj xj – rk(p,v)
en las cuales x=(x1,...,xn) es el valor total de las demandas excedentes (o demanda excedente
agregada), que viene dado por
[35]
∑i piEi(p,v,x) + ∑k vkFk(p,v,x)≡[ ∑ipici(p,v) - ∑kvkrk(p,v)] – [∑ipixi-∑i∑jaijpixj -∑k∑jbkjvkxj].
En esta identidad el primer par de corchetes es cero por la ecuación presupuestaria [31]. ¿Qué
podemos decir del segundo corchete? Si como de costumbre hacemos el análisis en el largo
plazo, los costos de producción ya incorporarán un beneficio “normal” de las actividades
productivas, en cuyo caso también será nulo al haber sido eliminados los beneficios
extraordinarios. Pero también podemos tener una ley de Walras válida 9 si se supone que los
9
Ésta es una modificación introducida explícitamente por Morishima, y refleja un punto de vista que ya tenía
Gustav Cassel.
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
542
beneficios excedentes agregados son distribuídos entre los individuos, por ejemplo en proporción
a su tenencia de los bienes de capital de la economía. Los beneficios excedentes pueden ser
positivos o negativos (en cuyo caso habrá un desahorro de los individuos). Luego obtendrán un
ingreso extraordinario (positivo o negativo) adicional al beneficio normal incluído en ∑k vkrk. Su
consumo de bienes y oferta de factores ahora también dependen no solamente de los precios y de
las dotaciones iniciales de los individuos, sino también del beneficio agregado excedente, que a su
vez depende de los precios p y v y de los niveles de producción de las industrias x, de modo que
podemos escribir
ci=ci(p,v,x)
rk=rk(p,v,x).
Sean ahora las matrices A=[aij] (n por n) y B=[bkj] (m por n) y los vectores c(p,v,x)=[ci(p,v,x)] y
r(p,v,x)=[rk(p,v,x)], que satisfacen la ecuación de presupuesto
[36]
p’c(p,v,x)= v’r(p,v,x) + [p’(I-A) –v’B]x,
donde todos los vectores son vectores columna salvo que estén seguidos del signo (‘). El segundo
término del segundo miembro corresponde al beneficio extraordinario agregado. Las condiciones
de equilibrio son ahora:
[37]
[38]
[39]
Ax +c(p,v,x) ≤ x
Bx ≤ r(p,v,x)
p’ ≤ p’A+v’B
(demanda-oferta de bienes),
(demanda-oferta de factores),
(precio-costo de los bienes).
Definimos a las funciones de demanda excedente como
E(p,v,x) = Ax+c(p,v,x)-x
F(p,v,x) = Bx –r(p,v,x).
Por [36], estas funciones de demanda excedente satisfacen la ley de Walras
[40]
p’E(p,v,x) + v’F(p,v,x) ≡ 0.
Hay diversas estrategias para demostrar que el sistema [37]-[40] posee soluciones no-negativas
de (p,v,x). Según una de ellas, reducimos el sistema de producción de equilibrio a un sistema de
intercambio de equilibrio y luego le aplicamos la convención del tâtonnement para hallar un
equilibrio del intercambio. Según otra, que fue la que siguió Walras, se aplica una nueva fórmula
de tâtonnement para hallar un equilibrio general con producción. Seguiremos la estrategia de
comenzar con la primera estrategia para ver después cómo funcionaría la segunda.
5.1 La primera estrategia: solución mediante el método de Leontief
En primer lugar, reducimos el sistema a un sistema de intercambio de los factores de producción.
Si bien esto implica adelantarnos al tratamiento que daremos al modelo del profesor Leontief más
adelante, supondremos que la matriz de coeficientes de insumos A es productiva 10 y no nula.
Definiendo
10
Decimos que la matriz de coeficientes de insumo es productiva si es factible obtener niveles de
producción mayores que los insumos correspondientes requeridos, o sea A es tal que existe un vector de
producción, digamos x0>0, tal que x0>Ax0. La productividad implica hAx0≥Ax0 para un h comprendido entre 0
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
[41]
p’ = v’B(I-A)-1
543
(solución de precios de Leontief),
hallamos que el beneficio agregado excedente al nivel del equilibrio se mantiene en equilibrio (es
decir, en cero). Ningún individuo recibe un ingreso adicional positivo o negativo. Entonces el
consumo de bienes y la oferta de factores resultan independientes de la producción x. Luego, si
los precios de bienes y factores siempre se ajustan de la manera indicada, es posible escribir:
[42]
c(p,v,x)=c(v)
r(p,v,x)=r(v).
A continuación obtenemos la solución de la producción en términos del vector de consumo, como
en el modelo de Leontief:
[43]
x=(I-A)-1c(v).
Re-escribimos las funciones de demanda excedente de más arriba sustituyendo las expresiones
[42] y [43]:
[44]
F(v)=Bx –r(p,v,x) = B(I-A)-1c(v) – r(v).
Esta ecuación representa a las demandas excedentes factoriales que habrá en el mercado
cuando p y x se ajustan de forma instantánea para que se cumplan [41] y [43]. También podemos
re-escribir [40], teniendo en cuenta [11]-[14], como
[45]
v’B(I-A)-1c(v) –v’r(v) ≡v’F(v)≡0,
que indica que la ley de Walras será válida en los mercados de los factores. Es evidente que [37]
valdrá como una igualdad en [43]. Asimismo, [39] valdrá como igualdad en [41]. La condición de
equilibrio restante [38] requiere que
[46]
F(v)≤0.
Luego el problema ha sido reducido a uno de hallar un equilibrio general de intercambio en el
mercado de factores, es decir hallar precios factoriales que satisfagan las condiciones de equilibrio
[46].
Ahora se puede ubicar un equilibrio general mediante el método de tâtonnement ya discutido.
Como no sabemos qué factores pueden ser libres como para ser adoptados como numerario,
construímos una mercancía compuesta que tiene una unidad de cada factor productivo. Llamemos
vk(t) al precio del factor k en términos del numerario en la ronda t-ésima del tanteo. Los precios
deben estar normalizados, de manera que
[47]
∑k vk(t) = 1,
para todo t.
Como hemos visto, los precios en la ronda t+1 serían determinados con arreglo a la siguiente
fórmula:
y 1. Como A es no-negativa, se tiene que htx0≥A2x0. Repitiendo este proceso obtenemos htx0≥Atx0≥0 para
todo t. Como 0<h<1, se tiene que limt→∞Atx0=0; como x0>0, At debe ser convergente. Luego, (I-A)-1=
I+A+A2+... Al ser A no-negativa, cada término del segundo miembro es no-negativo; de lo cual (I-A)-1≥0.
544
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
[48]
max{vk(t)+uFk[v(t)],0}
vk(t+1) = ───────────────
∑jmax{{vj(t)+uFj[v(t)],0}
(k=1,2, ..., m)
donde u es una constante positiva que representa el grado de flexibilidad de los precios. Estas
ecuaciones [48] transforman v(t) en v(t+1). Si v(t)≠v(t+1), los precios están cambiando en el
momento t, en tanto que un punto en el cual v(t)=v(t+1) constituye un punto fijo. Por el teorema de
punto de fijo de Brouwer, existirá un punto fijo siempre que las Fk[v(t)] (k=1, ...,m) sean funciones
continuas. Si el punto fijo es globalmente estable, el proceso de tâtonnement puede arrancar
desde cualquier punto inicial v(0). La fórmula [48] dará los precios subsiguientes que convergirán
finalmente al punto de equilibrio 11 .
5.2 Objeciones
• En una economía descentralizada como la capitalista, no resulta del todo realista suponer
que los precios de los bienes se ajustan instantáneamente a los precios factoriales como lo
supone [41]. Cada firma o industria sólo conoce sus propios coeficientes productivos, y por falta
de información ninguna es capaz de calcular el precio exacto de su producción con arreglo a la
fórmula [41].
• Tampoco hay muchas industrias que conozcan qué valor de su producción es consistente
con el consumo que enfrentan, tal como presupone la fórmula [43].
• Parecería por lo tanto que las bases que hacen que el primer método de tanteo sea
operativo no están disponibles en una economía como la corriente. Más aún, el método de
reducir el modelo de producción a un modelo de intercambio de factores, al sacar del medio a
los productos, no es aplicable cuando hay técnicas alternativas de producción para cada
industria entre las cuales hay que elegir. En este caso más general, la matriz de coeficientes de
insumos A deja de ser una matriz cuadrada, lo que hace inconcebible el cálculo de una inversa
(I-A)-1 que resulta indispensable para eliminar variables según el primer método.
