conjuntos numéricos

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES
CONJUNTOS NUMERICOS
1. LOS NÚMEROS NATURALES
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la
posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}


La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el
minuendo es mayor que sustraendo.
5−3
3−5

El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la
división es exacta.
6÷3 = 2


3÷6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios
factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.
2. LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}



Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con
respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división
es exacta.
6÷2


2 ÷6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta
o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.
3. LOS NÚMEROS RACIONALES
Se llama número racional a todo
denominador distinto de cero. Se
Se llama número racional a todo
denominador distinto de cero. Se
Se llama número racional a todo
denominador distinto de cero. Se
a

Q   / a, b  Z ; b  0
b


número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con
representa por Q.
número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con
representa por Q.
número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con
representa por Q.
a: se le llama numerador,
b: denominador
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1
Ejemplos: 4
,
2
7
11
,
, 0, 
, etc
5
4
3
En resumen los números racionales no son más que la unión de fracciones positivas, negativas y el cero
Los racionales contienen a los números naturales, enteros y decimales como se observa en la ilustración
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.
Para representar con precisión los números racionales en la recta numérica:
1. Se considera la distancia entre dos enteros consecutivos como la unidad
2. Se ubica a partir del cero como referente, a la derecha los positivos y a la izquierda los negativos.
3. Se divide cada unidad en igual número de partes como lo indique el denominador y se toman las
que indique el numerador, ubicándolas en la recta y marcando
a:
se
b: denominador
le
llama numerador,
Ejemplos:
1
4
,
2
7
11
,
, 0, 
, etc
5
4
3
En resumen los números racionales no son más que la unión de fracciones positivas, negativas y el cero
Los racionales contienen a los números naturales, enteros y decimales como se observa en la ilustración
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.
Para representar con precisión los números racionales en la recta numérica:
4. Se considera la distancia entre dos enteros consecutivos como la unidad
5. Se ubica a partir del cero como referente, a la derecha los positivos y a la izquierda los negativos.
6. Se divide cada unidad en igual número de partes como lo indique el denominador y se toman las
que indique el numerador, ubicándolas en la recta y marcando
a:
se
b: denominador
le
llama numerador,
Ejemplos:
1
4
,
2
7
11
,
, 0, 
, etc
5
4
3
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En resumen los números racionales no son más que la unión de fracciones positivas, negativas y el cero
Los racionales contienen a los números naturales, enteros y decimales como se observa en la ilustración
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.
Para representar con precisión los números racionales en la recta numérica:
7. Se considera la distancia entre dos enteros consecutivos como la unidad
8. Se ubica a partir del cero como referente, a la derecha los positivos y a la izquierda los negativos.
9. Se divide cada unidad en igual número de partes como lo indique el denominador y se toman las
que indique el numerador, ubicándolas en la recta y marcando




Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales;
pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número
racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es
exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.
4. LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en
forma de fracción.

El número irracional más conocido es
circunferencia y su diámetro.
, que se define como la relación entre la longitud de la
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la
catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...

El número áureo,
, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto
Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
5. NUMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales e
irracionales es el conjunto de los números reales, se
designa por
.
Con los números reales podemos realizar todas las
operaciones, excepto la radicación de índice par y
radicando negativo y la división por cero.
LA RECTA REAL
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a
todo punto de la recta un número real.
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REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay
casos en los que podemos representarlos de forma exacta.
SUMA DE NÚMEROS REALES
PROPIEDADES
1. Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a+b
+
2. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a+b=b+a
4. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a+0=a
+0=
5. Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
2 +(− 2) = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
−(−
)=
DIFERENCIA DE NÚMEROS REALES
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (- b)
PRODUCTO DE NÚMEROS REALES
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los
números reales.
()  ()  
(-)  (-)  
( )  (  )  ()  (- )  -
PROPIEDADES
1. Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
a·b
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2. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se
cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e ·
)·
=e·(
·
)
3.Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a·b=b·a
4. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo
número.
a ·1 = a
· 1 =1
5. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
6.Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno
de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.
POTENCIAS CON EXPONENTE ENTERO
CON EXPONENTE RACIONAL O FRACCIONARIO
PROPIEDADES
1. a0 = 1 ·
2. a1 = a
PROFUNDIZACIÓN SOBRE FRACCIONARIOS
UNIDAD FRACCIONARIA
La unidad fraccionaria es cada una de las partes que
se obtienen al dividir la unidad en n partes iguales.
CONCEPTO DE FRACCIÓN
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:
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b: es el denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
a: es el numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.
Representación de fracciones
La fracción como partes de la unidad
Un todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo.
Un depósito contiene 2/3 de gasolina.
El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en general sería una fracción con el mismo
número en el numerador y el denominador.
2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres
partes dos están ocupadas por gasolina.
La fracción como cociente
Repartir 4 € entre 5 amigos.
La fracción como operador
Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo
dividimos por el denominador.
Calcular los 2/3 de 60 €.
2 · 60= 120
120 : 3 = 40 €
CLASES DE FRACCIONES

Fracciones propias
Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor comprendido
entre cero y uno

Fracciones impropias
Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor
que 1.

Número mixto
El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria.
Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma
del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.
Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente es
el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.

Fracciones unitarias
Las fracciones unitarias tienen el numerador igual al denominador.

Fracciones decimales
Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.
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
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.
a y d son los extremos; b y c, los medios.
Calcula si son equivalentes las fracciones:
4 · 12 = 6 · 8
48 = 48
Sí lo son

Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto
de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.
Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar.

Simplificar fracciones
Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.
Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.
Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a
dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.
Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del
numerador y denominador.
Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador
llegamos a una fracción irreducible.

Fracciones irreducibles
Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el
denominador son primos entre sí, .
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los
numeradores de las fracciones equivalentes
obtenidas.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.
a c ac
 
b d bd
Ejemplo
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5 3 5  3 15
 

7 2 7  2 14
DIVISIÓN DE FRACCIONES
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.
a c ad
 
b d bc
Ejemplo:
5 1 5  6 30
 

7 6 7 1 7
ACTIVIDAD DE ESTUDIO INDEPENDIENTE
1 . Clasifica los números:
a.

2
b. -2
c.
d. 2,2511…
3
d.
e.
-5

2
3
2. Resuelve las siguientes sumas
2 5 4
 
13 13 13
1 2

d.
2 3
a.
b.
e.
4 3 1
 
11 11 11
8 3

5 9
c.
f.
12 4
5


23 23 23
2 1 4
 
3 2 5
3. Resta las siguientes fracciones
a)
5 3

3 4
b. )
2 2

5 3
c. )
7 2

9 3
d.)
3 1

4 4
4. multiplica las siguientes fracciones
a)
75 40

90 55
b)
3 4 6
 
7 9 8
c)
11 18 14
 
12 21 22
d)
5
14
 12   6
9
15
=
5. Divide las siguientes fracciones
a)
3 8

5 7
b)
4 2

7 5
c)
5 8

12 3
d)
6
8
7
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