UNIDAD N°8 EXTRA RESUMEN DE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES 17 DE AGOSTO DE 2015

República de Panamá
Ministerio de Educación
Tel.: 958-5804
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________
Sección:  Bachiller  S. C. Industrial
Especialidad: _______________________________
RESUMEN DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 8
Las Funciones y sus Gráficas
1. CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES REALES f : RR: Las funciones reales se clasifican en
funciones elementales (o funciones analíticas) y funciones no elementales. Las funciones
elementales o funciones analíticas son aquellas funciones en que la correspondencia entre los
valores dados de la variable independiente “ x ” y los valores de la variable dependiente “ y ” vienen
dados por fórmulas matemáticas. Además, estas se subdividen en funciones: algebraicas y
trascendentes (o trascendentales). Las funciones algebraicas, a su vez se clasifican en: funciones
racionales y funciones irracionales, y las racionales; a su vez en funciones enteras (que son las
polinómicas) y las funciones fraccionarias.
Se dice que una función es algebraica cuando la variable independiente “ x ” puede expresarse en
términos finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y radicaciones, y cuando no
es algebraica se le denomina función trascendente (y sus principales son exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas).
A continuación un esquema sobre la clasificación de las funciones reales:
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente x son:
la adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas según sus operaciones se puede clasificar en: explícitas e implícitas.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
1


Las funciones explícitas: son aquellas funciones en donde se pueden obtener las imágenes de x
por simple sustitución, por ejemplo: f x  3x  1.
Las funciones implícitas: son aquellas funciones en donde no se pueden obtener las imágenes de
x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones, por ejemplo: 3x  y  1  0 .

2 LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN: Si x e y son números reales, entonces el par ordenado x, y  o
bien x, f x para x  X está identificado con un punto en el plano cartesiano.
La gráfica de
función f x  es el conjunto de todos esos puntos en el plano que forman la representación, y esta
proporciona una representación geométrica de la función.
Observación: La gráfica es una herramienta muy útil para visualizar propiedades y comportamientos de una función.
3 REGLA DE LA RECTA O REGLA DE LA LÍNEA VERTICAL: Existen criterios visuales para decidir
si una gráfica en el plano cartesiano representa una función o no. Según el teorema: “Si toda recta
paralela al eje Y , intercepta o corta a la gráfica a lo más en un punto, dicha gráfica será la
representación de una función”. Esto significa que, no son funciones (en sentido estricto) aquellas
gráficas que son cortadas más de una vez por alguna línea vertical.
La gráfica de una función f es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen
a la función Gra  f   x, y  R 2 : y  f x ; x  Dom  f  .
¿Cuáles de éstas gráficas no corresponden a una función? y ¿Por qué?
Explicación: Las gráficas 2 y 3 son funciones, porque son cortadas una sola vez por una línea vertical, además,
para cada valor de x (variable independiente) le corresponde un único valor imagen y (variable dependiente). Y las
gráficas 1 y 4 no son funciones, porque son cortadas en más de un punto por una línea vertical. Además, los
valores de la variable independiente x , le corresponde más de un valor de la variable dependiente, lo que
contradice la definición de función.
En conclusión, la gráfica de una función está formada por todos los puntos x, f x , del plano donde x
pertenece al dominio de f y se denota por f x  .
4 FUNCIÓN POLINÓMICA: Sea “ n ” un entero, la función: a n x n  a n  1 x n  1  a 2 x 2  a1 x  a 0 se llama
polinomio de grado n . Los números a n se llaman coeficientes dominantes y a 0 se denomina término
constante
del
polinomio.
Las
funciones
polinómicas
son
de
la
forma:
n
n 1 n 1
2
2
n 1
n




f x  a n x  a x  a 2 x  a1 x  a 0 ó
f x  a 0  a1 x  a 2 x    a
 an x
en
donde
a0 , a1 , a 2   a n son números reales.
El dominio de una función polinómica es cualquier número real, es decir, son todos los números reales.
A continuación, la notación de algunas funciones polinómicas según su orden:
GRADO
NOTACIÓN
FUNCIÓN
f  x   a 0 ó f x   a ó f x   k
Cero
Constante
Uno
f x   a1 x  a0 ó
f x  ax  b ó
Uno
f x  a1 x
f x   x
Dos
f  x   a 2 x 2  a1 x  a 0 ó
Tres
f  x   a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a 0
Uno
ó
f x   ax ó
f x  mx  b
f x   mx
f x   ax 2  bx  c
ó
f x   ax 3  bx 2  cx  d
Lineal afín
Lineal
Identidad
Cuadrática
Cúbica
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2
4.1 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA: El dominio de una función polinómica (ya sea lineal,
cuadrática, cúbica, etc.) es todo el conjunto de los números reales.
El dominio implícito de la función es el que se sobre entiende de la función (por definición); mientras que
el dominio explícito de la función es el que proviene de ella, el que se asigna o se da, tal como se
muestra en la siguiente tabla:
EJEMPLO
FUNCIÓN
DOMINIO IMPLÍCITO
DOMINIO EXPLÍCITO
f  x   3x  4
Lineal
f x   x 2  7 x  12
Cuadrática
  ,  
  ,  
  ,  
4 x5
 2  x 1
1  x  2
Cúbica
f x   2 x 3  4 x 2  2 x  1
x2
f x   2
R   2 
 6  R  6    2
Racional
x 4
Para representar una función en el plano cartesiano, se debe considerar los siguientes aspectos: el
dominio o campo de existencia, los cortes con los ejes de coordenadas (o puntos de intersección), el
signo de la función, las regiones de existencia, la simetría de la gráfica, los intervalos de
crecimiento y la relación con otras funciones conocidas.
A continuación la representación de algunas funciones polinómicas básicas:
5 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES ALGEBRAICAS
5.1 LAS FUNCIONES POLINOMIALES: Las funciones polinómicas o funciones polinomiales se
clasifican a su vez en: función constante, función lineal afín, función idéntica, función cuadrática,
función cúbica.
5.1.1 FUNCIÓN CONSTANTE: es una función polinómica de grado cero, es de la forma: f x   a0 ó
f x   c ó f x   k en donde a 0 ó c ó k es un número real. El dominio de la función constante son
todos los números reales (todo R) ó  ,   ; y el codominio es el valor de la constante o del número
c ( a 0 ó k ). La gráfica de una función constante es una recta horizontal paralela al eje X que pasa por
el número c ( a 0 ó k ).
Ejemplo 1: Dada f x   3 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: para cualquier valor de x la imagen es la misma:
f  4   3
f  3  3
f  2   3
f  1  3
f 0   3
f 1  3
f 2   3
f 3  3
f 4   3
f 5  3
Tabla de valores:
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3
5.1.2 FUNCIÓN LINEAL O FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA: es una función
polinómica de grado uno, es de la forma: f x  a x ó f x   mx ; con a  0 ó m  0 . En donde dicho
cociente m recibe el nombre de constante de proporcionalidad (la pendiente) Si m  0 la función
es creciente y si m  0 la función es decreciente.

