Matem ticas aplicadas a las CCSS II

Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
ÍNDICE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS CC. SS. II
1.OBJETIVOS, CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN
MATEMÁTICAS CC.SS I I(Currículo oficial)............................................................ 2
2.OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN, CAPACIDADES Y
CONTENIDOS MATEMÁTICAS CC. SS. II (Desglosados por unidades) ............. 9
3. SECUENCIACIÓN Y DISTRIBUCIÓN TEMPORAL - MATEMÁTICAS
CC.SS.II ......................................................................................................................... 36
4. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS (Currículo)......................................... 37
5. MATERIALES CURRICULARES ........................................................................ 42
6. PLAN DE COMPETENCIA LECTORA Y PLAN DE INTEGRACIÓN
CURRICULAR DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA
COMUNICACIÓN ....................................................................................................... 43
7. PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN ....................... 44
8. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN ........................................................................ 44
9. MÍNIMOS EXIGIBLES PARA OBTENER UNA CALIFICACIÓN POSITIVAMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II ...................... 45
10. MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD ............................................. 50
11.
ACTIVIDADES
COMPLEMENTARIAS
Y
EXTRAESCOLARES
PROPUESTAS .............................................................................................................. 52
12. EVALUACIÓN DEL DESARROLLO DE LA PROGRAMACIÓN Y LA
PRÁCTICA DOCENTE ............................................................................................. 52
13. INFORMACIÓN A LOS ALUMNOS .................................................................. 52
14. ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO CON LAS MATEMÀTICAS DE 1º
PENDIENTES................................................................................................................53
15. ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO QUE PERMANEZCAN UN AÑO
MAS EN 2º CURSO......................................................................................................53
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MATEMÁTICAS CC. SS. II
Nota
La programación didáctica de este curso se apoya totalmente en el Currículo de Matemáticas
establecido en el Principado de Asturias y publicado en el Boletín Oficial del mismo, los
objetivos así como los contenidos y criterios de evaluación por bloques del currículo oficial
aparecen en primer lugar y a continuación el desarrollo y desglose por unidades coincidiendo
plenamente con dicho currículo.
1.OBJETIVOS, CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN MATEMÁTICAS
CC.SS II (Currículo oficial)
OBJETIVOS (Currículo)
La enseñanza de las Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en el Bachillerato tendrá
como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:
1. Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar
fenómenos sociales, con objeto de comprender y expresar de forma adecuada aspectos de la
realidad social y económica, así como los retos que plantea la sociedad actual.
2. Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica, o la necesidad
de coherencia y verificación de resultados. Asumir la precisión como un criterio subordinado al
contexto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar, la apertura a nuevas ideas
como un reto y el trabajo cooperativo como una necesidad de la sociedad actual.
3. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando
tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con precisión
y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de
enriquecimiento.
4. Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de
problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia, confianza en
sí mismo y creatividad.
5. Interpretar con precisión textos y enunciados y utilizar un discurso racional como método
para abordar los problemas: justificar procedimientos, encadenar una correcta línea argumental,
aportar rigor a los razonamientos y detectar inconsistencias lógicas.
6. Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva y el
tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera,
humanística o de otra índole, aprovechando la potencialidad de cálculo y representación gráfica
para enfrentarse a situaciones problemáticas, analizando el problema, definiendo estrategias,
buscando soluciones e interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de
ese tratamiento.
7. Expresarse con corrección de forma verbal y por escrito, e incorporar con naturalidad el
lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente.
Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones
matemáticos.
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8. Utilizar el conocimiento matemático para interpretar, comprender y valorar la realidad,
estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico.
Apreciar el conocimiento y el desarrollo histórico de las matemáticas como un proceso
cambiante y dinámico, al que han contribuido tanto hombres como mujeres a lo largo de la
historia, adoptando actitudes de solidaridad, tolerancia y respeto, contribuyendo así a la
formación personal y al enriquecimiento cultural.
CONTENIDOS MATEMÁTICAS CC.SS. II(Currículo oficial)
BLOQUE 1: CONTENIDOS COMUNES
− Planteamiento y desarrollo de estrategias propias de resolución de problemas como
formulación de hipótesis, verificación, nuevas alternativas y generalización.
− Expresión verbal y escrita de argumentaciones, justificaciones y procesos en la resolución de
problemas con el rigor preciso y adecuado a cada situación.
− Reconocimiento y valoración de las herramientas matemáticas para interpretar, predecir y
describir situaciones y para resolver problemas de las ciencias sociales y humanas de forma
eficaz.
− Utilización de recursos tecnológicos para manejar datos, facilitar y comprobar cálculos,
representar funciones, calcular límites, obtener derivadas o integrales de funciones,
interpretando los resultados en los contextos planteados.
− Sentido crítico y cautela ante las informaciones de carácter matemático que aparecen en los
medios de comunicación.
− Presentación ordenada de los conceptos y procedimientos aplicados, explicación de la
estrategia elegida y del proceso seguido utilizando la terminología adecuada y valoración crítica
los resultados obtenidos.
BLOQUE 2. ÁLGEBRA
− Las matrices como expresión de tablas y grafos. Identificación de los tipos de matrices.
− Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices
en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales.
− Rango de una matriz. Obtención, interpretación y utilización del rango de una matriz.
− Determinantes. Propiedades y cálculo de determinantes de orden dos y de orden tres.
− Aplicación de los determinantes en el cálculo del rango de una matriz.
− Matriz inversa. Utilización de la matriz inversa en la resolución de ecuaciones matriciales
sencillas.
− Sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Soluciones. Métodos de resolución.
− Interpretación de enunciados que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales. Aplicación de
matrices y determinantes al estudio y resolución de sistemas.
− Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Interpretación
gráfica de las soluciones.
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− Programación lineal bidimensional. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales,
económicos y demográficos.
BLOQUE 3. ANÁLISIS
− Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una
función.
− Cálculo e interpretación gráfica del límite de funciones polinómicas, racionales, irracionales
sencillas, exponenciales y logarítmicas en un punto y en el infinito.
− Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las
tendencias asintóticas en el tratamiento de la información.
− Estudio de la continuidad de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas
sencillas y definidas a trozos.
− Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica.
Interpretación de la derivada como variación de una función en un punto.
− Cálculo de derivadas de funciones elementales - polinómicas, racionales, irracionales
sencillas, exponenciales y logarítmicas -, con un máximo de dos composiciones.
− Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a
la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la
economía.
− Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus
propiedades globales y locales. Aplicación a la interpretación de fenómenos económicos y
sociales.
− Función primitiva. Cálculo de integrales inmediatas, aplicación del método de integración por
partes y cambios de variable muy sencillos.
− El problema del área limitado por una gráfica. La integral definida. Aplicación de la regla de
Barrow para calcular el área de recintos planos limitados por dos curvas.
BLOQUE 4. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
− Experimentos aleatorios. Sucesos. Operaciones.
− Expresión de situaciones diversas en lenguaje de sucesos aleatorios.
− Probabilidad de Laplace. Aplicación de la ley de Laplace a la obtención de probabilidades.
− Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos.
− Ley de las probabilidades totales. Teorema de Bayes.
− Asignación de probabilidades a sucesos asociados a experiencias aleatorias compuestas
utilizando técnicas diversas.
− Formulación y validación de conjeturas a través del cálculo de probabilidades y utilización de
las mismas en la toma de decisiones.
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− Implicaciones prácticas de los teoremas: central del límite, de aproximación de la binomial a
la normal y ley de los grandes números.
− Población y muestra. Técnicas de muestreo.
− Condiciones de representatividad. Selección de una muestra representativa en poblaciones
asequibles.
− Parámetros de una población y estadísticos muestrales.
− Inferencia estadística.
− Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales.
− Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de
una distribución normal de desviación típica conocida.
− Estimación puntual y por intervalos de confianza de la media o de la proporción de una
población.
− Determinación del tamaño de una muestra dependiendo del error máximo admisible y de la
confianza deseada.
− Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o
diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.
− Reconocimiento de la utilidad y la potencia de la estadística inferencial para hacer
estimaciones ajustadas de una población a partir de una muestra de pequeño tamaño.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN MATEMÁTICAS CC.SS. I (Currículo oficial)
1. Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento
para el tratamiento de situaciones relacionadas con las ciencias sociales que manejen datos
estructurados en forma de tablas o grafos.
Este criterio pretende evaluar la destreza para resolver problemas relacionados con las ciencias
sociales y económicas, utilizando las matrices tanto para organizar la información como para
transformarla a través de determinadas operaciones, utilizando la notación matemática adecuada
y manejando recursos informáticos que faciliten la búsqueda de soluciones, los cálculos y la
interpretación de los resultados obtenidos. Se trata también de observar la capacidad para
resolver ecuaciones matriciales sencillas manejando las operaciones y la matriz inversa.
2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos
utilizando matrices y ecuaciones, interpretando críticamente el significado de las soluciones
obtenidas.
Este criterio está dirigido a valorar la competencia para resolver problemas seleccionando las
estrategias y herramientas algebraicas, justificando el procedimiento elegido; comprobando la
validez e interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas, utilizando con
eficacia el lenguaje algebraico tanto para plantear un problema mediante sistemas de
ecuaciones, (de un máximo de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro), como para
resolverlo aplicando las técnicas adecuadas, utilizando las matrices para el estudio de la
compatibilidad de sistemas, aplicando diferentes métodos, como Gauss, Cramer u otros, para
resolverlos.
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3. Interpretar y traducir enunciados de problemas de programación lineal bidimensional,
determinar las posibles soluciones y obtener la solución óptima.
Este criterio pretende evaluar la capacidad para enfrentarse a contextos reales en los que haya
que interpretar enunciados, expresarlos en términos de inecuaciones con dos incógnitas, facilitar
las soluciones gráficamente, reconocer las que son válidas y optimizarlas de acuerdo con una
determinada condición, así como de comprobar la validez e interpretar críticamente el
significado de las soluciones obtenidas. Se valorará la destreza en el manejo y combinación de
los lenguajes algebraico y gráfico en la resolución de problemas de programación lineal.
4. Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser
descritos mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de sus
propiedades más características.
Este criterio pretende evaluar la capacidad para traducir al lenguaje de las funciones
determinados aspectos de las ciencias sociales y para extraer, de esta interpretación matemática,
información que permita analizar con criterios de objetividad el fenómeno estudiado.
Se comprobará la capacidad para aplicar técnicas analíticas en el estudio de la continuidad y la
representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas
sencillas, ayudándose en su caso de los programas informáticos, para dar respuestas a las
situaciones planteadas, y hacer un análisis crítico de la situación. Se ha de valorar la utilización
del lenguaje gráfico en el tratamiento e interpretación de la información.
5. Resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico
o social utilizando el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones
acerca del comportamiento de una función.
Este criterio pretende valorar la capacidad de alumnos y alumnas para utilizar la información
que proporciona el cálculo de funciones derivadas y su destreza a la hora de emplear los
recursos a su alcance para determinar relaciones y restricciones en forma algebraica, detectar
valores extremos, resolver problemas de optimización y extraer conclusiones de fenómenos
relacionados con las ciencias sociales.
Se trata igualmente de observar la capacidad para interpretar la derivada como herramienta para
calcular y expresar los cambios puntuales de una variable con relación a otra. Se valorará el
interés del alumnado por justificar los planteamientos, razonar las relaciones determinadas y
explicar las conclusiones obtenidas.
6. Utilizar el cálculo integral para hallar áreas de regiones planas limitadas por curvas
sencillas y reconocer la relación existente entre función primitiva e integral definida.
Se pretende comprobar la capacidad para resolver problemas utilizando el cálculo integral,
aplicando los métodos de integración inmediata, por partes y cambios de variable sencillos, y la
regla de Barrow para hallar el área de un recinto plano limitado por dos curvas, utilizando la
terminología apropiada. Se ha de valorar además el interés y la curiosidad por investigar las
aplicaciones del cálculo integral en situaciones relacionadas con la economía y la probabilidad.
7. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o
independientes, utilizando técnicas personales de recuento, diagramas de árbol o tablas de
contingencia.
Se trata de abordar problemas relacionados con situaciones que han de ser interpretadas y
expresadas en términos de sucesos, para poder valorarlas de forma precisa a través del cálculo
de probabilidades. Asimismo se quiere evaluar la competencia para estimar y calcular
probabilidades utilizando para ello diversas técnicas, fórmulas, diagramas, tablas o esquemas, a
la hora de asignar probabilidades a priori y a posteriori, compuestas o condicionadas y analizar,
interpretar y explicar tanto los procesos seguidos como los resultados obtenidos de acuerdo con
las situaciones planteadas.
8. Diseñar y desarrollar estudios estadísticos de fenómenos sociales que permitan estimar
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parámetros con una fiabilidad y exactitud prefijadas, determinar el tipo de distribución e
inferir conclusiones acerca del comportamiento de la población estudiada.
Se pretende comprobar la capacidad para identificar si la población de estudio es normal y
medir la competencia para determinar el tipo y tamaño muestral, establecer un intervalo de
confianza para μ y p, según que la población sea normal o binomial, y determinar si la
diferencia de medias o proporciones entre dos poblaciones o respecto de un valor determinado,
es significativa.
Este criterio lleva implícita la valoración de la destreza para utilizar distribuciones de
probabilidad y la capacidad para inferir conclusiones, expresándolas con un vocabulario
matemático adecuado, a partir de los datos obtenidos. Por otro lado se trata de que el alumnado
comprenda y valore la importancia que actualmente tienen los procedimientos de estadística
inferencial en el análisis de situaciones comerciales, sociales y políticas así como la necesidad
de proceder de forma rigurosa y crítica en el estudio de las mismas.
