qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer Matemáticas I (Cálculo diferencial) tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas UNIDA 2: FUNCIONES (Tema 2.1) dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc 20/03/2011 Profesor: Marcelo Rodríguez Alberto Matemáticas I (Cálculo diferencial) Unidad 2. Funciones Introducción Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y problemas matemáticos resulta que el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el área de un círculo depende de su radio (𝐴 = 𝜋𝑟 2 ). La distancia recorrida por un objeto puede depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto específico, etc. La relación entre este tipo de cantidades se expresa mediante una función. 2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCION, DOMINIO, CODOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION Constante. Son cantidades o literales que conservan siempre un valor fijo. Se representan usualmente con las primeras letras del abecedario como a, b, c, d, y e. Variable. Son literales a las que se les asigna un número ilimitado de valores; se les representa usualmente con las últimas letras del alfabeto como 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡, 𝑢, 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧. Función: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos (𝐴, 𝐵) de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Simbólicamente se representa como: 𝒚 = 𝒇(𝒙) Esquemáticamente una función se ilustra como en la figura siguiente. Mientras 𝑥 puede tomar cualquier valor en el conjunto 𝐴, la variable 𝑦 = 𝑓(𝑥) depende del elemento particular elegido para 𝑥. Por eso se refiere a 𝑥 como la variable independiente y a 𝑦 como la variable dependiente. Los conjuntos 𝐴, 𝐵 contienen solo números reales. Instituto Tecnológico Superior de El Mante Página 2 Matemáticas I (Cálculo diferencial) Representación de una regla de correspondencia Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente 𝑥. Es decir, son todos aquellos números para los cuales la función tiene sentido y se representa por (A) en la figura. Codominio. El codominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente 𝑦. Este conjunto se representa por (B) en la figura. Rango ó Recorrido. Es el subconjunto de 𝐵 formado por todas las imágenes. Una imagen es el elemento 𝑦 que se obtiene en el codominio después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento 𝑥 del dominio. La diferencia entre recorrido y codominio es que este último es el conjunto de las posibles imágenes que no necesariamente se ocupará completamente. Evaluación de una función y cálculo del dominio y recorrido 1. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1, determine: 𝑎) 𝑓(3) 𝑏) 𝑓(0) 𝑐) 𝑓(−2) 𝑑) 𝑓(2⁄3) Instituto Tecnológico Superior de El Mante Página 3 Matemáticas I (Cálculo diferencial) Solución: 𝑎) 𝑓(3) = (3)2 − 2(3) − 1 = 9 − 6 − 1 = 2 𝑏) 𝑓(0) = (0)2 − 2(0) − 1 = −1 𝑐) 𝑓(−2) = (−2)2 − 2(−2) − 1 = 7 𝑑) 𝑓(2⁄3) = (2⁄3)2 − 2(2⁄3) − 1 = −17/9 2. Determinar el dominio y el rango o recorrido de las siguientes funciones: 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑏) 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3 𝑐) 𝑦 = 1 𝑥−2 Solución: a) El dominio son todos los números reales ó (−∞, +∞) y el recorrido es [0, +∞) b) El dominio es el conjunto de valores de 𝑥 tales que 𝑥 − 3 ≥ 0. Es decir el intervalo [3, +∞), ya que si 𝑥 < 3, se tiene la raíz cuadrada de un número negativo, y entonces 𝑔(𝑥) no será un número real. Como 𝑔(𝑥) nunca es negativo, el recorrido es [0, +∞) c) El domino de la función son todos los valores de 𝑥 tales que 𝑥 ≠ 2, ya que para 𝑥 = 2 la función no está definida. De esta manera el recorrido es 𝑦 ≠ 0, es decir, el intervalo (−∞, 0) ∪ (0, +∞) Las afirmaciones anteriores se pueden observar al graficar cada una de las funciones Instituto Tecnológico Superior de El Mante Página 4