Su dominio y codominio son todos los números reales ó  ,   . Su gráfica es siempre una línea
recta que pasa por el origen. Como su nombre lo indica, la función de proporcionalidad directa o
función lineal f x   mx relaciona dos magnitudes directamente proporcionales, es decir, tales que
su cociente es constante.
Ejemplo 2: Dada f x   3x , determine su Ejemplo 3: Dada f x   2 x , determine su
dominio, codominio y grafíquela.
dominio, codominio y grafíquela.
Solución:
Solución:
f  2   2 2  4
f  1   3 1  3
f  1  2 1  2
f 0   30  0
f 0   20   0
f 1   31  3
f 1  21  2
f 2   22   4
Tabla de valores:
Tabla:
5.1.3
FUNCIÓN LINEAL AFÍN: es una función polinómica de grado uno, es de la forma:
f x   a1 x  a0 ó f x  mx  b ; en donde m y b son números reales. Siendo m una constante que
se denomina pendiente y b una constante denominada ordenada en el origen. Su dominio y
codominio son todos los números reales. Su gráfica es una línea recta cuya pendiente es m , que pasa
por el punto 0, b , pero que no pasa por el origen.
Ejemplo 4: Dada f x   3x  6 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  30  6  0  6  6
 P0, 6
2) Buscando el punto de intersección con el eje X haciendo
y0
0  3x  6
 6  3x  3x   6  x 
6
 2
3

Ejemplo 5: Dada f x   6 x  3 , determine su
dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección
con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  60  3  0  3   3
 P0,  3
2) Buscando el punto de intersección con el eje X ,
haciendo y  0
P 2, 0
Ejemplo 6: Dada f x   4  2 x , determine su
dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando el punto de intersección
con el eje 87
Y , haciendo x  0
y  f 0  4  20  4  0  4
 P0, 4
2) Buscando el punto de intersección con el eje
X , haciendo y  0
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4
0  6x  3  6x  3  x 
3 1

6 2
1 
 P , 0 
2 
0  4  2x  2x  4 
x
4
2
2
 P2, 0 
5.1.4 FUNCIÓN IDÉNTICA O FUNCIÓN IDENTIDAD: es una función lineal especial de la forma:
f x   x ó y  x . Su gráfica es una línea recta que divide en dos partes iguales a los cuadrantes:
primero y tercero, es decir, es bisectriz del primer y tercer cuadrante. El nombre idéntica se debe a
que, el mismo valor que recibe x , lo recibe y .
Ejemplo 7: Dada f x   x , determine su dominio, codominio y
grafíquela.
Solución: Su dominio y codominio son todos los números reales ( R) ó
 ,   .
La función f x   x es una función creciente y siempre pasa por el
punto 0, 0 . Es una función simétrica con respecto al origen (es una
función impar).
La función f x    x es opuesta a la función idéntica, es una función
decreciente y siempre pasa por el punto 0, 0 , y divide el segundo y
cuarto cuadrante.
5.1.5
FUNCIÓN CUADRÁTICA: es una función polinómica de grado dos, es de la forma:
f x   a 2 x 2  a1 x  a0 ó f x   ax 2  bx  c , con a  0 . La representación gráfica de la función
cuadrática es una parábola vertical, que tiene como eje de simetría la recta que pasa por el vértice
(que es el punto más alto o más bajo de la parábola) y es paralela al eje Y . Su forma (hacia arriba,
2
hacia abajo, más ancha, más estrecha,...) depende del coeficiente de x , es decir depende del valor
de “ a ”, del siguiente modo:
 Si a  0 (si a es positivo), la parábola abre hacia arriba, es convexa (o cóncava hacia
arriba), y el vértice es un mínimo absoluto.
 Si a  0 (si a es negativo), la parábola abre hacia abajo, es cóncava hacia abajo, y el vértice
es un máximo absoluto.
Observación: Cuanto mayor sea
a
, más estilizada es la parábola.
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5
En f x   ax  bx  c el parámetro c indica el único punto de intersección (o de corte) de la parábola
con el eje Y , que es el punto 0, c  .
Para graficar la función cuadrática son suficientes tres puntos estos son: La intersección con el eje X ,
la intersección con el eje Y , y las coordenadas del vértice de la parábola.
 La intersección con el eje Y , se hace x  0 y se calcula f 0  c entonces el punto es 0, c  .
2
2
 La intersección con el eje X , se hace y  0 y se resuelve el trinomio f x   ax  bx  c .
Para resolver el trinomio, se resuelve la ecuación: ax  bx  c  0 por cualquiera de los métodos
conocidos (factorización), o se puede utilizar la fórmula general de la ecuación cuadrática:
2
 b  b 2  4ac
x
2a
, y las soluciones o raíces que se obtienen son: x1 y x 2 que nos dará las
abscisas de los puntos de intersección con el eje X , es decir los puntos: x1 , 0 y x2 , 0 . Si aplicamos
la
fórmula
x2 
general
 b  b 2  4ac
2a
Observación: En el eje
de
segundo
grado,
las
raíces
serán:
x1 
 b  b 2  4ac
y
2a
.
X
, cuando se busca la intersección, puede haber dos puntos, uno o ninguno, según que
la ecuación
ax 2  bx  c  0 , tenga dos, una o ninguna solución real.
Para la representación de la parábola, escogemos sobre los ejes unas escalas adecuadas que nos
permitan plasmar la información obtenida. El signo de la parábola, serán aquellos valores del dominio
para los cuales la función será positiva o negativa.
 El vértice de la parábola es el único punto en que la tangente a ella, es una recta paralela al el eje
X . Es un punto crítico, porque puede ser el punto más bajo (un mínimo) o más alto (un máximo)
de la parábola.
 Para encontrar el vértice de la parábola determinamos su abscisa con la fórmula: x  h  
b
y la
2a
ordenada, la obtenemos evaluando en la función cuadrática el valor de la abscisa; es decir:
 b 
2
y  k  f 
 la reemplazamos en: y  f x   ax  bx  c
 2a 
2
 b 
 b 
 b 
y  f     a     b    c
 2a 
 2a 
 2a 
 b2  b2
b2 b2
b 2  2b 2  4ac  b 2  4ac 4ac  b 2
y  a  2  
c

