Expresiones algebraicas - Luis Castillo

4-5- Explicacion Factorización de polinomios.
El material y las direcciones que veras a continuación son un muy buen
material de consulta que te permitirá profundizar en los temas tratados en la clase
si tienes dudas del tema conéctese
http://alexanderarenas.jimdo.com/matematica-8-1/algebra/
h t t p : / / w w w . y o u t u b e . c o m / w a t c h ? v = K G 1 2 H p t TW 9 w
http://www.youtube.com/watch?v=0iF4MQ9lds8&feature=fvwrel
Tema : Factorización de polinomios.
En matemáticas básicas es fundamental realizar el proceso de convertir ciertos polinomios
en productos.
Este procedimiento se llama factorización. Los casos de factorización que se estudian
comúnmente son aquellos que conducen a los productos notables tratados con anterioridad.
Nota: Un polinomio está completamente factorizado si no contiene factores que se puedan
factorizar.
A continuación estudiamos los casos de factorización más comunes.
1. Factor común.
En este caso existe un factor (factor común) que se repite en cada uno de los términos del
polinomio dado.
Ejemplo, en el polinomio p3  2 p2  5 p existe un factor común que es p, para factorizarlo
expresamos el polinomio como un producto utilizando la propiedad recolectiva de los
números reales, así:
p3  2 p2  5 p  p( p2  2 p  5)
Otros ejemplos:
4
1
3
1
3
2
3x 5  2 x 5  5x 5  x 5 (3x 5  2  5x 5 )
Prof : luis Castillo
4k 4  12k 3  36k 2  4k 2 (k 2  3k  9)
a 2b2  3a 2b  6a 2b3  7a 2b 4  a 2b(b  3  6b 2  7b3 )
Para comprobar que la factorización es correcta basta con multiplicar aplicando la
propiedad distributiva
2. Diferencia de cuadrados.
Es la factorización cuyo resultado es el producto notable suma por diferencia de dos
cantidades
a2  b2  (a  b)(a  b)
Ejemplos:
4t 2 1  (2t )2 12  (2t  1)(2t  1)
h2 1  (h  1)(h 1)
n2  m2  (n  m)(n  m)
3. Suma y diferencia de cubos.
a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
Ejemplos:
p 3  q 3  ( p  q )( p 2  pq  q 2 )
c 3  d 3  (c  d )(c 2  cd  d 2 )
4. Factorización por agrupación.
En algunos casos es necesario agrupar dos o más términos para factorizar. Veamos:
a3  a 2  a  1  a 2 (a  1)  (a  1)  (a  1)(a 2  1) 
(a  1)(a  1)(a  1)  (a  1) 2 (a  1)
Ejemplos:
s 4  s3  s  1
Agrupamos el polinomio como dos binomios, así: (s4  s3 )  (s 1)
Ahora factorizamos el primer binomio (factor común): s3 (s  1)  (s  1)
Tenemos de nuevo un factor común y se obtiene: (s 1)(s3 1)
Prof : luis Castillo
Aunque ya existe una factorización, aún no es completa, observemos que el segundo
binomio es factorizable (diferencia de cubos):
(s 1)(s 1)(s2  s  1) por lo tanto, finalmente el resultado es:
s 4  s3  s  1  s3 ( s  1)  ( s  1) 
( s  1)( s3  1)  ( s  1)( s  1)( s 2  s  1)  ( s  1) 2 ( s 2  s  1)
5. Trinomio cuadrado perfecto.
Se llama así al trinomio que al factorizarse se convierte en un binomio al cuadrado. Un
trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son
cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado
y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).
Los dos términos del binomio al cuadrado son los valores correspondientes a los cuadrados
perfectos, es decir, si el trinomio es: r 2  2rs  s 2 entonces el binomio es (r  s)2
Ejemplo:
p2  2 pq  q2
( p  q) 2
Nota: El único signo que puede ser negativo en el trinomio es del "doble producto" y en
caso de serlo, entonces el binomio tendrá también signo negativo. Así:
x 2  2 xw  w2
( x  w)2
Veamos otros ejemplos:
 n2  2mn  m2 es un trinomio cuadrado perfecto porque tiene dos cuadrados perfectos:
n2 y m 2 el otro término: 2mn es el doble producto de n y m
De tal manera que su factorización es: n2  2mn  m2  (n  m)2
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Factorizar el trinomio: 4k 2  12ky  9 y 2
4k 2  12ky  9 y 2  (2k )2  2(2k )(3 y)  (3 y)2  (2k  3 y)2
6. Trinomio de la forma x2  mx  n
Esta factorización conduce al producto notable de la forma ( x  a)( x  b) donde m  a  b
y n  ab .Es decir, que para factorizar este trinomio debemos encontrar dos números cuyo
producto sea n y su suma m.
Ejemplos:
x 2  6 x  8  ( x  4)( x  2)
,
x 2  2 x  48  ( x  8)( x  6)
r 2  13r  30  (r  10)(r  3)
7. Caso particular: Trinomio de la forma kx2  mx  n
(k  1)
En este caso el coeficiente de x no es uno por lo cual se trata de un caso particular del
trinomio x2  mx  n
El procedimiento para esta factorización consiste en multiplicar y dividir por k de tal
manera que el coeficiente k se integre a la variable x y así se convierta en el trinomio
x2  mx  n del cual ya conocemos sus factorización.
Ejemplo:
(10k ) 2  31(10k )  140 (10k  35)(10k  4)
10k  31k  14 


10
10
5(2k  7)(10k  4) 5(2k  7)2(5k  2)

 (2k  7)(5k  2)
10
10
2
8. Factorización completando el trinomio cuadrado perfecto (por adición y
sustracción).
Algunos polinomios permiten ser factorizados sumando y restando un mismo término, de
manera que se completa un trinomio cuadrado perfecto, luego la expresión se convierte en
una diferencia de cuadrados, la cual es fácil de factorizar.
Ejemplo:
Prof : luis Castillo
t 4  t 2  1 para completar un trinomio cuadrado perfecto debemos sumar y restar t 2 , así:
t 4  t 2  t 2  t 2  1 sumando y conmutando, tenemos: t 4  2t 2  1  t 2
Ahora factorizamos (trinomio cuadrado perfecto): t 4  2t 2  1  t 2  (t 2  1)2  t 2
Finalmente, factorizamos la diferencia de cuadrados: (t 2  1  t )(t 2  1  t )
Conclusión:
t 4  t 2  1  (t 2  1  t )(t 2  1  t )
1- FACTOR COMUN
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2- FACTORIZACION DE BINOMIOS
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3- FACTORIZACION DE TRINOMIOS
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