inferencia

ELEMENTOS DE INFERENCIA ESTADISTICA
1. INTRODUCCIÓN
Todas las herramientas estadísticas con las que se cuenta hasta ahora,
tales como tablas, gráficos y cálculo de medidas descriptivas se podrían
englobar en el término Estadística Descriptiva, puesto que ellas esencialmente
permiten describir, presentar y resumir información que ha sido recolectada de
alguna forma.
Sin embargo las técnicas de la Estadística Descriptiva no permiten
responder interrogantes que pueden surgir cuando no se dispone de la
información sobre todos los individuos de la población de interés sino sólo de
una parte de ella, es decir, que los datos provienen de una muestra de
individuos de la población bajo estudio. Ejemplos de esta situación son:

Si se conoce que la ganancia promedio de ventas de una muestra de
50 automóviles nuevos es de $935, ¿qué se puede decir sobre la
ganancia media de todas las ventas de automóviles nuevos?

Si se encontró que una curso de capacitación ayuda a encontrar
trabajo a 16 de 20 jóvenes de una ciudad, ¿qué porcentaje de todos los
jóvenes que buscan trabajo se puede esperar que encuentren trabajo
después de tomar el curso?
Para responder este tipo de preguntas la Estadística dispone de una gran
cantidad de métodos que se engloban dentro de la llamada Estadística
Inferencial, los cuales se usan esencialmente para determinar la probabilidad
de que una conclusión sacada a partir de los datos de una muestra sea cierta en
la población muestreada.
Las poblaciones pueden ser ventas,
consumidores de un producto, etc.
109
personal de una empresa,
El proceso conocido como inferencia estadística, requiere consideraciones de
cómo fue seleccionada la muestra y cuánto varían las observaciones de una muestra a
otra. De esta manera, los métodos de selección de los individuos que se usarán en la
investigación son de considerable importancia para la obtención de resultados y
conclusiones válidas.
El requisito fundamental de una buena muestra es que sea representativa
de la población que se trata de describir (Población Objetivo – Figura 5.1). Hay,
por supuesto muchas formas de obtener una muestra no representativa. Una
obvia falta de representatividad ocurre cuando la muestra se toma de la
población equivocada. Por ejemplo, se quiere conocer la proporción de personas
que consumen un determinado producto y la muestra se obtiene de los clientes
de un solo supermercado.
Aún cuando se esté seguro que la muestra se obtiene de la apropiada
población, otra fuente potencial de error en el muestreo, especialmente en las
encuestas de opinión son las respuestas sesgadas. Cuestionarios mal redactados
o técnicas de entrevistas inadecuadas pueden dar lugar a respuestas que no
reflejan la realidad que se quiere evaluar.
Por otra parte, en muchas ocasiones no es posible obtener la muestra a partir de
todos los individuos que definen la población objetivo, sino sólo a partir de una
subpoblación que es accesible al investigador en el momento de hacer la selección de
los individuos de la muestra y ella recibe el nombre de población muestreada (Figura
5.1).
110
Población objetivo
Se requiere sentido común para
hacer inferencias del muestreo a
la población objetivo
Población muestreada
Para hacer inferencias estadísticas
de la muestra a la población
muestreada se requiere que la
muestra sea aleatoria
Muestra
Figura 5.1: Alcances de las inferencias realizadas de una muestra
(Estadística Biomédica, Dawson-Sauders y Trapp).
Consideremos, por ejemplo, un sondeo telefónico que realizó la cadena de
televisión ABC inmediatamente antes de las elecciones de 1980 entre Carter y Reagan.
La ABC invitó a sus televidentes a llamar (por larga distancia) para dar a conocer sus
preferencias presidenciales. En vez de lograr una muestra del sentir real de los electores,
la ABC obtuvo una muestra de las preferencias de los votantes que estaban
suficientemente interesados en desviar el resultado del sondeo como para invertir en las
llamadas telefónicas de larga distancia. Es claro que la ABC no realizó un muestreo
aleatorio de la población de posibles votantes. Más demócratas hicieron las llamadas de
larga distancia, y la ABC pronosticó así una victoria electoral de Carter. Antes de
extender cualquier conclusión, es necesario evaluar qué factores selectivos y sesgos
distinguen a la población realmente muestreada (todos los votantes que hicieron las
llamadas de larga distancia) de la población objetivo (todos los posibles votantes).
Los métodos de la Inferencia Estadística permiten generalizar los resultados de
la muestra sólo a los individuos que componen la población muestreada y la
generalización hacia la población objetivo está fuera del alcance de la Estadística. Sin
embargo, si es posible suponer que la población muestreada es similar a la población
objetivo no se cometería un error grande en generalizar los resultados hacia la población
objetivo.
111
Aún cuando se esté seguro que la muestra se obtiene de la población
apropiada, es igualmente importante que la muestra se saque de una manera
objetiva e insesgada.
Muestras casuales o muestras seleccionadas sobre la base de que es fácil
de recolectar, son raramente representativas de la población. Hay varios
métodos adecuados para seleccionar una muestra que permiten evitar los
sesgos, y la mayoría tiene como base el concepto de muestra aleatoria o
probabilística, en la cual cada individuo en la población de interés es
seleccionado (o no) a través del uso de mecanismos aleatorios descriptos
claramente. Por ejemplo, el caso más simple, es el denominado esquema de
muestreo aleatorio simple
en el cual cada posible muestra es igualmente
probable, lo que implica que cada individuo tiene igual probabilidad de ser
seleccionado para pertenecer a la muestra. Más adelante se tratará con más
detalle los distintos tipos de muestreo.
En cualquier estudio, los investigadores deben escribir de manera
completamente explícita la manera en la cual las muestras han sido elegidas y
cuando se escribe o se lee cualquier trabajo de investigación uno debería hacerse
las siguientes preguntas:

¿El autor define claramente la población muestreada?

¿El autor discute similitudes y posibles diferencias entre la población
muestreada y la población objetivo?

¿El autor describe claramente el mecanismo de muestreo que usó?

¿El mecanismo de muestreo es aleatorio? (Si no lo es, porque?).