c


4a 2a
4a
4a
4a
 4a  2a
Esto significa que podemos obtener la ordenada del vértice, sustituyendo los valores a , b y c en
 b 4ac  b 2 
4ac  b 2
 . De
,
; luego las coordenadas del vértice de la parábola serán: V   
4a
2
a
4
a


manera general las coordenadas del vértice se pueden expresar como el punto: V h, k 
El dominio de la función cuadrática son todos los números reales (todo R) ó  ,   , y el codominio
yk
dependerá de la ordenada del vértice de la parábola.
 Si a  0 , el codominio de la función cuadrática es el intervalo que va desde la ordenada del vértice

hasta el infinito positivo, es decir, k ,  
Si a  0 , el codominio de la función cuadrática estará formado por el intervalo que viene desde el
infinito negativo hasta la ordenada del vértice, es decir,  , k 
Observación: En conclusión, podemos decir que para encontrar el dominio y el codominio de la función cuadrática, debemos
recordar lo siguiente:
k ,   si a  0 siendo
Dom( f )  R ; Cod ( f )  

  , k  si a  0
k
la ordenada del vértice de la parábola.
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6
Ejemplo 8: Dada f x   x , determine su dominio, codominio y
grafíquela.
Solución: 1) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k  Si a  1 ,
b0 y c0
2
h
0  0  0
b

2a
21 2
k  f 0  0  0  V 0, 0
2
2) Buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0
y  f 0  0  0
 P0, 0
2
3) Buscando el punto de intersección con el eje X , haciendo y  0
0  x2
x2  0
 x  0  P0, 0 
4) Buscando otros puntos
y  f  2   2  4
 P 2, 4
y  f  1   1  1
 P 1, 1
y  f 1  1  1
 P1, 1
y  f 2  2  4
 P2, 4
2
2
2
2
Ejemplo 9: Dada f x   x  2 x  3 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
2
Solución: 1) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k 
Si a  1 , b   2 y c   3
xh
 2  2  1
b

2a
21 2
y  k  f h   f 1  1  21  3  1  2  3   4  V 1,  4
2
Otra forma de encontrar la ordenada del vértice es utilizando
2
la fórmula: k  4ac  b
4a
4ac  b
41 3   2
 12  4  16
k



 4
4a
41
4
4
2) Buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo
x0
2
2
y  f 0  0  20  3  0  0  3   3  P0,  3
2
3) Buscando el punto de intersección con el eje X ,
haciendo y  0
0  x 2  2x  3
0  x  3x  1
x  3  0 ; x 1 0
x3
 P3, 0 
 P 1, 0 
x  1
Ejemplo 10: Dada f x   x  1 , determine su dominio,
codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k 
Si a  1 , b  0 y c   1
0  0  0
b
xh

2a
21 2
2
y  k  f 0  0  1  0  1   1
2
 V 0,  1
2) Buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0
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7
y  f 0  0  1  0  1   1
 P0,  1
2
3) Buscando el punto de intersección con el eje X , haciendo y  0
0  x2  1
0  x  1x  1
 P1, 0 
x 1 0 ; x 1 0
x 1
 P 1, 0 
x  1
Ejemplo 11: Dada f x   x  4 x  3 , determine su
dominio, codominio y grafíquela.
Solución: 1) Buscando las coordenadas del vértice:
V h, k  Si a  1 , b   4 y c  3
2
xh
 4  4  2
b

2a
21 2
k  f h   f 2  2  42  3  4  8  3   1
2
V 2,  1

2) Buscando el punto de intersección con el eje Y ,
haciendo x  0
y  f 0  0  40  3  0  0  3  3
 P0, 3
3) Buscando el punto de intersección con el eje X ,
haciendo f x   0
0  x 2  4x  3
0  x  3x  1
x  3  0 ; x 1 0
 P3, 0 
2
x3
 P1, 0 
x 1
Ejemplo 12: Dada f x   4  x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
2
Solución: 1) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k  Si a   1 , b  0 y c  4
xh
0  0  0
b

