UNIDAD N°1 LAS DESIGUALDADES, 7 DE ABRIL DE 2015

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Tel.: 958-5804
Nombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______
Sección:  Bachiller Industrial
Especialidad: __________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 1
Las Desigualdades
1.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Estudiar las desigualdades. Interpretar la recta graduada como una representación
gráfica del conjunto de los números reales.
 Interpretar y manejar los tipos de intervalos sobre la recta real, como subconjuntos
del conjunto de los números reales.
1.1 INTRODUCCIÓN
Una igualdad1 está formada por el símbolo igual (=), una expresión a su izquierda y una
expresión situada a su derecha, en donde cada una de las expresiones recibe el nombre de
miembro. La igualdad puede ser cierta o no serlo. Por ejemplo: 2,5  3  8 En esta igualdad, el
término de la izquierda es 2 ,5  3 que vale 5,5 ; mientras que el de la derecha es 8 y la igualdad
es falsa, ya que 2 ,5  3  5,5 entonces 5,5  8 , es decir, “cinco coma cinco no es igual a ocho”.
PRÁCTICA N°1
Coloca en el espacio cuáles de los siguientes ejercicios son verdaderos ( V ) o falsos ( F ).
1) 10  6  4 ____
2) 13  7  19 ____
3) 6  9  56 ____
4) 8  7  54 ____
5) 13  9  4 ____
6) 15  8  6 ____
7) II  2 ____
8) IX  11 ____
9) 10  6  4 ____
10) 9  2  3  21 ____
11) 4  2  5  30 ____
12)  3  7  4 ____
Si la igualdad se cumple entre números se denomina identidad numérica. Cuando la igualdad
se convierte en identidad numérica sólo para determinados valores se la llama ecuación.
1
Es una relación de equivalencia (es reflexiva, simétrica y transitiva) entre dos expresiones, numéricas o literales,
que se cumple para algún, alguno o todos los valores.
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1
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan
miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (que se les llama indeterminadas o
incógnitas) relacionadas mediante operaciones matemáticas. Así: 3 x  1 