¿Los métodos de análisis de datos son adecuados para el esquema de selección
usado?
¿Qué ocurre si el investigador no ha usado un muestreo aleatorio para
seleccionar los individuos de la muestra? Supongamos por ejemplo que él
112
simplemente usó los datos de los clientes de un supermercado para evaluar las
preferencias de los consumidores respecto a distintas marcas de un producto.
Muchos, sino la mayoría, de los estudios son de este tipo. Los datos son
analizados luego, como si ellos hubieran surgido a partir de una muestra
aleatoria de consumidores. El problema aquí es que estamos perdiendo la vital
vinculación entre un esquema de muestreo aleatorio y el apropiado método de
inferencia estadística, el cual supone siempre que hubo una selección aleatoria
de la muestra.
En estas circunstancia, ¿se debería entonces abandonar la inferencia
estadística?
Probablemente
no,
pero
deberíamos
siempre
estar
muy
preocupados de tomar estos resultados muy seriamente. Las bases de la
inferencia, en este caso, han sido severamente debilitadas (“destruida”, dirían
algunos). En rigor de verdad, deberíamos decir: “si pretendemos que tenemos una
muestra aleatoria, entonces
…”. La palabra pretender
ha sido
usada
deliberadamente ya que no es una suposición, puesto que nosotros sabemos que
la muestra no es aleatoria. Al final, nosotros deberíamos aceptar que estamos
usando la inferencia estadística sólo como una guía, como una manera de
ayudar a que los datos tengan algún sentido, por todo esto, nuestra inferencia
en estos casos debería estar basada más en el sentido común que en la teoría
estadística.
En las Unidades anteriores se estudió las reglas básicas de probabilidad y
distintas distribuciones de probabilidad como la binomial, Poisson, Normal y
exponencial. En esta unidad se usarán estas reglas de probabilidad junto con el
conocimiento de las distribuciones de probabilidad para analizar cómo ciertas
medidas (media, proporción) pueden usarse para hacer inferencias respecto a
los parámetros poblacionales.
La inferencia estadística involucra dos áreas principales: Estimación de
Parámetro Poblacional y Prueba de Hipótesis, pero antes de tratar estos
113
importantes temas es necesario manejar el
concepto de Distribución en el
Muestreo o Distribución Muestral que es la base para comprender los métodos
y herramientas de la inferencia estadística.
2.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
Un objetivo que se presenta frecuentemente en las investigaciones de
diferentes áreas es conocer el promedio de alguna característica cuantitativa o la
proporción de individuos que poseen determinada característica cualitativa. Por
ejemplo, la edad media de las “mujeres de una dada región que usan determinado
servicio” (Población Objetivo); o la proporción de “egresados universitarios de un
país” (Población Objetivo) que hacen una carrera de postgrado. En general, las
características
de
interés
en
un
estudio
se
denominan
parámetros
poblacionales. En los ejemplos dados los parámetros poblacionales son la media
y la proporción y generalmente se denotan con a lamedia y con a la
proporción.
Para determinar los parámetros poblacionales se requiere conocer los
valores de la variable para todos los individuos de la población, por ejemplo
para determinar la edad media se requiere conocer la edad de todas las mujeres
que usan el servicio. Sin embargo, no siempre es posible obtener la información
de todos los individuos que componen la población por razones de costo en
tiempo y dinero, y cuando eso ocurre se hace necesario recurrir a una muestra
de la población. Luego, a partir de los datos de la muestra se busca una manera
de combinar la información de la muestra para obtener la característica de
interés.
En el ejemplo donde el parámetro de interés es la edad media, se toma
una muestra de n (tamaño de la muestra) mujeres de la población y se calcula el
promedio de las edades en la muestra. Surge entonces el interrogante a cerca de
cual medida de promedio se usará (media aritmética o mediana). Cualquiera
114
sea la medida que se use, cada una de ellas recibe el nombre de estimador o
estadístico. Si se conviene en usar la media aritmética, o sea, la media
muestral x , ella es en este caso el estimador de la media poblacional 
Se debe observar que para obtener el valor de x se debe combinar los
valores observados en la muestra (suma de los datos divida en el número de
observaciones) y esto ocurre con cualquier estadístico o estimador de una
parámetro, de manera que formalmente se puede dar la siguiente definición:
Definición 1: Un estadístico o estimador es una función de los valores
observados en los individuos que componen la muestra, es decir, es la expresión
matemática que indica la forma de combinar los datos
La Tabla 5.1 muestra los símbolos de los parámetros y sus respectivos
estimadores de uso más frecuentemente en medicina.
Tabla 5.1: Símbolos usuales para parámetros y estadísticos
Características
Media
Desvío
estándar
Varianza
Correlación
Proporción
Símbolo del
parámetro
Símbolo del
Estadístico





x
s
s2
r
p
El valor que toma el estimador para una particular muestra se denomina
una estimación del parámetro poblacional. Por ejemplo, si en una muestra de
100 mujeres se calcula el valor de la media aritmética de las edades y se obtiene
x = 25.5 años, entonces 25.5 representa un particular valor de x , es decir es una
estimación del estimador. Obviamente con cada posible muestra se tendría un
valor diferente del estimador, es decir, se obtendría una estimación diferente
115
para el parámetro de interés. Por lo tanto, un estimador toma diferentes valores
para cada muestra, es decir, varía de muestra en muestra. Teniendo en cuenta
este aspecto de un estimador se puede dar una segunda definición de
estimador:
Definición 2: Un estadístico o estimador es una variable que toma diferentes
valores para cada muestra seleccionada.
De esta manera, las estimaciones dependen de la particular muestra con
que estemos trabajando.
En resumen, Si se está interesado en conocer algún parámetro de una población
de interés (media, proporción, coeficiente de correlación, etc.), y no es posible
observar o medir a todos los individuos de la población para obtener el valor de
dicho parámetro, entonces, una posibilidad es obtener una muestra de tamaño n
y conseguir una estimación de parámetro usando un estimador del parámetro.
Por otra parte, si se pudiera extraer todas las posibles muestras del
mismo tamaño (n) de la población de interés y con cada una de ellas se calcula
el valor del estimador o estadístico correspondiente, se obtendría todas las
estimaciones posibles del parámetro. Luego a partir de ellos se podría construir
la distribución de probabilidad del estadístico, tal distribución de probabilidad
que recibe el nombre de distribución muestral del estadístico de interés.
Cabe preguntarse por qué es tan importante el concepto de distribución
muestral, la respuesta es simple, cuando se quiere estimar un parámetro
poblacional (característica de la población) a partir de una muestra surgen otros
interrogantes como:

¿Qué tan buena es la estimación obtenida?
116

¿Se puede llegar a la conclusión de que el parámetro de la población
es idéntico al estadístico de la muestra o es probable que exista algún
error?.

Si es así, ¿qué tan grande es dicho error?
Para responder a estas preguntas se debe comparar los resultados obtenidos a
partir de las muestras con los resultados “esperados”. Los resultados esperados
surgen justamente a partir de la distribución muestral del estadístico y de allí la
importancia de ella.
Surge ahora otro problema, es más costoso (y a veces imposible) obtener
todas las muestras aleatorias de tamaño n para construir la distribución
muestral del estadístico o estimador, que observar a todos los individuos de la
población. De manera que se plantean ahora nuevos interrogantes: ¿cómo
obtener la distribución muestral si se tiene sólo una muestra de la población?
Para responder esta pregunta se debe tener en cuenta que la distribución
muestral del estadístico depende de:

La distribución de la población, es decir, de la distribución de probabilidad de la
variable de interés (por ejemplo edad de las mujeres que usan un servicio)

Del parámetro de interés (media, variabilidad)

Del estadístico que se elija para estimar el parámetro (media aritmética o
mediana, desvío estándar muestral o rango intercuartos)

De la forma de selección aleatoria de la muestra.