2a
2 1  2
y  k  f 0  4  0  4  0  4
2
 V 0, 4
2) Buscando el punto de intersección con el eje Y ,
haciendo x  0
y  f 0  4  0 2  4
 P0, 4
3) Buscando el punto de intersección con el eje X ,
haciendo y  0
0  4  x2
0  2  x 2  x 
2 x0;
x2
 P2 , 0 
2 x0
 P 2 , 0 
x2
x2
Ejemplo 13: Dada f x   2 x  5x  3 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
2
Solución: 1) Buscando las coordenadas del vértice: V h, k 
Si a  2 , b  5 y c   3
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8
h
5   5
b

2a
22
4
 5
 k  f  
 4
25  50  24 25  74
25 25
49
49 
 5
 5
 25  25
 5
k  2     5    3  2  
3

3


 V ,  
4
4
16
4
8
4
8
8
8
4
8 




 

2) Buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0
2
y  f 0  20  50  3  0  0  3   3
 P0,  3
2
3) Buscando el punto de intersección con el eje X , haciendo y  0
Aplicando la fórmula general: x 
b 
b2  4 a c
2a
Si a  2 , b  5 y c   3
x
b
b2  4 a c
2a
 5  25  24

 5  5 2  4 2 3
2 2
 5  49  5  7

4
4
4
5  7 2 1
 
Entonces: x1 
y
4
4 2
 5  7  12
x2 

 3
4
4
x

0  2 x 2  5x  3
0  x  3 2 x  1
1 
 P  , 0
2 
x  3  0 ; 2x  1  0
x3
5.1.6
x
FUNCIÓN
 P  3, 0
1
2
polinómica de grado tres, es de la forma:
f x   a3 x  a 2 x  a1 x  a0 ó f x   ax  bx  cx  d , con a  0 , a, b, c, d  R . Su dominio y
codominio son todos los números reales.
Es una función creciente, y su gráfica es simétrica con respecto al origen. Es una función impar, y pasa
por el punto 0, 0 .
3
CÚBICA:
es
una función
3
2
2
Ejemplo 14: Dada f x   x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Generamos una tabla de valores y verificamos su domino y codominio.
3
y  f  2   2   8  P 2,  8
3
y  f  1   1   1
 P 1,  1
y  f 0  0  0
 P0, 0
y  f  12    12  
 P 12 ,
3
3
3
1
8
1
8

y  f 1  1  1
 P1, 1
y  f 2  2  8
 P2, 8
y  f 3  3  27
 P3, 27 
3
3
3
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9
5.2 LAS FUNCIONES RACIONALES: Sean g y h dos funciones polinomiales de R en R. Diremos que
g x 
;
h x 
f : RR es una función racional1 si: f x  
hx   0 donde g x  y h x son funciones
polinomiales.
Si el grado de g x  hx la función racional es impropia, pero si es g x  hx la función racional es
propia.
El dominio de la función racional es el conjunto de todos los números reales, excepto aquellos valores
donde el denominador hx  no se hace cero al denominador D = {x  R / hx   0 }
El codominio de la función racional se encuentra valorizando el valor x (excluido del dominio) en la
función factorizada.
Ejemplo
15:
Dada
x 2  2x  8
f x  
x4
,
determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución:
Para el dominio: x  4  0
Ejemplo
Para el codominio:
x  2 x  8 x  4x  2
f x  

x4
x4
f x   x  2
f 4  4  2  6  C f    , 6  6,   
x 2  x  12 x  4x  3
f x  

x4
x4
f x   x  3
f  4   4  3   7
C f    ,  7    7 ,   
2
f 0  0  2  2

 P0, 2
Buscando el punto de intersección con el
eje X , haciendo y  0
0  x  2  x  2
 P 2, 0
,
x40
x   4  D f    ,  4   4,   
Para el codominio:
Para graficar la función factorizada:
 Buscando el punto de intersección con el
eje Y , haciendo x  0
Dada
determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución:
Para el dominio: x  4  0
x40
x  4  D f    , 4  4,   
El punto P  4, 6 es un punto abierto, se
excluye de la gráfica.
16:
x 2  x  12
f x  
x4
El punto P   4,  7 es un punto abierto, se
excluye de la gráfica.

Para graficar la función factorizada:
Buscando el punto de intersección con el eje
Y , haciendo x  0
f 0  0  3   3

 P0,  3
Buscando el punto de intersección con el eje
X , haciendo y  0
0  x 3 x 3
 P3, 0
1 Esta función se origina como la razón de dos polinomios.
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10
Ejemplo 17: Dada f  x  
1
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
x
Solución: Esta función es una función racional de proporcionalidad inversa, también se le conoce
como función recíproca, en donde su dominio no puede ser cero, ya que la división por cero no existe,
además su codominio no puede ser cero, puesto que el valor de la función nunca es cero. La gráfica de
esta función recibe el nombre de hipérbola equilátera.
Su dominio y codominio son respectivamente: D f    , 0   0 ,    y el C f   , 0  0,    .
Para la gráfica de f  x  
variable “ x ”, así:
1
f  3 
  0,3
3
1
f  2  
  0,5
2
1
f  1 
 1
1
1
f 3   0 ,3
3
1
, daremos valores a la
x
f 2 
1
 0,5
2
1
f 1   1
1
De acuerdo a la forma como está definida la función y
observando su representación gráfica, podemos
concluir lo siguiente:
1
i) Como  0 para todo número real x , la curva
x
no corta al eje X .
ii) Como f 0 no existe, la curva no corta al eje
Y.
iii) El
dominio
y
codominio
es
Dom
f
 Cod
f
 R  0
iv) Conforme le damos valores a x cada vez más
pequeños, a través de valores mayores que cero, los valores de f crecen sin límite.
v) Conforme le damos valores a x cada vez más grandes, a través de valores mayores que cero, los
valores de f decrecen sin límite.
vi) Si x crece, los valores de f se aproximan a cero.
vii) Los ejes X e Y son asíntotas de la curva.
Ejemplo 18: Dada f  x  
8
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
4x  9
Solución: Esta función es una función racional de proporcionalidad inversa, es racional propia, luego
8
buscando el punto de intersección con el eje Y , haciendo x  0 , observamos que f 0  
lo que
9
8
1
 8
significa que la gráfica corta al eje Y en el punto P  0,  y como
 0  0 para todo número
x
4x  9
 9
real x , la curva no corta al eje X . Si simplificamos (dividiendo todos sus miembros entre 4) la función nos
2
quedará así: f  x  
, por lo tanto la representación gráfica de la función f es una traslación
9
x
4
9
2
vertical
unidades hacia la izquierda, de la representación gráfica de f  x  
en la cual se observa
4
x
9
que el eje X y la recta cuya ecuación es x   son las asíntotas de la curva.
4
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11
Para la gráfica de f  x  
8
, daremos valores a la variable “ x ”, así:
4x  9
8
8
8
f  8 