.
9. Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y
otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los
datos como de las conclusiones.
Se trata de evaluar que alumnos y alumnas interpretan y expresan en términos propios del
lenguaje estadístico informaciones obtenidas de diversos medios. Se valora el nivel de
autonomía, rigor y sentido crítico alcanzado al analizar la fiabilidad del tratamiento de la
información estadística que hacen los medios de comunicación y los mensajes publicitarios,
especialmente a través de informes relacionados con fenómenos de especial relevancia social.
10. Reconocer el papel de las matemáticas como instrumento para la comprensión de la
realidad, lo que las convierte en un parte esencial de nuestra cultura y aplicar los
conocimientos adquiridos a situaciones nuevas, diseñando, utilizando y contrastando
distintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento.
Se trata de valorar la capacidad del alumnado para interpretar en términos matemáticos
determinados aspectos de la realidad, especialmente los que se refieren a las ciencias sociales,
analizarlos utilizando para ello las herramientas matemáticas estudiadas y valorarlos de forma
crítica de acuerdo con los resultados. Se valorará el interés por la explicación y justificación de
los procesos seguidos y la búsqueda de diferentes estrategias.
Se evaluará además la utilización por parte del alumnado de diversas fuentes para obtener
información sobre fenómenos sociales, enjuiciarla matemáticamente y formar criterios propios,
argumentar a partir de ella con rigor y precisión, manejando con fluidez el vocabulario
específico de términos y notaciones matemáticos.
11. Utilizar recursos diversos tanto en la obtención de información como para la realización
de cálculos y gráficos, realizar conjeturas y plantear hipótesis, buscar soluciones servir de
apoyo en argumentaciones y exposición de conclusiones en aquellas situaciones que así lo
requieran.
Se pretende con ello evaluar la capacidad de alumnas y alumnos para utilizar tecnologías de
comunicación y de información así como recursos tecnológicos (calculadora, hoja de cálculo,
sistemas de representación de objetos matemáticos y de álgebra computacional) para abordar
situaciones problemáticas planteadas que precisen, por un lado la búsqueda de datos de forma
selectiva, interpretándolos y analizándolos con rigor, y por otro la realización de cálculos en
progresiva complejidad, así como para presentar resultados y gráficos de forma atractiva y clara.
Se trata también de valorar el interés por el uso de estos recursos para realizar conjeturas y
contrastar estrategias con autonomía.
12. Valorar positivamente los principios de justicia e igualdad y rechazar situaciones que
coarten los derechos individuales y sociales, así como cualquier forma de discriminación por
razones de sexo, origen, creencia o cualquier otra circunstancia social o personal.
Con este criterio se pretende valorar si el alumno o alumna manifiesta un comportamiento
crítico ante estereotipos y prejuicios, valorando la igualdad entre hombres y mujeres en
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diferentes ámbitos educativos.
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2.OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN, CAPACIDADES Y CONTENIDOS
MATEMÁTICAS CC. SS. II (Desglosados por unidades)
UNIDAD 1: Matrices
I. OBJETIVOS
Utilizar las matrices como forma de representar y transmitir información.
Realizar operaciones con matrices y conocer sus propiedades.
Conocer el significado de rango de una matriz, saber calcularlo y aplicarlo.
Saber determinar si una matriz es inversible y, en caso de que lo sea, saber calcular
su inversa.
Utilizar las matrices en la resolución de problemas algebraicos.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Utilizar las matrices en la representación e interpretación de situaciones que
conllevan datos estructurados en forma de tablas o grafos.
B. Realizar operaciones combinadas con matrices.
C. Resolver ecuaciones matriciales
D. Entender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo por el método de
Gauss.
E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro.
F. Determinar si una matriz cuadrada es o no inversible mediante el cálculo de su
rango.
G. Calcular la matriz inversa de una matriz dada a partir de la definición o por el
método de Gauss.
H. Resolver problemas algebraicos utilizando matrices, sus operaciones y propiedades
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar el lenguaje algebraico en general y el matricial en particular para describir y
resolver situaciones problemáticas en distintos contextos.
Desarrollar habilidades para procesar y comunicar información a través de tablas
numéricas, grafos y matrices, siendo capaces de pasar de unos métodos a otros.
Utilizar aplicaciones informáticas para operar con grandes cantidades de datos
estructurados, utilizando para ello los comandos de cálculo matricial que dichas
aplicaciones incorporan.
Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en
la resolución de problemas reales en cualquier contexto. .
IV. CONTENIDOS
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CONCEPTOS
Matrices. Conceptos básicos.
Tipos de matrices: matriz fila, columna, cuadrada, traspuesta, etc.
Operaciones con matrices: suma y producto por un número. Propiedades.
Producto de matrices. Propiedades.
Dependencia lineal de filas y columnas. Rango de una matriz.
Matrices inversibles. Cálculo de la matriz inversa.
Aplicaciones de las matrices a las ciencias sociales.
PROCEDIMIENTOS
Utilizar las matrices en la representación, interpretación y manipulación de datos
numéricos estructurados.
Conocer y utilizar la nomenclatura básica de las matrices y su clasificación.
Realizar operaciones con matrices y utilizar con corrección sus propiedades.
Resolver ecuaciones matriciales.
Determinar matrices regulares y calcular la matriz inversa a partir de la
definición.
Utilizar el método de Gauss en el cálculo del rango de una matriz y en la
determinación de si una matriz cuadrada es o no inversible.
Utilizar el método de Gauss en el cálculo de la matriz inversa de una dada.
Utilizar las matrices y sus operaciones en la resolución de problemas propios de
las ciencias sociales.
ACTITUDES
Aprecio por los métodos de representación tabulada de datos numéricos.
Valoración de las matrices y el álgebra matricial por su utilidad en la
representación, manipulación e interpretación de datos numéricos y grafos.
Gusto por facilitar de forma clara y precisa la información mediante la
utilización de tablas, grafos y matrices.
Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en el tratamiento y
manipulación de grandes cantidades de información.
UNIDAD 2: Determinantes
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Conocer la definición de determinante de una matriz cuadrada y saber calcular su
valor para matrices cuadradas de orden menor o igual a 3.
Conocer la regla de Sarrus y aplicarla en el cálculo de determinantes de orden 3.
Conocer las propiedades de los determinantes y utilizarlas para simplificar el cálculo
de los mismos.
Utilizar los determinantes en el cálculo matricial.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Calcular determinantes de orden 2.
B. Calcular, mediante la regla de Sarrus, determinantes de orden 3.
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C. Utilizar las propiedades de los determinantes en el cálculo de determinantes de orden
mayor o igual a 3.
D. Determinar el rango de una matriz mediante el uso de determinantes.
E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro.
F. Determinar, mediante determinantes, si una matriz cuadrada es o no inversible.
G. Utilizar los determinantes para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular.
H. Resolver ecuaciones matriciales en cuyo planteamiento intervienen matrices
regulares de orden menor o igual a 3.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar el lenguaje algebraico en general, y el relativo a matrices y determinantes en
particular, para describir y resolver problemas en diversas situaciones y en distintos
contextos.
Diseñar, a partir de la definición y las propiedades de los determinantes, nuevas
estrategias que faciliten el cálculo de los mismos y puedan utilizarse en la resolución
de otras situaciones propias del álgebra.
Utilizar los medios tecnológicos disponibles para simplificar los largos cálculos que
en ocasiones conlleva la resolución de los problemas del álgebra lineal.
Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de elegir el método más
apropiado en la resolución de problemas propios del álgebra lineal.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Determinantes de segundo y tercer orden.
Adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada.
Determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden.
Propiedades de los determinantes.
Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna.
Transformaciones que simplifican el cálculo de determinantes.
Cálculo del rango de una matriz mediante menores.
Caracterización de la regularidad de una matriz mediante determinantes.
Cálculo de la matriz inversa de una matriz regular mediante determinantes.
Ecuaciones matriciales.
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PROCEDIMIENTOS
Calcular determinantes de orden dos y tres (regla de Sarrus).
Utilizar las propiedades de los determinantes en la simplificación del cálculo de
los mismos.
Calcular determinantes desarrollando por los elementos de una fila o columna.
Usar transformaciones lineales para hacer ceros varios elementos de una fila o
columna de una matriz.
Determinar el rango de una matriz mediante el orden del mayor menor no nulo.
Determinar el rango de una matriz dependiente de un parámetro.
Determinar la regularidad o singularidad de una matriz cuadrada.
Calcular la matriz inversa de una matriz a través de la matriz de los adjuntos.
Resolver ecuaciones matriciales usando matrices inversas.
ACTITUDES
Valoración de los determinantes por su utilidad en la resolución de problemas
del álgebra lineal y de la geometría vectorial.
Interés por los procedimientos que permiten simplificar cálculos laboriosos,
utilizando las propiedades inherentes a determinados objetos matemáticos.
Interés por la utilización de distintos métodos en la resolución de un mismo
problema valorando las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos.
Valoración de las nuevas tecnologías por su precisión y rapidez en los cálculos
matemáticos.
UNIDAD 3: Sistemas de ecuaciones lineales
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
Conocer la regla de Cramer y utilizarla, cuando sea posible, en la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Conocer el teorema de Rouché y utilizarlo en la determinación de la compatibilidad
de un sistema de ecuaciones lineales.
Determinar la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un
parámetro y resolverlos en los casos en que sea compatible.
Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales para plantear y resolver problemas.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
B. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales y, si es posible,
resolverlo utilizando la matriz inversa de la matriz de coeficientes.
C. Resolver, mediante la regla de Cramer, sistemas de ecuaciones lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas.
D. Determinar, tanto por Gauss como aplicando el teorema de Rouché, la
compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales, y resolverlos en el caso de ser
compatibles.
E. Resolver sistemas homogéneos.
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F. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.
G. Plantear y resolver problemas que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar el lenguaje algebraico para describir y resolver problemas que aparecen en
distintos contextos.
Reconocer la utilidad del lenguaje matricial a la hora de simplificar las expresiones
algebraicas lineales utilizadas para describir las condiciones y limitaciones asociadas
a multitud de problemas.
Resolver problemas de otras disciplinas mediante el planteamiento y resolución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Interpretar y analizar la validez de los resultados obtenidos al resolver los sistemas
de ecuaciones lineales utilizados para describir problemas en diversos contextos.
Utilizar los medios tecnológicos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Conocer la evolución histórica del álgebra lineal y de los distintos métodos de
resolución de sistemas de ecuaciones.
Desarrollar la autonomía y la iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos
en la resolución de problemas reales en cualquier contexto.
IVCONTENIDOS
CONCEPTOS
Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial.
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas equivalentes. Criterios de equivalencia.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss.
Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.
Teorema de Rouché. Criterio de compatibilidad.
Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas dependientes de un parámetro. Discusión y resolución.
Sistemas homogéneos.
Interpretación geométrica para sistemas lineales con dos incógnitas.
Aplicación de los sistemas a las ciencias sociales.
PROCEDIMIENTOS
Plantear matricialmente un sistema de ecuaciones lineales dado en su forma
clásica, y viceversa.
Obtener sistemas equivalentes a uno dado mediante transformaciones lineales.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
Resolver sistemas de ecuaciones de Cramer mediante la matriz inversa de la
matriz de coeficientes.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer.
Aplicar el teorema de Rouché en la determinación de la compatibilidad de un
sistema de ecuaciones lineales.
Discutir sistemas que dependen de un parámetro.
Resolver sistemas homogéneos.
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Plantear y resolver, por cualquier método, problemas que den lugar a sistemas
de ecuaciones lineales.
ACTITUDES
Interés en la búsqueda de nuevas estrategias de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales.
Curiosidad por los procesos que conducen a la generalización de situaciones y
métodos.
Confianza en la capacidad para describir situaciones diversas, relacionadas con
lo cotidiano o con otras disciplinas, a través del lenguaje algebraico de los
sistemas de ecuaciones.
Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales con un elevado número de variables y condiciones.
UNIDAD 4: Programación lineal
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Resolver gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Dominar el lenguaje propio de la programación lineal: restricciones, función
objetivo, región factible.
Representar gráficamente la región factible asociada a varias restricciones y
determinar, tanto gráfica como analíticamente, la solución óptima.
Plantear y resolver problemas de programación lineal partiendo de su enunciado.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Resolver gráficamente inecuaciones lineales con dos incógnitas.
B. Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
C. Determinar y escribir algebraicamente la función objetivo y las restricciones
asociadas a un problema de programación lineal.
D. Determinar los vértices y dibujar la región factible asociada a un conjunto de
restricciones, en la que intervengan dos variables.
E. Resolver problemas de programación lineal con dos incógnitas, dados de forma
meramente algebraica.
F. Resolver problemas de programación lineal, tanto de forma analítica como gráfica,
dados mediante enunciados sencillos.
G. Resolver problemas de programación lineal, dados mediante enunciados
complejos.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar conjuntamente distintos tipos de lenguaje, algebraico y gráfico, en la
descripción y resolución de situaciones problemáticas en distintos contextos.
Reconocer las ventajas e inconvenientes de estos dos lenguajes a la hora de describir
las posibles soluciones de un problema dado mediante un amplio conjunto de
condiciones y restricciones.
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Curso 2015-2016.