5.3 La segunda estrategia: solución de Walras
En una economía con n industrias que producen n bienes con m factores, la industria i puede
elegir entre ki procesos indicados mediante 1i, 2i, ...,ki. Sus coeficientes de insumos materiales y
de insumos factoriales pueden ser representados mediante matrices:
a11(i)
a21(i)
Ai
=
an1(i)
…
…
………
a1k(i)
a2k(i)
…
ank(i)
Bi
b11(i)
b21(i)
…
…
……….
b1k(i)
b2k(i)
bm1(i)
…
bmk(i)
=
respectivamente. Para toda la economía se tiene una matriz de insumos materiales A y la matriz
de coeficientes factoriales B, que son arreglos numéricos de las matrices de coeficientes
11
Ésta es una situación “afortunada”, ya que si el punto de equilibrio no fuera globalmente estable, la
trayectoria v(t) podría eventualmente converger hacia un ciclo límite. Los precios factoriales oscilarían
incesantemente y nunca se alcanzaría el punto de equilibrio usando el tanteo, aunque se asegure su
existencia.
545
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
industriales (A1,A2, ...,An) y (B1,B2, ....,Bn), respectivamente. La matriz de producción, I (la matriz
identidad), en el caso de ausencia de sustitución está representada mediante
1
0
1
0
...
...
1
0
0
1
0
...
............
0
1
0
0
...
...
0
.
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
J=
donde el número de unidades de la fila i-ésima es igual al número de técnicas alternativas
disponibles en la industria, igual a ki. Naturalmente, el vector de producción es de dimensión k1+k2
+...+kn y es expresado como
x’=(x1(1), x2(1), …,xk(1),x1(2), …, xk(2), …,x1(n), ...,xk(n)),
donde la componente xs(i) representa la cantidad del bien i producido por el método s(i)-ésimo de
producción. El vector x es un vector columna, ya que lo hemos escrito traspuesto. Las condiciones
de equilibrio de Walras pasan a ser las siguientes:
[49]
[50]
[51]
Ax+c(p,v,x) ≤ Jx,
Bx ≤ r(p,v,x),
p’J ≤ p’A+v’B.
Este sistema es resuelto mediante tâtonnement, muy similar al de la economía de intercambio.
Pero Walras nos advierte que puede haber algunas complicaciones con el tâtonnement en la
producción, que no aparecen en la economía de intercambio. Primero, en la teoría del intercambio
hemos supuesto que los comerciantes pueden contratar y recontratar entre sí sin incurrir en un
costo significativo. Pero con la producción no es posible suponer que ésta sea reversible;
obviamente, pocas veces es posible revertir un proceso productivo y recuperar los factores
utilizados (esto es particularmente cierto del factor trabajo, que es irreversible). Segundo, producir
requiere un lapso de tiempo, que varía según el producto. Walras resolvió la primera dificultad
suponiendo que durante el proceso de tanteo no tiene lugar la producción y que los empresarios
utilizan ‘tickets’ para indicar productos o insumos que desearían producir o emplear a los precios
existentes en el mercado. El número de tickets aumentará o disminuirá cuando cambien las
circunstancias, y la demanda por cada tipo de ticket será igual a su oferta cuando el tanteo
alcance un equilibrio. Los empresarios pueden disminuir el número de tickets de cualquier tipo sin
dificultad, simplemente al no realizar el proceso de producción correspondiente. La producción es
llevada a cabo cuando se llega a un equilibrio. Walras saltó por encima de la segunda dificultad,
ignorando simplemente el elemento tiempo. Cuando analicemos algunas limitaciones del modelo
de Walras (v. punto 7) trataremos esta dificultad.
Walras introdujo las siguientes reglas de ajuste: (1) El precio pi de un bien es aumentado (o disminuído) en
caso de demanda excedente positiva (o negativa); (2) El precio vk de un factor es aumentado (o disminuído)
en caso de demanda excedente positiva (o negativa); (3) La producción del bien i es aumentada (o
disminuída) en caso de que su precio sea mayor (o menor) que su costo de producción. Expresadas en
forma matemática:
[52]
[53]
max[ pi(t)+uEi(t),0]
pi(t+1) = ────────────
M(t)
max[ vk(t)+uFk(t),0]
vk(t+1) = ────────────
M(t)
(i=1, …, n)
(k=1, …, m)
546
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
[54]
xs(i)(t+1) =min [xs(i)*, max(0, xs(i)(t)+wGs(i)(t))]
(si=1i ,…,ki), (I=1,…,n),
donde:
Ei(t) es la demanda excedente del bien i (es decir, la diferencia entre ambos miembros de la desigualdad iésima de [49];
Fk(t) es la demanda excedente del factor k (es decir, la diferencia entre ambos miembros de la desigualdad
[50];
Gs(i)(t) es el beneficio excedente del s-ésimo proceso de la industria i (o sea, la diferencia entre ambos
miembros de la si-ésima desigualdad de [51].