  0,3
4 8  9  32  9  23
8
8
8
f  6 


  0,5
4 6  9  24  9  15
8
8
8
f  4 


  1,1
4 4  9  16  9  7
8
8
8
f  2 

 8
4 2  9  8  9 1
8
8
8
f  1 

  1,6


4 1  9  4  9 5
8
8
8
f 0 

  0,9
40  9 0  9 9
8
8
8
f 1 


 0,6
41  9 4  9 13
8
8
8
f 2 


 0,5
42  9 8  9 17
8
8
8
8
8
8
f 4 


 0,3
f 6 


 0,2
44  9 16  9 25
46  9 24  9 33
5.3 LAS FUNCIONES IRRACIONALES O FUNCIONES RAÍZ DE POLINOMIO O FUNCIONES CON
RADICALES: Esta función tiene la forma: f x   n P( x) donde P x  es un polinomio, n representa
un número natural tal que: n  2 En este tipo de funciones existen dos casos:
1) Si n es un número par las raíces sólo existirán si el polinomio que está dentro del signo radical es
cero ó positivo. Por lo tanto para encontrar el dominio debemos tener presente que:
 Si f x  
g x  , y g x es una función lineal, el dominio es resolver la desigualdad lineal
g x  0 , y el codominio es el intervalo 0,  .
 Si f x  
g x  , y g x es una función cuadrática, el dominio es resolver la desigualdad
cuadrática g x  0 y el codominio puede variar.
2) Si n es un número impar, tanto el dominio como el codominio estarán formados por el conjunto de
todos los números reales.
A la función irracional, también se le conoce como función raíz de polinomio o función de dominio
restringido.
Ejemplo 19: Dada f x   x  1 , determine su
dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio:
x 1 0
x  1
 Dom f   1,   y por
definición: Cod f  0,  
Para la gráfica de f x   x  1 , debemos darles
valores a la variable “ x ”, considerando el dominio:
f  1   1  1  0  0
f 0  0  1  1  1
f 3  3  1  4  2
f 8  8  1  4  2
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
12
Ejemplo 20: Dada f x   x  1 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio:
x 1 0
 Dom f  1,   y por
x 1
definición: Cod f  0,  
Para la gráfica de f x   x  1 , debemos darles valores a
la variable “ x ”, considerando el dominio:
f 1  1  1  0  0
f 2  2  1  1  1
f 3  3  1  2  1,4
f 4  4  1  3  1,7
f 5  5  1  4  2
Ejemplo 21: Dada f x   4  2 x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio: 4  2 x  0
 2x   4
 1  2 x   4
4
 x2
2
Entonces, Dom f   , 2 y por
definición: Cod f  0,  
2x  4  x 
Para la gráfica de f x   4  2 x , debemos
darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio:
f 2  4  22  4  4  0  0
f 1  4  21  4  2  2  1,4
f 0  4  20  4  0  4  2
f  1  4  2 1  4  2  6  2,4
f  2  4  2 2  4  4  8  2,8
Ejemplo 22: Dada f x  
x 2  3x  10 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio: x 2  3x  10  0
x  5x  2  0
Buscando, los puntos críticos: x  5  0
;
x  5
Los puntos críticos son:  5
x20
x2
y 2
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13
Si
x  7
 x  5  x  2   0
 7  5  7  2  0
 2   9  0
Si
x 1
 x  5  x  2   0
1  5 1  2  0
6   1  0
x 4
Si
 x  5  x  2   0
4  54  2  0
9  2  0
18  0  V
60  F
Entonces el dominio y el codominio es: Dom f   ,  5  2,  
18  0  V
y Cod f  0,  
Para la gráfica de f x  
x 2  3x  10 , debemos darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio: Para el intervalo:  ,  5
f  5 
 52  3 5  10  25  15  10  25  25  0  0
2
f  6   6  3 6  10  36  18  10  36  28  8  2,8
2
f  7    7   3 7   10  49  21  10  49  31  18  4,2
2
Para el intervalo: 2,   f 2  2  32  10  4  6  10  10  10  0  0
2
f 3  3  33  10  9  9  10  18  10  8  2,8
2
f 4  4  34  10  16  12  10  28  10  18  4,2
Ejemplo 23: Dada f x   1  x 2 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Para el dominio: 1  x 2  0
1  x1  x  0
Buscando, los puntos críticos: 1  x  0
x  1
;
1 x  0
 x  1 
Los puntos críticos son:  1 y 1
Si x   4
Si x  0
1  x 1  x  0
1   4 1   4  0
1  4 1  4  0
 3 5  0
1  x 1  x  0
1  0 1  0  0
1  1   0
1 0 V
x 1
Si x  2
1  x 1  x  0
1  2 1  2  0
3  1  0
3 0 F
 15  0 F
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
14
Para la gráfica de f x   1  x 2 , debemos
darles valores a la variable “ x ”, considerando
dominio:
Para el intervalo:  1, 1
el
f  1  1   1  1  1  0  0
2
f 0  1  0  1  0  1  1
2
f 1  1  1  1  1  0  0
2
5.4 OTRAS FUNCIONES ESPECIALES
5.4.1 LAS FUNCIONES VALOR ABSOLUTO O FUNCIONES MÓDULOS: La función valor absoluto2 se
define: f x   x ó también se define de la siguiente manera:
 x,
f x   x  
  x,
si x  0
si x  0
De acuerdo con la definición, x puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está
representado por los números reales. Mientras que el codominio o las imágenes de x , corresponden a los
números reales no negativos, por lo que el rango está determinado por todos reales no negativos.