Resolver problemas de otras disciplinas mediante el planteamiento y resolución de
sistemas de inecuaciones lineales y las técnicas propias de la programación lineal.)
Interpretar y analizar la región factible asociada a un problema de programación
lineal, y elegir, de entre todas las posibles soluciones, aquella que optimiza los
resultados.
Utilizar y valorar los medios tecnológicos en la resolución de los problemas típicos
de la programación lineal.
IVCONTENIDOS
CONCEPTOS
Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación geométrica.
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación geométrica.
Orígenes de la programación lineal.
Planteamiento general de un problema de programación lineal: función objetivo
y restricciones.
Determinación de la región factible.
Resolución analítica.
Resolución gráfica.
Aplicaciones de la programación lineal en las ciencias sociales.
PROCEDIMIENTOS
Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una o dos
incógnitas.
Determinar la expresión analítica de la función objetivo asociada a un problema
de programación lineal.
Encontrar las expresiones algebraicas de las restricciones asociadas a un
problema de programación lineal.
Determinar y representar gráficamente la región factible asociada a un conjunto
de restricciones.
Determinar, analítica y gráficamente, los puntos que optimizan la función
objetivo.
Plantear problemas de programación lineal partiendo de su enunciado general.
Resolver problemas de programación lineal, dados de forma algebraica o por
medio de un enunciado literal.
ACTITUDES
Valoración del lenguaje algebraico y gráfico como los apropiados para plantear
y resolver los problemas de programación lineal.
Interés por el origen de la programación lineal y valoración de su influencia en
la historia del siglo XX.
Conocimiento y valoración de la importancia de la programación lineal en la
resolución de problemas comunes de la sociedad actual: problema de la dieta,
problema del transporte, etc.
Sentido crítico ante las soluciones obtenidas.
Valoración de los recursos informáticos por su utilidad en la resolución de
problemas de programación lineal de gran complejidad.
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Curso 2015-2016.
Conocer el contexto histórico en el que nació y se desarrolló la programación
lineal, y la gran influencia de esta materia en la solución de grandes problemas
de la sociedad actual. (C5, C6)
Desarrollar la autonomía y la iniciativa personal a la hora de buscar nuevos
métodos en la resolución de problemas reales en cualquier contexto. (C3, C5,
C7, C8)
UNIDAD 5: Funciones. Límites y continuidad
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Conocer el concepto de función real de variable real y saber operar con funciones
dadas por sus expresiones algebraicas.
Calcular límites de funciones en un punto o en el infinito, utilizando algunas técnicas
para resolver indeterminaciones.
Adquirir el concepto de función continua en un punto y en un intervalo, y saber
identificar y clasificar los puntos de discontinuidad de una función, dada por su
expresión algebraica.
Conocer y aplicar los teoremas fundamentales de funciones continuas en un intervalo
cerrado.
Utilizar el cálculo de límites y el estudio de la continuidad para obtener conclusiones
sobre el comportamiento de un fenómeno social.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Utilizar funciones, dadas por su expresión algebraica, para expresar y analizar la
dependencia de una magnitud respecto de otra.
B. Operar con funciones dadas por sus expresiones algebraicas.
C. Calcular, por medios algebraicos, límites de funciones.
D. Resolver indeterminaciones del tipo k ; 0 ; ;
; 0·( ) .
0
0
E. Estudiar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
F. Determinar los puntos de discontinuidad de una función, así como el tipo de
discontinuidad.
G. Estudiar la continuidad de una función obtenida a través de operaciones
algebraicas entre funciones elementales o por composición de las mismas.
H. Utilizar el teorema de Bolzano para acotar y aproximar las soluciones de una
ecuación.
I. Aplicar los límites y el estudio de la continuidad de una función en la resolución de
problemas propios de las ciencias sociales.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar distintas formas y expresiones para definir la dependencia funcional entre
dos variables: tablas, representaciones gráficas, expresiones algebraicas o
simplemente con el lenguaje ordinario.
El cálculo de límites está presente en cantidad de problemas relacionados con la
demografía, la economía y otras ciencias, y nos permite comprender y expresar
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
mejor ciertos conceptos, como el comportamiento instantáneo o la tendencia a largo
plazo de determinadas variables.
Conocer la aritmética del infinito, las indeterminaciones y los procesos para resolver
estas.
Analizar con carácter crítico y dar una explicación plausible a ciertas paradojas
históricas.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Función real de variable real.
Operaciones con funciones.
Límite de una función en un punto. Límites laterales. Propiedades de los límites.
Límites infinitos y en el infinito.
Operaciones con expresiones infinitas.
Cálculo de límites. Indeterminaciones.
Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
Discontinuidades de una función. Inevitables y evitables.
Propiedades de las funciones continuas.
Teorema de Bolzano.
Teorema del máximo y mínimo de una función.
Aplicaciones de los límites y la continuidad en las ciencias sociales.
PROCEDIMIENTOS
Reconocer relaciones funcionales.
Operar algebraicamente con funciones reales de variable real y obtener la
función compuesta de dos o más funciones.
Conocer las propiedades de los límites y aplicarlas en el cálculo de los mismos.
Calcular límites laterales en funciones definidas a trozos.
Calcular límites de diversos tipos a partir de la expresión analítica de una
función.
Estudiar la continuidad o discontinuidad de una función en un punto.
Calcular el valor que ha de tomar un parámetro para que una función
dependiente de él sea continua.
Buscar la expresión analítica de una función que verifique determinadas
propiedades en cuanto a su continuidad.
Aplicar el teorema de Bolzano en la determinación de intervalos en los que una
función tiene una raíz.
ACTITUDES
Interés por la búsqueda de funciones que reflejen las relaciones existentes
entre magnitudes o fenómenos naturales o sociales.
Curiosidad por abordar matemáticamente problemas relacionados con las
tendencias de funciones asociadas a fenómenos naturales o sociales.
Valoración del lenguaje simbólico como herramienta para describir la tendencia
de una función.
Valoración del lenguaje gráfico para determinar las tendencias de funciones.
Valoración positiva de las técnicas para calcular límites.
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Curso 2015-2016.
Valoración positiva del uso de las nuevas tecnologías en el cálculo de límites y
en el análisis de la tendencia de una función.
Disposición para crear modelos y realizar abstracciones a partir de situaciones
problemáticas concretas.
Utilizar las nuevas tecnologías para estudiar el comportamiento de ciertas
variables en las proximidades de un punto y su tendencia a largo plazo. (C2, C4,
C7, C8)
Adquirir conceptos y procedimientos que nos permitan comprender y aprender,
para posteriormente utilizar, conceptos matemáticos más complejos (C2, C7)
UNIDAD 6: Derivadas
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Comprender el concepto, la utilidad y las aplicaciones de las tasas de variación
media e instantánea de una función y aprender a calcularlas.
Conocer la interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en un
punto y saber calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.
Saber calcular la función derivada de las funciones elementales y de las obtenidas
mediante operaciones algebraicas de las elementales.
Saber aplicar correctamente la regla de la cadena para calcular la función derivada de
funciones obtenidas por composición de funciones elementales.
Utilizar el concepto de tasa de variación media y de derivada en la resolución de
problemas propios de las ciencias sociales.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo.
B. Calcular la derivada de una función en un punto aplicando la definición.
C. Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.
D. Calcular la función derivada de funciones elementales.
E. Calcular la función derivada de funciones obtenidas mediante operaciones
algebraicas con funciones elementales.
F. Calcular la función derivada de una función obtenida mediante la composición de
dos o más funciones elementales.
G. Aplicar las derivadas en la resolución de problemas propios de las ciencias
sociales.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar la derivada de una función, asociada a cierto fenómeno social o natural, en
un punto para extraer y elaborar conclusiones sobre el comportamiento de dicha
función en las proximidades de ese punto.
Conocer la evolución histórica del problema del cálculo de la tangente a una curva
en un punto.
Distinguir entre propiedades globales y puntuales, variaciones medias en un
intervalo y variación instantánea, y utilizarlo en el análisis crítico del
comportamiento de ciertos fenómenos
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Curso 2015-2016.
Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y
global de las funciones.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Tasa de variación media de una función en un intervalo.
Tasa de variación instantánea en un punto.
Derivada de una función en un punto.
Ecuación de la recta tangente a una función en un punto.
Función derivada de una función.
Derivadas de las funciones elementales. Reglas de derivación.
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena.
Derivada de la función inversa de una dada.
Derivadas laterales.
Aproximación lineal de una función en un punto.
PROCEDIMIENTOS
Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo.
Calcular la derivada de una función en un punto utilizando la definición.
Calcular la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, así como la
ecuación de la recta.
Determinar la función derivada de las funciones elementales.
Aplicar las reglas de derivación en el cálculo de la función derivada de una
función.
Aplicar la regla de la cadena en la determinación de la función derivada de una
función compuesta.
Calcular la derivada de la función inversa de una dada.
Calcular las derivadas laterales de una función en un punto.
Utilizar la aproximación lineal para calcular el valor aproximado de una función
en un punto.
Estudiar la continuidad y derivabilidad de una función.
ACTITUDES
Valoración de la utilidad del concepto de derivada para analizar el
comportamiento de fenómenos científicos y sociales.
Valoración del lenguaje simbólico como instrumento útil para describir la
variación de una magnitud respecto de otra, en un punto o en un intervalo.
Valoración de las reglas de derivación y de la regla de la cadena por su utilidad a
la hora de calcular derivadas de funciones complejas.
Disposición para crear modelos matemáticos que permitan estudiar el
comportamiento de diversos fenómenos naturales o sociales.
Valoración de los recursos informáticos en el estudio global de funciones.
UNIDAD 7: Aplicaciones de las derivadas
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Curso 2015-2016.
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Saber calcular las derivadas sucesivas de una función.
Determinar la monotonía y la curvatura de una función a partir del estudio de su
primera y segunda derivada.
Saber calcular los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función y sus
puntos de inflexión a partir del estudio de su primera y segunda derivada.
Utilizar el cálculo de derivadas para resolver problemas de optimización extraídos de
situaciones reales, interpretando los resultados obtenidos.
Conocer y aplicar los teoremas de Rolle y del valor medio.
IICRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Calcular las derivadas sucesivas de funciones elementales.
B. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función derivable.
C. Determinar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo de una función
derivable.
D. Calcular los máximos y mínimos relativos de una función derivable.
E. Calcular los puntos de inflexión de una función derivable.
F. Resolver problemas de optimización en distintos contextos.
G.Determinar el número de raíces reales de una función polinómica cuya función
derivada es fácilmente factorizable.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar las funciones y en especial sus gráficas para describir, analizar y determinar
el comportamiento de un fenómeno dado por una expresión algebraica.
Utilizar la función derivada de una función, asociada a cierto fenómeno social o
natural, para extraer y elaborar conclusiones sobre el comportamiento local o global
de dicha función.
Interpretar de manera racional la información gráfica difundida por los medios de
comunicación relativa a la evolución, en función del tiempo, de algunas variables de
carácter social o económico.
Plantear y resolver, utilizando la terminología adecuada, problemas de optimización
en diversos contextos geométricos, sociales, económicos, etc.
Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y
global de las funciones.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Derivadas sucesivas de una función
Monotonía. Funciones crecientes y decrecientes en un punto y en un intervalo.
Extremos relativos: máximos y mínimos.
Aplicación de las derivadas a problemas de optimización.
Curvatura. Funciones cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo.
Puntos de inflexión.
Teorema de Rolle.
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Curso 2015-2016.
Teorema del valor medio.
PROCEDIMIENTOS
Calcular las derivadas sucesivas de una función.
Utilizar el estudio del signo de la función derivada de una función para obtener
los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
Determinar los máximos y mínimos relativos de una función.
Determinar la curvatura de una función y de sus puntos de inflexión a partir del
estudio de sus derivadas primera y segunda.
Estudiar la monotonía, curvatura, extremos relativos y puntos de inflexión de
una función dada por su gráfica.
Obtener la gráfica de una función, conocidas las de su primera y segunda
derivada.
Resolver problemas de optimización en diversos contextos.
Aplicar el teorema de Rolle para obtener el número de puntos de tangente
horizontal de una curva.
Determinar el número exacto de soluciones de una ecuación.
ACTITUDES
Valoración del rigor y el orden a la hora de hacer un estudio local o global de la
monotonía y curvatura de una función o de clasificar sus puntos singulares.
Disposición para crear modelos matemáticos para estudiar la evolución, y
conocer los máximos y mínimos de fenómenos naturales o sociales.
Valoración del análisis a la hora de estudiar e interpretar el comportamiento de
diversos fenómenos naturales, sociales o económicos.
Valoración de los recursos informáticos como herramientas que simplifican las
tareas y ayudan a comprender el comportamiento local y global de las funciones.
Valoración crítica de la información recibida en forma gráfica, algebraica o
escrita sobre la evolución de determinados fenómenos.
UNIDAD 8: Representación de funciones
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Realizar el estudio de las tendencias de una función de la cual se conoce su
expresión algebraica, calculando sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
Representar gráficamente funciones de distinto tipo, utilizando el procedimiento
general, obteniendo la información necesaria de la expresión algebraica de dicha
función y de su primera y segunda derivada.
Aplicar la representación gráfica de funciones a la resolución de problemas en
distintos contextos y al análisis crítico de la información recibida.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Calcular la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos
aislados en los que no está definida.
B. Calcular las asíntotas de una función.
C. Calcular los puntos de corte con los ejes y el dominio de una función dada por su
expresión algebraica, su gráfica o mediante un enunciado.
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D. Estudiar la simetría, la periodicidad y el signo de una función.
E. Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, con radicales,
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, tras hacer un estudio completo de sus
características.
F. Resolver los ejercicios propios de las ciencias sociales que conlleven el estudio, la
representación gráfica o el análisis de la gráfica asociada a la evolución de cierto
fenómeno económico o social.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar las funciones y en especial sus gráficas para describir, analizar y determinar
el comportamiento de un fenómeno dado por una expresión algebraica.
Interpretar de manera racional y crítica la información gráfica difundida por los
medios de comunicación relativa a la evolución, en función del tiempo, de algunas
variables de carácter social o económico.
Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y
global de las funciones.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Dominio y recorrido de una función.
Puntos de corte con los ejes.
Signo de una función.
Simetrías. Función par y función impar.
Periodicidad.
Ramas infinitas. Asíntotas.
Monotonía y extremos relativos.
Curvatura y puntos de inflexión.
Estudio completo y representación gráfica de funciones y familias de funciones
polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas.
Aplicaciones del estudio gráfico de funciones a las ciencias sociales.
Resolver ecuaciones e inecuaciones.
PROCEDIMIENTOS
Determinar el dominio y recorrido de funciones dadas por su expresión
algebraica o por su gráfica.
Determinar los puntos de corte con los ejes coordenados y de los intervalos en
los que la función es positiva o negativa
Determinar la paridad de una función.
Calcular el período de una función en caso de ser periódica.
Estudiar la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de
puntos en los que no está definida, y calcular sus asíntotas
Realizar un estudio completo de diferentes tipos de funciones, en especial
polinómicas y racionales, y trazar su gráfica.
Esbozar la gráfica de una función de la que se conocen suficientes
características.
Analizar la evolución de algunos fenómenos dados por sus gráficas.
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ACTITUDES
Valoración del rigor y el orden a la hora de estudiar y representar funciones
dadas por sus expresiones algebraicas.
Valoración de la representación gráfica de una función a la hora de interpretar el
comportamiento del fenómeno al que dicha gráfica está asociada.
Valoración de la calculadora y los recursos informáticos a la hora de representar
de manera precisa la gráfica de una función dada por su expresión algebraica.
Valoración positiva de la utilidad y eficacia de las herramientas algebraicas y de
las propias del cálculo diferencial para obtener gráficas de funciones.
Gusto por la representación ordenada y explicada de los trabajos realizados y, en
particular, de la gráfica obtenida.
UNIDAD 9: Integrales
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Conocer la relación entre el área comprendida entre una función f(x) y el eje X y su
función integral F(x).
Conocer la regla de Barrow y aplicarla en el cálculo de integrales definidas.
Conocer la tabla de integrales inmediatas y casi inmediatas y utilizarlas en el cálculo
de primitivas sencillas.
Conocer y utilizar, en el cálculo de primitivas de funciones, los métodos de
integración por partes y de cambio de variable.
Dominar el cálculo de áreas comprendidas entre una curva y el eje X y entre dos
curvas.
Aplicar la integral definida en la resolución de problemas propios de las ciencias
sociales.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Aplicar las propiedades de la integral definida en el cálculo de áreas de recintos
planos.
B. Aplicar la regla de Barrow en el cálculo de integrales definidas.
C. Hallar la integral indefinida de funciones elementales.
D. Hallar una función de la que se conocen su derivada y un punto de su gráfica.
E. Calcular integrales por partes.
F. Efectuar transformaciones elementales en la función (cambios de variable) para
transformar las integrales en inmediatas y resolverlas después.
G. Hallar el área del recinto limitado por una curva y el eje X en un intervalo.
H. Hallar el área del recinto limitado por dos curvas cuyas primitivas sean inmediatas o
casi inmediatas.
I. Resolver problemas propios de las ciencias sociales que requieran el uso de la integral
definida.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Conocer la evolución histórica en la resolución del problema del cálculo de áreas de
recintos planos y los métodos desarrollados por distintos pensadores.
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Curso 2015-2016.
Potenciar la creatividad de los alumnos sugiriéndoles distintos métodos para
afrontar y resolver el problema del cálculo del área limitada por una curva.
Utilizar el lenguaje simbólico, propio del análisis, para expresar conceptos
geométricos como el de área de un recinto plano.
Dada la utilización del cálculo integral en otras disciplinas como la física, la
economía o la demografía, se mejorará la competencia que supone el desarrollo y
aplicación del pensamiento científico-técnico para interpretar y manipular la
información recibida en distintos contextos.
Utilizar las nuevas tecnologías para representar de manera precisa y resolver
problemas de áreas de recintos limitados por funciones conocidas.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Área bajo una curva.
Teorema fundamental del cálculo integral.
Integral definida. Propiedades.
Regla de Barrow.
Área entre dos curvas.
Primitiva de una función.
Relación entre todas las primitivas de una función.
Integral indefinida. Propiedades.
Integrales inmediatas.
Integración por partes.
Integración por cambio de variable.
Teorema del valor medio del cálculo integral.
Aplicaciones de la integral a las ciencias sociales.
PROCEDIMIENTOS
Calcular, por métodos geométricos, el área encerrada por una curva, el eje X, y
rectas verticales x = a y x = b en casos sencillos.
Calcular primitivas de funciones elementales.
Buscar primitivas de una función con una condición dada.
Buscar funciones primitivas de otras que precisen de una sencilla transformación
para convertirse en inmediatas.
Calcular primitivas mediante el método de cambio de variable.
Utilizar el método de integración por partes en el cálculo de primitivas.
Calcular el área encerrada por una curva, el eje X y las rectas verticales x = a y x
= b.
Calcular el área del recinto plano limitado por dos curvas.
Resolver, mediante la integral definida, problemas sencillos propios de las
ciencias sociales.
ACTITUDES
Curiosidad por conocer cómo ha evolucionado el problema del cálculo de áreas
a lo largo de la historia de las matemáticas, y cómo se ha resuelto con el teorema
fundamental del cálculo.
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Curso 2015-2016.
Valoración positiva del cálculo de primitivas de funciones para resolver
situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras disciplinas.
Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en los que sea preciso el
cálculo integral.
Gusto por la representación gráfica clara y precisa de recintos planos cuyas áreas
se pretende calcular.
Valoración de los medios informáticos en el cálculo de primitivas y de integrales
definidas.
UNIDAD 10 : Combinatoria
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Conocer técnicas de recuento mediante métodos sistemáticos o mediante el uso de la
combinatoria.
Diferenciar las variaciones, las permutaciones y las combinaciones, y calcular el
número de variaciones, permutaciones o combinaciones, con y sin repetición.
Conocer y aplicar adecuadamente las propiedades de los números combinatorios para
desarrollar la potencia de un binomio.
Utilizar las técnicas de recuento en el planteamiento y resolución de problemas.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Plantear y resolver problemas de recuento que requieran el uso de técnicas o de
métodos sistemáticos.
B. Plantear y resolver problemas de recuento que requieran el uso de técnicas de
combinatoria.
C. Resolver ecuaciones en las que intervengan expresiones combinatorias.
D. Simplificar expresiones numéricas y algebraicas en las que intervengan números
factoriales.
E. Desarrollar la potencia de un binomio mediante la expresión del binomio de
Newton.
F. Obtener un término concreto del desarrollo de la potencia de un binomio.
G. Plantear y resolver problemas de alguna dificultad con ayuda de las técnicas de
recuento.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar el lenguaje matemático para describir, de forma clara y rigurosa,
expresiones que conlleven el cálculo de números en los problemas de recuentos,
diferenciando unos casos de otros.
Buscar y analizar problemas clásicos de recuento y paradojas que aparecen a lo
largo de la historia de las matemáticas, y apreciar cómo se han ido resolviendo.
Potenciar la creatividad de los alumnos, permitiendo y sugiriendo distintos métodos
para efectuar recuentos en la resolución de un problema.
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Curso 2015-2016.
Utilizar las nuevas tecnologías, calculadoras, programas informáticos, internet…
para buscar y resolver problemas haciendo uso de la combinatoria.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Tablas de recuento y diagramas de árbol.
Variaciones ordinarias y variaciones con repetición. Número de variaciones.
Permutaciones ordinarias, permutaciones circulares y permutaciones con
repetición. Número de permutaciones.
Combinaciones ordinarias y combinaciones con repetición. Número de
combinaciones.
Números combinatorios. Propiedades de los números combinatorios.
Binomio de Newton. Potencia de un binomio.
PROCEDIMIENTOS
Ordenar y agrupar convenientemente los elementos de un conjunto para poder
efectuar el recuento de una forma sencilla.
Hallar el número de las variaciones ordinarias con los elementos de un conjunto.
Hallar el número de las variaciones con repetición con los elementos de un
conjunto.
Calcular números factoriales. Aplicarlos al cálculo de permutaciones ordinarias
y circulares.
Calcular el número de permutaciones con elementos repetidos de un conjunto.
Calcular números combinatorios.
Resolver ecuaciones con expresiones combinatorias.
Calcular expresiones combinatorias utilizando calculadoras científicas.
Obtener, a partir de las propiedades de los números combinatorios, el triángulo
de Pascal y viceversa.
Efectuar desarrollos de potencias de binomios aplicando el binomio de Newton.
Hallar los términos de un grado determinado o el término central en el desarrollo
de la potencia de un polinomio de dos términos.
ACTITUDES
Predisposición e interés por el aprendizaje de nuevas técnicas de recuento.
Valoración positiva del uso de las expresiones combinatorias (variaciones,
permutaciones y combinaciones) para resolver problemas de recuento.
Curiosidad e interés por el análisis de problemas relacionados con el recuento y
la probabilidad, como la elección de muestras para encuestas, la organización de
un campeonato deportivo, etc.
Apreciación del uso de la calculadora como herramienta en el cálculo
combinatorio.
Gusto por el cálculo ordenado y metódico en las técnicas de recuento.
UNIDAD 11: Cálculo de probabilidades
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Curso 2015-2016.
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Conocer las operaciones con conjuntos y sus propiedades, y utilizarlas en el caso
concreto del espacio de sucesos asociado a un experimento aleatorio.
Dotar a los alumnos de conceptos y herramientas que puedan utilizar para calcular la
probabilidad de un suceso relativo a una experiencia aleatoria.
Determinar probabilidades de sucesos en experimentos compuestos y discernir entre
sucesos dependientes e independientes.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Formar el espacio muestral y calcular el número de puntos muestrales de un
suceso.
B. Efectuar operaciones con sucesos y aplicar sus propiedades para efectuar
simplificaciones.
C. Identificar funciones de probabilidad definidas en un espacio muestral,
comprobando el cumplimiento de los axiomas, y utilizarlas para obtener la
probabilidad de sucesos compuestos.
D. Asignar probabilidades mediante la regla de Laplace, empleando técnicas de
recuento directo y recursos combinatorios.
E. Determinar si dos sucesos son dependientes o independientes, y calcular la
probabilidad de su intersección.
F. Formar el sistema completo de sucesos asociado a un experimento aleatorio
compuesto y asignar probabilidades a sucesos mediante el teorema de la probabilidad
total.
G. Calcular probabilidades a posteriori.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar una notación adecuada para expresar sucesos en experimentos aleatorios y
las operaciones que pueden efectuarse con ellos, relacionándolos con las
proposiciones en la lógica formal.
Analizar la evolución del concepto de probabilidad a lo largo de la historia de las
matemáticas, y apreciar la necesidad de una formalización en la definición de
probabilidad.
Efectuar comentarios críticos sobre los juegos de azar u otros sucesos desde el punto
de vista de la probabilidad.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Experimentos deterministas y aleatorios. Espacio muestral. Punto muestral.
Sucesos: elemental, seguro, imposible, contrario, compatibles, incompatibles,
etc.
Operaciones con sucesos. Álgebra de sucesos.
Frecuencias absoluta y relativa de un suceso.
Definición clásica de probabilidad. Regla de Laplace.
Definición axiomática de probabilidad.
Probabilidad condicionada. Sucesos independientes.
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Curso 2015-2016.
Experimentos compuestos.
Probabilidad de la intersección de sucesos.
Diagramas de árbol para determinar la probabilidad de sucesos en experimentos
compuestos.
Probabilidad total.
Teorema de Bayes para determinar la probabilidad a posteriori.
PROCEDIMIENTOS
Distinguir experimentos aleatorios de experimentos deterministas.
Obtener el espacio muestral de experimentos aleatorios sencillos.
Efectuar operaciones con sucesos: unión, intersección y diferencia.
Calcular probabilidades de sucesos en experimentos simples, aplicando la regla
de Laplace y la combinatoria cuando sea aconsejable.
Efectuar diagramas de árbol y calcular probabilidades de sucesos con la ayuda
de los diagramas.
Obtener probabilidades de sucesos, bien directamente o a través de la definición.
Hacer ejercicios de diferenciación de sucesos compatibles e incompatibles, así
como de sucesos dependientes e independientes.
Hallar la probabilidad total de un suceso a partir de las probabilidades
condicionadas por los sucesos de un sistema completo de sucesos.
Hallar probabilidades a posteriori.
ACTITUDES
Reconocimiento y valoración de la utilidad de las matemáticas para interpretar y
describir situaciones relacionadas con el azar.
Curiosidad e interés por conocer estrategias diferentes de las propias para la
resolución de problemas de cálculo de probabilidades.
