Problema 7 unidad 2 explicado

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Unidad 2
Problema 7 explicado
7) La región esférica caracterizada por a < r < b tiene una carga por unidad de volumen  = A/r, en donde A
es una constante. En el centro de la cavidad interna (r = 0) hay una carga Q. Calcule el valor de A para que el
campo eléctrico en la región a < r < b tenga una magnitud constante.
La superficie S1 es una un superficie esférica matemática de
radio r < a en cuyo interior está la carga puntual Q ubicada
exactamente en su centro. Aplicando la ley de Gauss, obtenemos
la solución que ya conocemos: El campo de una carga puntual
está dado por la ley de Coulomb.
La superficie S2 es una un superficie esférica matemática de
radio r tal que a < r < b en cuyo interior está la carga puntual Q
ubicada exactamente en su centro. Esta superficie cerrada
contiene parte de la carga de la región esférica., dependiendo del
volumen abarcado. Si aplicamos la ley de Gauss, obtenemos:

  1
E
  dS  Q    dV
s2
o

En todos los puntos de S2 el campo eléctrico es perpendicular a la superficie y tiene el mismo módulo ya
que es función sólo de r y su dirección es radial. Es decir, para la simetría esférica de esta distribución se

cumple que: E  Er (r ) rˆ
En general, para una distribución cualquiera el campo eléctrico
expresado
en
coordenadas
esféricas
sería:

Pero en el caso
E  Er (r, , ) rˆ  E (r, , )ˆ  E (r, , ) ˆ
de una distribución con simetría esférica las componentes E y E
deben ser nulas. Supongamos que en un punto de S2 el campo no
fuera radial. En este caso tendría una componente tangencial a la
superficie esférica. Esto se podría deber a que la región A contiene
más carga que la región B. Dicho de otro modo, un campo como el
que se muestra en la figura nos permitiría distinguir, por asimetría,
las dos mitades A y B de la distribución esférica. Pero si la
distribución esférica tiene simetría esférica, esto es absurdo.
Conclusión: El vector tiene que tener dirección radial.
Pero además de tener dirección radial, esta única componente del
campo sólo puede ser función de la coordenada radial r y debe ser
independiente de cualquiera de las coordenadas angulares. Si el
campo dependiera de alguna de las coordenadas angulares su módulo
sería distinto en distintos puntos de la esfera. Esto nos permitiría
diferenciar entre los puntos U, V y W de la esfera y eso sólo podría
ocurrir si la simetría de la distribución no fuera esférica. Conclusión:
El campo sólo es función de la coordenada r.
Volvamos a la ley de Gauss…
r

1 
A
2
S2 Er rˆ  dS rˆ   0 Q  a r 4r dr
Ya que la densidad de carga sólo es función de r y esto le da simetría esférica a la distribución podemos
simplificar la integral de volumen que en general debe ser una integral triple y convertirla en una integral
simple de una sola variable. La integral de volumen, en general, habría que plantearla así:
  r
2
sen dr d d
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pero como en nuestro caso la densidad de carga sólo es función de r (en
r
esto consiste que la distribución tenga simetría esférica), entonces:

2
0
0
 r dr send  d
2
a
Volviendo a la ley de Gauss:
r

1 
E
dS

Q

4

A
rdr

r
S2
a 
0 
E r  dS 
S2


 r 2 a 2 
1 
Q  4A  
0 
2 
 2
E r 4r 2 
 r 2 a 2 
1 
  
Q

4

A

0 
2 
 2
Dado que el campo y el diferencial de superficie son vectores paralelos, su producto escalar es igual al
producto de sus módulos. Además como el campo tiene el mismo módulo en todos los puntos de la
superficie S2 podemos considerarlo constante en la integral de superficie y sacarlo fuera del integrando.
Por otra parte la integral de superficie que queda, no es otra cosa que el valor de la superficie de una
esfera de radio r. Por último para determinar la expresión del campo sólo falta pasar dicha superficie
dividiendo y volver a asignarle el carácter vectorial:
1 Q
2Aa 2 


Er 
 2A 
4 o  r 2
r 2 

E

1  Q  2Aa 2

 2A  rˆ
2
4 o 
r

La expresión hallada corresponde al campo eléctrico en la región a < r < b. En la región r < a el campo
corresponde solamente al producido por la carga puntual Q. En la región r > b corresponde a una carga
esférica cuyo valor será Q más el valor de toda la carga contenida en la región a < r < b.
¿Cuál debe ser el valor de la constante A para que el módulo del sea constante en la región a < r < b? Es
decir en dicha región el campo no debe ser función de r. Inspeccionando la expresión hallada, es fácil ver
que para que ello ocurra el primer término dentro del paréntesis debe ser nulo, y por lo tanto:
Q  2Aa2  0 De aquí obtenemos la expresión para A que es la solución del problema:
A
Q
2a 2
Para pensar…
1) ¿Cuál es el valor de la carga total en la región a < r < b?
2) ¿Cuál es la expresión del campo en la región r < a? ¿Cuánto vale el módulo del campo eléctrico en
r = a?
3) ¿Cuál es la expresión del campo en la región r > b? ¿Cuánto vale el módulo del campo eléctrico
en r = b?
4) Realizar un gráfico que represente Er en función de r desde r = 0 hasta r 
5) La función Er = f(r), ¿es continua o discontinua?