Examen enero'03

EXAMEN ORDINARIO DE MATEMÁTICAS-I, 8-1-2003
Apellidos:..............................................................................Nombre:................................
Sección: (Económicas o Empresas)...................................
1.- Dado el Espacio Vectorial (R2, , ) sobre el cuerpo de los números reales, R, y
siendo A y B dos Subespacios Vectoriales de R2, demostrar que:
A  B es un Subespacio Vectorial de R2
2.- Sea (R3, , ) un Espacio Vectorial sobre el cuerpo de los números reales, R. Dados
los subconjuntos A  x,2x  z, z   R 3 / x, z  R y B  x, y, z   R 3 / x - y  z , se
pide:




a) Comprobar si A y B son Subespacios Vectoriales de R3. Calcular Bases y
Dimensión de A y B.
b) Extender la base de B a una base de R3.
c) Calcular A  B y A + B. Calcula las Bases y Dimensiones de A  B y A + B.
¿Forman suma directa?.
d) Dada la Forma Cuadrática q(x,y,z) = 5x2 + z2 + 4xy + 6xz + 2yz, se pide:
Clasificarla. Hallar la Expresión de Jacobi. Clasificar esta Forma Cuadrática
restringida al subespacio B del enunciado, es decir, B  x, y, z   R 3 / x - y  z

3.- Dadas las siguientes aplicaciones f : R 3  R 2 /
g : R 2  R 2 / g(x,y) = (x,3x-2y)
f(x,y,z) = (z, y-x)

y
a) Comprobar si f es una aplicación lineal.
b) Calcular g  f . Calcular Ker ( g  f ) y Im ( g  f ) dando bases y dimensión del
Núcleo y la Imagen.
c) Dados
los
subespacios
y
A  x, y, z   R 3 / 2x  y  z  0
B  x, y  R 2 / y  x se pide: Calcular la imagen o la antiimagen, según
corresponda, de los subespacios A y B mediante la aplicación f.




3 1
 0


4.- Dada la matriz A   2  1  1 , se pide Diagonalizar la matriz A, si es posible,
  2  1  1


o , en caso contrario, Calcular la forma de Jordan.