Valoración crítica de las informaciones de tipo probabilístico que se transmiten a
través de los medios de comunicación.
Gusto por el cálculo ordenado y la representación gráfica clara y precisa en los
diagramas de Venn y de árbol.
UNIDAD 12: Las distribuciones binomial y normal
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Desarrollar los conceptos asociados a las distribuciones discretas de probabilidad y,
en particular, distinguir cuándo una variable aleatoria discreta (v. a. d.) sigue el
modelo binomial; saber aplicar dicho modelo en el cálculo de probabilidades.
Desarrollar los conceptos asociados a las distribuciones continuas de probabilidad y,
en particular, de aquellas que sigan una distribución normal N( , ).
Obtener probabilidades a través de las funciones de probabilidad o de distribución de
las variables aleatorias que siguen distribuciones B(n, p) y N( , ).
Saber determinar en qué condiciones una v. a. d. que siga una distribución B(n, p)
puede ajustarse mediante una normal; utilizar esta en el cálculo de probabilidades
para la B(n, p).
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Curso 2015-2016.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Obtener la función de probabilidad de una v. a. d.
B. Calcular los parámetros de una v. a. d., media o esperanza matemática, varianza y
desviación típica.
C. Obtener, a partir de la función de densidad, la función de distribución de una
variable aleatoria continua (v. a. c.), y viceversa.
D. Calcular probabilidades de intervalos en una v. a. c. y determinar sus parámetros.
E. Resolver problemas de v. a. d. que siguen una distribución B(n, p).
F. Resolver problemas de v. a. c. que siguen una distribución N( , ).
G. Determinar si una variable aleatoria discreta que siga una distribución B(n, p)
puede ajustarse mediante una normal.
H. Utilizar la distribución normal para calcular probabilidades surgidas en un caso
binomial.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Describir variables aleatorias asociadas a distintos procesos sociales o naturales.
Utilizar una notación y una terminología adecuadas para expresar las probabilidades
de que ciertas variables aleatorias cumplan unas condiciones determinadas.
La búsqueda de variables aleatorias de nuestro entorno permite dotar a los alumnos
de habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar información, y para
transformarla en conocimiento.
Mediante el manejo de las variables aleatorias y de las distribuciones binomial y
normal se pueden hacer estudios relacionados con otras ramas de la ciencia, como la
economía, la biología, la medicina, e incluso para otros campos como la producción
y la industria.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Variables aleatorias discretas y continuas.
Función de probabilidad de una v. a. d.
Media, varianza y desviación típica de una v. a. d.
La distribución binomial B(n, p).
Función de probabilidad de una distribución binomial.
Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial.
Cálculo de probabilidades para una v. a. d. que siga una distribución B(n, p).
Función de densidad de una v. a. c. Cálculo de la media y de la varianza.
La distribución normal. La distribución normal estándar.
Transformación de N( , ) en N(0, 1). Tipificación.
Aproximación de la binomial por una normal: condiciones para la aproximación.
PROCEDIMIENTOS
Determinar el recorrido de una v. a. d.
Hallar la función de probabilidad de una v. a. d.
Calcular la media y la desviación típica de una v. a. d.
Identificar variables aleatorias que siguen una distribución binomial.
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Curso 2015-2016.
Asignar probabilidades mediante la función de probabilidad de la B(n, p) o
utilizando tablas.
Comprobar si una función posee o no las características de una función de
densidad.
Calcular la media y la varianza de una v. a. c.
Hallar, mediante integración o gráficamente, la probabilidad de un intervalo en
una v. a. c.
Manejar la tabla de la N(0, 1) para obtener valores de la función de distribución.
Tipificar una v. a. que sigue una N( , ).
Resolver problemas de variables aleatorias que siguen una N( , ) o una B(n, p).
Obtener los parámetros de la distribución normal que se aproxima a una
distribución binomial.
Resolver problemas, por aproximación, mediante una distribución normal, de
una v. a. que sigue una distribución binomial.
ACTITUDES
Reconocimiento y valoración de la utilidad de las matemáticas para interpretar y
describir situaciones de la vida real y de carácter científico.
Valoración crítica de las informaciones de tipo probabilístico que se transmiten a
través de los medios de comunicación.
Interés por la investigación de estrategias y de herramientas que nos permitan
abordar problemas de diferentes variables aleatorias que surgen en cualquier
disciplina de nuestro entorno.
Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para
resolver problemas.
Gusto por el cálculo ordenado y la representación gráfica clara y precisa de las
funciones de probabilidad, distribución y densidad de variables aleatorias.
UNIDAD 13: El muestreo estadístico
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Comprender y manejar adecuadamente las técnicas de muestreo para evitar que las
conclusiones que se obtengan a partir de ellas sean erróneas.
Establecer la distribución que siguen las variables aleatorias que se obtienen al
considerar una proporción o la media de un conjunto grande de muestras de igual
tamaño.
Saber aplicar la distribución de las sumas muestrales y la distribución de las medias
muestrales a problemas y casos concretos obtenidos de nuestro entorno.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Obtener muestras aleatorias de una población, explicando la técnica utilizada.
B. Determinar la proporción de individuos de cada estrato en un muestreo
estratificado.
C. Efectuar un muestreo sistemático en una población.
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30
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Curso 2015-2016.
D. Calcular proporciones en forma de fracción, en forma decimal como tanto por uno
y en porcentaje.
E. Calcular la probabilidad de que una proporción aparezca en una muestra de tamaño n
entre dos valores determinados.
F. Conocidas la media y la desviación típica de una población, determinar la
probabilidad de que la media de una muestra de tamaño n se encuentre entre dos
valores determinados.
G. Establecer la distribución que siguen las sumas muestrales cuando se conocen la
media y la desviación típica poblacionales.
H. Determinar cómo se distribuye la diferencia de las medias muestrales en muestras
de tamaño n.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar la terminología adecuada y efectuar las representaciones necesarias y
precisas para reflejar los resultados obtenidos en el estudio de una población o
muestra.
Analizar los muestreos que aparecen en los medios de comunicación para aprender a
interpretar los resultados o, en su caso, para descubrir en ellos la intencionalidad o
sesgo del sondeo.
Buscar estrategias para obtener muestras representativas de una población, y
analizar con espíritu crítico los resultados obtenidos.
Utilizar las nuevas tecnologías para efectuar muestreos, representar adecuadamente
los resultados obtenidos y realizar los cálculos necesarios para obtener los
parámetros deseados.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Parámetros estadísticos.
Población y muestra. Representatividad de la muestra.
Tipos de muestreo: aleatorios y no aleatorios.
Distribución en el muestreo de una proporción.
Distribución en el muestreo de la media.
Distribución de las sumas muestrales en la muestra.
Distribución en el muestreo de la diferencia de medias.
Teorema central del límite.
PROCEDIMIENTOS
Calcular, mediante la elaboración de tablas, los parámetros estadísticos de una
población.
Calcular la media y la desviación típica de dos muestras de igual tamaño, la
media y la desviación típica de la suma y de la diferencia de ambas, y comparar
los resultados obtenidos.
Elaborar ejemplos para diferenciar los conceptos de población y muestra y
determinar el tamaño de la muestra.
Realizar diferentes tipos de muestreo tomando como población el conjunto de
alumnos de la clase y el conjunto de alumnos del centro escolar.
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Curso 2015-2016.
Determinar probabilidades de diferentes intervalos en las variables aleatorias
que siguen una distribución normal mediante la utilización de tablas.
Hallar la probabilidad de que una proporción tomada en una muestra esté
incluida en un cierto intervalo.
Hallar la distribución de las medias muestrales.
Calcular los parámetros característicos de las variables aleatorias que se obtienen
con las sumas muestrales y con el muestreo de la diferencia de las medias.
ACTITUDES
Disposición favorable para el estudio y conocimiento de las técnicas de
muestreo para obtener muestras representativas.
Espíritu crítico para valorar los resultados obtenidos en sondeos de opinión con
muestras sesgadas.
Interés por la búsqueda de situaciones y problemas del entorno para los que haya
que aplicar técnicas de muestreo y conocimiento de las distribuciones de
probabilidad.
Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para
resolver problemas.
Gusto por la representación gráfica clara y precisa de las distribuciones de
frecuencia y probabilidad.
Valoración positiva del uso de las nuevas tecnologías para aplicarlas al estudio
estadístico de poblaciones.
UNIDAD 14: Intervalos de confianza
I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Estimar el parámetro p de una variable aleatoria B(n, p) mediante un intervalo de
confianza obtenido a partir de una muestra de tamaño n.
Obtener, con distintos niveles de confianza, un intervalo para la media poblacional,
tomando muestras de diferentes tamaños.
Relacionar el tamaño mínimo que debe tener la muestra con el error máximo
admisible y el nivel de confianza requeridos para el intervalo.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Obtener los valores críticos – z y z mediante una tabla de la N(0, 1) para
2
2
cualquier nivel de significación .
B. Hallar el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional p en una
B(n, p), a partir del estadístico p̂ obtenido de una muestra de tamaño n con distintos
niveles de confianza.
C. Determinar un intervalo de confianza para la media poblacional, cuando se conoce
la desviación típica de la población y una muestra con un nivel de significación
determinado .
D. Obtener un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales.
E. Calcular, para una muestra de tamaño n y un nivel de significación , el error
máximo admisible.
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Curso 2015-2016.
F. Calcular, para una muestra de tamaño n y un error máximo admisible E, el nivel de
significación .
G. Determinar el tamaño mínimo de la muestra para un error máximo admisible E y
un nivel de significación .
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar la terminología adecuada al efectuar estimaciones de parámetros
poblacionales, tales como nivel de confianza, estadístico, tamaño de la muestra, etc.
Analizar los muestreos que aparecen en los medios de comunicación y la
extrapolación que hacen a la población para aprender a interpretar los resultados o,
en su caso, para descubrir en ellos la intencionalidad o sesgo del sondeo.
Buscar estrategias para obtener muestras representativas de una población para
inferir, a partir de ellas, parámetros de la población y analizar con espíritu crítico los
resultados obtenidos.
Utilizar las nuevas tecnologías para obtener, de una forma rápida, los intervalos de
confianza para la media poblacional, con distintas muestras y a distintos niveles de
significación.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Estimadores puntuales. Propiedades. Sesgo y eficiencia.
Intervalos de confianza.
Intervalo de confianza para el parámetro p de una binomial.
Intervalo de confianza para la media poblacional. Error máximo admisible y
margen de error.
Intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales.
Tamaño de la muestra.
PROCEDIMIENTOS
Indicar los mejores estimadores puntuales de los parámetros poblacionales.
Apreciar el sesgo y la eficiencia que tiene un determinado estimador.
Obtener valores críticos con una tabla de la N(0, 1).
Estimar una proporción mediante un intervalo de confianza.
Hallar diferentes intervalos de confianza para estimar una proporción con la
misma muestra y con distintos niveles de confianza.
Estimar la media poblacional mediante un intervalo.
Hallar diferentes intervalos de confianza para estimar la media poblacional,
utilizando muestras diferentes y niveles de significación distintos.
Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de muestras poblacionales.
Determinar el tamaño mínimo que ha de tener una muestra para obtener un
intervalo de confianza de amplitud 2E con un nivel de significación .
ACTITUDES
Disposición favorable para el estudio y conocimiento de las técnicas para
realizar estimaciones.
Espíritu crítico para valorar los resultados obtenidos al realizar una estimación.
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Curso 2015-2016.
Interés por la búsqueda de problemas del entorno en los que haya que realizar
estimaciones de una proporción mediante intervalos de confianza.
Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para
resolver problemas.
Valoración positiva del uso de las nuevas tecnologías para aplicarlas al estudio
estadístico de poblaciones.
UNIDAD 15: Contraste de hipótesis
I. OBJETIVOS
Contrastar, mediante un test, la proporción de una distribución binomial.
Efectuar un contraste de hipótesis para aceptar o rechazar un valor para la media
muestral, o para la diferencia de medias de distribuciones normales.
Determinar los errores de tipo I y de tipo II que se cometen al efectuar un contraste,
así como la probabilidad de que se produzcan.
II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
A. Escribir la hipótesis nula y la hipótesis alternativa de un contraste de hipótesis.
B. Efectuar un contraste para la proporción de una distribución normal tomando como
estimador de contraste p̂ la proporción obtenida de la muestra.
C. Contrastar la media de una población normal cuando se conoce la desviación típica
poblacional.
D. Contrastar la media de una población normal cuando no se conoce la desviación
típica poblacional.
E. Distinguir entre los errores de tipo I y de tipo II al efectuar un contraste.
F. Calcular la probabilidad de cometer un error de tipo I.
III. COMPETENCIAS BÁSICAS
Utilizar la terminología adecuada al efectuar estimaciones de parámetros
poblacionales, tales como hipótesis nula, hipótesis alternativa, potencia de contraste,
nivel de significación, estadístico, tamaño de la muestra, etc.
Analizar los muestreos que aparecen en los medios de comunicación y la
extrapolación que hacen a la población, para aprender a interpretar los resultados o,
en su caso, para descubrir en ellos la intencionalidad o sesgo del sondeo.
Buscar estrategias para obtener muestras representativas de una población para
inferir, a partir de ellas, parámetros de la misma y analizar con espíritu crítico los
resultados obtenidos.
Utilizar las nuevas tecnologías para obtener de una forma rápida los valores críticos
en los contrastes para la media poblacional con distintas muestras y a distintos
niveles de significación.