Todos estos valores son calculados en la t-ésima ronda del tanteo cuando son conocidos p(t), v(t) y x(t).
Los coeficientes u y w son positivos y representan la flexibilidad de precios y de la producción,
respectivamente.
M(t) es la suma de los numeradores de [52] y [53], es decir
[55]
M(t) = max[ pi(t)+uEi(t),0] + max[ vk(t)+uFk(t),0].
En el lado derecho de las ecuaciones [52] y [53], la operación max impide que los precios puedan adoptar
valores negativos, y M(t) simplemente es una normalización de los precios tal que
∑i pi(t+1) + ∑k vk(t+1) = 1.
En las ecuaciones de ajuste de la producción [24], xs(i)* es un nivel de actividad del proceso lo bastante
elevado como para resultar no factible, sin necesidad de tener en cuenta a otros procesos productivos,
porque da lugar a escasez de por lo menos uno de los factores de producción. La operación de max en [54]
impide que xs(i)(t+1) sea negativo, mientras que la operación min de [54] impide que exceda a xs(i)*. En otros
términos, la fórmula establece que la producción mediante el proceso si aumenta o disminuye en proporción
al beneficio excedente dentro del rango [0,xs(i)*].
Suponiendo que las funciones de demanda c(p,v,x) y las funciones de oferta factorial r(p,vv,x) son
continuas, el sistema [52]-[54] transforma [p(t),v(t),x(t)] en [p(t+1),v(t+1),x(t+1)] de manera continua. Sea S el
conjunto de todas las combinaciones posibles de p,v,x tales que p≥0, v≥0, ∑ipi+∑kvk=1 y 0≤x≤x*, donde x*
es el vector de componentes xs(i)*. Luego el sistema [52]-[54] es una transformación del simplex S en sí
mismo. Se satisfacen así los requisitos del teorema de punto fijo, de manera que obtenemos un punto fijo
(p*,v*,x*) en el cual los valores de p,v y x calculados son iguales a los mismos p*,v*,x* calculados
previamente.
Lo anterior demuestra que, en el punto fijo, la demanda no será superior a la oferta de cada bien y
cada factor, y que el precio no excederá al costo (medio y marginal) de cada proceso. Lo cual
significa que el punto fijo satisface las inecuaciones [49]-[51]. En ese punto, además son válidas
las reglas de los bienes libres y de rentabilidad. Por consiguiente, en una situación de equilibrio,
(1º) todos los factores estarán plenamente empleados, con excepción de los factores libres; (2º)
las industrias sólo adoptarán aquellos métodos de producción que sean rentables; y (3º) los
bienes serán distribuídos entre los individuos, sin despilfarro, excepto que sean bienes libres. De
esta manera, Walras concluía que en una economía competitiva estaban asegurados el pleno
empleo de los factores, la producción eficiente de las industrias y la distribución sin despilfarro de
los productos.
6. El juicio de algunos economistas contemporáneos
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
547
El economista británico Edgeworth 12 fue uno de los primeros en evaluar la tarea desarrollada por
Walras. En su revisión crítica, expresó que “el Prof. Walras es uno de los primeros que concibe al
empresario como si comprara factores de producción (uso de la tierra, trabajo, y capital) y
vendiera los productos terminados en cuatro mercados, que de esa manera terminan siendo
interdependientes. Sus críticas a la escuela inglesa a tal título a menudo son valiosas. De los
fondos empresariales, que no están predeterminados en el sentido que algunos lo han imaginado,
para realizar cierto tipo de gasto, dice muy bien que Il serait aussi impossible de distinguer ce
fonds de roulement du travail du fonds de roulement de la rente foncière, ou du fonds de
roulement du profit, que de distinguer dans un bassin à trois robinets l'eau destinée à s'écouler par
un robinet de celle destinée a s'écouler par les deux autres. Pero seguramente llega demasiado
lejos en su abstracción al insistir sobre la idea de que el empresario debería ser contemplado
como sin ganancias ni pérdidas. Tal vez su punto de vista en éste y otros temas habría sido más
exacto si hubiera considerado qué rol desempeña la “desutilidad” del trabajo – para usar la frase
de Jevons – como factor del equilibrio económico, en lugar de concentrarse en la “utilidad final”...
En este caso y en otros, su argumento probablemente queda oscurecido, y tal vez le falte
atracción, al usar símbolos excesivos en los requerimientos modestos del razonamiento
matemático económico. Una ciencia que se cultiva de esta manera rinde un follaje algebraico
exhuberante. Debe notarse que la claridad del estilo literario del prof. Walras no se refleja en sus
composiciones matemáticas. Como algebrista no respetó la máxima “Il ne faut pas épuiser les
choses” [no hay que exagerar en las cosas]. Justificamos nuestra crítica si nos referimos a los
capítulos de las “lecciones”, donde se trata de analizar lo que se llama el “tâtonnement” del
mercado. El escritor nos dio tres cursos sobre este análisis. Expresó en unas treinta y cinco
páginas algo que hubiera podido ser presentado de modo adecuado en algunos pocos párrafos.
Porque, después de todo, no se trata de una idea demasiado buena. Lo que el autor pretende
demostrar es la trayectoria que tomará el regateo en el mercado – “sendero, que si existe,
conducirá al sistema al equilibrio.” Ahora bien, como puntualiza Jevons, las ecuaciones de
intercambio son de naturaleza estática y no dinámica. Sólo definen una posición de equilibrio, pero
no proporcionan información sobre qué trayectoria se seguirá hasta alcanzar ese punto. El
profesor elaboró un capítulo, pero no el capítulo de convergencia al equilibrio. Éste no es el único
tópico en el que la laboriosidad de la investigación está desproporcionada con su importancia.”
No todos los juicios fueron tan poco comprensivos de la importancia capital de la obra de Walras.
Veamos brevemente algunos de los comentarios formulados por
Ladislaus von Bortkiewicz (un economista nacido en Rusia,
enrolado en la corriente clásica ricardiana). Fue uno de los
amigos de Walras y su fama moderna radica en la solución dada
al problema marxista de la transformación – como veremos más
adelante.
Comienza diciendo: “El problema abordado por el Sr Léon
Walras en sus Éléments d’économie politique pure, cuya
segunda edición acaba de aparecer, es con seguridad un
problema muy vasto y complejo que podría ser enunciado de la
siguiente manera: “Dados algunos individuos, miembros de una
sociedad económica sometida al régimen competitivo, que
poseen determinadas cantidades de capitales territoriales,
personales y muebles, con necesidades determinadas de
Ladislaus von Bortkiewicz, 1868-1931.
12
Francis Ysidro Edgeworth (1889) "The Mathematical Theory of Political Economy: Review of Léon
Walras, Éléments d'économie politique pure", Nature, Vol. 40, No. 1036.
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
548
servicios y de productos y ciertas inclinaciones al ahorro, determinar las cantidades respectivas de
los diversos productos y de los diversos capitales muebles que serán fabricados, así como los
precios corrientes de los servicios, productos y nuevos capitales.”
Soy de los que consideran que en términos generales, el Sr Walras ha resuelto este gran
problema, por una parte gracias a una buena elección de definiciones y conceptos económicos:
oferta y demanda efectivas, utilidad, servicios consumibles y productores, productos, empresario,
mercados de servicios y de productos, etc., y por otra parte a una feliz partición matemática del
problema, consistente en buscar en forma sucesiva, para luego superponerlos, el equilibrio del
intercambio, el equilibrio de la producción y el equilibrio de la capitalización 13 . Y lejos de haber
sido perturbado en mis convicciones, me he sentido más seguro de ellas como consecuencia de
algunas voces críticas a la doctrina del Sr Walras surgidas de un grupo de economistas que, en
Inglaterra, también aplican el método matemático para elaborar economía política pura.[...]”
Continúa: “La verdadera razón por la que el Sr Edgeworth y muchos otros rechazan
obstinadamente una teoría del valor de cambio en la cual no desempeñan rol alguno los gastos de
producción parece radicar en un hecho que es de experiencia común, a saber que en un mercado
de competencia libre, los productos son intercambiados según sus costos relativos. Como este
fenómeno se produce siempre, ¿no sería natural reconocer que en este principio radica la ley
fundamental del valor, la verdadera determinación de los precios? [...] Por mi parte, creo que una
buena teoría de la economía política debe tener en cuenta la igualdad de los precios de venta y
los precios de costo, porque en caso contrario sería incompleta; además, el sistema del Sr Walras
la satisface perfectamente. En verdad, en este sistema, dicha igualdad no pertenece a la teoría del
intercambio, que considera a las cantidades de productos como datos del problema. Pero figura
en la teoría de la producción, a la cual corresponde considerar a las cantidades de los productos
como incógnitas y demostrar que se satisfacen dada la igualdad de los precios de venta y los
precios de costo. [...] Resulta sorprendente leer en el artículo del Sr Edgeworth que el Sr Walras
parece haberse olvidado del costo de producción desde el punto de vista de los sacrificios y de los
esfuerzos que importa. ¡Los “sacrificios y esfuerzos” no son más que otra expresión de los que el
Sr Walras denomina los “servicios de los capitales personales”! Aparentemente, el Sr Edgeworth
no distingue en forma clara entre el mercado de productos y el mercado de servicios, o en otros
términos, el equilibrio del intercambio del equilibrio de la producción. No es un mérito menor que el
Sr Walras haya insistido sobre esta importante distinción.”