Del tamaño de la muestra.
La relación existente entre la distribución de probabilidad de la población
y distribución muestral del estimador) es la que nos permite hacer afirmaciones
sobre el parámetro poblacional y cuantificar el error de dichas afirmaciones.
En efecto, la teoría estadística inferencial provee de herramientas que
permiten conocer, aunque sea aproximadamente, la distribución muestral del
117
estadístico, y luego, como ya se dijo, a partir de ella conocer el valor esperado
del estadístico. De esta manera, es posible evaluar la precisión de la estimación
obtenida con la muestra y cuantificar el error de las afirmaciones que se hagan
sobre el parámetro poblacional.
Para clarificar estos conceptos, se considera el caso en que el parámetro
poblacional es la media  y el estadístico para estimarla es la media
aritmética x , obtenida a partir de una muestra de tamaño n de la población.
Como ya se dijo, si se quiere obtener la distribución muestral de x ,
extrayendo todas las muestras de tamaño n, esto consumiría más tiempo que el
requerido para tomar la información de toda la población y, en consecuencia,
sería poco práctico. En su lugar, es posible usar la teoría estadística para
determinar la distribución muestral de la media aritmética en cualquier
situación particular, siempre que se cumplan algunas condiciones para la
distribución de probabilidad de la variable que se está estudiando (Ver Figura
2).
Ejemplo 1: En una planta embotelladora de bebida se encuentra que la máquina
embotelladora está presentando una notable variabilidad en el llenado. Para analizar este
problema se lleva a cabo un estudio donde se define que la variable de interés X será la
cantidad de bebida que contienen las botellas. Supongamos que la distribución de
probabilidad de X es tal que la media poblacional es  = 1,2 litros de bebida, con un
desvío estándar  = 0,2 litros. Supongamos ahora, que se desconoce esta información y
se quiere estimar la media poblacional  tomando una muestra aleatoria de tamaño
n=100 de la población de botellas. La media aritmética calculada a partir de la muestra
dio un valor x =1,22 litros.
Para hacer afirmaciones sobre la precisión de la estimación que dé
algún grado de confianza en el valor encontrado a través de la muestra, se
necesita conocer la distribución muestral de x .
118
Las propiedades de la distribución muestral de x son la base para uno de
los teoremas más importantes de la teoría estadística, llamado Teorema del
Límite Central, que se enuncia a continuación sin mucha formalidad.
Dada una población con media x y desviación estándar x (finita), la
distribución muestral de la media basada en muestras aleatorias repetidas de
tamaño n (grande) tiene las siguientes propiedades:
1. La media de la distribución muestral de x , es decir, el valor esperado
 x = E( x ) de la distribución de probabilidad de x , es igual a la media x de la
distribución de probabilidad de la variable X.
2. El desvío estándar en la distribución muestral de x es igual a

n
. Esta
cantidad es denominada error estándar de la media (SEM).
3. Con muestras de tamaño grande, la distribución muestral de x sigue un
modelo teórico denominado modelo de distribución normal, sin importar la
forma de la distribución de la población original, siempre que se cumplan las
condiciones mencionadas.
Otra manera de expresar este resultado y que resulta útil para expresar
los resultados de los métodos de inferencia es la siguiente:
Teorema del límite central:
Independiente de la distribución que tenga la variable aleatoria X, siempre que tenga
media  y varianza 2 finitas, al hacerse lo bastante grande el tamaño de muestra n,
entonces la distribución del estadístico

X 
Z
/ n
es Normal con media 0 y varianza 1, es decir, N(0, 1).

119
(1)
Unidad V: Elementos de Inferencia Estadística
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ARITMÉTICA (X)
DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN DE X
DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN DE X CON
MEDIA
DESVÍO
ESTÁNDAR
NORMAL CON


MEDIA

DESVÍO
ESTÁNDAR

n
ERROR ESTÁNDAR
x1
M1
x2
M2
/ n
x3

x4
M3
M4
+/ n
...
.
X
Mm
POBLACIÓN DE X
xm
POBLACIÓN DE X
MUESTRAS DE TAMAÑO n
Figura 5.2: Distribución muestral de la media aritmética (estadístico).
121
Unidad V: Elementos de Inferencia Estadística
El resultado enunciado da la base para toda la inferencia estadística sobre
la media.
Observación:
Aunque siempre hay excepciones, tamaños de muestras de n = 30, o más, en la
gran mayoría de los casos aseguran la validez del teorema del límite central, es decir, la
distribución muestral para x tendrá aproximadamente una distribución normal para n
 30 si  es conocido.
En el ejemplo, y de acuerdo a lo enunciado, la distribución muestral de x
será aproximadamente normal con media  x = 1,20 litros y con un error
estándar dado por
SE( x ) = SEM =

n
=
0 .2
= 0.2/10 = 0.02.
100
La importancia del SEM y del resultado enunciado radica en que a partir
de él se puede hacer la siguiente afirmación: si el tamaño de muestra es grande
aproximadamente el 95% de las muestras darían valores de x en un intervalo
que va desde -2SEM a +2SEM, es decir, existe una probabilidad del 95% de
que el valor calculado de x se encuentre dentro de ese intervalo.
Obviamente, en la práctica siempre se desconoce el valor de  y casi
siempre el valor de , de manera que esto es sólo el respaldo teórico de toda la
inferencia estadística, como se verá en las secciones subsiguientes.
Ejemplo 2: En el ejemplo anterior si  y  son conocidos, entonces se puede afirmar
que aproximadamente el 95% de las muestran de tamaño n = 100 darían valores de x
entre 1,2 - 0.04 y 1,2 + 0.04, es decir entre 1,16 litros y 1,24 litros, o bien que existe una
probabilidad del 95% que el valor encontrado para x se encuentre dentro de ese
intervalo.
122
Como ya se dijo, la distribución muestral del estimador depende del
estadístico elegido para estimar el parámetro poblacional, por ejemplo, si el
estimador elegido para estimar la media poblacional no es x sino la mediana,
entonces el cálculo de su error estándar y su distribución muestral no sigue
exactamente lo enunciado para el caso de x . La teoría que permite establecer la
distribución muestral de la mediana está fuera del alcance de este curso, de
manera que no será tratada aquí.
Del mismo modo que la media poblacional , por lo general, es
desconocida, es probable que el desvío estándar de la población , tampoco sea
conocido.
En el caso en que  sea desconocido, él debe ser estimado usando los
datos de la muestra. Un estimador razonable para , como ya se vio en las
unidades previas, es el desvío estándar de la muestra
n


  xi  x 

S  i 1
n 1
2
(2)
Reemplazar  por S en (1) resulta razonable ya que se puede demostrar
que S2 es un estimador insesgado de 2, es decir, E[S2] = 2. Sin embargo, la
distribución muestral del estadístico que resulta de esa sustitución, es decir,