IV. CONTENIDOS
CONCEPTOS
Hipótesis estadísticas.
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
Contraste para la proporción de una distribución binomial.
Contraste para la media de la distribución normal. Casos: si es conocida, si
es desconocida y n 30.
Contraste para la diferencia de medias de distribuciones normales. Casos: si 1,
30.
2 son conocidas, si 1, 2 son desconocidas y n1, n2
Tipos de error.
PROCEDIMIENTOS
Comparación entre los intervalos de confianza y el contraste de hipótesis.
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa para realizar un contraste de
hipótesis.
Determinar el estadístico de contraste.
Determinar la región de aceptación para un nivel de significación deseado.
Calcular, a partir de la muestra, un valor particular del estadístico de contraste.
Tipificar el estadístico de contraste y determinar si cae dentro de la región de
aceptación.
Tomar decisiones a la vista de los resultados obtenidos.
Efectuar contrastes bilaterales y unilaterales.
Realizar un contraste para la media de una distribución normal, siguiendo paso a
paso los puntos indicados anteriormente.
Realizar contrastes con distintos niveles de significación. Determinar en cada
caso la probabilidad de cometer un error de tipo I y la potencia del contraste.
Distinguir los errores de tipo I de los errores de tipo II.
Efectuar comparaciones entre los dos métodos de estimación de parámetros: por
intervalo de confianza y mediante un contraste de hipótesis.
ACTITUDES
Disposición favorable para el estudio y conocimiento de las técnicas necesarias
para realizar estimaciones por contraste de hipótesis.
Espíritu crítico para valorar los resultados obtenidos al realizar una estimación
de este tipo.
Interés por la búsqueda de problemas del entorno en los que haya que realizar
estimaciones de una proporción, utilizando intervalos de confianza o
contrastando una hipótesis.
Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para
resolver problemas.
Valoración positiva del uso de las nuevas tecnologías para aplicarlas al estudio
estadístico de poblaciones.
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
Matemáticas Aplicadas a
CC SS I
3. SECUENCIACIÓN Y DISTRIBUCIÓN TEMPORAL - MATEMÁTICAS CC.SS.II
EVALUACIONES
BLOQUES TEMÁTICOS
UNIDADES DIDÁCTICAS
PRIMERA
Álgebra y Análisis
1, 2, 3, 4, 5
SEGUNDA
Análisis y Probabilidad
6, 7, 8, 9, 10
TERCERA
Probabilidad y Estadística
11, 12, 13, 14 y 15
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36
Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
4. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS (Currículo)
Introducción
A medida que las matemáticas han ido ampliando y diversificando su objeto y su perspectiva,
ha crecido su valoración como un instrumento indispensable para interpretar la realidad, así
como una forma de expresión de distintos fenómenos sociales, científicos y técnicos. Se
convierten así en un imprescindible vehículo de expresión y adquieren un carácter
interdisciplinar que debe impregnar su proceso de enseñanza-aprendizaje.
Mirar la realidad social en sus diversas manifestaciones económicas, artísticas, humanísticas,
políticas, etc., desde una perspectiva matemática y acometer desde ella los problemas que
plantea, implica desarrollar la capacidad de simplificar y abstraer para facilitar la comprensión;
la habilidad para analizar datos, entresacar los elementos fundamentales del discurso y obtener
conclusiones razonables; rigor en las argumentaciones pero, sobre todo, autonomía para
establecer hipótesis y contrastarlas, e iniciativa personal para diseñar diferentes estrategias de
resolución o extrapolar los resultados obtenidos a situaciones análogas.
Convertir la sociedad de la información en sociedad del conocimiento requiere capacidad de
búsqueda selectiva e inteligente de la información y extraer de ella sus aspectos más relevantes,
pero supone además saber dar sentido a esa búsqueda. Por eso, sin menoscabo de su importancia
instrumental, hay que resaltar también el valor formativo de las matemáticas en aspectos tan
importantes como la búsqueda de la belleza y la armonía, el estímulo de la creatividad o el
desarrollo de aquellas capacidades personales y sociales que contribuyan a formar ciudadanos
autónomos, aptos para trabajar en equipo, seguros de sí mismos, decididos, curiosos y
emprendedores, capaces de afrontar los retos con imaginación y abordar los problemas con
garantías de éxito.
En Bachillerato se pretende que alumnas y alumnos adquieran los compromisos propios de las
sociedades democráticas, lo que supone desarrollar una conciencia cívica responsable que
fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa, equitativa y sostenible.
Por eso, las actividades que se planteen deben favorecer la posibilidad de aplicar las
herramientas matemáticas al análisis de fenómenos de especial relevancia social, tales como la
diversidad cultural, la salud, el consumo, la coeducación, la convivencia pacífica, la educación
vial o el respeto al medio ambiente.
Tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad
actual, pocas materias se prestan como ésta a tomar conciencia de que las matemáticas son parte
integrante de nuestra cultura, que ha contribuido, no sólo al progreso científico-técnico sino
también al desarrollo de la sensibilidad artística y el criterio estético.
En esta etapa el desarrollo personal requiere que el alumnado adquiera hábitos de estudio,
lectura y disciplina organizativa que le aseguren posibilidades de éxito en el futuro. Por otro
lado el buen dominio del lenguaje, tanto del castellano como del propio de las matemáticas, y su
manejo conjunto para comprender y expresar los procesos, ha de ser un objetivo fundamental.
Para lograrlo, resulta tan importante la creatividad para enfrentarse a situaciones nuevas como
mantener una disposición abierta y positiva hacia las matemáticas que permita percibirlas como
una herramienta útil a la hora de interpretar con objetividad el mundo que nos rodea. Esta
perspectiva adquiere su verdadero significado dentro de una dinámica de resolución de
problemas que debe caracterizar de principio a fin el proceso de enseñanza-aprendizaje de esta
materia.
En este contexto, la fuerte abstracción simbólica, el rigor sintáctico y la exigencia probatoria
que definen el saber matemático, han de tener una relativa presencia. Las fórmulas, una vez que
se las ha dotado de significado, adoptan un papel de referencia que facilita la interpretación de
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37
Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
los resultados pero, ni su obtención, ni su cálculo y mucho menos su memorización, deben ser
objeto ni fundamento del estudio.
Las herramientas tecnológicas, en particular las calculadoras y las aplicaciones informáticas
deben servir de ayuda, tanto para la mejor comprensión de conceptos como para el
procesamiento de cálculos complejos, permitiendo centrar las propuestas de aula en la
resolución de problemas en variedad de contextos y abordar con rapidez y fiabilidad los
cambiantes procesos sociales mediante la modificación de determinados parámetros y
condiciones iniciales. No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisión en el cálculo
manual introducido en progresiva complejidad.
Por último, es importante presentar la matemática como una ciencia viva y no como una
colección de reglas fijas e inmutables. Detrás de los contenidos que se estudian hay un largo
camino conceptual, una elaboración intelectual de enorme magnitud, que ha ido evolucionando
a través de la historia hasta llegar a las formulaciones que ahora manejamos.
El amplio espectro de estudios a los que da acceso el Bachillerato de Humanidades y Ciencias
Sociales obliga a formular un currículo de la materia que no se circunscriba exclusivamente al
campo de la economía o la sociología, dando continuidad a los contenidos de la enseñanza
obligatoria.
Por ello, y con un criterio exclusivamente propedéutico, la materia, dividida en dos cursos, se
estructura en torno a tres ejes: Aritmética y álgebra, Análisis y Probabilidad y estadística. Los
contenidos del primer curso adquieren la doble función de fundamentar los principales
conceptos del análisis funcional y ofrecer una base sólida a la economía y a la interpretación de
fenómenos sociales en los que intervienen dos variables. En el segundo curso se establecen de
forma definitiva las aportaciones de la materia a este Bachillerato sobre la base de lo que será su
posterior desarrollo en la Universidad o en los ciclos formativos de la Formación Profesional.
La estadística inferencial o la culminación en el cálculo infinitesimal de las aportaciones del
análisis funcional son un buen ejemplo de ello.
Los contenidos se distribuyen en varios bloques, pero la programación docente definirá cómo
se introducen dichos contenidos a lo largo del curso, entendiendo que la secuenciación en
bloques de contenidos no es un orden preestablecido que haya que mantener obligatoriamente.
Uno de estos bloques hace referencia a contenidos comunes para cada uno de los cursos, en el
que se plantean procedimientos relativos a la resolución de problemas, al uso de variados
recursos o actitudes que han de desarrollar alumnos y alumnas a lo largo de la etapa. La
programación docente definirá cómo se tienen en cuenta estos aspectos en el desarrollo del resto
de los bloques.
No se trata de que los estudiantes posean muchas herramientas matemáticas, sino las
estrictamente necesarias y que las manejen con destreza y oportunidad, facilitándoles las nuevas
fórmulas e identidades para su elección y uso. Nada hay más alejado del «pensar
matemáticamente» que una memorización de igualdades cuyo significado se desconoce, incluso
aunque se apliquen adecuadamente en ejercicios de cálculo.
Los criterios de evaluación, que constan de un enunciado y de una explicación, constituyen una
referencia de primer orden en el desarrollo de los contenidos, en cuanto que indican los procesos
cognitivos que deben desarrollarse en el aprendizaje, las metodologías de aula y la utilización
de recursos tecnológicos propuestos para alcanzar los objetivos fijados para esta etapa
educativa.
Orientaciones metodológicas
Los cambios sociales y tecnológicos, así como las funciones que desempeñan las Matemáticas
como herramienta para interpretar la realidad y como sistema para expresar determinados
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38
Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
fenómenos sociales, científicos o técnicos, inducen profundos cambios en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de esta disciplina.
Las orientaciones metodológicas marcan la acción pedagógica y la didáctica en el aula. Tienen
una gran relevancia en cuanto se refieren a aspectos fundamentales que han de ser contemplados
en el proceso de enseñanza para lograr las finalidades de esta etapa, lo que supone proporcionar
al alumnado formación, madurez intelectual y humana, conocimientos y destrezas que les
permitan progresar en su desarrollo personal y social e incorporarse a la vida activa y a estudios
posteriores.
En esta materia se deben orientar los aprendizajes para conseguir que alumnos y alumnas
desarrollen diversas formas de actuación y adquieran la capacidad de enfrentarse a situaciones
nuevas, permitiendo integrar sus aprendizajes, poniéndolos en relación con distintos tipos de
contenidos, utilizando esos contenidos de manera efectiva cuando resulten necesarios
aplicándolos en diferentes situaciones y contextos. La acción pedagógica debería permitir poner
el acento en aquellos aprendizajes que se consideran imprescindibles, desde un planteamiento
integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquirido.
Las orientaciones aquí recogidas, constan de una reflexión y una orientación consecuente con
ella y se refieren a aspectos muy diversos del currículo como son el manejo del lenguaje, el
trabajo en equipo, aprender a aprender, la funcionalidad de los contenidos, los recursos, la
investigación, la resolución de problemas, la atención a la diversidad y la igualdad.
- Uno de los objetivos fijados para el Bachillerato se refiere a dominar, tanto en su expresión
oral como escrita, la lengua castellana. Por otro lado la utilización del discurso racional para
abordar problemas también está presente entre dichos objetivos. Habrá que incluir propuestas
que conlleven el manejo del lenguaje.
Por ello será preciso realizar planteamientos que contemplen la lectura y comprensión de textos
relacionados con los contenidos, así como la necesidad de que alumnos y alumnas expongan
verbalmente y por escrito las explicaciones propias del discurso racional: justificar
procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos y
detectar y exponer las inconsistencias lógicas.
Se fomentará la realización de trabajos en equipo en los que cada miembro ha de realizar tareas
concretas dentro de un plazo, contribuir con sugerencias a los planteamientos y estrategias de
resolución y asumir con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa, confianza en uno
mismo y sentido crítico su responsabilidad en todo el proceso.
- Aprender a aprender es una de las competencias que han de lograr alumnas y alumnos al
finalizar el Bachillerato, puesto que ello garantizará su posibilidad de éxito tanto en posteriores
estudios como en diversos ámbitos de la vida.
Por lo tanto será conveniente proponer problemas abiertos en los que han de buscar
información, seleccionarla, valorarla y analizarla críticamente, además de aplicar las
herramientas matemáticas adecuadas para obtener resultados verificando su coherencia..
- Se tratará de que los estudiantes adquieran conceptos y procedimientos reconociendo su
utilidad, comprendiendo su significado y siendo capaces de aplicarlos a situaciones reales de las
Ciencias Sociales iniciando un proceso de realización de cálculos en progresiva complejidad.
Para ello será necesario incidir en el papel de las matemáticas como elemento para interpretar la
realidad y aplicar los conocimientos matemáticos de forma comprensiva. Es importante que,
siempre que sea posible, este aprendizaje parta de una situación problemática, que pueda tener
diversos enfoques, que permita formular preguntas y seleccionar las estrategias adecuadas para,
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39
Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
tras sencillos razonamientos y algunos cálculos, llegar a la solución procediendo en todo
momento a explicar los procesos y el significado de los resultados.
- En la actualidad son variados los recursos de todo tipo al alcance de la sociedad y en particular
del alumnado, que les han de servir tanto para obtener datos e información diversa como para
facilitarles la realización de cálculos complejos y mejorar la presentación de trabajos. Utilizar
con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y de la comunicación es uno
de los objetivos de esta etapa educativa.