La función valor absoluto mantiene el signo de las imágenes positivas y cambia el de las negativas.
El dominio de la función valor absoluto es  ,   , o sea todo R.
Su codominio es: 0,  
La gráfica de la función valor absoluto consta de dos
semirrectas, cuyas pendientes son 1 y -1 respectivamente, que
se intersectan en un punto llamado vértice de la función, y tiene
la forma de la letra V.
En f x   x , el vértice coincide con el origen. Además su
dominio
es:
Dom f   ,  
,
y
su
codominio:
Cod f  0,   .
Analíticamente las funciones valor absoluto son en realidad
funciones definidas a trozos.
Ejemplo 24: Dada f x   x  4 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
-Solución: Por definición el dominio de esta
función es  ,   , y el codominio es:
0,   Para expresar está función sin la
notación de valor absoluto se escribe de la
siguiente manera:
si x  0
x4
f x   
 x  4 si x  0
Para el vértice: x  4  0
x4
Entonces: f 4  4  4  0  0  V 4, 0
Para la gráfica de f x   x  4 , debemos
darles valores a la variable “ x ”, considerando
el dominio y las coordenadas del vértice:
2 Esta función, asocia a cada número su valor absoluto, es decir, su valor sin tener en cuenta el signo.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
15
f  1   1  4   5  5
f 0  0  4   4  4
f 1  1  4   3  3
f 2  2  4   2  2
f 3  3  4   1  1
f 5  5  4  1  1
f 6  6  4  2  2
f 7  7  4  3  3
f 8  8  4  4  4
Ejemplo 25: Dada f x   x  5 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Por definición: Dom f   ,   , Cod f  0,  
Para el vértice: x  5  0
x  5
f  5   5  5  0  0
 V  5, 0
f x   x  5 , debemos
Para la gráfica de
darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio y las coordenadas del vértice:
f  8   8  5   3  3
f  7   7  5   2  2
f  6   6  5   1  1
f  4   4  5  1  1
f  3   3  5  2  2
f  2   2  5  3  3
f  1   1  5  4  4
f 0  0  5  5  5
f 1  1  5  6  6
Ejemplo 26: Dada f x   x  2  1 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Por definición: Dom f   ,   , pero el codominio va a variar
Para el vértice: x  2  0
x 2
f  2   2  2  1  0  1   1
 V  2,  1
Para la gráfica de f x   x  2  1 , debemos
darles valores a la variable “ x ”, considerando el
dominio y las coordenadas del vértice:
f  6   6  2  1   4  1  4  1  3
f  5   5  2  1   3  1  3  1  2
f  4   4  2  1   2  1  2  1  1
f  3   3  2  1   1  1  1  1  0
f  1   1  2  1  1  1  1  1  0
f 0  0  2  1  2  1  2  1  1
f 1  1  2  1  3  1  3  1  2
f 2  2  2  1  4  1  4  1  3
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
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5.4.2 LAS FUNCIONES DEFINIDAS POR VARIAS FÓRMULAS O FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
(O FUNCIONES POR PARTES O POR INTERVALOS O POR SECCIONES): Hasta aquí, ya
hemos estudiado funciones definidas por una sola expresión algebraica para todo su domino, pero
también podemos encontrar una función definida por intervalos, una función que usa distintas
fórmulas para diferentes partes de su dominio, y se conoce como funciones definidas a trozos3 (o
funciones definidas por partes).
Definir una función a trozos es construir una nueva función a partir de trozos de otras funciones. Y
su dominio dependerá tanto de la forma de cada una de las funciones que componen los trozos, y es la
unión de los dominios de cada trozo de la gráfica, y por lo general está definida en toda la recta real, es
decir: Dom f = R ó D f    ,    ó D f  R . Su codominio depende del conjunto de los valores de
f x  , evaluando la función en cada uno de los trozos.
2 x  3 si x  0

Ejemplo 27: Dada f  x    x 2
si 0  x  2 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
1
si x  2

Solución: Esta función está definida por tres tramos de funciones, una función lineal afín, una
cuadrática y una constante, y para cada uno estableceremos su tabla de valores:
f1 x  2x  3 Df 1   , 0
f  2  2 2  3  4  3  1
f  1  2 1  3  2  3  1
f 0  20  3  0  3  3
f 3 x   1
f 2 x   x 2 Df 2  0, 2
2
f 0  0  0
2
f 1  1  1
2
f 2  2  4
Df 3  2,
Df  Df 1  Df 2  Df 3
Df   , 0  0, 2  2,   ,   
El codominio se encuentra observando la gráfica de f x 
Observación: En esta gráfica sí x  0 entonces f x   2 x  3 , esto significa que para x  0 la
gráfica de f coincide con la gráfica de la recta y  2 x  3 . Si 0  x  2 entonces
tanto esta parte de la gráfica coincide con la gráfica de la parábola
f x   x 2 , por lo
y  x 2 , que tiene vértice en 0, 0 .
Si x  2 entonces la gráfica de f es una semirrecta horizontal separada por una distancia de 1 unidad
del eje
X.
 x  2 si x  2

