Funciones - Sector Matemática

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Departamento de Matemática
GUIA MATEMATICA (Ia Parte de Funciones)
A continuación te invito a leer detenidamente y de esta manera comprender esta primera guía
que forma parte de esta unidad, a realizar las actividades sugeridas, levantar la mano cuando solicites
aclarar alguna duda y prepararte para aportar tus ideas cuando tengas la oportunidad en la puesta en
común junto a tus compañeros que tu mismo escogerás.
En el mundo en que vivimos muchas cosas suelen presentarse en cantidades variables: kilos de
manzanas, $ boletos de microbuses, mm de agua caída, etc.
Además podemos también observar que muchas veces una cantidad depende de otra, hay
relaciones de interdependencia entre ellas. Por ejemplo:



La cantidad de combustible que consume un vehículo depende de la distancia recorrida.
La temperatura ambiente depende del instante que la midamos.
La cuenta de luz a fin de mes depende de la cantidad de electricidad que se ha consumido.
También podríamos interpretar dependencia como fusionado. Es decir, la cantidad de combustible
que se consume está fusionado con la distancia recorrida.
Como la cantidad de combustible a consumir depende de la distancia a recorrer y además se puede
determinar cuántos litros se necesitan para viajar una determinada distancia (conociendo previamente el
rendimiento que tiene el vehículo).
Se puede afirmar entonces que la cantidad de combustible está en función de la distancia a recorrer
(o viceversa). La variable cantidad de combustible depende de la variable distancia a recorrer.
Imaginémonos que se tiene un auto que da 14 km por litro de bencina (con 1 litro de bencina puedo
recorrer 14 km) . Con esta información te invito a llenar la siguiente tabla:
Y ( litros de bencina)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
X ( distancia en km)
0
7
14
21
35
49
63
La tabla que has completado corresponde a una forma de mostrar los datos que corresponden a esa
función. Este método recibe el nombre de Tabla de valores y corresponde a un registro de la
función.
Otro registro para la misma función corresponde al conocido Diagrama de Flechas estudiado años
anteriores y los datos se mostrarían de la siguiente manera:
Y
X
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0
7
14
21
28
35
42
Otro registro es la representación de la función en un conjunto como sigue:
F = { (0,0); (0.5;7); (1,14); (1,5;21); (2,28); (2,5;35); (3,42); (3,5;49); (4,56); (4,5;63); (5,70) }
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Se entiende por el punto (1,14) que para 1 litro de bencina se puede recorrer con el vehículo 14 km.
Nota: Para los distintos registros es conveniente definir los conjuntos de referencia. (más adelante te
darás cuenta por qué? ).
Y por último, uno de los registros más importante sería la representación gráfica, donde lo que
se hace es ubicar los puntos mencionados antes en el plano cartesiano, donde el eje X representa al
conjunto de litros de bencina y el eje Y el conjunto de distancias recorridas. Observa:
Nota: Has visto que se han unido los puntos del gráfico y eso se ha dado porque tiene sentido pensar
por ejemplo: con 1,8 litros de bencina puedo recorrer 25,2 km, no se mencionó como dato pero se dá.
Si mirás este registro, el gráfico es una línea recta que nace en el origen del sistema. Si
observamos: A más litros de bencina más km a recorrer o viceversa. Si recuerdas lo que viste en 1º
medio, ese análisis corresponde a una Proporción ___________________________(completa con la
palabra). Por lo tanto se puede concluir que a nivel de estudio las primeras funciones que has estudiado
han sido las proporciones.
PREPARA TU PUESTA EN COMÚN.
Para realizar esta actividad júntate con 2 compañeros más y realiza las siguientes actividades:
1) Una función se puede representar en distintos registros. Ellos son: _______________________
________________________
________________________
________________________
________________________
2) Hay un registro que no se mencionó, corresponde a escribir la fórmula o ecuación que genera
los datos del problema que hemos usado de modelo. Esta ecuación debe llevar la x, y, cuando
sea necesario. Debe ocurrir que al reemplazar un valor en ella y hacer los cálculos debe dar el
valor que le corresponda.
Si recordamos:
X
0
1
2




Y
0
14
28
X  Y
0,5  7
1,5  21
2,5  35
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3
4
·
·
·
x






42
56
·
·
·
3,5
4,5
·
·
·
x
 49
 63
 ·
 ·
 ·

Complete lo dado y trate de escribir la ecuación que dice Y =
COMPLEMENTARIO:
1.- ¿ De qué otra forma se podría escribir la ecuación anterior?
2.- Si el rendimiento del vehículo hubiera sido 10 km por litro. ¿Cuál sería la ecuación asociada al
problema con la consideración mencionada recién?
3.- Si la ecuación asociada al problema hubiera sido Y = 18 X . Podrías decir el rendimiento del
vehículo?. ¿Cuántos km recorrería con 27 litros de bencina? ¿Cuántos litros de bencina necesita
para ir de Río Bueno a Osorno?
(PUESTA EN COMUN)
TRABAJO PERSONAL ( II PARTE )
Para realizar esta segunda parte te invito a realizar las siguientes actividades:
A.- Ahora ya empezaremos a definir los conjuntos que se están considerando para que de a poco te des
cuenta de la importancia de conocerlos. Los conjuntos a considerar son A = {1, 2, 3} y B = {4, 5,
6}.Visualiza distintos ejemplos en este registro:
1)
4)
2)
3)
5)
Se afirma que sólo 1), 2) y 4) son diagramas que corresponden a funciones. ¿Por qué será?. ¿Por
qué la 3) y la 5) se dice que no son funciones, que sólo representan una relación?.
Anota tus conclusiones:
_____________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
B.- Analiza distintos ejemplos en este registro, donde X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:
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Tabla 1
X
1
2
3
Y
2
4
6
Tabla 2
X
1
2
3
Y
4
4
4
Tabla 3
X
1
2
3
Y
1
2
3
Tabla 4
X
Y
1
4
2
4
3
2
3
1
Tabla 5
X Y
1 1
1 2
Se dice que la tabla1, la 1 y la 3 son funciones. ¿A qué se deberá que la tabla 4 y la 5 no son
funciones?. Anota tus conclusiones:
__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
C.- Analiza las siguientes situaciones:
a) Sombra de un árbol ( altura del árbol y su sombra)
b) El volumen de una caja (medida de la arista y su respectivo volumen)
c) Restricción vehicular (día y el término de las patentes de los vehículos)
Se dice que a) y b) corresponden a funciones. ¿Por qué c) no lo es?. Anota tus conclusiones:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
D.- Analiza ejemplos siguientes en el registro gráfico:
1)
2)
3)
5)
4)
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Se dice que 1) y 2) son sólo funciones. ¿Qué ocurre con las gráficas de aquellas que no son
funciones?. Anota tus conclusiones:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
ACTIVIDAD PARA LABORATORIO DE COMPUTACIÓN.
A.- Para realizar esta actividad utiliza el computador del taller de Matemática o sino baja al laboratorio
de computación. Para ello debes utilizar el programa Graphmatica.
Utilizando el programa que se dijo antes, escribe cada una de las ecuaciones que a continuación
se dan y en tu cuaderno hace un bosquejo de la gráfica que te entrega la pantalla. (estamos utilizando
el último registro estudiado, el que corresponde a la ecuación de una determinada figura que según
como sea podremos decir si es o no una función):
a) y = x
b) y = x2
c) y = -3x+2
d) y = x3
e) y = 2x
f) y = log x
g) y = 2
h) x = 3
i) y = sin x
j) y = x2+2x+1
k) x2 + y2 = 4
l) y = x  1 [|x + 1| = abs(x+1)]
m) x = y2 –2y +3
Una vez que tengas los bosquejos analiza si esas gráficas corresponden o no a funciones:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
B.- Inventa 5 ecuaciones y bosqueja su gráfica y analiza si es o no una función.
PREPÁRATE PARA TU PUESTA EN COMUN