Por esto será conveniente proponer actividades en las que la búsqueda selectiva de información
y de datos, su manejo de forma comprensiva y el apoyo en programas informáticos y sistemas
digitales (calculadora, aplicaciones de representación de objetos matemáticos y sistemas de
álgebra computacional) para la realización de las mismas sea una tarea a desarrollar por alumnas
y alumnos.
- En esta etapa de educación postobligatoria se trata de que el alumnado comprenda los
elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos,
conozca y valore de forma crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de
las condiciones de vida, su influencia en la realidad del mundo contemporáneo, sus antecedentes
históricos y los principales factores de su evolución, así como afianzar la sensibilidad y el
respeto hacia el medio ambiente.
Por ello sería adecuado plantear pequeños trabajos de investigación que pueden estar dirigidos a
analizar aspectos relacionados con las ciencias sociales y su posible repercusión en la sociedad,
o bien otros propios de la evolución y de la historia de las matemáticas en campos cercanos a
los temas que son objeto de estudio.
Se facilitará la realización, por parte del alumnado, de trabajos de investigación, monográficos,
ínter-disciplinares u otros de naturaleza análoga que impliquen a uno o varios departamentos de
coordinación didáctica.
- Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las
habilidades básicas propias de la modalidad elegida, supone trabajar en la línea de los aspectos
fundamentales de la competencia matemática.
Han de plantearse situaciones en las que sea preciso aplicar aquellas destrezas y actitudes que
permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y
comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas, e
integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para dar respuesta a las
situaciones relacionadas con las ciencias sociales. No se trata tanto de que alumnos y alumnas
hayan de realizar complicados cálculos y desarrollar complejos procedimientos, como de que
sean capaces de elegir determinadas estrategias, sean conscientes de las herramientas que
manejan en cada momento y, finalmente, interpreten y expresen adecuadamente los resultados.
- El abanico de posibilidades que oferta el Bachillerato hace necesario atender a la diversidad en
el aula para que la mayoría de alumnos y alumnas alcancen los objetivos de esta etapa en
función de sus capacidades e intereses.
Para ello se pueden proponer actividades con distintos grados de dificultad favoreciendo así los
distintos ritmos de aprendizaje, posibilitar la utilización del ordenador y los programas
disponibles facilitando los cálculos complejos y trabajar en pequeños grupos fomentando la
autonomía personal, la colaboración y la confianza en sí mismos.
- Se ha de fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres,
analizar y valorar críticamente las desigualdades existentes e impulsar la igualdad real y la no
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Curso 2015-2016.
discriminación, así como el conocimiento e identificación de personalidades de ambos sexos
que hayan contribuido al desarrollo de la ciencia matemática a lo largo de la historia. También
se prestará atención a las actitudes en el aula, utilizando el lenguaje no sexista y consiguiendo
que los trabajos en grupo y los debates se hagan con responsabilidad, tolerancia y respetando
opiniones y puntos de vista diferentes.
Será preciso proponer el análisis crítico de datos y situaciones en las que se manifiestan
desigualdades y que, a través de su estudio, promuevan el respeto hacia todo tipo de personas
independientemente de creencias, sexo, nacionalidades o peculiaridades diversas.
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
5. MATERIALES CURRICULARES
A continuación nos referimos a los materiales que se disponen para el aprendizaje de las
matemáticas. Algunos de ellos no estarán presentes en todos los bloques o unidades didácticas y
serán empleados de forma oportuna en cada momento en que fueran precisos.

Pizarra.
Se hará un uso clarificador, presentándose la información de forma cuidad y ordenada.

Libro de texto.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - EDICIONES SM, Madrid

Cuaderno del alumno.
Complementará al libro de texto y servirá para hacer un seguimiento del trabajo diario del
alumno.

Material escrito.
Este departamento elaborará fichas con los ejercicios y actividades más indicadas para cada
situación.

Material impreso.
Se fomentará el uso de textos matemáticos y publicaciones divulgativas de carácter
científico adecuados a los gustos y nivel de comprensión de los alumnos, facilitando a tal
fin el acceso a la biblioteca y material impreso adquirido por el departamento.

Calculadora.
La calculadora constituye un material didáctico de gran potencia para la adquisición y el
refuerzo de contenidos muy diversos por tanto se fomentará su uso racional. La calculadora
no puede eximir del cálculo mental y el desarrollo de estrategias fundamentales del cálculo
operativo por tanto no se utilizará antes de que las destrezas del cálculo elemental hayan
quedado bien afianzadas ni cuando los números involucrados en los cálculos sean muy
sencillos.

Soportes informáticos e Internet.
Wiris, Derive, Geogebra,... y unidades didácticas interactivas como las del Proyecto
Descartes2D, y las del portal de la editorial del libro de texto se usarán para facilitar el
aprendizaje de forma autónoma y permitirá trabajar a niveles diferentes según las
capacidades favoreciendo la atención a la diversidad.
Se crearán cursos Moodle en el aula virtual del centro para facilitar el acceso de los alumnos
a estos recursos.
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
6. PLAN DE COMPETENCIA LECTORA Y PLAN DE INTEGRACIÓN CURRICULAR
DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN
Plan de competencia lectora
“Las Matemáticas son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la
expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas Por ello, en todas las
relaciones de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y en particular en la resolución de
problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos
realizados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El
propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca
por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir conjeturas gracias a
un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto.”(Currículo oficial)
La integración de la lectura en el currículo de Matemáticas se hace partiendo de la
consideración de que la adquisición de la competencia lectora consiste en el desarrollo de un
conjunto de estrategias, destrezas y conocimientos que contribuyen a la comprensión y al uso de
textos escritos, así como a la reflexión personal a partir de ellos con el fin de desarrollar el
conocimiento y el potencial personal. En la clase habrá que prestar especial atención al
desarrollo de la comprensión y expresión oral y escrita y al manejo del lenguaje. Será preciso
hacer hincapié en verbalizar conceptos, explicar sus ideas, redactar por escrito conclusiones y
razonamientos y por supuesto realizar la lectura comprensiva de enunciados diversos.
Al final de cada unidad se realizarán las actividades propuestas en el libro de texto con
el fin de mejorar las destrezas lectoras de nuestros alumnos, pues familiarizarse con el lenguaje
matemático y la comprensión lectora de los enunciados de los problemas es clave para resolver
cualquier tipo de problema planteado en clase de Matemáticas.
Además con el objeto de contribuir al fomento del hábito de la lectura y favorecer el
desarrollo de la competencia lectora se recomendará la lectura de textos literarios de contenido
matemático adecuado a los gustos y nivel de comprensión de los alumnos y que pueden
contribuir de forma importante a lograr tanto la competencia matemática como lingüística.
Plan de integración de las TIC
“La incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y
para la resolución de problemas, contribuye a mejorar la competencia en tratamiento de la
información y competencia digital de los estudiantes”(Currículo oficial)
En la construcción del conocimiento los medios tecnológicos son, hoy en día,
herramientas esenciales para enseñar, aprender, y en definitiva, para hacer Matemáticas.
Además la utilización de programas informáticos específicos puede facilitar el
aprendizaje de forma autónoma y permitirá trabajar a niveles diferentes según las
capacidades de los alumnos, favoreciendo de este modo la atención a la diversidad, con
este fin y en la medida de lo posible se utilizarán los recursos disponibles en el centro
(aula modelo, aula de tablet PCs, aula de pizarra digital interactiva)
Para contribuir a mejorar la competencia digital de los estudiantes se fomentará el uso
de Internet mediante la utilización del aula virtual del centro.
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
7. PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Pruebas escritas especificas de evaluación, cada prueba versará sobre todos los contenidos
explicados.
8. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN
Como referente básico de la evaluación se tomarán los criterios de evaluación, entendidos
como aprendizajes mínimos que todos los alumnos deben alcanzar. La evaluación buscará
información sobre lo que los alumnos saben y no sobre lo que desconocen
Está previsto hacer un examen por evaluación, con recuperaciones de la 1ª y 2ª evaluación a
comienzos de la 2ª y 3ª respectivamente. Además, se efectuará un examen final de toda la
asignatura y para todos los alumnos.
La nota final del curso será la media ponderada de las notas de las tres evaluaciones y del
examen final:
N
E1
E2
E3
5
2 F
F es la nota del examen final y Ei es la nota de la evaluación i, entendiendo como
calificación de evaluación lo siguiente:
Si el alumno aprobó la evaluación se tomara la nota del examen de evaluación.
Si el alumno suspendió la evaluación y suspendió el examen de recuperación se tomará
la mayor de las dos notas, la del examen de evaluación o la del examen de recuperación.
Si el alumno suspendió la evaluación y aprobó la recuperación se tomará como
Ex . recuperación
calificación de dicha evaluación el valor : 2 , 5
2
Excepcionalmente, por diversas circunstancias que pudieran intervenir en el rendimiento del
alumno a lo largo del curso, el profesor puede aumentar (nunca disminuir) la calificación final
atendiendo a tales circunstancias excepcionales (como cambios positivos y radicales de actitud
hacia la asignatura, problemas personales superados, etc). Al respecto, el profesor tendrá en
cuenta y juzgará en consecuencia, en último caso, el grado de consecución de los objetivos y
competencias previstos.
Aquellos alumnos que no alcancen en la nota final del curso un 5, tendrán suspensa la
asignatura y deberán acudir al examen extraordinario de Septiembre para superarla.
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
9. MÍNIMOS EXIGIBLES PARA OBTENER UNA CALIFICACIÓN POSITIVAMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
UNIDAD 1: Matrices
A. Utilizar las matrices en la representación e interpretación de situaciones que
conllevan datos estructurados en forma de tablas o grafos.
B. Realizar operaciones combinadas con matrices.
C. Resolver ecuaciones matriciales
D. Entender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo por el método de
Gauss.
E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro.
F. Determinar si una matriz cuadrada es o no inversible mediante el cálculo de su rango.
G. Calcular la matriz inversa de una matriz dada a partir de la definición o por el
método de Gauss.
H. Resolver problemas algebraicos utilizando matrices, sus operaciones y propiedades
UNIDAD 2: Determinantes
A. Calcular determinantes de orden 2.
B. Calcular, mediante la regla de Sarrus, determinantes de orden 3.
C. Utilizar las propiedades de los determinantes en el cálculo de determinantes de orden
mayor o igual a 3.
D. Determinar el rango de una matriz mediante el uso de determinantes.
E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro.
F. Determinar, mediante determinantes, si una matriz cuadrada es o no inversible.
G. Utilizar los determinantes para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular.
H. Resolver ecuaciones matriciales en cuyo planteamiento intervienen matrices
regulares de orden menor o igual a 3.
UNIDAD 3: Sistemas de ecuaciones lineales
A. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
B. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales y, si es posible,
resolverlo utilizando la matriz inversa de la matriz de coeficientes.
C. Resolver, mediante la regla de Cramer, sistemas de ecuaciones lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas.
D. Determinar, tanto por Gauss como aplicando el teorema de Rouché, la
compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales, y resolverlos en el caso de ser
compatibles.
E. Resolver sistemas homogéneos.
F. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.
G. Plantear y resolver problemas que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales
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Curso 2015-2016.
UNIDAD 4: Programación lineal
A. Resolver gráficamente inecuaciones lineales con dos incógnitas.
B. Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
C. Determinar y escribir algebraicamente la función objetivo y las restricciones
asociadas a un problema de programación lineal.
D. Determinar los vértices y dibujar la región factible asociada a un conjunto de
restricciones, en la que intervengan dos variables.
E. Resolver problemas de programación lineal con dos incógnitas, dados de forma
meramente algebraica.
F. Resolver problemas de programación lineal, tanto de forma analítica como gráfica,
dados mediante enunciados sencillos.
G. Resolver problemas de programación lineal, dados mediante enunciados
complejos.
UNIDAD 5: Funciones.Límites y continuidad
A. Utilizar funciones, dadas por su expresión algebraica, para expresar y analizar la
dependencia de una magnitud respecto de otra.
B. Operar con funciones dadas por sus expresiones algebraicas.
C. Calcular, por medios algebraicos, límites de funciones.
D. Resolver indeterminaciones del tipo k ; 0 ; ;
; 0·( ) .
0
0
E. Estudiar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
F. Determinar los puntos de discontinuidad de una función, así como el tipo de
discontinuidad.
G. Estudiar la continuidad de una función obtenida a través de operaciones
algebraicas entre funciones elementales o por composición de las mismas.
H. Utilizar el teorema de Bolzano para acotar y aproximar las soluciones de una
ecuación.
I. Aplicar los límites y el estudio de la continuidad de una función en la resolución de
problemas propios de las ciencias sociales.
UNIDAD 6: Derivadas
A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo.
B. Calcular la derivada de una función en un punto aplicando la definición.
C. Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.
D. Calcular la función derivada de funciones elementales.
E. Calcular la función derivada de funciones obtenidas mediante operaciones
algebraicas con funciones elementales.
F. Calcular la función derivada de una función obtenida mediante la composición de
dos o más funciones elementales.
G. Aplicar las derivadas en la resolución de problemas propios de las ciencias
sociales.
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Curso 2015-2016.
UNIDAD 7: Aplicaciones de las derivadas
A. Calcular las derivadas sucesivas de funciones elementales.
B. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función derivable.
C. Determinar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo de una función
derivable.
D. Calcular los máximos y mínimos relativos de una función derivable.
E. Calcular los puntos de inflexión de una función derivable.
F. Resolver problemas de optimización en distintos contextos.
G.Determinar el número de raíces reales de una función polinómica cuya función
derivada es fácilmente factorizable.