Ejemplo 28: Dada f  x    x 2
si  2  x  2 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
 2
si x  2

Solución: Esta función está definida por tres tramos de funciones, una función lineal afín, una
cuadrática y una constante, y para cada uno estableceremos su tabla de valores:
3 También se les conoce como función por partes y están compuestas por varias funciones en diferentes
intervalos,
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f1 x   x  2
f 3 x   2
Df 1   ,2
f  4   4  2  2
f  2   2  2  0
f 2   2
f 4   2
Df 3  2,  
f 2 x   x 2 Df 2   2, 2
2
f  2   2  4
2
f  1   1  1
2
f 0  0  0
2
f 1  1  1
2
f 2  2  4
Df  Df 1  Df 2  Df 3
Df   ,  2   2, 2  2,   ,   
El codominio se encuentra observando la gráfica de f x 
Observación: En esta gráfica sí x   2 entonces f x   x  2 , esto significa que para x   2 la
gráfica de f coincide con la gráfica de la recta y  x  2 . Si  2  x  2 entonces
tanto esta parte de la gráfica coincide con la gráfica de la parábola
y  x2 .
f x   x 2 , por lo
Si x  2 entonces la gráfica
de f es una semirrecta horizontal separada por una distancia de 2 unidades del eje
X.
 x 2 si x  2
Ejemplo 29: Dada f x   
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
4 si x  2
Solución: Esta función está definida por dos tramos de funciones, una función cuadrática y una
constante, y para cada uno estableceremos su tabla de valores, según sea su dominio:
f 1 x   x 2 Df 1   , 2
2
f  2   2  4
2
f  1   1  1
2
f 0  0  0
2
f 1  1  1
2
f 2  2  4
f 2 x   4
Df 2  2,  
f 2   4
f 3  4
f 4   4
f 5  4
Df  Df 1  Df 2
Df   , 2  2,     R   2
 x  4 si x  3

Ejemplo 30: Dada f x   2
si  3  x  1 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
  x
si x  1
Solución: Esta función está definida por 3 tramos de funciones, una función lineal afín, una constante
y una lineal, y para cada uno estableceremos su tabla de valores, según sea su dominio:
f1 x   x  4
Df 1   ,  3
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f  5   5  4  1
f  4   4  4  0
f  3   3  4  1
f 2 x   2
f  3  2
f  2   2
f 0   2
f 1  2
f 3 x    x
f 1   1  1
f 2   2  2
f 3   3  3
Df 2   3, 1
Df 3  1,  
Df  Df 1  Df 2  Df 3
Df   ,  3   3, 1  1,   ,   
 x 2  4 si x  3
Ejemplo 31: Dada f x   
2 x  3
si x  3
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Esta función está definida por dos tramos de funciones, una función cuadrática y una lineal,
y para cada uno estableceremos su tabla de valores, según sea su condición:
f 1 x   x 2  4
Df 1   , 3
f  2   2  4  4  4  8
2
f  1   1  4  1  4  5
2
f 0  0  4  0  4  4
2
f 1  1  4  1  4  5
2
f 2  2  4  4  4  8
2
f 2 x   2 x  3
Df 2  3,  
f 3  23  3  6  3  3
f 4  24  3  8  3  5
f 5  25  3  10  3  7
f 6  26  3  12  3  9
f 7   27   3  14  3  11
Df  Df 1  Df 2   , 3  3,   ,  
  x 2  x  5 si x  2
 2
x  x3
si  2  x  1
Ejemplo 32: Dada f x   
, determine su dominio, codominio y grafíquela.
 2
x

x

5
si
1

x

2

  x 2  x  3 si x  2
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Solución: Esta función está definida por cuatro tramos de funciones cuadráticas, y para cada uno
estableceremos su tabla de valores, según sea su dominio:
f1 x    x 2  x  5
Df 1   ,  2
2
f  4    4   4  5   16  4  5  7
2
f  3    3   3  5   9  3  5  1
2
f  2    2   2  5   4  2  5  3
f 2 x   x 2  x  3 Df 2   2, 1
2
f  2   2   2  3  4  2  3  3
2
f  1   1   1  3  1  1  3  1
2
f 0  0  0  3  0  0  3  3
f 3 x   x 2  x  5 Df 3  1, 2
2
f 1  1  1  5  1  1  5  3
2
f 2   2   2   5  4  2  5  1
f 4 x    x 2  x  3
Df 4  2,  
f 2   2  2  3   4  2  3  1
2
f 3   3  3  3   9  3  3  3
2
Df  Df 1  Df 2  Df 3  Df 4
Df   ,  2   2, 1  1, 2  2,   ,   
6 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES TRASCENDENTES
6.1 LAS FUNCIONES EXPONENCIALES: Las funciones exponenciales son aquellas funciones en que
la variable independiente está en el exponente. Su ecuación es de la forma: f x   a con a  0 y
x
a  1.
La función f x   a , donde
a es un número real positivo ( a  0, a  1 ) que a cada número real x le hace
corresponder la potencia a se llama función exponencial de base a y exponente x . Según el valor de
a , pueden darse dos clases:
 Si a  1 entonces la función es estrictamente creciente en todo su dominio, y la función se
x
x
llama exponencial creciente.
 Si a  1 entonces la función es estrictamente decreciente en todo su dominio, y la función se
llama exponencial decreciente.
Las funciones exponenciales presentan las siguientes características:
 Todas las funciones exponenciales pasan por los puntos 0, 1 y 1, a .
 Son funciones siempre continuas en todo su dominio.
 Son funciones siempre cóncavas hacia arriba. Y siempre son inyectivas (  a  1 )
   