Para esta actividad júntate con 2 compañeros y primero comenten sus respuestas de su trabajo
personal (II parte) y marquen dudas para cuando se haga la puesta en común. A continuación realicen
las siguientes actividades:
1) Reconocer que planteamiento corresponde a una función y cuál no:
a) Huella dactilar de una persona.
b) La circunferencia
Invente una situación que represente una función y otra que no. ¿Cómo podrías definir una
función?
2) Reconocer funciones en :
a)
Invente uno que sea función y otro que no.
b)
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3) Reconocer funciones en:
Tabla 1
X
a
b
c
Y
1
2
3
Tabla 2
X
a
a
b
c
Tabla 3
X
a
b
c
Y
1
2
3
3
Y
3
3
3
Tabla 4
X
Y
a
4
a
4
a
4
a
4
Invente uno que sea función y otro
4) Reconocer funciones en:
Invente uno que sea función y otro que no lo sea.
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA.
1)
1) Relaciona los siguientes gráficos de funciones con sus respectivas ecuaciones:
2)
3)
4)
5)
6)
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y = 2x
y = x2 + 2
y = -x
y= x
y = log x
1
y = x 1
2
le corresponde
le corresponde
le corresponde
le corresponde
le corresponde
la gráfica
la gráfica
la gráfica
la gráfica
la gráfica
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
le corresponde la gráfica
__________________________________
(PUESTA EN COMÚN)
TRABAJO PERSONAL (III PARTE )
Ya has visto que una función es una serie de operaciones que se hacen en una variable y de las
que se obtienen un valor (por ejemplo recuerda la tabla de valores y la ecuación asociada a esa
situación).
Podemos imaginarnos la función como una maquina a la que se le suministra unos datos y que
obtiene un valor. A veces esta “maquina” no funciona con determinados valores. Al conjunto de
valores de la variable para los que la función existe (para los que la maquina funciona) se llama
DOMINIO de la función. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del
dominio se llama RECORRIDO de la función.
Ejemplo 1: La función raíz cuadrada de un número negativo no está definida para números negativos.
Eso significa que en el dominio no pueden estar números negativos.
Ejemplo 2: La función y = x2, para cualquier valor que le coloque a la x, nunca va a dar negativo. Eso
significa que el recorrido nunca va a tener valores negativos.
ACTIVIDAD:
Determine el dominio de las funciones en distintos registros que han aparecido en su guía de
aprendizaje.
PREPARATE PARA TU PUESTA EN COMÚN
Júntate con otro compañero y comparen sus resultados, analizando aquellos donde no coinciden.
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA
1) Determine dominio y recorrido de:
a) y = x
b) y = x2
c) y = x3
d) y = 3x + 5
x
e) y = x
f) y = 3
2) Para sacar dominio y recorrido de las siguientes funciones guíate por:
2
Dominio de y =
3x
Para determinar dominio nos interesa que esté despejada la y para analizar los posibles valores que
puede tomar x. En este caso la x no puede ser cero pues quedaría una división por cero y no está
definida. Se dice entonces que: Dom y =   0.
2
Recorrido de y =
3x
Cuando hablamos de recorrido debe estar despejada la x para analizar que valores puede tomar la y.
2
2
Se tiene
y=
 3xy = 2  x =
3x
3y
Se puede decir entonces que la y no puede tomar el valor 0, pues ocurriría lo mismo que se
mencionó antes.
Entonces
Rec y =   0
Ahora te corresponde hacerlo:
1
3x
5 x  8
2
a) y =
b) y =
c) y =
d) 4x + y =
x
3x  8
x
x3
1
3) ¿Qué podrías decir del dominio de y = x  1 ? ¿y de y =
?
x 1
(PUESTA EN COMUN)