1_2_De la Ley de Gauss a la Ley de Coulomb

De la Ley de Gauss a la Ley de Coulomb
La Ley de Gauss para el campo eléctrico establece que el flujo del vector campo eléctrico a través de
cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica neta encerrada en el volumen limitado por
dicha superficie cerrada.
  q
 E  dS 
SC
o
(1)
A partir de esta ley de puede deducir la Ley de Coulomb, o lo que es equivalente, la expresión del campo
eléctrico producido por una carga puntual:

1 q
(2)
E
rˆ
4 o r 2
Es decir, por medio de “operaciones” matemáticas debemos partir de la ecuación (1) y llegar a la
ecuación (2) sin utilizar en el procedimiento ninguna información contenida en la ecuación (2).
En primer lugar debemos elegir la superficie gaussiana SC que se útil al procedimiento. La ley de Gauss
es válida para cualquier SC pero debemos utilizar una que sea apropiada, para que en algún paso de la
deducción podamos “despejar” el campo eléctrico.
Elegimos una superficie esférica de radio r en cuyo centro está ubicada la carga puntual q. De esta manera
logramos dos propiedades importantes que nos permitirán obtener el campo:
I)
II)

La dirección del vector E será perpendicular a la superficie de la esfera. Dicho de otro modo



los vectores E y dS tendrán la misma dirección, ya que por definición el vector dS es
perpendicular a la superficie.

El módulo del vector E tendrá el mismo valor en todos los puntos de la superficie esférica.

La propiedad (I) e puede explicar con el siguiente criterio de simetría: El vector E debe tener
dirección radial si la carga es puntual. Si no fuera así, se podría distinguir la derecha de la izquierda de
la carga y por lo tanto ésta ya no sería un “punto”. Para entender esto mejor veámoslo en dos
dimensiones: una dirección radial r cualquiera, y = mx, divide el plano en dos semiplanos. Si nos
ubicamos en el punto campo sobre la superficie gaussiana esférica centrada en el origen y el campo
tuviera una componente tangente a la misma, podríamos diferenciar un semiplano del otro. Una carga


de prueba ubicada en ese punto “sentiría” una fuerza F  qE que la empuja hacia uno de esos
semiplanos. En la figura hacia y > mx. Se podría concluir que la distribución de carga tomando ese eje
“r” como referencia no es simétrica. Esto
no lo puede provocar una carga `puntual.

Entonces el campo E en un punto de la
superficie esférica no puede tener
componente tangencial a la superficie. Por

lo tanto E debe tener dirección radial, es

decir: E  E rˆ . Tiene la misma dirección
que el vector elemento infinitesimal de

superficie: dS  dS  nˆ  dS rˆ
La propiedad (II) se justifica con un criterio

similar: El vector E debe tener el mismo
módulo en todos los puntos ubicados a
igual distancia de la carga puntual. Si no
fuera así se podría distinguir un punto de otros ubicados en distintas orientaciones. Dicho de otro
modo, podríamos diferenciar distintos puntos del espacio “girando” alrededor de la carga. Por

ejemplo, si el campo en el punto b fuera mayor que el campo en el punto a, el vector E sería función
del ángulo . Una carga de prueba “sentiría” que es diferente estar en b que estar en a, sin embargo
“mirando” hacia la carga puntual q ubicada en el origen no podría percibir ninguna propiedad que

dependa del ángulo de orientación. Por lo tanto el módulo del vector E debe ser el mismo en todos
los puntos de la superficie esférica centrada en q.
Entonces, usando la expresión (1) de la ley de Gauss, aplicada a la superficie gaussiana elegida que
satisface las propiedades (I) y (II), obtenemos:
  q
E
  dS 
o
SC
q
 Erˆ  dSrˆ  
SC
 E dS 
SC
q
o
rˆ  rˆ  1
o

E  E  cte

En todos los puntos de SC, E  E  cte , ya que SC es esférica centrada en q.
 E dS 
SC
q
o

q
E  E  cte  E  dS 
o
SC
La integral da la superficie de la esfera, S  4 r 2 . Ahora podemos “despejar” E:
E
1
q
 o 4 r 2

(Módulo el vector E en función de r)
Como la SC es arbitraria el radio r puede tomar cualquier valor. El campo es directamente proporcional al
valor de la carga q e inversamente proporcional a la superficie S  4 r 2 de una esfera centrada en q.
dicho de otro modo el campo de una carga puntual q decrece en forma inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia.

Como se ha demostrado antes el vector E debe tener dirección radial, por lo tanto:

E
1
q
rˆ
4 o r 2
(2)


Con la definición de campo eléctrico F  qE , podemos “reconstruir” la ley de Coulomb. Si a una distancia r
de la carga puntual q ubicamos otra carga puntual q`, la fuerza sobre esta carga será:


1 q
1 q q`
F  q`E  q`
rˆ 
rˆ
2
4 o r
4 o r 2