Tienen como asíntota horizontal al eje X , y jamás la gráfica corta a ese eje.
Su dominio son todos los números reales, o sea Dom f = R ó (-, +); y su codominio son todos
los valores reales positivos, o sea Cod f = R+ ó (0, +).
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Ejemplo 33: Dada f x   2 x , determine su dominio, codominio y
grafíquela.
Solución: Esta función por definición ya tiene establecida su
dominio y rango, los cuales son:
Dom f   ,   y Cod f  0,  , respectivamente. Luego
para la construir la tabla de valores:
1 1
f  2  2  2  2   0,25 f 0  2 0  1
4
2
1 1
f  1  2 1  1   0,50 f 1  21  2
2
2
f 2  2 2  4
f x   2 x  1 , determine su dominio,
Ejemplo 34: Dada
codominio y grafíquela.
Solución: Esta función por definición ya tiene establecida su
dominio y rango, los cuales son:
Dom f   ,   y Cod f  0,  , respectivamente.
Luego para la construir la tabla de valores:
f  2  2  21  2 3 
1 1
  0,125
23 8
1 1
f  1  2 11  2 2  2   0,25
4
2
1
1
f 0  2 01  2 1  1   0,50
2
2
f 1  211  2 0  1
f 2  2 21  21  2
f 3  2 31  2 2  4
f 4  2 41  2 3  8
x
1
Ejemplo 35: Dada f  x     , determine su dominio, codominio y
2
grafíquela.
Solución: Esta función por definición ya tiene establecida su dominio y
rango, los cuales son:
Dom f   ,   y Cod f  0,  , respectivamente.
Luego para la construir la tabla de valores:
2
2
1
1
1
2
1
2
2
f  2         2  4 f  1        21  2
2
1
2
1
0
1
f 0      1
2
1
1
f 1     0 ,50
2
2
1
1
f 2       0 ,25
4
2
Observación: En los ejemplos 31 y 32 las gráficas son curvas simétricas con
respecto al eje
Y
y ambas pasan por el punto
0, 1 , la función f x  2
también se puede expresar como:
f x   2  x
x
es creciente y
1
f x    
2
x
que
es decreciente.
6.2 LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS: Son funciones de la forma y  log a x , donde
a es la base y es
una constante positiva, es decir a  0 y a  1 . Son funciones inversas o recíprocas de las
funciones exponenciales, y su gráfica es una curva simétrica a la función exponencial, con
respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
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Según el valor de a , pueden darse dos clases:
 Si a  1 entonces la función es creciente en todo su dominio.
 Si a  1 entonces la función es decreciente en todo su dominio.
Las funciones logarítmicas presentan las siguientes características:
 Todas las funciones logarítmicas pasan por los puntos 1, 0 y a , 1 .
 Son funciones siempre continuas en todo su dominio.
 Son funciones inyectivas (Ninguna imagen tiene más de un original)
 Tienen como asíntota vertical al eje Y , y jamás la gráfica corta a ese eje.
 Su dominio son todos los números reales positivos, o sea Dom f = R+ ó (0, +) y su codominio
son todos los números reales, o sea Cod f = R ó (-, +).
Ejemplo 36: Dada y  log 4 x , determine su dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Esta función por definición ya tiene establecida su dominio y rango, los cuales son:
y
,
Dom f  0,  
Cod f   ,  
respectivamente.
Luego para la construir la tabla de valores:
   
y  log 4 x  x  4 y
y   1  x  4 1 
y   0,5  x  4
0 ,5
1
 0,25
4
4

1
2
1

4
1
2

1
1
  0,50
4 2
y  0  x  4 1
0
1
2
y  0,5  x  4  4  4  2
y  1  x  41  4
0 ,5
Ejemplo
37:
y  log 1 x , determine su
Dada
4
dominio, codominio y grafíquela.
Solución: Esta función por definición ya tiene
establecida su dominio y rango, los cuales son:
y
,
Dom f  0,  
Cod f   ,  
respectivamente.
Luego para la construir la tabla de valores:
1
y  log 1 x  x   
4
4
y
1
1
1 4
1
y  1  x    
  4
1
4
1 1 1
 
4
1
y   0,5  x   
4
0 ,5
1

1
 
4

1
2
1 1 2
  2
1 1 1
2
0
1
y  0  x    1
4
1
y  0,5  x   
4
0 ,5
1
1 1
 1 2
  
  0,50
4 2
4
1
1 1
y  1  x      0,25
4 4
Ejemplo 38: Dada y  log 4 x  1 , determine su dominio, codominio y grafíquela.
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Solución: Esta función por definición ya tiene establecida su dominio y rango, los cuales son:
y
,
Dom f  0,  
Cod f   ,  
respectivamente.
Para construir la tabla de valores:
y  log 4 x  1  x  1  4 y
x  4y 1
y   1  x  4 1  1 
1
 1  1,25
4
y   0,5  x  4 0,5  1  4

1
2
1 
1
4
1
2
1 
1
1
 1   1  1,50
2
4
y  0  x  40  1  2
1
y  0,5  x  4 0,5  1  4 2  1  4  1  2  1  3
y  1  x  41  1  4  1  5
6.3 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Las funciones trigonométricas son aquellas que asocian
a cada número real x , el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x .
A continuación consideraremos las tres funciones trigonométricas principales y algunas de sus
características más importantes:
6.4 LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS: Se llaman funciones hiperbólicas, porque de alguna manera
tienen propiedades similares a las funciones trigonométricas y se relacionan con la hipérbola en la forma
en la que las funciones circulares (funciones trigonométricas) se relacionan con el círculo.
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