7. El juicio del siglo XX
En el siglo XX los economistas comenzaron a construir sobre la obra dejada por Walras,
aproximadamente en los años veinte. Joseph A. Schumpeter dedicó los últimos meses de su vida
a escribir sobre la Teoría Walrasiana del Equilibrio General. Indicó: “Walras analizó las
condiciones que determinan los valores de equilibrio de todas las variables económicas, a saber:
precios de productos y factores y cantidades de estos productos que serían comprados, en
equilibrio perfecto y bajo competencia pura, por todas las familias y las firmas. Como la
13
Walras ha sido celebrado por sus estudios sobre la utilidad marginal en el intercambio y la teoría del
equilibrio con producción, pero siguiendo a Morishima “éstos no son más que hors d’oeuvre necesarios para
introducir los manjares principales: la teoría de la formación de capital y del crédito y la teoría de la
circulación y del dinero...” Morishima estima que, a diferencia de las opiniones vulgares, “su teoría del
crecimiento y monetaria son más estimables que su teoría del intercambio y de la producción [aunque sea
necesario introducir algunas correcciones]. Pero constituyen una obra sólida y seria; se trata sin duda de
obras maestras”. Dado el alcance de nuestro programa, nos limitaremos exclusivamente a los puntos
expuestos, dejando el tratamiento de las teorías del crecimiento y monetaria de Walras para los cursos
correspondientes.
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
549
determinación de estas cantidades implica también la de los ingresos de grupos y sociales, esta
teoría también incluye lo que es llamado Análisis del Ingreso y las condiciones a considerar,
aunque sean de naturaleza microanalítica (ya que se refieren fundamentalmente a cantidades
compradas y vendidas por hogaress individuales y empresas), también incluyen aspectos
macroanalíticos, como por ejemplo el empleo total de la sociedad[...].
La teoría de los precios de Walras, primariamente, se refiere a precios de los servicios de
productos y factores. Lo cual es equivalente para los productos y factores que son sólo utilizados
una vez. Para los segundos, el problema de determinar sus precios es un problema diferenciado
resuelto en el segundo piso, como veremos[...]. Segundo, me he referido a precios que serían
pagados ‘en equilibrio perfecto y bajo competencia pura’. Esta forma de expresarse no es
walrasiana: Walras, como J.B.Clark, concebía que estos precios estarían, normalmente, al nivel
real en torno del cual los precios oscilan en la vida cotidiana... Tercero, Walras agrupó a sus
servicios productivos en servicios de la tierra, del trabajo, y del ‘capital propiamente dicho’ 14 pero
esta distinción no implica aceptación de la vieja tríada de factores: en realidad Walras admitió un
número indefinido de medios de producción y de servicios.[...]”
Continúa: “Walras fue cuidadoso –mucho más que otros escritores – en construir teóricamente, e
identificar prácticamente, los diversos “mercados” en los cuales opera su mecanismo económico y
cuya interacción constituye su órgano analítico. Simplificando en la medida de lo posible, tenemos
dos mercados fundamentales, los de los productos y los de los servicios productivos, y además el
mercado que determina los precios de estos capitales, y por consiguiente el flujo de nuevo ingreso
y el mercado de medios de pago. El lector quizá esté sorprendido por mi énfasis en una cuestión
aparentemente trivial. Pero asociar a cada porción del argumento con un mercado identificable,
aún a un elevado nivel de abstracción, constituye una característica fundamental del
procedimiento de Walras que arranca en cada uno de estos cuatro casos con una solución de un
problema de equilibrio y sólo después investiga de qué manera esta solución teórica opera
‘prácticamente’ en el mercado correspondiente.”