UNIDAD 8: Representación de funciones
A. Calcular la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos
aislados en los que no está definida.
B. Calcular las asíntotas de una función.
C. Calcular los puntos de corte con los ejes y el dominio de una función dada por su
expresión algebraica, su gráfica o mediante un enunciado.
D. Estudiar la simetría, la periodicidad y el signo de una función.
E. Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, con radicales,
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, tras hacer un estudio completo de sus
características.
F. Resolver los ejercicios propios de las ciencias sociales que conlleven el estudio, la
representación gráfica o el análisis de la gráfica asociada a la evolución de cierto
fenómeno económico o social.
UNIDAD 9: Integrales
A. Aplicar las propiedades de la integral definida en el cálculo de áreas de recintos
planos.
B. Aplicar la regla de Barrow en el cálculo de integrales definidas.
C. Hallar la integral indefinida de funciones elementales.
D. Hallar una función de la que se conocen su derivada y un punto de su gráfica.
E. Calcular integrales por partes.
F. Efectuar transformaciones elementales en la función (cambios de variable) para
transformar las integrales en inmediatas y resolverlas después.
G. Hallar el área del recinto limitado por una curva y el eje X en un intervalo.
H. Hallar el área del recinto limitado por dos curvas cuyas primitivas sean inmediatas o
casi inmediatas.
I. Resolver problemas propios de las ciencias sociales que requieran el uso de la integral
definida.
UNIDAD 10: Combinatoria
A. Plantear y resolver problemas de recuento que requieran el uso de técnicas o de
métodos sistemáticos.
B. Plantear y resolver problemas de recuento que requieran el uso de técnicas de
combinatoria.
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Curso 2015-2016.
C. Resolver ecuaciones en las que intervengan expresiones combinatorias.
D. Simplificar expresiones numéricas y algebraicas en las que intervengan números
factoriales.
E. Desarrollar la potencia de un binomio mediante la expresión del binomio de
Newton.
F. Obtener un término concreto del desarrollo de la potencia de un binomio.
G. Plantear y resolver problemas de alguna dificultad con ayuda de las técnicas de
recuento.
UNIDAD 11 : Cálculo de probabilidades
A. Formar el espacio muestral y calcular el número de puntos muestrales de un
suceso.
B. Efectuar operaciones con sucesos y aplicar sus propiedades para efectuar
simplificaciones.
C. Identificar funciones de probabilidad definidas en un espacio muestral,
comprobando el cumplimiento de los axiomas, y utilizarlas para obtener la
probabilidad de sucesos compuestos.
D. Asignar probabilidades mediante la regla de Laplace, empleando técnicas de
recuento directo y recursos combinatorios.
E. Determinar si dos sucesos son dependientes o independientes, y calcular la
probabilidad de su intersección.
F. Formar el sistema completo de sucesos asociado a un experimento aleatorio
compuesto y asignar probabilidades a sucesos mediante el teorema de la probabilidad
total.
G. Calcular probabilidades a posteriori.
UNIDAD 12: Las distribuciones binomial y normal
A. Obtener la función de probabilidad de una v. a. d.
B. Calcular los parámetros de una v. a. d., media o esperanza matemática, varianza y
desviación típica.
C. Obtener, a partir de la función de densidad, la función de distribución de una
variable aleatoria continua (v. a. c.), y viceversa.
D. Calcular probabilidades de intervalos en una v. a. c. y determinar sus parámetros.
E. Resolver problemas de v. a. d. que siguen una distribución B(n, p).
F. Resolver problemas de v. a. c. que siguen una distribución N( , ).
G. Determinar si una variable aleatoria discreta que siga una distribución B(n, p)
puede ajustarse mediante una normal.
H. Utilizar la distribución normal para calcular probabilidades surgidas en un caso
binomial.
UNIDAD 13: El muestreo estadístico
A. Obtener muestras aleatorias de una población, explicando la técnica utilizada.
B. Determinar la proporción de individuos de cada estrato en un muestreo
estratificado.
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Curso 2015-2016.
C. Efectuar un muestreo sistemático en una población.
D. Calcular proporciones en forma de fracción, en forma decimal como tanto por uno
y en porcentaje.
E. Calcular la probabilidad de que una proporción aparezca en una muestra de tamaño n
entre dos valores determinados.
F. Conocidas la media y la desviación típica de una población, determinar la
probabilidad de que la media de una muestra de tamaño n se encuentre entre dos
valores determinados.
G. Establecer la distribución que siguen las sumas muestrales cuando se conocen la
media y la desviación típica poblacionales.
H. Determinar cómo se distribuye la diferencia de las medias muestrales en muestras
de tamaño n.
UNIDAD 14: Intervalos de confianza
A. Obtener los valores críticos – z y
2
mediante una tabla de la N(0, 1) para
z
2
cualquier nivel de significación .
B. Hallar el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional p en una
B(n, p), a partir del estadístico p̂ obtenido de una muestra de tamaño n con distintos
niveles de confianza.
C. Determinar un intervalo de confianza para la media poblacional, cuando se conoce
la desviación típica de la población y una muestra con un nivel de significación
determinado .
D. Obtener un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales.
E. Calcular, para una muestra de tamaño n y un nivel de significación , el error
máximo admisible.
F. Calcular, para una muestra de tamaño n y un error máximo admisible E, el nivel de
significación .
G. Determinar el tamaño mínimo de la muestra para un error máximo admisible E y
un nivel de significación .
UNIDAD 15: Contraste de hipótesis
A. Escribir la hipótesis nula y la hipótesis alternativa de un contraste de hipótesis.
B. Efectuar un contraste para la proporción de una distribución normal tomando como
estimador de contraste p̂ la proporción obtenida de la muestra.
C. Contrastar la media de una población normal cuando se conoce la desviación típica
poblacional.
D. Contrastar la media de una población normal cuando no se conoce la desviación
típica poblacional.
E. Distinguir entre los errores de tipo I y de tipo II al efectuar un contraste.
F. Calcular la probabilidad de cometer un error de tipo I.
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Curso 2015-2016.
10. MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
Dentro de la atención a la diversidad nos encontramos con tres grupos de alumnos:
a) Aquellos que tienen "handicaps" psíco-físicos o ambientales, cuyo aprendizaje se debería
planificar conjuntamente entre un profesor de apoyo a la integración y el profesor de la
asignatura, en los aspectos en que se integre. En estos casos es necesario elaborar una
diversificación curricular que valore la situación de partida de la persona y sus déficits en
capacidades más notables.
b) Los alumnos que por su historia educativa, perfil psico-ambiental o procedencia ambiental
requieran un refuerzo en matemáticas para desarrollar las capacidades mínimas en forma de
adaptación curricular individualizada.
c) Aquellos cuyas capacidades cognitivas les permitan alcanzar más rápidamente los niveles
de aprendizaje de la media del grupo-clase.
Una correcta atención a la diversidad en el aula implica tener en cuenta una serie de aspectos:




El distinguir entre contenidos mínimos y complementarios, de ampliación o
refuerzo, graduando las distintas actividades que se pueden realizar en torno a un
mismo contenido.
El disponer de material didáctico diversificado.
El proponer actividades diferenciadas según que tipo de alumnos a los que van
dirigidas.
El utilizar diferentes metodologías.
Los materiales curriculares elegidos por este departamento responden a los citados aspectos,
facilitando al profesorado actividades variadas dirigidas a los diferentes momentos del proceso
de enseñanza y aprendizaje, con atención especial a los distintos ritmos y niveles que se dan en
el grupo, para que sea el profesor el que seleccione aquellas que mejor se adapten a las
características de su alumnado. Dichas actividades se clasifican en:





Actividades de introducción a los temas: Con ellas se pretende conocer las ideas
previas, opiniones o errores conceptuales que tienen los alumnos sobre los
contenidos que se van a desarrollar.
Actividades de desarrollo: Para que descubran, practiquen y asimilen los nuevos
contenidos y construyan sus conocimientos.
Actividades de síntesis: Para favorecer el enfoque globalizador y facilitar la relación
entre los contenidos ya conocidos y los nuevos.
Actividades de refuerzo: Para consolidar los conceptos y procedimientos que los
alumnos no hayan alcanzado de forma satisfactoria.
Actividades de ampliación y profundización: Enriquecen la visión de los alumnos
sobre los contenidos estudiados.
Para atender a la diversidad, cada unidad didáctica debe iniciarse especificando los
conocimientos previos que dicha unidad requiere, una vez que el profesor ha detectado los
distintos niveles de conocimientos. La atención a la diversidad se contemplará desde dos puntos
de vista:

Por una parte, se ofrecerá una gran variedad de contextos no matemáticos que puedan
servir de motivación y punto de partida a distintos alumnos y alumnas, bien por su
diferente interés, bien por la distinta familiarización que tengan con el contexto.
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.

Por otra parte, también se atiende a la diversidad en el planteamiento de las actividades.
Por eso se proponen actividades básicas de refuerzo y actividades de ampliación y
profundización.
Las adaptaciones curriculares significativas, cuando sean precisas se realizarán personalmente
para cada alumno por el profesor correspondiente con la supervisión y aprobación del
Departamento. Las alteraciones que cabe realizar en la programación son de tres tipos:



Temporalización, es decir, ralentizar la enseñanza.
Objetivos y contenidos. Se deben marcar unos objetivos a corto plazo y hacer una
selección de los contenidos correspondientes, procurando que estos queden afianzados.
Metodología, antes que reducir los contenidos u objetivos, habrá que plantearse si una
variación de la metodología con dichos alumnos sería suficiente para resolver el
problema.
La misma definición del Proyecto Curricular y de sus concreciones curriculares constituye una
medida de atención a la diversidad. Por otro lado, su desarrollo en las programaciones didácticas y
en sus unidades didácticas generará un conjunto de propuestas que favorezcan la adaptación a los
intereses, capacidades y motivaciones de los alumnos respetando siempre un trabajo común de base
e intención formativa global que permita la consecución de las competencias básicas y de los
objetivos de cada curso y de la Etapa.
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Curso 2015-2016.
11. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES PROPUESTAS
El Departamento de Matemáticas fomentará la participación de los alumnos en aquellas
convocatorias provenientes de diferentes organismos e instituciones, dirigidas a
alumnos de este curso, siempre que se consideren positivas para completar y extender su
cultura matemática y su aprecio por la proyección económica y social de esta disciplina.
En particular, como en cursos anteriores, se ofrecerá a todos los alumnos de este curso
que lo deseen, la información y el asesoramiento preciso para que puedan participar en
la Olimpiada Matemática organizada por la Real Sociedad Matemática Española que
habitualmente se celebra al comienzo del segundo trimestre, la Olimpiada de Estadística
y el Concurso Incubadora de sondeos que organiza la Universidad de Oviedo.
12. EVALUACIÓN DEL DESARROLLO DE LA PROGRAMACIÓN Y LA PRÁCTICA
DOCENTE
En las reuniones semanales del departamento se seguirá este desarrollo y se adoptarán
las medidas correctivas que fueran precisas para su satisfactoria ejecución.
13. INFORMACIÓN A LOS ALUMNOS
En las primeras semanas del curso cada profesor informará a sus alumnos de los
siguientes apartados de la Programación: contenidos , criterios de evaluación,
procedimientos de evaluación, mínimos exigibles y criterios de calificación.
Así mismo se pondrá en conocimiento de los alumnos que la Programación del
Departamento está a su disposición o a la de sus padres o tutores legales en la página
WEB de centro, en la Biblioteca y en el propio Departamento.
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Programación Matemáticas CC.SS.II
Curso 2015-2016.
14. ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º
PENDIENTES
Los alumnos de 2º de Bachillerato, que tienen las Matemáticas de 1º pendientes estarán
a cargo de un profesor del Departamento.y que tendrán una hora semanal de clase
impartida por dicho profesor.
El Departamento de Matemáticas establece que el plan que debe de seguir el
alumno para superar la asignatura de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I, es
el siguiente:
El alumno deberá realizar trimestralmente una relación de ejercicios
correspondientes a cada uno de los temas del programa de la asignatura.
En la fecha que se indique el alumno entregará los ejercicios y responderá a
determinadas cuestiones con el objeto de de comprobar que ha superado las dificultades
que tenia. Si demuestra que ha superado estas deficiencias, superará la asignatura y su
nota será de 5.
En el caso de que alumno no realice los ejercicios, no demuestre que superado
las deficiencias que presentaba o desea una nota superior a 5, tendrá que realizar una
prueba escrita que se basará en los ejercicios entregados al profesor.
Después de finalizar cada trimestre, el profesor realizará una recuperación para
aquellos alumnos que no obtengan un 5.
El alumno aprueba la asignatura si la nota media de las notas trimestrales es
mayor o igual que 5. Esta nota trimestral será la mejor de las notas de cada trimestre. En
caso contrario, realizará un examen final de toda la asignatura. Si en dicho examen
continua sin alcanzar un 5 deberá realizar una prueba extraordinaria en junio.
15. ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO QUE PERMANECEN UN AÑO MAS EN 2º
CURSO
Para los alumnos repetidores que obtuvieron una calificación negativa en la materia el
curso anterior, el profesor correspondiente recabará información sobre los antecedentes
académicos del alumno de los cursos anteriores. Cada profesor elaborará un plan
específico personalizado, orientado a la superación de las dificultades detectadas el
curso anterior.
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