CONTROL 2 ALGEBRA LINEAL Profesores: Natacha Astromujoff, Alejandro Maass, Mauricio Telias P1) a) Considere E = x ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0 y x2 + 2x3 + 3x4 = 0 a.1) (1 pto.) Pruebe que E es un espacio vectorial de R4 , encuentre un generador a.2) (2 ptos.) Considere ahora F = {x ∈ R4 | x3 = 0}. Pruebe que F es un espacio vectorial de R4 , encuentre un generador de F y de E ∩ F . b) Sea V el espacio vectorial de las matrices reales definido por a V = A ∈ M3×3 (R)|A = 0 0 de 3 × 3 con coeficientes b c d e 0 f (espacio de las matrices triangulares superiores). Se define W = {A ∈ V | la suma de cada fila de A es cero}. (1,5 ptos.) Pruebe que W es subespacio vectorial de V . c) (1,5 ptos.) Sean V, U subespacios de un espacio vectorial E. Depuestre que la union de los subespacios es un subespacio de E si y slo si U ⊆ V oV ⊆U P2) a) (2,0 ptos.) Sea P ∈ R3 un punto y L ⊆ R3 una recta de vector posición A y vector director d con P 6∈ L. Pruebe que el punto Q, simétrico de P con respecto a L está dado por d Q=2 hP − A, di + A − P ||d||2 1 2 CONTROL 2 ALGEBRA LINEAL b) (4,0 ptos.) Considere las rectas 0 1 1 −1 L : x = 0 + λ 0 y L0 : x = 0 + µ 1 1 0 0 0 Demuestre que el conjunto de puntos simétricos de cada punto de L0 con respecto a L es una recta y determine su ecuación vectorial o paramétrica de dicha recta. Tiempo: 2 horas 30 minutos