Schumpeter visualizó que el problema de existencia era “sinónimo de la pregunta acerca de si las
ecuaciones involucradas son capaces de ser resueltas en forma simultánea... De todas las
objeciones injustas y carentes de sentido levantadas contra Walras, acaso la más injusta es que
creyó que la cuestión de existencia podía ser resuelta contando el número de “ecuaciones” y de
“incógnitas”, hallando que eran de igual número. Hemos visto que se garantizó la existencia de un
requisito adicional - la independencia de las ecuaciones. Pero a medida que analizamos su
argumento además descubrimos que, aunque su equipamiento matemático no era suficiente, su
genio vio y captó todos o casi todos los otros problemas relevantes y en la práctica llegó a
resultados correctos. Aunque no haya respondido a todas las preguntas de modo satisfactorio,
hay un mérito inmortal en el sólo hecho de haberlas planteado. Aunque su trabajo no sea la
culminación de este tipo de análisis, fue con certeza su fundamento. Vio la posibilidad de que el
sistema de ecuaciones no admitiera solución alguna. También vio y demostró que, en caso de
existir, la solución puede no ser única. Todo lo que reclamó era que normalmente existen
soluciones y que, si los bienes en el mercado son numerosos, existirá en general solución única...
14
Dice Schumpeter: “Como es sabido, Walras definió a los capitaux, en sentido amplio, como todos los
bienes que pueden ser utilizados más de una vez, y en un sentido más estrecho, como bienes durables
producidos (capitaux proprement dits). Llamó revenus a sus servicios, ya fueran consumidos por su
propietario (p.ej. como ocio en el caso de ‘trabajo personal’: este ocio aún es travail) o utilizados
productivamente.”
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
550
Uno de los grandes méritos de Walras es haber distinguido entre los problemas de existencia y de
estabilidad, ofreciendo un argumento sobre la primera mediante un elaborado argumento sobre la
segunda. [...] Mostró que la gente en el mercado, aunque evidentemente no está resolviendo
ecuaciones, hace mediante un método diferente lo mismo que hace un teórico que resuelve
ecuaciones; dicho de otra manera, que el ‘método empírico’ usado en los mercados perfectamente
competitivos y el ‘método teórico’ o ‘científico’ del observador tienden a producir la misma
configuración de equilibrio. Al plantear el problema de tal manera se pone en primer plano la
cuestión de estabilidad, es decir, la pregunta acerca de cómo el mecanismo de los mercados
competitivos conduce al sistema hacia el equilibrio y lo mantiene allí.”
Schumpeter desarrolla a continuación una exposición de la teoría walrasiana de la producción,
que reproduce a grandes líneas el esbozo anterior. Concluye: “Aunque en el análisis final el
sistema de Walras no sea nada más que un enorme programa de investigación, debido a su
calidad intelectual es la base de prácticamente todos los mejores trabajos de nuestra época.”
Vamos a concluir este capítulo con una revisión de algunos puntos débiles de la teoría walrasiana.
En primer lugar, producir un bien requiere tiempo entre el momento en que se aplican los insumos
de factores productivos y el producto final. Pero Walras dejó de lado este hecho, diciendo: “La
producción ... requiere un determinado lapso de tiempo. Nosotros resolveremos ... esta dificultad
ignorando pura y simplemente el elemento temporal.” Para ello postuló que, en el caso de los
productos finales, la producción era instantánea.
Ésta es una simplificación drástica. Al suponer que la producción es instantánea son ignorados
varios problemas económicos importantes. No solamente el período de producción es diferente de
cero sino que cambia según los bienes que deben ser producidos 15 . Lo que es más, el período de
producción de un producto no está fijo sino que es variable, según el método de producción
elegido entre los que están disponibles; por consiguiente, debería ser una variable más dentro del
sistema de equilibrio económico general, en lugar de ser tratado como un parámetro puramente
tecnológico. El reemplazo general de buques hechos en Gran Bretaña por otros hechos en Japón
podría no ser consecuencia de que los últimos sean superiores, sino de que exista una diferencia
sustancial del período de producción entre la industria constructora de barcos japonesa y la
británica. Si esto fuera así, de qué manera podría alentarse a la industria británica a elegir un
período de producción más breve? La economía de Walras no puede responder a esta pregunta.
En segundo término, los bienes de capital son bienes durables que son utilizados en la producción
por varios años, estando sujetos a depreciación a lo largo de su vida útil. Usualmente hay dos
formas de tratar a los bienes de capital durables: el método neoclásico y el que podría ser
denominado como método de von Neumann. Walras adoptó el primero, que puede resumirse así:
una unidad de un viejo bien de capital se convierte en determinada etapa de utilización en
unidades de un nuevo bien de capital del mismo tipo, ambos equivalentes en términos de
productividad. Si cada bien de capital k se “evapora” a una tasa fija μk en términos de eficiencia
(de tal forma que su productividad decae “radioactivamente” 16 ) el stock existente del bien Xk en
unidades de eficiencia, caerá hasta el nivel (1-μk)Xk después de transcurrido un período, y deberá
hacerse una inversión de reemplazo de monto μkXk a fin de mantener intacto el stock de capital.
Luego el enfoque neoclásico supone que los viejos bienes de capital son perfectamente
“maleables” con los nuevos bienes de capita; no toma en cuenta la estructura del capital por edad.
Walras escribió: “Esto es lo que llamamos la depreciación (amortización) del capital. La cantidad
15
Marx (Das Kapital, Vol. II) observó que este período es muy diferente entre una cantidad definida de
hilado de algodón y una locomotora, por ejemplo.
16
Matemáticamente, esto significa que el stock Xk registra una variación dXk/dt= -μkXk.
XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras
551
que restamos a tal efecto, o sea la carga por depreciación, será variable según el bien de capital
considerado. Pero una vez que esta carga ha sido impuesta [y gastada en el reemplazo de bienes
de capital], todos los bienes de capital serán rigurosamente idénticos con respecto al
empeoramiento debido al uso, ya que, de alguna manera, se han transformado en permanentes.”
Con evaporación radioactiva de la eficiencia de los bienes de capital, la tasa de depreciación μk es
igual a la recíproca de la vida media del bien de capital k, Tk. Walras asumió que las tasas de
depreciación eran parámetros de su sistema exógenamente determinados por la tecnología, lo
que significa que no hizo lugar al hecho de que las firmas utilizan bienes de capital por períodos
más largos o más cortos, según las circunstancias. Por ejemplo, un alza inesperada de la
demanda de un bien de consumo, cæteris paribus, tiende a prolongar la vida útil de un bien de
capital necesario para producirlo en virtud de que, por una escasez temporaria de ese bien de
capital, la empresa continuará usando los viejos bienes de capital del mismo tipo que, de no ser
así hubieran sido dejados de lado. En forma similar, un aumento de la tasa de interés tiende a
acortar el período de utilización de un bien de capital, porque el viejo equipo de capital productivo
deja de ser rentable, ya que disminuye el flujo de ingreso neto. Por consiguiente la duración real
económica de un bien de capital no es necesariamente igual a su duración física, y puede
alterarse por eventos exógenos como la innovación tecnológica, el cambio de gustos de los
consumidores, un aumento de la oferta monetaria, etc. Empero, Walras eliminó todas estas
fluctuaciones inducidas de la duración de los bienes de capital, mediante el supuesto neoclásico
de que las tasas de depreciación quedan determinadas por afuera del sistema.
Es evidente que los nuevos y viejos bienes de capital son sustitutos próximos, pero no sustitutos
perfectos, porque, aparte de las mejoras tecnológicas incorporadas en los nuevos bienes de
capital, tienen diferencias en cuanto a su eficiencia, ya que los últimos se desgastaron por el uso.
Otro factor importante es que la tasa de deterioro de la productividad de los bienes de capital no
se mueve a tasa constante, como se supone en la fórmula neoclásica.
Un proceso de producción que utiliza un bien de capital k deja, al término del período de
producción, el producto resultante y el mismo bien de capital k un año más viejo. Al último lo
podemos considerar como un producto conjunto del proceso; desde este punto de vista, elegir
entre bienes de capital nuevo y antiguo es una elección entre procesos que utilizan bienes de
capital viejos y nuevo, respectivamente, y que producen una pluralidad de productos en forma
conjunta. ¿Cuándo se vuelve obsoleto un bien de capital? La obsolescencia se produce en aquel
momento en que el proceso de producción que utiliza el bien de capital de determinada edad se
torna no-rentable. El problema de calcular la vida económica de los bienes durables de capital se
reduce, por consiguiente, a una parte del problema general de elección de técnicas.
Esta nueva formulación de la depreciación ha sido denominada la fórmula de depreciación de von
Neumann 17 . Consiste en distinguir a los bienes de capital de edades diferentes entre sí como si
fueran bienes de distintos tipos. De esta manera se amplía enormemente la lista de bienes
posibles, ustedes dirán. Pero ésta es la única solución efectiva para el tratamiento del bien capital.
17
V. p.ej. Michio Morishima, Marx’s Economics (1973).