X 
t
S/ n
(3)
ya no es N(0,1) debido a que se usa una estimación para  y en consecuencia se
introduce en la expresión (3) una variabilidad adicional. En efecto, el estadístico
t definido en (3) posee una distribución denominada t de Student, la cual tiene
una apariencia similar a la distribución normal, simétricas y en forma de
campana, pero la distribución t es más dispersa. El único parámetro de la
distribución t de Student es el denominado grados de libertad y que en este caso
se encuentra relacionado al tamaño de muestra n, y ello se expresa diciendo que
el estadístico
123
el estadístico t dado en la expresión (3) tiene distribución t de Student
con (n – 1) grados de libertad.
3.
ESTIMACIÓN
En esta Sección se dará algunas propiedades que debería cumplir un
estimador para conseguir estimaciones confiables del parámetro de interés. Se
considerará diferentes formas de estimación y se estudiará una manera de
medir la precisión en la estimación.
3.1. ESTIMACIÓN PUNTUAL
El valor obtenido del estadístico o estimador a partir de una muestra,
recibe también el nombre de Estimación Puntual.
En el ejemplo de la embotelladora es claro que el interés no es conocer la
cantidad de bebida promedio en el grupo particular de botellas que pertenecen
a la muestra, sino en toda la población. Por otra parte, la media calculada a
partir de los datos de la muestra es sólo “una estimación” de la cantidad de
bebida media en la población de botellas. Cabe preguntarse ahora cuáles son las
propiedades de que debería tener un estimador (media, mediana) para que sea
considerado como bueno y que nos facilite la elección entre un estadístico y
otro.
Es claro que al obtener una estimación puntual su valor dependerá de la
muestra que se haya seleccionado y que el valor encontrado puede cambiar de
muestra en muestra. De esta manera, las propiedades deseables serían que cada
estimación no se encuentre muy alejada del verdadero valor del parámetro, y
por otra parte, que no haya demasiada variabilidad entre los valores del
estadístico, obtenidos de muestra en muestra. Esto se puede formalizar
definiendo algunas propiedades a tener en cuenta de los estadístico, a saber:
124
1. Insesgado: Informalmente esto significa ausencia de error sistemático. De una
manera más formal, un estadístico cualquiera q se dice insesgado si la media de su
correspondiente distribución muestral es igual al parámetro de interés Q, es decir,
E[q] = Q.
2. Eficiente: Significa que las estimaciones obtenidas para distintas muestras varían
poco entre ellas. De una manera más formal, el estimador más eficiente dentro de un
conjunto de estimadores insesgado será aquel que tiene la menor varianza.
3. Consistente: Informalmente, un estadístico Q se dice consistente si su variabilidad
disminuye cuando aumenta el tamaño de muestra.
Se puede demostrar que la media aritmética es un estimador insesgado y
eficiente de la media poblacional.
Si la variabilidad de las estimaciones se mide a través del
desvío
estándar, este desvío estándar recibe el nombre de error estándar del estimador
(SE).
Observaciones:
1. No debe confundirse “desvío estándar” de la distribución de la población
(variabilidad entre los individuos) con “error estándar” del estimador que es el
desvío estándar de la distribución muestral (variabilidad entre las estimaciones de
las muestras).
2. Es muy probable que el estadístico insesgado más eficiente no estime el parámetro
poblacional con “exactitud”, esto se debe a que en realidad cuando realizamos la
estimación sólo tomamos una muestra, y obtenemos uno de los posibles valores del
estadístico que en general no tiene porque coincidir con el valor del parámetro que se
quiere estimar.
3.2. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
Si bien la precisión se incrementa con muestras grandes no hay razón
para esperar que la estimación puntual de una muestra dada deba ser
125
exactamente igual al parámetro poblacional que se supone estima. Entonces,
existen muchas situaciones en las cuales es preferible determinar un intervalo
dentro del cual se esperaría encontrar el valor del parámetro, tal metodología se
conoce como estimación por intervalos y el intervalo se denomina Intervalo de
Confianza
Los Intervalos del Confianza son intervalos aleatorios obtenidos a partir
de los datos y en los cuales hay un grado de confianza prefijado (medido en %)
de que dicho intervalo contenga al verdadero valor del parámetro que se quiere
estimar.
El grado de confianza se denomina nivel de confianza y se lo denota
como 100(1-)%, donde  se considera a menudo como la probabilidad de
cometer un error, ya que indica la proporción de veces en que uno se equivoca o
comete un error al suponer que el intervalo contiene al parámetro poblacional.
De esta manera, 1- será la proporción de veces que los distintos intervalos de
confianza contienen al parámetro. Usualmente el valor 100 (1- )% se lo fija en
el 95%, lo que llevaría a establecer que en promedio sólo en el 5% de los casos se
cometería error al suponer que el intervalo contiene al verdadero valor del
parámetro.
Para encontrar estos intervalos debemos conocer la distribución muestral
de cada estimador, que como ya se vio esto depende del parámetro de interés y
del estadístico que se elija para estimar dicho parámetro. Sin embargo es posible
dar la forma general que adopta un intervalo de confianza en cualquier caso.
En general, si que se quiere estimar un parámetro
través del estadístico
 de
la población a
ˆ , y si el error estándar de la distribución de ˆ , que se lo
denotará con SE(ˆ ), entonces un intervalo de confianza para
confianza del 95% (IC95%) viene dado por la expresión:
126

con una
IC95% = [ˆ – k1SE(ˆ ) , ˆ + k2SE(ˆ )]
(4)
donde k1 y k2 dependen de la forma de la distribución muestral de q.
Ejemplo 3: En el ejemplo de la embotelladora un intervalo de confianza para el
parámetro poblacional

= , con una confianza del 95%, correspondiente a una
estimación de
ˆ
= x = 1.22 litros,
calculada a partir de la muestra de tamaño n = 100, y suponiendo que se conoce el
desvío estándar de la población, es decir,  = 0.2 litros, está dado por:
IC95% = [ x – k1SE( x ) , x + k2SE( x )]
donde SE( x ) = SEM =

n
= 0.02 y k1 = k2 = 1.96 se obtienen a partir de la distribución

X 
muestral de
, que como se vio en la Sección anterior ella N(0, 1). Por lo tanto,
/ n
IC95% = [1.22 – 1.96x0.02 ; 1.22 + 1.96x0.02] = [1.1808 ; 1.2592]
Otra manera alternativa de expresar los IC para la media poblacional
cuando se usa a la media aritmética como estimador es la siguiente:
x
z 2 
(5)
n
o bien
x
z 2 
n
  x +
donde
127
z 2 
n
(6)

z  2 = valor de z tal que el área debajo de la curva de la función
de densidad de una distribución normal correspondiente al
intervalo [ z  2 , ) es igual /2 si n es grande (este valor es
1.96).

n = tamaño de la muestra

 = desviación estándar de al población muestreada
Ejemplo 4: Una corporación quiere emitir algunos pagarés a corto plazo y espera que
los intereses que tendrá que pagar no sean mayores a 11,5%. Para obtener cierta
información acerca de la tasa media de interés que habría que pagar, la corporación pone
a la venta 40 pagarés, uno a través de cada una de 40 firmas de corretaje. Los valores del
interés se suponen que tienen una distribución normal con media  y varianza 2
conocida, tal que  = 0,31%. A partir de la muestra de tamaño n = 40, se obtiene una
estimación de , dada por x = 10,3%. Luego, usando la expresión (2) el IC del
100(1-
)% para la media poblacional de una distribución normal es:
10.31 
1.96 x0.31
1.96 x0.31
1.96 x0.31
, o bien, 10.31 
   10.31 +
40
40
40
Haciendo los cálculos se obtiene que:
10.21    10.41
De mismo modo que la media de la población es desconocida, por lo
general también se desconoce el valor real del desvío estándar y, por lo tanto, se
necesita estimar dicho parámetro a partir de los datos de la muestra utilizando
el estadístico S. En este caso la primera expresión de (6) adopta la forma
x
t ( n1), / 2 S
n
128
(7)
donde se reemplaza  por S y z(/2) por t(n-1),
/2
que es el valor crítico de la
distribución t con n-1 grado de libertad.
Ejemplo 5: Si en el estudio de tasa principal de bancos  es desconocido y se tiene una
muestra de tamaño 50 y el valor obtenido de x = 9,1% y como estimador de  se usa
2
n 50
S


  xi  x 
 , dando en este caso el valor S = 0,24, entonces, reemplazando este
i 1 
n 1
valor en la expresión (7), donde además se reemplaza z(/2) por t(n-1), /2. Luego, el valor
estimado del error estándar será,
SE x  
S
0.24

 0.034
n
50
y el valor de t(n-1),/2 = 2.01. Luego, el intervalo de confianza para la media poblacional
con una confianza del 95% está dado por:
IC95% = [9.1 – 2.01x0.034; 9.1 + 2.01x0.034] = [8.96; 9.10]
Observaciones:
1. El valor de kiSE(q) del intervalo de confianza para el parámetro q se lo puede
entender como cota para el error de estimación. En el último ejemplo se tiene
entonces, que esta cota es 1.96x0.034=0,07. Esto se interpreta como que la
probabilidad de que el error sea menor a 0,07 es 0,95. Así, la cota para el error de
estimación, 7%, proporciona una medida de la exactitud para la estimación
efectuada por la empresa de investigaron de mercado.
Actividad 5.2:
1. Se relaciona muchas veces un incremento en la proporción de ahorros de los
consumidores a una falta de la confianza en la economía, y se dice que ello es un
indicador de una tendencia de recesión económica. Una muestra aleatoria de n=200
cuentas de ahorro en una comunidad local, mostró un incremento medio en los
129
valores de las cuentas de 7,2% en los últimos 12 meses y una desviación estándar de
5,6%.
a) Estime el intervalo de confianza para el aumento porcentual promedio en las
cuentas de ahorro en lo últimos 12 meses, para ahorradores de la comunidad.
b) Obtenga una cota para su error de estimación.
2. Escriba la expresión para el IC para el parámetro de la distribución binomial cuando
n es mayor de 30.
3.3. TEST DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA
En la sección anterior tratamos la estimación y precisión de los
estimadores, que conforman una de las dos áreas principales de la Inferencia
estadística. En esta sección presentaremos una forma diferente de obtener
inferencia acerca de parámetros poblacionales, probando hipótesis respecto a
sus valores.
Un test de hipótesis es una metodología o procedimiento que permite
cuantificar la probabilidad del error que se cometería cuando se hace una
afirmación sobre la población bajo estudio, es decir, nos permite medir la fuerza
de la evidencia que tienen los datos a favor o en contra de alguna hipótesis de
interés sobre la población.
Se introducirá la idea de tests de hipótesis a través de un ejemplo
hipotético.
Ejemplo 6: Una industria usa como uno de los componentes de las máquinas de
producción una lámpara especial importada que debe satisfacer algunas exigencias. Una
de esas exigencias está relacionada a su vida útil en horas. Esas lámparas son fabricadas
por dos países y las especificaciones técnicas varían de país a país. Por ejemplo el
catálogo del producto americano afirma que la vida útil media de sus lámparas es de
15500 horas, con un SD de 1200. Mientras que para el producto europeo la media es de
16500, y el SD es de 2000.
130
Un lote de esas lámparas de origen desconocido es ofrecido a un precio muy conveniente.
Para que la industria sepa si hace o no una oferta ella necesita saber cual es el país que
produjo tales lámparas. El comercio que ofrece tales lámparas afirma que será divulgada
la vida útil media de una muestra de 25 lámparas del lote antes de la oferta. ¿Que regla
de decisión deben usar los responsables de la industria para decir que las lámparas son
de procedencia americana o europea?.
Una respuesta que surge inmediatamente es la de considerar como país productor aquel
en la cual la media de la muestra se aproxima más a la media de la población. Así, la
decisión sería si x  16000 (el punto medio entre 15500 y 16500) diremos que es de
procedencia americana; en caso contrario diremos que es de procedencia europea.
Suponga que en el día de la licitación se informó que, de acuerdo con la regla de decisión
diríamos que las lámparas son de origen americano. ¿Podemos estar herrados en esa
conclusión?. O en otras palabras, ¿es posible que una muestra de 25 lámparas de origen
europeo presente una media de 15800? Si, es posible. Entonces, para un mejor
entendimiento de la regla de decisión adoptada, es interesante estudiar los tipos de
errores que podemos cometer y las respectivas probabilidades de cometer esos errores.
Los tests de hipótesis consisten en confrontar dos hipótesis, una llamada
hipótesis nula que denotamos con Ho y otra llamada hipótesis alternativa
denotada con H1. En el ejemplo las hipótesis que se plantean son:
En el ejemplo las hipótesis consideradas son
Ho Las lámparas son de origen europeo, esto equivale a decir que la vida útil X de
cada lámpara sigue una distribución con media =16500 horas y un SD=2000
horas.
H1; Las lámparas son de origen americano, es decir la media poblacional =
15500 horas con un SD=1200 horas.
Bajo este planteo un test de hipótesis estadística no es otra cosa que un
procedimiento para tomar una decisión, bajo incertidumbre, sobre la validez de
la hipótesis nula usando la evidencia de los datos. Puesto que trabajamos bajo
131
incertidumbre es claro que cualquiera sea la decisión que tomemos siempre
existe una probabilidad de cometer error. A fin de clarificar esto podemos
presentar el siguiente esquema:
Tabla 5.2. Esquema del procedimiento
Decisión
Rechazar Ho
No rechazar Ho
Realidad sobre Ho
Cierta
Falsa
Error Tipo I
Decisión correcta
Decisión correcta
Error Tipo II
Como se puede ver en el esquema, con cada tipo de decisión que se tome
hay asociado una posibilidad de cometer un error. Un procedimiento de este
tipo sería óptimo cuando las probabilidades de cometer un error, cualquiera sea
la decisión que se adopte, sean pequeñas. Lamentablemente, en la mayoría de
los tests de hipótesis sólo es posible controlar una de ellas, con la circunstancia
agravante de que estos errores son competitivos, es decir, cuando se disminuye
mucho la probabilidad de uno aumenta la probabilidad del otro.
Puesto que, el interés generalmente es “rechazar Ho” la probabilidad de
error que se controla durante este procedimiento, es justamente el error
asociado a esta decisión (Probabilidad del Error Tipo I), es decir,
la
probabilidad de rechazar Ho cuando es cierta. La máxima probabilidad de error
tipo I se denota con  y recibe el nombre de nivel de significación del test y él
debe ser prefijado de antemano. La probabilidad de Error Tipo II se denota con
 y es útil para encontrar la bondad del test que se mide en términos de la
cantidad 1- denominada Poder del Test.
El nivel de significación que se usa generalmente es =0.05 lo que
corresponde a un 5% en término de porcentaje.
132
Retomando el ejemplo vamos a indicar por RC una región determinada
por los valores de X menores que 16000, es decir RC={X  16000}. El valor 16000
se denomina punto crítico y se denotará como xc.
10000
12000
14000
Región de Aceptación de H0
16000
18000
20000
Región de Rechazo de H0
Figura 5.3: Valores posibles del estadístico del test
Con las notaciones indicadas arriba, la probabilidad de cometer cada uno
de los errores puede ser escrita del siguiente modo:
 P[Error Tipo I] = P[ X pertenezca a RC | H0 es verdadera] = .
 P[Error Tipo II] = P[ X no pertenezca a RC | H0 es falsa ] = 
Ejemplo 7: En el ejemplo 6, cuando H0 es verdadera, es decir, las lámparas son de
origen europea, sabemos del teorema central del límite que x , o sea la media de las
muestras de tamaño 25, tendrán distribución aproximadamente normal con media
16500 y  =
2000
 400 , es decir X  N(16500, 1600). Entonces,
25
P[Error Tipo I] = P[ X  RC | H0 es verdadera] =
= P[ X  16000 | X  N(16500, 1600)] = P[ Z  (16000 – 16500)/
400]
= P[ Z  -1.25] = 0.106 = 10.6%.
Para cada regla de decisión adoptada, es decir, para cada valor crítico xc se
obtiene un valor de probabilidad de error tipo 1. Por otra parte, si xc se elige menor que
15000  disminuye pero  aumenta.
Sin embargo, se puede proceder de manera inversa, es decir, fijado 
encontramos la regla de decisión que corresponderá a una probabilidad de error 1 igual a
.
133
Ejemplo 8: Si se toma  = 5%, y se procede a encontrar la regla de decisión
correspondiente:
5%= P[Error Tipo I]= P[ X  xc | X  N(16500, 1600)] = P[Z < -1.645],
pero se sabe que, para una distribución normal estándar
 1.645 
xc  16500
400
de donde xc = 15842 horas. Entonces, la regla de decisión será
“Si X fuera inferior a 15842 se dice que el lote es americano, en caso contrario
se dice que es europeo”.
Con esta regla la probabilidad de error tipo II será
P[Error Tipo II] = P[ X > 15842 | X  N(16500, 1600)] =
= P[Z > 1.425] = 7.93%
134
AMERICANO
EUROPEO
5%
7.93%
15500
15842 16500
Figura 5.4: Distribución muestral de X para el caso de la procedencia de lote de
lámparas
Procedimiento general de un test de hipótesis basado en la región de rechazo
Se
da ahora una secuencia de pasos que puede ser usada
sistemáticamente para cualquier test de hipótesis.
1) Iniciar el procedimiento estableciendo, de manera clara y explícita,
cuál es la hipótesis nula, es decir, H0.
2) Usar la teoría estadística para construir un indicador de concordancia
entre los datos y la hipótesis nula. Este indicador denominado
estadístico del test será usado para juzgar la hipótesis H0.
3) Fijar el nivel de significación deseado , que es el máximo error
aceptable cuando se rechaza H0, y usar este valor para construir la
región crítica.
4) Calcular el valor del estadístico a partir de la muestra.
5) Si el valor del estadístico pertenece a la región crítica, entonces
rechazar H0. En caso contrario, lo que se puede afirmar es que no hay
suficiente evidencia para rechazar H0.
6) Si se dispone de una hipótesis alternativa y de la distribución del
estadístico del test bajo la suposición que vale la hipótesis alternativa,
se puede calcular la probabilidad de error Tipo II.
135
Procedimiento general de un test de hipótesis basado en el P-value
Otro procedimiento general de un test de hipótesis más usado en la actualidad
debido a la disponibilidad de paquetes de programas estadísticos, consiste en tomar la
decisión a partir de la probabilidad del error Tipo I que brindan las salidas de tales
paquetes de programas, denominado P-value o simplemente P. Este procedimiento lo
podemos resumir en los siguientes pasos:
1. Suponer que Ho es cierta.
2. Para confrontar esta suposición con la información (parcial) que
proveen los datos sobre la realidad de Ho, se forma “una especie de
indicador” de concordancia, denominado estadístico del test, el cual
es función del de los datos.
3. Como el estadístico depende de la información de los datos, con cada
muestra posible hay asociado un valor de este estadístico y en
consecuencia se genera una nueva variable aleatoria. Asociada a esta
variable hay una cierta distribución de probabilidad, a partir de la
cual se determina la probabilidad de que la información de los datos
concuerde con la hipótesis nula, denominado “P-value”. De esta
manera, el “P-value” representaría la probabilidad de cometer un
error cuando se toma la decisión de rechazar Ho.
4. Es claro que si de antemano se fija que la máxima probabilidad de
error al rechazar Ho debe ser igual a , otra manera de tomar la
decisión es comparar el valor del P- value con . Así

Si P   entonces la decisión es Rechazamos Ho

Si P >  la decisión es No hay evidencia suficiente para rechazar
Ho
136
3.3.2. PRUEBAS DE HIPÓTESIS UNILATERALES Y BILATERALES
Las pruebas o test de hipótesis se relacionan con los parámetros
poblacionales (medias o proporciones, etc.). Se puede utilizar los estimadores
puntuales de los parámetros poblacionales como estadístico del test en cuestión.
Supongamos, como ilustración que se utiliza el símbolo  para denotar el
parámetro poblacional de interés, por ejemplo,  puede ser , (1- 2), p ó (p1p2), y el símbolo
ˆ
para denotar el estimador puntual insesgado
correspondiente.
Desde el punto de vista práctico se puede tener interés en contrastar la
hipótesis nula H0:  = 0, contra la alternativa de que el parámetro poblacional

es mayor que 0, o sea H1:  > 0. En esta situación, se rechazará H0 cuando 
sea grande, o sea cuando el estadístico del test sea mayor que un cierto valor
llamado valor crítico, que separa las regiones de rechazo y no rechazo del test
(Ver Figura 5.3).
La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta será igual
al área bajo la curva de la distribución muestral del estadístico del test sobre la
región de rechazo. En el caso que estemos trabajando con una distribución

normal, y un  = 0,05, se rechaza la hipótesis nula cuando  se encuentre a más
de 1,645  ˆ a la derecha de 0. De esta manera, se puede definir como
Una prueba estadística de una cola o unilateral es aquella en la que la
región de rechazo se localiza solamente en una cola o extremo de la
distribución muestral del estadístico del test.
Para detectar  > 0, se sitúa la región de rechazo en la extremidad de valores

superiores a  . Para detectar  < 0 se ubica la región de rechazo en la extremidad


izquierda de la distribución de  , o sea para valores inferiores a  .
137
Si hay que detectar diferencias mayores o menores de 0, la hipótesis alternativa
será
H1:    0
es decir
 > 0
o bien
 < 0
En este caso la probabilidad de error Tipo I  se repartirá entre las dos
colas de la distribución muestral del estadístico, y se rechazará H 0 para

valores de  mayores que un valor crítico (0 + C) o menor que (0- C).
Esta prueba se llama prueba estadística bilateral o de dos colas.
3.3.3. CASOS PARTICULARES DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS
1) Caso 1: Prueba de hipótesis para la media de una población
Sea una población con media  y desviación estándar , y se tiene
interés de ver si la media poblacional es un dado valor 0. Se toma una
muestra aleatoria de tamaño n de esta población. Por lo que el procedimiento
a seguir será:
a) Hipótesis nula H0:  = 0
b) Estimador puntual de la media poblacional x . Por el teorema del límite
central, el cual, en esencia, establece que bajo ciertas condiciones,
cualquiera la distribución de X, la variable aleatoria X tiene una
distribución aproximadamente normal con media  y desviación
estándar

n
para el tamaño de muestra grande.
c) Hipótesis alternativa
Prueba de una cola
Prueba de dos
colas
H1:  > 0 (o bien  < 0)
138
H1:    0
d) Si la población tiene una distribución normal, o estamos trabajando con
un tamaño de muestra grande (mayor a 30), y la desviación estándar es
conocida, entonces el estadístico del test será
z
x  0
x

x  0

,
(11)
n
Este estadístico tiene distribución normal con media 0 y desvío estándar
1, bajo la hipótesis nula.
e) Si la población es normal y no se conoce la desviación estándar, se utiliza
su estimación puntual s, en cuyo caso el estadístico del test tiene la forma
t
x  0
s
n
(12)
que tiene una distribución t,(n-1) con (n-1) grados de libertad, bajo la
hipótesis nula.
f) Región de rechazo
Prueba de una cola
Prueba de dos colas
En el caso del apartado d) En el caso del apartado
d)
z > z (o bien z <- z)
z  z 2 o z   z 2
En el caso del apartado e) En el caso del apartado
e)
t > t,(n-1) (o bien t <- t,(n-
t  t
1))
2
, n 1
o t  t
2
, n 1
Ejemplo 9: La producción diaria en una planta industrial química registrada durante
n = 50 días, tiene una media muestral x = 871 toneladas. Se quiere probar la hipótesis
139
de que el promedio de la producción diaria del producto químico es  = 880 toneladas
por día, contra la alternativa de que la media es distinta de 880 toneladas diarias.
Supongamos que se conoce que el desvío estándar de la población es  = 21 toneladas
diarias.
La hipótesis nula es
H0: =880 toneladas
Contra la alternativa
H1:   880 toneladas
La estimación puntual para la media poblacional es x , por lo tanto , el
estadístico del test está dado por la expresión (11)
z
x  0


n
871  880
 3.03
21
50
Para un  = 0,05, la región de rechazo es z > 1,96 o z < -1,96.
Observación:
1. Si el estadístico del test es Z como el definido en (1) y donde  = 0, entonces, si Z es
menor que –1,96, entonces decimos que se rechaza la hipótesis nula al nivel del 5%.
2. El intervalo de confianza de 100(1-)% del parámetro  (parámetro poblacional de
interés), está relacionado con una prueba de hipótesis estadística, de dos colas, del
parámetro
x  1,96
poblacional,

n
 871  5,82
con
nivel
.
En
el
ejemplo,
el
intervalo
es de tal manera que en un muestreo repetitivo, el
100(1-)% = 95% de los intervalos contendrán al verdadero valor de la media
poblacional. Como el valor 880 no cae dentro de este intervalo, entonces nos
inclinamos a rechazar la hipótesis de que  = 880.
Actividad 5.3:
140
Un vendedor de coches nuevos calcula que su compañía tiene un 4,8% de ganancias
promedio en la venta de los autos nuevos asignados. El gerente de venta aprobó los
precios para producir ese porcentaje de ganancias. El dueño de la compañía quiere estar
razonablemente seguro de que la decisión es correcta, para ello se toma una muestra
aleatoria de 30 coches en la cual se obtiene una media y un desvío estándar del
porcentaje de ganancia de 4,5% y 3,9% respectivamente.
a)
Examine los datos y utilizando solamente la intuición ¿Cree que ellos apoyan la
hipótesis del gerente de venta?
b)
Para realizar un test de hipótesis estadística en este caso usaría el estadístico t o z.
Explique su respuesta.
c)
Usando el procedimiento de un test de hipótesis para la ganancia media, ¿aportan
los datos evidencia suficiente que indique que la política del gerente de ventas al
aprobar los precios genera una ganancia media de 4,8% por coche al nivel del
5%?. (Sugerencia: use uno de estos valores para el estadístico seleccionado Z(0.025)
= 1.96 y t 0.025 ,30 1  2.045 )
d)
El dueño de la compañía quiere estar razonablemente seguro de que la decisión es
correcta y para lograrlo, él quiere contrastar la hipótesis nula con  = 0,01.
(Sugerencia: use uno de estos valores para el estadístico seleccionado Z(0.005) = 2.58
y t 0.005 ,30 1  2.7564 )
e)
Obtenga la región de rechazo para la prueba del apartado c)
2) Caso 2: Test de hipótesis para la diferencia de las medias de dos poblaciones.
Supongamos tener dos poblaciones con medias 1 y 2 y con desvíos
estándares 1 y 2 respectivamente. Se quiere realizar un test de hipótesis para la
diferencia (1 - 2) basado en muestras independientes de tamaño n1 y n2
observaciones. Por lo que el procedimiento a seguir sería
a) Hipótesis nula
H0: (1- 2) = D0,
141
donde D0 es alguna diferencia especificada que se quiere probar. En muchos
casos se deseará probar la hipótesis de que no hay diferencias entre las medias
de las poblaciones, en cuyo caso D0 será 0 (cero).
b) Estimador puntual de la diferencia de las medias poblacionales ( x1  x 2 )
c) Hipótesis alternativa
Test de una cola
Test de dos colas
H1: (1-2) > D0
H1: 1  2   D0
(o H0: (1-2) < D0)
d) Si las poblaciones tienen distribución normal, o estamos trabajando
con tamaños de muestra grande (mayor a 30), y los desvíos estándares
de las dos poblaciones son:
1. Conocidos y diferentes, entonces el estadístico del test será
z
 x 1  x 2   D 0   x 1  x 2   D0 ,
 x  x 
1
 12
2
n1
+
 22
(13)
n2
donde z tiene una distribución normal con media 0 y desvío
estándar 1, bajo la hipótesis nula.
2. Conocidas e iguales, entonces el estadístico del test será
z
 x1  x2   D 0

1 1
+
n1 n2
(14)
donde z tiene una distribución normal con media 0 y desvío
estándar 1, bajo la hipótesis nula.
3. En el caso de que los desvíos poblacionales sean desconocidos e
iguales entonces se utiliza el estimador
142
s
2
p

n1  1s12 + n2  1s22

n1 + n2  2
(15)
Entonces, el estadístico del test toma la forma
t
 x1  x2   D0
sp
1 1
+
n1 n2
(16)
que tiene una distribución t con (n1+n2-2) grados de libertad, bajo
la hipótesis nula.
Observación:
1. En la situación en que no se puede o no se desea hacer la suposición de que las dos
poblaciones con varianzas iguales tengan distribución normal, la prueba t de
varianzas iguales es robusta (es decir, no sensible) con respecto a las violaciones
moderadas de la suposición de normalidad, siempre y cuando el tamaño de muestra
sea grande. En tal situación, el test t de varianza conjunta puede utilizarse sin que
se vea seriamente afectado en su potencia. Por otro lado, si el tamaño de muestra es
pequeño y no se puede o no se desea hacer la suposición de normalidad de las
poblaciones, se tiene dos alternativas: (a) llevar a cabo alguna transformación
normalizante de los datos, por ejemplo tomar el logaritmo de los datos, y luego
aplicar el test t a los datos transformados; (b) o bien aplicar a los datos originales un
test de distribución libre o test no paramétrico como por ejemplo el test de
rangos de Wilcoxon.
4. En el caso en que no se pueda o no se desee hacer la suposición de
que las poblaciones, normalmente distribuidas, tienen varianzas
iguales y si los desvíos estándares son desconocidos, entonces el
estadístico del test tiene la forma
t 
x 1  x 2   D0 ,
s12 s 22
+
n1 n 2
143
(17)
donde t´ tiene una distribución t con () grados de libertad bajo la
hipótesis nula, y  está dado por

s
s
2
1
2
1
n1 + s22 n2
 
2

2

n1
s2 n
+ 2 2
n1  1
n2  1
2
(18)
d) Región de rechazo
Prueba de una cola
Prueba de dos colas
Para los casos 1 y 2
Para los casos 1 y 2
z > z (o bien z <- z)
z  z 2 o z   z 2
Para el caso 3
Para el caso 3
t > t (o bien t <- t).
t  t 2 o t  t 2
Para el caso 4
Para el caso 4
t´ > t (o bien t´ <- t).
t   t 2 o t   t 2
Observaciones:
1. El uso del estadístico t y t´ requiere que las muestras sean independientes y tengan
distribución normal
2. El uso del estadístico t´ requiere que las poblaciones tengan distribución normal.
3. Un intervalo de confianza del 100(1-)% para 1  2  en el caso 1 está dado por

 12  22 
IC 95%  x1  x 2   z 2
+

n
n2 
1

(19)
4. Un intervalo de confianza del 100(1-)% para 1  2  en el caso 3 está dado por
144

1
1 
IC 95%  x1  x 2   t 2 s p
+ 
n1 n2 

(20)
con los respectivos grados de libertad para t
5. Un intervalo de confianza del 100(1-)% para 1  2  en el caso 4 está dado por

IC 95%  x 1  x 2   t 2

s1 s 2 
+

n1 n 2 
(21)
con los respectivos grados de libertad para t´.
6. De las últimas observaciones se puede inferir, sin mayores dificultades, que un IC
con una confianza del (1 - )100% es equivalente a un test de hipótesis de nivel .
De tal manera que si el IC no contiene al valor del parámetro indicado en la hipótesis
nula, entonces se puede rechazar dicha hipótesis.
7. Si se quiere evaluar las diferencias entre los parámetros de más de dos grupos, por
ejemplo la durabilidad de distintos tipos de cubiertas, no es correcto realizar tales
evaluaciones usando el test de diferencias de medias tomando los diferentes pares de
medias por razones cuya explicación formal está fuera del alcance del curso. Para
solucionar este problema si las mediciones resultantes son continuas y se cumplen
las siguientes suposiciones: i) los datos son obtenidos de manera aleatoria e
independiente o que los individuos sean asignados a los grupos aleatoriamente, ii)
los valores de cada grupo están distribuidos normalmente, iii) la varianza dentro de
cada población debería ser igual para todas las poblaciones, existe una metodología
conocida como análisis de varianza (ANOVA) para comparar la medias de los
grupos y cuya hipótesis nula es H0 : 1 = 2 = …= k. Por otra parte, si los
supuestos ii) o iii) no se cumplen existen metodologías que permiten todavía llevar
cabo las comparaciones deseadas.
Ejemplo 10: Una compañía desea comparar las expectativas salariales anuales de su
personal de ventas femenino y masculino, según un nuevo plan de compensaciones sobre
ventas, mas comisión. Se seleccionó al azar muestras de tamaño 40, una del personal
masculino y otra del personal de ventas femenino y se les pidió que dijeran sus ingresos
145
anuales bajo el nuevo plan. Las medias muestrales y las desviaciones muestrales
resultaron en
x1  $31083
s1  $2312
x 2  $29745
s 2  $2569
La pregunta que surge es, ¿proporcionan los datos evidencia que indique una diferencia
en el promedio de ingreso anual esperado tanto entre los vendedores como las
vendedoras?.
Ya que se espera una diferencia en el promedio del ingreso anual entre las vendedoras y
los vendedores, es decir, 1 < 2 o bien 1 > 2, la hipótesis nula para el test será
H0: 1 = 2 es decir H0: 1 -2 = D0 = 0
contra la alternativa
H1 : 1   2
es decir
H1 : 1   2   0
Si se supone que las poblaciones de los ingresos son normales con diferentes desvíos
estándares y puesto que ellos son desconocidos, se los estima con s1 y s2. Luego, el
estadístico del test está dado por (17), es decir,
t
x1  x 2   0  31083  29745  0
s12 s 22
+
n1 n 2
23122 + 25692
40
 2,45
40
Al utilizar una prueba de dos colas con  = 0,05, se considerará /2 = 0,025 en cada
cola de la distribución del estadístico y se rechaza H0 si el valor encontrado es mayor que
t 2( n1 + n2  2 ) 1.99 o menor que - t 2 ( n1 + n2  2 )   1.99 .
Puesto que, el valor observado t = 2,45 es mayor que 1,99, el estadístico de la prueba cae
en la zona de rechazo. Por lo tanto se rechaza H0 y se concluye que hay evidencia
suficiente para asegurar que en las expectativas salariales anuales para los
vendedores es mayor que para las vendedoras.
Actividad 5.4:
146
1. Para comparar las aptitudes para seleccionar acciones por parte de dos AFJP, se
comparan las ganancias anuales (menos los honorarios) para una inversión de $1000
(dólares) en cada una de las 30 acciones que se encuentran en las listas de las “más
recomendadas” de ambas empresas. Las medias y los desvíos estándares (en dólares)
para cada una de las muestras, se indican en la tabla siguiente
Empresa
Estadística muestral
1
2
Tamaño
30
30
Media
264
199
Desvío estándar
157
111
¿Hay evidencia con los datos que indique una diferencia entre las dos empresas
de corretaje en las ganancias medias por acción recomendada?
a) Establezca H0
b) Enuncie la hipótesis alternativa que más conviene para contestar la pregunta
expuesta antes.
c) Obtenga la región de rechazo para  = 0,05.
d) Realice la prueba y saque sus conclusiones.
e) Obtenga el correspondiente Intervalo de Confianza para la diferencia de las
medias y compare las conclusiones que se pueden elaborar con él con aquellas
obtenidas por el test de hipótesis.
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