primer miembro
x5

segundo miembro
En muchos problemas matemáticos, las condiciones que estos problemas describen, se pueden
expresar en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación o raíz de la
ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a
cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación,
que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (es decir, la que hace válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga
cierta la igualdad, como también puede que todo valor posible de la incógnita cumpla la igualdad.
En este último caso, a estas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se
trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una inecuación2 es una desigualdad en la que hay una o más incógnitas (cantidades
desconocidas) y que puede cumplirse o no, es decir, que sólo se verifica para determinados
valores de las incógnitas. Los valores de las incógnitas que hace que la desigualdad se cumpla
se le llaman soluciones de la inecuación.
Por ejemplos:
1) x 2  1  0 es una inecuación, ya que se cumple para todo valor ( x ) o para
cualquier valor de x . Es decir, tiene infinitas soluciones.
2) x  3  0 es una inecuación, ya que sólo se cumple si x es un número menor que
 3 , y existen infinitos números que cumplen está condición.
3) x  2  0 es una inecuación, ya que sólo se cumple si x es un número mayor que
2 , y existen infinitos números que cumplen está condición.
De la misma forma, una desigualdad está formada por dos expresiones entre las que está
intercalada uno de los siguientes símbolos:  ,  ,  ,  A estos signos se les denomina signos
de la desigualdad, y las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman
desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se denominan inecuaciones.
El símbolo: “  ” significa “menor que”, “  ” significa “mayor que”, “  ” significa “menor o igual
que” y “  ” significa “mayor o igual que”.
siguientes: 3  7 ,
Algunos ejemplos de desigualdades, son los
 1  2 , x  2, x  3  4 y x 1   2.
Pero al igual que ocurre con las
igualdades, las desigualdades pueden ser ciertas o falsas. Entonces tenemos que: 3  7 es
2
Se verifica para muchos valores de la variable, lo cual indica que una inecuación tiene infinitas soluciones.
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2
cierta,  1  2 es falsa; mientras que x  2 , x  3  4 y x  1   2 dependerá del valor que le
demos a x .
PRÁCTICA N°2
Use los símbolos de desigualdad  o  en el espacio para indicar la relación correcta.
1) 7 ____ 5
2)  7 ____ 5
3) 6 ____  3
4)  7 ____  5
5) 0 ____ 8
6) 3 ____ 0
7) 3 ____ 6
8)  6 ____  3
9) 50 ____  55
10) 0 ____  8
11) 900 ____  1000
12)  842 ____ 0
Las desigualdades son importantes porque son aplicables en ciertos problemas de la tecnología,
la industria, los negocios, la estadística, la probabilidad, la matemática avanzada, el cálculo y
otras áreas.
1.2 DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD
Una desigualdad3 es una relación que establece una comparación entre dos cantidades que no
son iguales.
Sea a y b dos números reales cualesquiera, al compararlos, puede suceder alguna de las
siguientes situaciones:
1) a  b , que significa lo siguiente: “ a es menor que b “.
2) a  b , que significa lo siguiente: “ a es menor o igual que b “.
3) a  b , que significa lo siguiente: “ a es mayor que b “.
4) a  b , que significa lo siguiente: “ a es mayor o igual que b “.
5) a  b , que significa lo siguiente: “ a es igual a b “.
1.3 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES NUMÉRICAS
El campo de los números reales posee la propiedad de orden, es decir, que tiene lugar la ley de
la tricotomía de los números reales. Entonces, para todo par de números a, b tiene lugar una y
solo una de las tres relaciones que a continuación se detallan: a  b , a  b , a  b .
Propiedad de Tricotomía: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces una y
solamente una de las siguientes expresiones es verdadera: a  b , a  b , a  b . Donde a  b
significa por definición que a  b es positivo, mientras que a  b significa por definición que
a  b es negativo. En símbolos, por definición, se tiene que:
3
Las desigualdades pueden ser ciertas o pueden ser falsas.
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3
En símbolos
Por definición
a b  ab0
a b  ab0
Por definición a las relaciones a  b y a  b se les denomina desigualdades, a los números “ ”
y “ ”, se les denomina primero y segundo miembros o partes de la desigualdad, respectivamente;
y a los símbolos  y  , se les denomina signos de relación de orden.
Así pues, una
desigualdad es un enunciado matemático que relaciona dos expresiones a través de los símbolos
 ,  ,  ,  , utilizados para definir las relaciones de orden. Los símbolos se leen de la siguiente
manera:

Es menor que,

Es menor o igual que,

Es mayor que,

Es mayor o igual que.
En particular, a las desigualdades que presentan los símbolos  o  se llaman desigualdades
estrictas y las que presentan los símbolos  o  se llaman desigualdades no estrictas4.
Se llama desigualdad a la expresión que contiene un signo de desigualdad (  ,  ,  ,  ).
Las desigualdades, según tengan o no variables, serán llamadas numéricas o algebraicas.
Las desigualdades numéricas: son desigualdades que ordenan elementos del conjunto de los
números reales. Cuando sean a
y b  R, las desigualdades numéricas pueden tomar las
siguientes formas:
Ejemplos: 3  5
4
a b
Se lee “ a es menor que be ”.
a b
Se lee “ a es menor o igual que be ”.
a b
Se lee “ a es mayor que be ”.
a b
Se lee “ a es mayor o igual que be ”.
Se lee “tres es menor que cinco”.
24
Se lee “dos es menor o igual que cuatro”.
76
Se lee “siete es mayor que seis”.
5 1
Se lee “cinco es mayor o igual que uno”.
Las desigualdades se clasifican atendiendo a su signo de desigualdad como: estricta y no estricta.
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4
Desigualdades algebraicas: son desigualdades que contienen números y expresiones con una
o más variables.
Ejemplos: 3 x  5  2 x
4 y  4  3x  1
4 x65
Las desigualdades algebraicas se pueden dividir en: desigualdades absolutas y desigualdades
relativas (condicionadas o inecuaciones).

Desigualdades absolutas: son desigualdades que se cumplen para todos los valores de las
variables.
Ejemplos: x 2  0
x4  1  0

x  y 2 
x
2 0
 5  7  0
2
Desigualdades relativas: son desigualdades que no se cumplen para todos los valores
reales de las variables. Es decir, sólo se verifican para determinados valores o sistemas de
valores, asignados a sus letras:
Ejemplos: x 2  3
x  y  4
A las desigualdades que tienen está forma: a  b
3x  7  14
x2  5
y
c d ó a b
y
c  d Se dicen que
son del mismo sentido. Por ejemplos: 5  3 y 2   3
7  9 y 4  10
Y a las desigualdades que tienen está forma: a  b y p  q ó a  b y p  q Son de sentido
contrario. Por ejemplos: 4  1 y 3  8
1  0 y 2  1
Toda desigualdad tiene dos miembros. En a  b , “ a ” se le denomina primer miembro de la
desigualdad, y está a la izquierda y “ b ” es el segundo miembro de la desigualdad y está a la
derecha del signo de desigualdad. Por ejemplo:
1
2
primer miembro

3
4
en donde 1  2 es el
segundo miembro
miembro izquierdo y 3  4 , el miembro derecho.
Los términos de una desigualdad son las cantidades que estás separadas de otras por el signo
“más” (+) ó “menos” (-) o por la cantidad que está sola en un miembro.
Por ejemplos: a  b  c  d  e desigualdad que contiene 5 términos; y son: a , b , c , d y e
4  6  7  1 desigualdad que contiene 4 términos.
5  2  1 desigualdad que contiene 3 términos.
1  3 desigualdad que contiene 2 términos.
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5
Y a los símbolos “  ” y “  ” se les denomina los signos de relación de orden. De la definición
misma de desigualdad de inmediato se concluye que:
1. Todo número positivo es mayor que cero. En símbolos: p  0 (  p  R  )
2. Todo número negativo es menor que cero. En símbolos: n  0 (  n  R  )
3. Todo número positivo p es mayor que cualquier número negativo n . En símbolos: p  n
( p  R ) ( n  R )
4. De dos números negativo, es mayor aquel, cuyo valor absoluto sea menor. En símbolos,
sería: y  x, p  n 
y  x ( p  R ) ( n  R )
Todas estas afirmaciones admiten una interpretación geométrica bastante simple. Para ello
hay que recordar que al conjunto de los números reales se le puede poner en correspondencia
biunívoca con los puntos de una recta; y que la relación de orden en el conjunto, se traduce en
la recta en tener una orientación, es decir, en que a la recta numérica se le da una dirección
positiva mediante una flecha, precisamente la que se indica hacia la derecha a partir del punto
inicial (correspondiente al 0). Entonces cualesquiera que sean los signos de los números, el
mayor de ellos se representa por el punto que se encuentra más a la derecha en su
representación geométrica. Según se muestra en la siguiente figura:
1.4 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Sean a, b y c  R
1. Propiedad de Tricotomía: Si a y b son dos números reales con a  0 , entonces se puede
establecer una y solamente una de las siguientes relaciones: a  b , a  b , a  b .
2. Propiedad de no negatividad: Si a es un número real, entonces: a 2  0 .
3. Propiedad de asimetría (o irreversibilidad): a  b  b  a
En ésta propiedad se dice que si los términos de una desigualdad se permutan, para que dicha
desigualdad siga siendo la misma, hay que cambiar también el sentido de la desigualdad.
Si se cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Sí a  b , es evidente
que b  a . Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. Siendo a  b se
tiene que
1 1

a b
4. Propiedad de transitividad: Si a  b y b  c , entonces a  c
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6
Si a  b y b  c , entonces a  c .
Ejemplos:  5  3 y 3  1  5  1
 25 y 57  27
5. Propiedad de reciprocidad: Si a  0 
1
 0
a
Si a  0 
1
 0
a
Ejemplos:  Si 5  8 
1
1

5
8
Si a  b 
1
1

a
b
 Si  3  2  
1
1

3
2
6. Propiedad de la suma y la resta: Si a  b  a  c  b  c
Si a  b  a  c  b  c
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, el signo
de la desigualdad no varía.
Ejemplos:  5  3 si sumamos 4  5  4  3  4  9  7
 5  3 si restamos 2  5  2  3  2  3  1
 4  5 si sumamos 1  4  1  5  1  5  6
 4  5 si restamos 3  4  3  5  3  1  2
Si a  b y c  d
 a c  b  d
Si a  b y c  d
 a c  b  d
Ejemplos:  4  1 y 5  3  4  5  1  3  9  4
 4  1 y 5  3  4  5  1  3  1   2
 1  3 y 4  7  1  4  3  7  5  10
 1  3 y 4  7  1  4  3  7   3   4
Cuando se restan miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, no puede
predecirse el sentido de la desigualdad resultante, como resulta en el ejemplo 
7. Propiedad de la multiplicación (o del producto):
Si a  b y c  0  a c  b c ó c a  c b (La desigualdad permanece invariante).
Si a  b y c  0  a c  b c ó c a  c b (El sentido de la desigualdad se invierte).
Ejemplos:  3  5 y 2  0 si multiplicamos por 2  3  2  5  2  6  10
 3  5 y  1  0 si multiplicamos por  1  3   1  5   1  3   5
8. Propiedad de la división (o del cociente):
Si a  b y c  0 
a b
 (La desigualdad permanece invariante).
c c
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7
Si a  b y c  0 
a b
 (El signo de la desigualdad se invierte).
c c
Ejemplos:  4  6 y 2  0 si dividimos por 2 
4
6

2
2
 4  6 y  2  0 si dividimos por  2 
 2  3
4
6

2
2
 2  3
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
positiva, el signo de la desigualdad no varía.
Observación: Todas estas propiedades son válidas si cambiamos el signo “<” por “”
ó “>” por ““, respectivamente.
9. Propiedad de la potenciación:
Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural
impar, resulta una desigualdad del mismo sentido.
Ejemplos:  5  3  5  3
3
3
 125  27
  4   2   4   2   64   8
Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural par:
3
3
a) El sentido de la desigualdad no cambia si los dos miembros son positivos.
Ejemplo:  7  4  7   4
2
2
 49  16
b) Se invierte el sentido de la desigualdad si ambos miembros son negativos.
Ejemplo:   6   3   6   3
2
2
 36  9
c) No se puede predecir el sentido de la desigualdad si los dos miembros son de distinto
signo.
Ejemplos:   6  5   6  5  36  25
2
2
  2  4   2  4  4  16
2
2
 3   5  3   5  9  25
2
2
1.5 LAS DESIGUALDADES Y LA RECTA NUMÉRICA
Como los números reales se pueden representar sobre una recta, podemos representar las tres
condiciones (posibilidades) que tiene un número real cualquiera, por ejemplo:
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8
Los símbolos de desigualdad tienen una interpretación geométrica muy clara en la recta numérica
real. Si a  b , entonces “ a ” está a la izquierda de “ b ”, si c  d , entonces “ c ” está a la derecha
de “ d ”
Sabemos que d está entre a y b si y sólo si a  d y a  b , podemos expresar dicha condición
como: a  d  b , que se lee: “ de es mayor que a pero menor que b “.
Esto define un intervalo de recta en la cual d puede adquirir distintos valores que están entre a y
b . Además, a los números a y b se les denomina puntos extremos del intervalo.
1.6 EL CONJUNTO SOLUCIÓN
Vamos a recordar que un conjunto se puede expresar por extensión, a través de una expresión,
de este modo no es necesario enunciar cada uno de los elementos que componen el conjunto.
Un ejemplo de notación de conjunto es: S  x / condición sobre x, que significa: “El conjunto
S (solución) de aquella x que verifican ciertas condiciones”.
Por ejemplos:
1) M   x / los meses del año . Esto significa que M es el conjunto formado por los doce
meses del año.
2) D   x / los días de la semana . Esto significa que D es el conjunto formado por los
sietes días de la semana.
3) Sea S el conjunto de todas las x tales que x 2  81 , es decir,

S  x / x 2  81

Esto
significa que S es el conjunto formado por sólo dos elementos; o sea: S    9, 9 .
El conjunto de soluciones para una desigualdad es el conjunto de elementos pertenecientes
al conjunto de sustituciones que hacen de la desigualdad una proposición verdadera.
Cualquier elemento del conjunto de soluciones se denomina solución de la desigualdad, por
ejemplos:
El intervalo es:  ,  1
1) x  5  4
x45
x  1

El conjunto solución:
S   x  R / x  1 ó
S   x  R / x   ,1 
La gráfica es:
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9
El intervalo es: 2,  
2) x  2  0
x20
x2

El conjunto solución:
S  x R / x  2 ó
S   x  R / x  2,  
La gráfica es:
El intervalo es:  4,  
3) x  7  3
x  73
x 4

El conjunto solución:
S  x R / x   4 ó
S   x  R / x   4,  
La gráfica es:
Al resolver una desigualdad5, su conjunto solución, lo podemos expresar en notación de
intervalos, en notación de conjunto, y gráficamente.
PRÁCTICA N°3
Resuelve las siguientes desigualdades sencillas, expresando su solución en notación de
intervalo, en notación de conjunto y gráficamente.
1) x  5   7
2) x  2  6
3) x  10   8
4) y  2  5
5) 2 z  4   8
6) y  1  3
1.7 INTERVALOS EN LA RECTA REAL
Un intervalo6 es un subconjunto de R, que guarda una relación con todo R. Es decir, dados dos
números a y b  R, un intervalo es el subconjunto de R cuyos puntos están comprendidos entre
a y b . A veces resulta útil emplear la notación especial para conjuntos de números reales. Los
5
6
Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto de soluciones.
Dados dos números cualesquiera a y b , tales que a  b de la recta real, se define intervalo de extremos
ay
b al conjunto de los números reales comprendidos entre a y b .
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principales conjuntos a los que nos referimos serán los números reales y el de los puntos de la
recta real. A continuación, una tabla sobre los tipos de intervalos en la recta real:
TIPO DE
INTERVALO
NOTACIÓN DE
INTERVALOS
DESIGUALDAD
Intervalo
abierto
(a, b)
a<x<b
S = {x  R/ a < x < b}
S = {x  R: a < x < b}
Intervalo
cerrado
[a, b]
axb
S = {x  R/ a  x  b}
S = {x  R: a  x  b}
Intervalos
semiabiertos
o
Intervalos
semicerrados
(a, b]
a<xb
S = {x  R/ a < x  b}
S = {x  R: a < x  b}
[a, b)
ax<b
S = {x  R/ a  x < b}
S = {x  R: a  x < b}
Intervalos
infinitos
NOTACIÓN DE
CONJUNTO
(, a]
xa
S = {x  R/ x  a}
S = {x  R: x  a}
(, a)
x<a
S = {x  R/ x < a}
S = {x  R: x < a}
(a, +)
x>a
S = {x  R/ x > a}
S = {x  R: x > a}
[a, +)
xa
S = {x  R/ x  a}
S = {x  R: x  a}
(,+)
GRÁFICA
S = {x  R}
Observación: El símbolo , significa infinito, a +  se le denomina “más infinito”, y a -  se le
llama “menos infinito”. No debemos confundir el infinito con un número real,
pues el infinito es un símbolo matemático y no obedece a las propiedades de los
números. Es decir, no podemos interpretar los infinitos7 como si fuesen
números reales.
Un intervalo describe un rango entre dos valores pertenecientes los números reales tales que
a  b , es decir, es un segmento limitado de la recta numérica.
El segmento ab se llama intervalo
x en una dirección dada de la recta numérica.
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7
Son elementos simbólicos usados para indicar todas las
Los intervalos se clasifican en cuatro tipos:
1. Intervalo abierto es el conjunto de puntos que están a la derecha del punto representativo de
“ a ” pero a la izquierda del punto representativo “ b ”. En este intervalo no se consideran sus
extremos:
Se define como: a, b   x  R / a  x  b 
2. Intervalo cerrado es la reunión de un intervalo abierto con sus puntos extremos. En este
intervalo se consideran sus extremos:
Se define como: a, b   x  R / a  x  b 
3. Intervalo semiabierto es la unión de un intervalo abierto con uno de sus puntos extremos.
Semiabierto por la izquierda: Intervalo que incluye a su extremo superior.
Se define como: a, b   x  R / a  x  b 
Semiabierto por la derecha: Intervalo que incluye a su extremo inferior. Se define como:
[a, b) = {x  R/ a  x < b}
Se define como: a, b   x  R / a  x  b 
4. Intervalo infinito abierto completamente es aquel que contiene a todos los números reales.
Se define como: (- , + ) = {x  R/ -  < x < + }
Se define como:  ,     x  R /    x    
1.8 UNIONES E INTERSECCIONES DE INTERVALOS
La unión de dos intervalos está formada por los números reales que se encuentran en ambos
intervalos. Para representar la unión de dos conjuntos se usa la letra “o” de Lógica Matemática
(  ). Por ejemplo: Dados los intervalos: ,  5 y 5,   Encuentre la unión de estos dos
conjuntos.
Solución: La gráfica del conjunto ,  5  5,   es el conjunto que tiene los elementos en
ambos conjuntos.
Por lo que: ,  5  5,    x / x  5 ó x  5 = ,  5  5,  
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,  5
,  5  5,  

5,  
La intersección de dos intervalos está formada por los números reales que son comunes a
ambos intervalos. Para representar la intersección de dos conjuntos se usa la “y” de la Lógica
Matemática (  ). Por ejemplos:
1) Dados los intervalos:  5,   y  , 4 Encuentre la intersección de esos dos conjuntos.
Solución: La gráfica del conjunto  5,     , 4 es la parte de la recta numérica que
pertenece a ambos intervalos, exactamente es el intervalo entre -5 y 4 que los incluye a ambos:
 5,     , 4  x / x  5
y x  4  x /  5  x  4 =  5, 4
 5,  
 5, 4

 , 4
2) La intersección de los intervalos:  2,10 y 0,12 es 0,10
Solución: La gráfica del conjunto  2,10  0,12 es la parte de la recta numérica que pertenece
a ambos intervalos, exactamente es el intervalo entre 0 y 10 que los incluye a ambos:
 2, 10  0, 12  x /  2  x  10
 2,10
y 0  x  12   x / 0  x  10 = 0,10
0,10
0,12

PRÁCTICA N°4
Resuelve los siguientes ejercicios, sobre desigualdades:
1. Complete el espacio con los signos  ,  ,  ,  , según corresponda en la siguiente relación si
a) 7  2 , entonces 7  1 ___ 2  1
c) 4  5 , entonces 4 2 ___ 5 2
b) 5  7 , entonces 5  3 ___ 7  3
d) 6  2 , entonces 6  3 ___ 2  3
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2. Menciona cuatro propiedades de las desigualdades:
a) ________________________________
c) ________________________________
b) ________________________________
d) ________________________________
3. Expresa en palabras, cómo se lee, las siguientes desigualdades:
a) 3  x  5 _______________________________________________________________
b) x  7 __________________________________________________________________
c) x   2 _________________________________________________________________
4. Expresa en notación de intervalo, la siguiente desigualdad:  1  x  3 __________________
5. Dada la desigualdad 0  x  2 ¿Cuántos números reales la satisfacen y cuántos números
enteros son sus soluciones?
6. Dadas las siguientes desigualdades compuestas, clasifíquelas en su notación de intervalos,
cómo intervalos abiertos, cerrados y semicerrados (o semiabiertos):
4 x  7
_________________________________________
3  x  12
_________________________________________
2 x  5
_________________________________________
5  x  1
_________________________________________
2 x  2
_________________________________________
1 x  6
_________________________________________
7. Dadas las siguientes desigualdades, haga la representación gráfica, en la recta real:
a)  3  x  4
b) x  2
c) x   3
d) x  
1
2
e)  2  x  3
f) x  0
g)  3  x   1
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8. Dado el siguiente cuadro, complétalo:
Tipo de
Intervalo
Notación
de
intervalo
Desigualdad
Notación de conjunto
Gráfica
 5, 3
3 x  6
S  x  R /  2  x  3
x  2
 2, 5
1
7
x 
2
2
S  x  R / 3  x  8
3, 7
9. Dados los siguientes par de intervalos: encuentre la unión de estos y su intersección:
a)  ,  2 y 3,  
c)
b)  , 1 y 5,  
d)
,  2 y 2,  
 7, 1 y  3, 5
1.9 CLASIFICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES
Las desigualdades, de manera general se clasifican según tengan o no variables, en
desigualdades algebraicas y desigualdades numéricas. Las desigualdades algebraicas se
dividen en desigualdades absolutas y desigualdades condicionales, y a su vez las
desigualdades condicionales se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la
expresión algebraica que aparece en ellas.
A continuación un esquema sobre la clasificación de las desigualdades:
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Las desigualdades algebraicas son las desigualdades que contienen números y expresiones
con una o más variables, se dan entre dos expresiones algebraicas, por ejemplo: x 2  y 2  x  y ;
y se clasifican en: absolutas y condicionales.
1. Las desigualdades absolutas o desigualdades idénticas: son aquellas desigualdades que
se verifican o cumplen para cualquier valor o sistemas de valores, dado a sus letras, sea cual
sea el valor real que se sustituye. Es decir, para todos sus valores ( x  R), se cumplen.
Por ejemplo: x 2  0 para cualquier valor asignado a la x siempre se cumple que será mayor o
igual a cero.
Si x  0 , entonces:
Es decir, si x  3 , entonces:
Si x   2 , entonces:
02  0
 22  0
32  0
00
40
90
Es verdadero
Es verdadero
Es verdadero
2. Las desigualdades relativas o desigualdades condicionadas o inecuaciones: son
aquellas desigualdades que sólo se cumplen o se verifican para determinados valores o
sistemas de valores, asignados a sus variables. Por ejemplos: 2 x  6  0 , sólo se cumple
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para los valores x  3 . Y en 3x  7  14 , sólo se satisface para x  7 . Se clasifican
atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica.
Atendiendo el grado de la expresión algebraica, las desigualdades condicionales o
inecuaciones se clasifican en:

Desigualdades lineales: son aquellas desigualdades de primer grado, cuyo coeficiente de la
variable puede ser un número entero, fraccionario o un decimal. Por ejemplos:  3 x  2  7 ,
x 1
  1 y 0.4 x  0.6  0.1x  0.4
4 4

Desigualdades cuadráticas son aquellas desigualdades o inecuaciones enteras de grado
dos, de segundo grado. Por ejemplos: 4 x 2  9 x  9  0 ,

Desigualdades de grado superior son aquellas desigualdades o inecuaciones de grado
superior a dos, son desigualdades polinómicas.
2x

2x  73x  5  0 .
2

Por ejemplos:

 4 3x 2  1  0 .
Desigualdades con radicales son aquellas desigualdades o inecuaciones que están
contenidas dentro de un signo de radicación. Por ejemplos:

3x 4  2 x 2  1  0 ,
y  25  13 ,
x2  9  5
Desigualdades racionales o no lineales o desigualdades con cocientes son aquellas
desigualdades o inecuaciones que incluyen la variable en el denominador. Por ejemplos:


3 1
  2,
2 x
2
1

x 1 x  2
Desigualdades con valor absoluto son aquellas desigualdades que contienen valores
absolutos. Por ejemplos:
x2
 4 , x 1  7.
2x  3
1.10 OTROS TIPOS DE DESIGUALDADES

Las desigualdades compuestas: son aquellas desigualdades que tienen doble signo de
desigualdad,
es
decir
dos
signos
de
desigualdad.
Ejemplos:
 6  2 x  4  12
y
 17  6 x  1  19 .

Las desigualdades equivalentes: son aquellas desigualdades que tienen el mismo conjunto
de soluciones (o solución común). Por ejemplo: 3x  2  2 x  2 y 2 x  3  x  1 .

Las desigualdades simples: son aquellas desigualdades que contienen un solo signo de
desigualdad. Por ejemplos:  3 x  2  7
y 0,8 y  0,6  0,9  0,1 y
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
Las desigualdades estrictas: son aquellas desigualdades que contienen los signos “>” y
“<”. Por ejemplos: x  1  3x  10 ; 3 x  70  26

y  2 x  5  3x  10
Las desigualdades no estrictas: son aquellas que contienen los signos de desigualdad “” y
“”. Por ejemplos: x  1x  2  x  3x  2 y 3 x  2  7

Las desigualdades polinomiales o polinómicas: son las desigualdades que se expresan en
forma de polinomio, generalmente en una sola variable. Por ejemplos: x 3  2 x 2  15 x  0
y
2 x 2  4 x  40 .
PRÁCTICA N°5
1. Dadas las siguientes pares de desigualdades, identifica si son simples o compuestas:
Desigualdades
Simples
Compuestas
 10  2 x  5  15 y 0  3x  1  8
5 x  3  2 x 18 y 0,3x  1,1  0,2 x  2,5
3  y 1 7 y 4  y  2  4
z  3  7 y z  2  10
2. Dado el siguiente cuadro, complételo:
Desigualdades
x 2  3x  2  0
x3  x 2  x  1  0
Estrictas
No estrictas
Equivalentes Polinomiales


4 x  3  48
3 y  10  30
x 2  7 x  10  0
x 2  8x  15  0
2x  1  5
x 25


z37
3 z  2  10
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