Método de Newton-Raphson Consideremos el problema de búsqueda de raíces de una función fC2[a,b]. Sea p0[a,b] una aproximación a la raíz p de f tal que f '(p0) 0 y |p-p0| es pequeño. Entonces, podemos escribir donde c(x) está entre x y p0. Sustituimos x = p en la fórmula de Taylor anterior y tenemos en cuenta que f(p)=0, El método de Newton-Raphson, o habitualmente de Newton, se obtiene despreciando el término que involucra a (p-p0)2 ya que se supone |p-p0| pequeño. Entonces, y el método de Newton parte de una aproximación inicial p0 y genera la sucesión {pn} de la siguiente forma: Interpretación geométrica: La figura 8 muestra cómo las aproximaciones se obtienen usando tangentes sucesivas. El punto p1 se obtiene como el punto de intersección del eje de abscisas con la recta tangente a la curva en el punto (p0, f(p0)), el punto p2 es el punto de intersección del eje de abscisas con la recta tangente a la curva en el punto (p1, f(p1)) y así sucesivamente. Figura 8. Representación de las dos primeras iteraciones del método de Newton. Teorema 4: Sea fC2[a,b]. Si p[a,b] es tal que f(p) = 0 y f '(p) 0, entonces existe δ > 0 tal que el método de Newton genera una sucesión {pn} convergente a p para cualquier aproximación inicial p0[p-δ,p+δ]. Ejemplo de la esfera: Aproximamos el cero de f(x)=x3-30x2+2400 en el intervalo [10,15], aplicando el método de Newton. En la figura 9 podemos ver la gráfica de la función: Figura 9. Representación gráfica de f(x)=x3-30x2+2400 Escogemos como aproximación inicial p0=14 (en este caso podemos tomar como dato inicial cualquier punto del intervalo [10,15]. Como f '(x)=3x2-60x, el esquema del método de Newton en este caso es: La primera iteración es Velocidad de convergencia Si p es una raíz simple de f(x)=0, entonces el método de Newton converge muy rápidamente, ya que prácticamente se dobla el número de cifras exactas en cada iteración. Si {pn} es una sucesión que converge a p y En=p-pn, n≥0, y existen dos constantes positivas A > 0 y R > 0 tales que entonces se dice que la sucesión converge a p con orden de convergencia R y A es la constante asintótica del error. Cuando R = 1 se dice que la convergencia es lineal y cuando R = 2, la convergencia se llama cuadrática. El método de Newton tiene convergencia cuadrática si el cero que aproxima es simple. Esto no ocurre si p es una raíz múltiple. El método de la secante El método de Newton es un algoritmo muy eficaz , pero tiene el inconveniente de tener que conocer el valor de la derivada de f en cada iteración. La derivada de f puede ser difícil de obtener y muchas ocasiones su cálculo requiere de más operaciones aritméticas para calcularse que f. Es posible evitar el cálculo de la derivada mediante la siguiente aproximación: obteniendo el siguiente algoritmo en el que son necesarias dos aproximaciones iniciales, p0 y p1: