GUÍA DOCENTE Y NO MORIR EN EL INTENTO?

GUÍA DOCENTE
¿CÓMO AYUDAR A LA SEÑORA BELL A ELEGIR SU TARIFA DE TELÉFONO
Y NO MORIR EN EL INTENTO?
JEAN – PIERRE MARCAILLOU
INTRODUCCIÓN:
Los modelos matemáticos más simples son los modelos lineales. En estos modelos, los fenómenos son regidos por
funciones lineales (estas se representan por rectas que pasan por el origen de las coordenadas) y por funciones
afines (representadas por rectas de cualquier tipo). Para la mayoría de los fenómenos naturales, los modelos lineales
son sólo aproximaciones y, en el momento de crear leyes, el hombre necesita muchas veces modelos más complejos.
Es el caso de las tarifas telefónicas. El modelo más simple es el lineal: cada minuto tiene el mismo precio y se calcula
el monto a pagar multiplicando este precio por el número de minutos. Pero las compañías, por un lado, desean
favorecer ciertos tipos de usuarios (los que dan mayor rentabilidad a las instalaciones) y, por otro lado, no pueden
mantener líneas sin costo alguno para los clientes que no usan sus teléfonos. Por estas razones, las tarifas no son
lineales sino lineales por trozos (la palabra correcta es afín): la gráfica de estas funciones está formada por trozos de
rectas (segmentos y/o semirrectas). Desde el punto de vista matemático, el manejo de estas funciones obliga a
distinguir casos como: si la variable tiene un valor menor que..., entonces... o: si el valor de la variable está entre... y...,
entonces... o: si el valor de la variable es mayor que..., entonces...Con esto, el resto del cálculo es muy simple porque
sólo conduce a ecuaciones e inecuaciones de primer grado.
Como para todas las funciones reales de una variable real hay cuatro maneras de conocer una función afín por trozos:
por su representación gráfica, como una caja negra (un proceso que el usuario no conoce pero que proporciona el
valor de la función para cualquier valor de la variable) o por intermedio de su expresión analítica (la fórmula que la
define).
Este caso tiene el objetivo de adiestrar además al participante en dos aspectos: uno, definir analíticamente una
función a partir de un problema de la vida real expresado verbalmente; dos, graficar dicha función con la finalidad de
tomar decisiones económicas y saber pasar del primer aspecto al segundo sin inconveniente.
RESUMEN DEL CASO:
La Compañía Anónima Nacional de Teléfonos de Venezuela (CANTV) propone cinco Planes Tarifarios a sus clientes
residenciales para permitirles escoger el suyo según su patrón de consumo telefónico. Cada Plan tiene una renta
básica, un cupo de minutos libres sin recargo (excepto el Prepago Fijo) y un precio por minuto adicional. Un cliente
puede establecer su presupuesto de comunicaciones telefónicas a partir de la tarifa entregada por CANTV además de
las cantidades de minutos que aparecen en las facturas de los años anteriores. La señora Bell ha recopilado sus
consumos mensuales de teléfono de los últimos diez años como lo indica la Tabla 1.
AÑO
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
TABLA 1
CONSUMO TELEFÓNICO MENSUAL EN MINUTOS DE LOS ÚLTIMOS NUEVE AÑOS
ENE
FEB
MAR ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
1.264
1.024
853
1.211
1.850
1.184
839
1.899
1.973
846
730
1.533
961
744
2.019
1.641
977
1.893
2.269
2.214
870
1.093
911
1.071
2.104
1.926
1.926
1.885
2.172
2.002
1.113
1.190
1.266
1.331
2.532
1.907
1.511
2.581
1.824
1.718
969
1.009
1.750
1.455
1.900
2.195
1.720
1.383
2.726
1.093
1.503
983
1.427
1.121
1.925
2.665
2.026
2.608
2.267
2.051
1
1.425
1.029
1.294
1.456
1.868
1.557
2.063
2.023
2.079
2.410
1.096
1.068
956
2.014
1.866
1.601
2.122
1.683
2.776
1.821
618
654
701
1.253
1.474
1.118
3.059
1.539
1.379
1.136
1.207
724
815
675
1.632
1.695
2.479
1.850
2.353
1.547
1.061
889
1.514
1.491
2.336
1.776
2.800
2.509
2.670
1.576
DIC
1.041
1.171
1.730
1.966
1.589
1.436
2.030
2.701
1.728
1.229
La Compañía Anónima Nacional de Teléfonos de Venezuela informa a todos los usuarios de los servicios de telefonía
básica prestados por CANTV, la nueva estructura tarifaria y los topes máximos de los diferentes servicios, así como la
definición de cada uno de los diferentes Planes ofrecidos tal cual lo ilustra la Tabla 2 y la descripción subsiguiente.
TABLA 2
PLAN
DENOMINACIÓN
GACETA
PLAN
DENOMINACIÓN
COMERCIAL
RENTA
BÁSICA
Bs./MES
MINUTOS
GRATIS
POR MES
Bs. / MINUTO ADICIONAL O
FRACCIÓN DE MINUTO
PLAN L
PLAN LIMITADO
6.420,37
50
46,49
PLAN C
PLAN CLÁSICO
10.848,21
50
PLAN HABLA
PLAN H
MÁS POR MENOS
13.670,96
60
PLAN P
PLAN TARIFA PLANA
55.992,04
ilimitados
PRE-PAGO-FIJO
BAJO CONTROL
0
0
33,21
Escala de consumo
61´- 240´
241´- 480´
481´- 900´
901´-1800´
Desde 1801´
Bs.
28,78
26,57
23,24
18,81
13,28
70,66
PLAN LIMITADO
Este Plan, de carácter Limitado, está diseñado exclusivamente para aquellos clientes de bajo consumo telefónico y
que poseen una (1) sola línea telefónica. El Plan Limitado ofrece una renta básica de Bs. 6.420,37 + IVA incluyendo
un cupo de 50 minutos locales libres y un uso máximo de 120 minutos locales. Los clientes afiliados a este Plan que
excedan los 120 minutos locales como consumo promedio mensual durante 3 meses continuos, serán reubicados
automáticamente en el Plan Clásico. Posteriormente, sólo podrán incorporarse al Plan Limitado, aquellos clientes cuyo
consumo no supere los 120 minutos locales mensuales y posean una sola línea telefónica.
PLAN CLÁSICO
Este Plan está destinado a clientes con un consumo telefónico medio y mantiene la estructura tradicional de los planes
residenciales. Te ofrece una renta básica de Bs. 10.848,21 + IVA incluyendo un cupo de 50 minutos locales libres y un
costo de minuto adicional de Bs. 33,21.
PLAN HABLA MÁS POR MENOS
Este Plan está especialmente diseñado para aquellos clientes que mantienen un alto consumo local o suelen navegar
por Internet con frecuencia. Mientras más hables o navegues, disfrutarás de tarifas más económicas en llamadas
locales. La renta básica de este Plan es de Bs. 13.670,96 + IVA que incluye 60 minutos locales libres. Además, te
ofrecemos en este Plan, contabilizar en el total de los minutos locales, el consumo de Internet.
PLAN TARIFA PLANA RESIDENCIAL
El Plan Tarifa Plana Residencial tiene una renta básica mensual de Bs. 55.992,04 más IVA, incluye minutos ilimitados
locales dentro de la red CANTV, para que hables con tus seres queridos o navegues en Internet a través de
proveedores locales, sin preocuparte por tu factura telefónica.
PLAN PRE-PAGO-FIJO
Es una forma de pago similar al ofrecido por las empresas de telefonía celular que permite un consumo controlado de
llamadas sin cancelar Renta Básica. Usted decide el monto a consumir mensualmente (mínimo de 10.000,00 bolívares
en 45 días) en llamdas telefónicas, restringiendo el acceso a su teléfono mediante el uso de una clave secreta.
Además la señora Bell facilita los datos sobre los planes tarifarios anteriores tal cual lo ilustra la Tabla 3 así como las
recomendaciones a través de la informacíón recientemente aparecida en los periódicos (Ver Tabla 4) para ayudar a
los clientes a reubicarse en los nuevos planes propuestos por CANTV.
2
TABLA 3
PLAN
DENOMINACIÓN
GACETA
PLAN
DENOMINACIÓN
COMERCIAL
RENTA BÁSICA
PLAN A
PLAN B
PLAN C
PLAN D
PLAN E
PLAN F
PRE-PAGO-FIJO
PLAN AJUSTADO
PLAN DISCRETO
PLAN MODERADO
PLAN RENDIDOR
PLAN AMPLIO
PLAN LIBRE
BAJO CONTROL
5.315,34
8.155,05
9.172,24
14.796,32
19.553,69
44.979,07
0
Bs. /MES
MINUTOS
GRATIS POR
MES
Bs. / MINUTO ADICIONAL O
FRACCIÓN DE MINUTO
50
65
90
360
600
ilimitados
0
33,06
23,39
21,36
20,56
18,65
63,83
TABLA 4
Los Planes residenciales actuales serán sustituidos por estos nuevos Planes, pero se mantienen en vigencia los
Planes de Tarifa Plana y Prepago.
Si no has llamado para hacer tu elección antes del 31 de diciembre, en tu próxima facturación serás reubicado en el
Plan Residencial que, según tu consumo promedio, sea más beneficioso para ti.
La reubicación automática se hará, según tu consumo promedio mensual en los seis meses anteriores al mes de
septiembre, de la siguiente forma:
Al Plan Limitado pasarán:
 Clientes del Plan Ajustado con consumo promedio igual o menor a 120 minutos locales.
Al Plan Clásico pasarán:
 Clientes del Plan Ajustado con consumo promedio entre 121 y 360 minutos locales.
 Clientes del Plan Discreto con consumo promedio igual o menor a 360 minutos locales.
 Clientes del Plan Moderado con consumo promedio igual o menor a 360 minutos locales.
Al Plan Habla Más Por Menos:

Clientes de los Planes Ajustado, Discreto y Moderado con consumo promedio igual o superior a 361 minutos
locales.
 Todos los clientes de los Planes Rendidor y Amplio.
Si posteriormente, decides cambiarte a alguno de los planes a elegir, sólo llama a nuestras operadoras y te
cambiaremos inmediatamente, tomando en cuenta que para el Plan Limitado aplican las restricciones indicadas.
Recuerda, tienes hasta el 31 de diciembre para elegir tu nuevo Plan Telefónico Residencial.
 Para el Plan Limitado aplican las restricciones indicadas.
El cambio de un plan a otro no generará costos adicionales para el cliente.
La señora Bell acude a usted para que le recomiende qué combinación de Planes Tarifarios debe tomar para todo el
año 2006 de tal manera que pague lo menos posible.
LISTA DE LOS TEMAS QUE CUBRE:
El estudio de caso cubre los siguientes temas:
Curso propedéutico de Nivelación en Matemáticas:
 Tema 1: Repasos sobre los conjuntos numéricos.
 Tema 2: Técnicas de factorización de una expresión algebraica.
 Tema 3: Técnicas de simplificación de una expresión algebraica.
 Tema 4: Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.
 Tema 5: Resolución de inecuaciones de primer y segundo grado.
 Tema 6: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
 Tema 7: Noción de función y graficación de funciones elementales.
 Tema 8: Límite y continuidad de una función real de una variable real.
Economía empresarial
3
 Tarifa en dos partes
Técnicas cuantitativas
 Teoría combinatoria
 Serie de tiempo.
 Regresión lineal.
OBJETIVOS PEDAGÓGICOS:
El objetivo pedagógico principal de este caso es mostrar al participante como a través de un problema de la vida real,
se inicia el proceso de modelacíon matemática elemental, se aplica el teorema fundamental de la teoría combinatoria,
se introduce el concepto fundamental de función; se enumeran las diferentes formas de presentarlas: forma
descriptiva, forma simbólica, forma gráfica, forma tabular; se determinan los conjuntos de definición y rango de una
función; se resuelven inecuaciones lineales desde el punto de vista algebraico y gráfico; se comparan dos o más
funciones afines definidas por trozos; se clasifican las funciones: inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, crecientes,
decrecientes, pares, impares, periódicas; se introduce el concepto de límite y continuidad de una función; se estudian
tarifas en dos partes; se aplica el método de los promedios móviles simples centrados (PMSC) con proyecciones de
tendencias ajustadas por variaciones estacionales para realizar los pronósticos de los consumos mensuales.
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
Sólo se requiere del participante conocimientos elementales de matemática y cálculo algebraico, poseer un buen
sentido común, recordándole que:”Aprender sin pensar, es inútil; pensar sin aprender, es peligroso.” (Confucio).
HERRAMIENTA UTILIZADA:
En este caso se presentan las bondades de la calculadora científica, graficadora y programable CASIO ALGEBRA FX
2.0 PLUS, en el proceso del análisis cuantitativo de Planes Tarifarios de consumos telefónicos ofrecidos por CANTV
con la finalidad de seleccionar el Plan Tarifario más económico según el consumo.
DISEÑO DE UN ALGORITMO DE RESOLUCIÓN:
¿Qué es tomar una decisión?
Todos los días, desde el amanecer hasta el anochecer, cada uno de nosotros toma muchas decisiones
relacionadas con cada uno de los aspectos de nuestra vida diaria. Sin embargo, dentro del proceso de
toma de decisiones, la mayoría de las veces no nos detenemos en saber cómo lo hacemos; como el
tiempo apremia, la tomamos y punto. Evidentemente, en la mayoría de los casos nunca evaluamos el
costo que acompaña la toma de una mala decisión, a pesar de que después padecemos las
consecuencias de nuestra falta de métodología en la selección de nuestra acción. ¿En qué consiste tomar
una decisión? Tomar una decisón significa elegir una acción entre dos o más opciones que se nos
presentan. En la actualidad, es muy raro que ocurra una situación sin opciones: las instituciones
financieras, las empresas de seguros, los servicios de salud, los supermercados, nos ofrecen sus
productos con un abanico de opciones según nuestras necesidades y exigencias. Frente a esta
avalancha de opciones, rara vez el ciudadano común se comporta como un consumidor racional, es decir:
recoge toda la información que está a su alcance, la organiza, fija criterios determinísticos con la finalidad
de tomar la acción más satisfactoria según su presupuesto, y realiza después un mecanismo de rastreo o
escaneo con el objeto de detectar los posibles errores y realizar los correctivos pertinentes.
La señora Bell debe elegir para cada uno de los doce meses del año 2006 uno de los cuatro Planes Tarifarios que le
propone CANTV. Ahora bien surge una primera pregunta:
¿Cuál es el número máximo de combinaciones posibles de todos los Planes Tarifarios Residenciales para
el año 2006, todas diferentes entre sí, que se pueden formar con los cuatro Planes (Plan Limitado, Plan
Clásico, Plan Habla Más Por Menos, Plan Tarifa Plana)?
Si M  ENE,FEB,MAR,ABR,MAY,JUN,JUL,SEP,OCT,NOV ,DIC representa el conjunto de los meses del año 2006 y
P  PL ,PC,PH,PP  el conjunto de los Planes Tarifarios Residenciales propuestos por CANTV, el objetivo es calcular el
4
número total de aplicaciones que se pueden formar del conjunto M hacia el conjunto P. Al mes de enero se le pueden
asignar 4 opciones de planes; al mes de febrero se le pueden asignar 4 opciones de planes; al mes de marzo se le
pueden asignar 4 opciones de planes y así sucesivamente hasta el mes de diciembre.Por lo tanto el número máximo
de combinaciones posibles de todos los Planes Tarifarios Residenciales que se pueden formar para el año 2006 es
4  4  4  4  4  4  4  4  4  4  4  4  412  16.777.216 mediante el uso del Teorema Fundamental de la Teoría
Combinatoria que dice: si un primer evento puede ocurrir de n formas distintas y, después de que éste ocurre, un
segundo evento puede ocurrir de m formas diferentes, entonces el número de formas diferentes en que puede ocurrir
la secuencia de los dos eventos es igual a n  m .
Suponga que procesar cada información, es decir calcular para cada combinación anual el gasto total
correspondiente a través de una computadora tarda un segundo.
¿Cuánto tiempo se necesitaría para evaluar todas las combinaciones determinadas anteriormente? ¿Qué
les parece el resultado obtenido?
En conclusión se debe diseñar una estrategia que permita obtener la combinación óptima de Planes
Tarifarios en el menor tiempo posible.
Conocidos los consumos mensuales de teléfono de los últimos diez años así como los Planes Tarifarios
Residenciales propuestos por CANTV, lo primero que se debe hacer es diseñar un algoritmo de resolución
que permita establecer los diferentes pasos a seguir con la finalidad de encontrar la combinación de
Planes más indicada, es decir tal que la señora Bell pague lo menos posible en teléfono para el año 2006.
¿Qué es un algoritmo?
Un algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver
un problema. De un modo más formal, un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables, no
ambiguas, cuya ejecución da una solución de un problema.
¿Cómo se representa un algoritmo?
Los diagramas de flujo se usan habitualmente para representar algoritmos.
El término algoritmo no está exclusivamente relacionado con las matemáticas, ciencias de la computación
o informática. En realidad, en la vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones para
resolver diversos problemas. Ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones), para
cocinar (se siguen los pasos de la receta). También, existen ejemplos de índole matemática, como el
algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para calcular el
máximo común divisor de dos enteros positivos, o incluso el método de Gauss para resolver sistemas de
ecuaciones lineales.
¿Según su opinión, en el proceso de comparación de todos los Planes Tarifarios entre sí, se debe tomar
en cuenta el IVA?
En el proceso de comparación de los diferentes Planes Tarifarios se presentará primero una solución analítica y
después una solución gráfica, con la finalidad que el estudiante pueda apreciar la potencialidad de cada una de ellas y
ser capaz de elegir según su afinidad cualquiera.
Además es importante que el estudiante trate de encontrar otra posible solución, presentarla verbalmente, y discutirla
con respecto a las anteriores haciendo énfasis en los posibles beneficios que pueda aportar frente a las restantes.
5
DATOS DEL PROBLEMA:
Consumos telefónicos mensuales de los diez últimos años.
Planes Tarifarios Residenciales: Plan Limitado, Plan Clásico,
Plan Habla Más Por Menos, Plan Tarifa Plana propuestos
por CANTV.
Define matemáticamente cada uno de
los Planes Tarifarios Residenciales
como función del consumo total mensual
x de minutos locales
Organiza toda la información
dentro de una tabla de doble
entrada
Determina los diferentes tramos de
consumo donde cada Plan es el
más económico.
Determina los pronósticos de
consumo mensual de teléfono de la
señora Bell para el año 2006.
A partir de los resultados obtenidos en los
dos pasos anteriores, determina para cada
mes cuál es el Plan más económico y
calcula el gasto mensual y anual
correspondiente.
Presenta la solución
obtenida a la señora
Bell y discútela.
6
SOLUCIÓN ANALÍTICA:
PASO 1: Definición analítica de todos los Planes Tarifarios
Si la variable x representa el consumo total mensual de minutos locales en un determinado mes, y PL (x) el pago total
correspondiente en bolívares, se tiene que:
PL (x) 


6.420,37
si 0  x  50
6.420,37
si 0  x  50
 PL (x) 
6.420,37  46,49(x  50) si x  50
46,49x  4.095,87 si x  50
Luego, la definición analítica del Pan C es:
`Por lo ta PC (x) 

PROB

10.848,21
si 0  x  50
10.848,21
si 0  x  50
 PC (x) 
10.848,21  33,21(x  50) si x  50
33,21x  9.187,71si x  50
Ahora bien, la definición del Plan H es la siguiente:
si 0  x  60
13.670,96
13.670,96  28,78(x  60)
si 60  x  240

13.670,96  28,78(240  60)  26,57(x  240)
si 240  x  480
PH (x)  
si 480  x  900
13.670,96  28,78(240  60)  26,57(480  240)  23,24(x  480)
13.670,96  28,78(240  60)  26,57(480  240 )  23,24(900  480)  18,81(x  900)
si 900  x  1.800

13.670,96  28,78(240  60)  26,578480  240)  23,24(900  480)  18,81(1.800  900)  13,28(x  1.800) si x  1.800
es decir:
si 0  x  60
13.670,96
28,78x  11.944,16 si 60  x  240
26,57x  12.474,56 si 240  x  480
PH (x)  
23,24x  14.072,96 si 480  x  900
18,81x  18.059,96 si 900  x  1.800
13,28x  28.013,96 si x  1.800
Por último, la definición del Plan P es la siguiente: PP (x)  55.992,04 si x  0
PASO 2: Definición de los Dominios de Definición de todos los Planes Tarifarios
¿De cuántas maneras se puede definir un conjunto?
Un conjunto se puede definir de dos maneras diferentes:
 Por extensión, al listar o enumerar todos los elementos que hacen parte del conjunto, y
 Por comprensión, al escribir la propiedad que verifican todos los elementos que hacen parte del conjunto.
> Para los meses Abril, Junio, Septiembre y Noviembre que tienen 30 días:
Dom PL  Dom PC  Dom PH  Dom PP  0,1,2,3,...,43.200 donde 43.200 representa la cantidad máxima de minutos
que se pueden consumir en un mes, es decir 30  24  60  43.200 .
> Para los meses Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre y Diciembre que tienen 31 días:
Dom PL  Dom PC  Dom PH  Dom PP  0,1,2,3,...,44.640
> Para el mes de Febrero en año no bisiesto se tiene que Dom PL  Dom PC  Dom PH  Dom PP  0,1,2,3,...,40.320
> Para el mes de Febrero en año bisiesto se tiene que Dom PL  Dom PC  Dom PH  Dom PP  0,1,2,3,...,41.760
7
PASO 3: Definición de los Rangos de todos los Planes Tarifarios
> Para los meses Abril, Junio, Septiembre y Noviembre que tienen 30 días:
46,49
46,49
46,49
46,49


Rang PL  6.420,37 ; 6.466,86 ; 6.513,35 ; ... ; 2.012.463,87


33,21
33,21
33,21
33,21


Rang PC  10.848,21 ; 10.881,42 ; 10.914,63 ; ... ; 1.443.859,71


28,78
26,78
28,78
28,78
26,57
26,57
26,57


13.670,96
;
13.699,74
;
13.728,52
;
...
;
18.851,36
;
18.877,93
;
18.904,50
; 18.931,07 
26,57 26,57
23,24
23,24
23,24
23,24
23,24
18,81
18,81


Rang PH   ; ... ; 25.228,16 ; 22.251,40 ; 22.274,64 ; 25.297,88 ; ... ; 34.988,96 ; 35.007,77 ; 

18,81

18,81

13,24

13,24

13,24

13,24

13,24


35.026,58 ; ... ; 51.917,96 ; 51.931,24 ; 51.944,52 ; 51.957,80 ; ... ; 601.709,96



Rang PP  55.992,04
> Para los meses Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre y Diciembre que tienen 31 días:
46,49
46,49
46,49
46,49


Rang PL  6.420,37 ; 6.466,86 ; 6.513,35 ; ... ; 2.079.409,47


33,21
33,21
33,21
33,21


Rang PC  10.848,21 ; 10.881,42 ; 10.914,63 ; ... ; 1.491.682,11


28,78
26,78
28,78
28,78
26,57
26,57
26,57


13.670,96
;
13.699,74
;
13.728,52
;
...
;
18.851,36
;
18.877,93
;
18.904,50
; 18.931,07 
26,57 26,57
23,24
23,24
23,24
23,24
23,24
18,81
18,81


Rang PH   ; ... ; 25.228,16 ; 22.251,40 ; 22.274,64 ; 25.297,88 ; ... ; 34.988,96 ; 35.007,77 ; 

18,81

18,81

13,24

13,24

13,24

13,24

13,24


35.026,58 ; ... ; 51.917,96 ; 51.931,24 ; 51.944,52 ; 51.957,80 ; ... ; 620.833,16



Rang PP  55.992,04
> Para el mes de Febrero en año no bisiesto se tiene que:
46,49
46,49
46,49
46,49


Rang PL  6.420,37 ; 6.466,86 ; 6.513,35 ; ... ; 1.878.572,67


33,21
33,21
33,21
33,21


Rang PC  10.848,21 ; 10.881,42 ; 10.914,63 ; ... ; 1.348.214,91


28,78
26,78
28,78
28,78
26,57
26,57
26,57


; 13.699,74 ; 13.728,52 ; ... ; 18.851,36 ; 18.877,93 ; 18.904,50 ; 18.931,07 
13.670,96
26,57
26,57
23,24
23,24
23,24
23,24
23,24
18,81
18,81


Rang PH   ; ... ; 25.228,16 ; 22.251,40 ; 22.274,64 ; 25.297,88 ; ... ; 34.988,96 ; 35.007,77 ; 
18,81
18,81
13,24
13,24
13,24
13,24
13,24


35.026,58 ; ... ; 51.917,96 ; 51.931,24 ; 51.944,52 ; 51.957,80 ; ... ; 563.463,56



Rang PP  55.992,04
> Para el mes de Febrero en año bisiesto se tiene que:
46,49
46,49
46,49
46,49


Rang PL  6.420,37 ; 6.466,86 ; 6.513,35 ; ... ; 1.945.518,27


33,21
33,21
33,21
33,21


Rang PC  10.848,21 ; 10.881,42 ; 10.914,63 ; ... ; 1.396.037,31


28,78
26,78
28,78
28,78
26,57
26,57
26,57


; 13.699,74 ; 13.728,52 ; ... ; 18.851,36 ; 18.877,93 ; 18.904,50 ; 18.931,07 
13.670,96
26,57
26,57
23,24
23,24
23,24
23,24
23,24
18,81
18,81


Rang PH   ; ... ; 25.228,16 ; 22.251,40 ; 22.274,64 ; 25.297,88 ; ... ; 34.988,96 ; 35.007,77 ; 
18,81
18,81
13,24
13,24
13,24
13,24
13,24


35.026,58 ; ... ; 51.917,96 ; 51.931,24 ; 51.944,52 ; 51.957,80 ; ... ; 582.586,76



Rang PP  55.992,04
Define todos los Dominios de Definición y Rangos por comprensión.
8
PASO 4: Comparación de todos los Planes Tarifarios entre sí
¿Cómo organizar la información analítica definida anteriormente para su futuro tratamiento?
El objetivo principal de nuestro problema es comparar diferentes objetos matemáticos entre sí. La
representación de todos estos objetos matemáticos mediante el uso de tablas de doble entrada facilita la
organización de la información manteniendo un registro acumulativo de la misma y permite sin
ambigüedad realizar las comparaciones pertinentes. Por lo tanto, las definiciones analíticas de todos los
diferentes Planes Tarifarios establecidas en el PASO 1 pueden tabularse como sigue, con la finalidad de
compararlos de una manera más eficiente, a través de la resolución de inecuaciones lineales dentro de
cada dominio donde están definidas las respectivas funciones, eligiendo en cada caso, el Plan más
económico.
TABLA 5
DEFINICIONES ANALÍTICAS DE LOS PLANES TARIFARIOS PARA EL AÑO 2006
0
Consumo
PL
PC
PH
PP
50 
6.420,37
10.848,21
13.670,96
55.992,04
60 
46,49x  4.095,87
240
46,49x  4.095,87
480
46,49x  4.095,87
900
46,49x  4.095,87
1.800
46,49x  4.095,87
N
46,49x  4.095,87
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
13.670,96
55.992,04
28,78x  11.944,16
26,57x  12.474,56
23,24x  14.072,96
18,81x  18.059,96
13,28x  28.013,96
55.992,04
55.992,04
55.992,04
55.992,04
55.992,04
N representa el consumo total máximo mensual: 40.320, 41.760, 43.200, 44.640 según el caso.
¿Por qué razón se resuelven inecuaciones y no ecuaciones en las comparaciones de los diferentes planes
entre sí?
La resolución de ecuaciones no nos da ninguna información sobre la relación que existe entre los planes
tarifarios, solamente nos dice para qué consumo ambos planes son iguales. La resolución de inecuaciones
nos da mayor información, es decir nos indica además para qué rango de consumo un plan es preferible a
otro.
 Estudio de comparación de todos los Planes Tarifarios sobre el intervalo 0,50
Consumo
PL
PC
PH
PP
0
50 
6.420,37
10.848,21
13.670,96
55.992,04
En conclusión, por simple inspección, se deduce que sobre el intervalo 0,50 el Plan más económico es el
Plan Limitado ya que PL < PC < PH < PP.
 Estudio de comparación de todos los Planes Tarifarios sobre el intervalo 50,60
Consumo
PL
50 
60 
46,49x  4.095,87
PC
33,21x  9.187,71
13.670,96
55.992,04
PH
PP
Como PH < PP se van a comparar solamente los Planes PL, PC y PH.Primero se compara PL con PC:
9
¿PL  PC ?  46,49x  4.095,87  33,21x  9.187,71  46,49x  33,21x  9.187,71  4.095,87  13,28x  5.091,84
 x  383,42
Por lo tanto sobre el intervalo 50,60 se tiene que PL < PC, y se necesita ahora comparar PL con PH:
¿PL  PH ?  46,49x  4.095,87  13.670,96  46,49x  13.670,96  4.095,87  46,49x  9.575,09  x  205,96
Luego sobre el intervalo 50,60 se tiene que PL < PH.
¿Se necesita comparar PC con PH? Detalle con precisión su respuesta.
En conclusión se deduce que el Plan más económico sobre el intervalo 50,60 es el Plan Limitado.
 Estudio de comparación de todos los Planes Tarifarios sobre el intervalo 60,240
Consumo
60 
240
PL
46,49x  4.095,87
PC
33,21x  9.187,71
PH
28,78x  11.944,16
55.992,04
PP
Según los resultados de la comparación anterior se deduce que sobre el intervalo 60,240 se tiene que PL < PC.
Enseguida se compara PL con PH:
¿PL  PH ?  46,49x  4.095,87  28,78x  11.944,16  46,49x  28,78x  11.944,16  4.095,87
 17,71x  7.848,29  x  443,16
Por lo tanto sobre el intervalo 60,240 se tiene que PL < PH. Basta comparar finalmente PL con PP:
¿PL  PP ?  46,49x  4.095,87  55.992,04  46,49x  55.992,04  4.095,87  46,49x  51.896,17  x  1.116,29
Luego sobre el intervalo 60,240 se tiene que PL < PP.
En conclusión sobre el intervalo 60,240 el Plan más económico es el Plan Limitado.
 Estudio de comparación de todos los Planes Tarifarios sobre el intervalo 240,480
Consumo
240
480
PL
46,49x  4.095,87
PC
33,21x  9.187,71
PH
26,57x  12.474,56
PP
55.992,04
A partir de los resultados anteriores se sabe que:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
383,43
240
PL< PC
PL< PP
480
PL> PC
PL< PP
Sobre el intervalo 240,383 se necesita comparar PL con PH:
10
¿PL  PH ?  46,49x  4.095,87  26,57x  12.474,56  46,49x  26,57x  12.474,56  4.095,87
 19,92x  8.378,69  x  420,62
Luego la tabla anterior se completa de la siguiente manera:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
¿PL< PH?
383,43
240
420,62
PL< PC
PL< PP
PL< PH
480
PL> PC
PL< PP
PL< PH
PL> PC
PL< PP
PL> PH
Al observar la tabla anterior se deduce que sobre el intervalo 240,383 el Plan más económico es el Plan Limitado;
sobre el intervalo 383,420 el Plan más económico es el Plan Clásico; sobre el intervalo 420,480 se necesita
comparar PC con PH:
¿PC  PH ?  33,21x  9.187,71  26,57x  12.474,56  33,21x  26,57x  12.474,56  9.187,71
 6,64x  3.286,85  x  495,01
Por lo tanto se deduce que sobre el intervalo 420;480 el Plan más económico es el Plan Clásico.
En conclusión sobre el intervalo 240,383 el Plan más económico es el Plan Limitado y sobre el intervalo
383;480 el Plan más económico es el Plan Clásico.
 Estudio de comparación de todos los Planes Tarifarios sobre el intervalo 480,900
Consumo
480
900
PL
46,49x  4.095,87
PC
33,21x  9.187,71
PH
23,24x  14.072,96
PP
55.992,04
A partir de los resultados anteriores se sabe que:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
480
900
PL > PC
PL < PP
Se necesita comparar PC con PH:
¿PC  PH ?  33,21x  9.187,71  23,24x  14.072,96  33,21x  23,24x  14.072,96  9.187,71
 9,97x  4.885,25  x  489,99
Luego la tabla anterior se completa de la siguiente manera:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
¿PC< PH?
489,99
480
PL > PC
PL < PP
PC < PH
900
PL > PC
PL < PP
PC > PH
En conclusión se deduce que sobre el intervalo 480,489 el Plan más económico es el Plan Clásico y sobre
el intervalo 489,900 el Plan más económico es el Plan Habla Más Por Menos.
11
 Estudio de comparación de todos los Planes Tarifarios sobre el intervalo 900,1.800
Consumo
900
1.800
PL
46,49x  4.095,87
PC
33,21x  9.187,71
PH
18,81x  18.059,96
55.992,04
PP
A partir de los resultados anteriores se sabe que:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
1.116,29
900
PL > PC
PL < PP
1.800
PL > PC
PL > PP
Sobre el intervalo 900,1.116 se necesita comparar PC con PH:
¿PC  PH ?  33,21x  9.187,71  18,81x  18.059,96  33,21x  18,81x  18.059,96  9.187,71
 14,40x  8.872,25  x  616,13
Luego la tabla anterior se completa de la siguiente manera:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
¿PC< PH?
1.116,29
900
PL > PC
PL < PP
PC > PH
PH < PC < PL < PP
1.800
PL > PC
PL > PP
PC > PH
¿PH < PP?
Ahora bien sobre el intervalo 1.116;1.800 se necesita comparar PH con PP:
¿PH  PP ?  18,81x  18.059,96  55.992,04  18,81x  55.992,04  18.059,96  18,81x  37.932,08  x  2.016,59
 En conclusión se deduce que sobre el intervalo 900,1.800 el Plan más económico es el Plan Habla Más
Por Menos.
 Estudio de comparación de todos los Planes Tarifarios sobre el intervalo 1.800,N
Consumo
PL
1.800
N
46,49x  4.095,87
PC
33,21x  9.187,71
PH
13,28x  28.013,96
PP
55.992,04
A partir de los resultados anteriores se sabe que:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
1.800
N
PL > PC
PL > PP
Se necesita comparar PC con PP:
¿PC  PP ?  33,21x  9.187,71  55.992,04  33,21x  55.992,04  9.187,71  33,21x  46.804,33  x  1.409,34
Luego la tabla anterior se completa de la siguiente manera:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
¿PC< PP?
1.800
N
PL > PC
PL > PP
PC> PP
12
Se necesita comparar PP con PH sobre el intervalo 900,1.800 :
¿PH  PP ?  13,28x  28.013,96  55.992,04  13,28x  55.992,04  28.013,96  13,28x  27.978,08  x  2.106,78
Luego la tabla anterior se completa de la siguiente manera:
Consumo
¿PL< PC?
¿PL< PP?
¿PC< PP?
¿PH< PP?
2.106,78
1.800
PL > PC
PL > PP
PC> PP
PH< PP
N
PL > PC
PL > PP
PC> PP
PH> PP
 En conclusión se deduce que sobre el intervalo 1.800,2.106 el Plan más económico es el Plan Habla Más
Por Menos y para cualquier consumo mayor que 2.106 minutos el Plan más económico es el Plan Tarifa Plana.
Todos los resultados anteriores pueden tabularse y resumirse en la siguiente tabla:
TABLA 6
SELECCIÓN DE PLANES TARIFARIOS RESIDENCIALES SEGÚN CONSUMO TELEFÓNICO
50 
60 
240
383
480
489
900
1.800
2.106
N
Consumo 0 
N PL
P
P
P
P
P
P
P
P
P
L
L
L
C
C
H
H
H
P
Selección
PH
PC
PH
PP
Es decir bajo forma analítica:
si
0  x  383 el Plan más ec onómico es el Plan Limitado
si 383  x  489 el Plan más ec onómico es el Plan Clásico
si 489  x  2.106 el Plan más ec onómico es el Plan Habla Más Por Menos
si
x  2.106 el Plan más ec onómico es el Plan Tarifa Plana
¿Se necesita en el proceso de comparación jerarquizar todos los planes? Detalle con precisión su
respuesta.
Es importante reseñar que no se necesita jerarquizar los diferentes Planes Tarifarios sino encontrar cuál
es el más económico en cada tramo de consumo; es decir se debe realizar el número mínimo de
comparaciones con la finalidad de determinar el más óptimo.
SOLUCIÓN GRÁFICA:
El objetivo es crear a través de una hoja de cálculo EXCEL:una tabla de valores que expresa los diferentes pagos
mensuales correspondientes a los Planes Tarifarios (Plan Limitado, Plan Clásico, Plan Habla Más Por Menos, Plan
Tarifa Plana) como función del consumo total mensual en minutos de teléfono. Se ilustra gráficamente los diferentes
Planes Tarifarios tal cual lo muestra el gráfico 1 y se deduce por simple observación los intervalos donde cada Plan es
el más económico.
13
CONSUMO
PLAN LIMITADO
PLAN CLÁSICO
PLAN HABLA MÁS
POR MENOS
PLAN TARIFA PLANA
0
…
383
384
…
489
490
…
2106
2107
…
6420,37
…
21901,54
21948,03
…
26829,48
26875,97
…
102003,81
102050,30
…
10848,21
…
21907,14
21940,35
…
25427,40
25460,61
…
79127,97
79161,18
…
13670,96
…
22650,87
22677,44
…
25437,32
25460,56
…
55981,64
55994,92
…
55992,04
…
55992,04
55992,04
…
55992,04
55992,04
…
55992,04
55992,04
…
GRÁFICO 1
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS PLANES LIMITADO, CLÁSICO, HABLA MÁS POR MENOS Y
TARIFA PLANA
120000
PLAN LIMITADO
PAGOS MENSUALES EN BOLÍVARES
100000
PLAN CLÁSICO
80000
PLAN TARIFA PLANA
60000
40000
PLAN HABLA MÁS POR MENOS
20000
0
1
109 217 325 433 541 649 757 865 973 1081 1189 1297 1405 1513 1621 1729 1837 1945 2053 2161 2269
CONSUMOS MENSUALES EN MINUTOS
Al observar el gráfico anterior se deduce aproximadamente que sobre el intervalo 0,380 el Plan más económico es
el Plan Limitado; sobre el intervalo
490,2.060 el
380,490 el
Plan más económico es el Plan Clásico; sobre el intervalo
Plan más económico es el Plan Habla Más Por Menos y que para culaquier consumo mayor que
2.060 el Plan más económico es el Plan Tarifa Plana.N
ICA:
El menú GRPH-TBL de la calculadora científica, graficadora y programable CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS permite
graficar curvas en el plano Oxy, dependiendo de los intervalos dominio y rango que el usuario haya definido
previamente en la ventana de visualización.
14
1. Presiona en forma secuencial las teclas [AC/ON] / [MENU] para encender la
calculadora y abrir el menú principal MAIN MENU; selecciona a través de la tecla
direccional elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼,◄) el menú GRPH-TBL. RÁFI
2. Presiona la tecla [EXE] y aparece una pantalla donde se pueden registrar hasta 20
fórmulas de ecuaciones de la forma y  f(x) ó ecuaciones de rectas verticales x  c ó
ecuaciones paramétricas en el plano.
3. Registra cuidadosamente cada uno de los Planes Residenciales: Plan Limitado, Plan
Clásico, Plan Habla Más Por Menos, Plan Tarifa Plana definidos analíticamente en
cada una de las áreas de memoria Y1 :, Y2 :, Y3 :,..., Y11 respectivamente tomando en
cuenta la expresión algebraica de cada función con su respectivo dominio de estudio
definida en la Tabla 5.
Consumo
PL
PC
PH
PP
0
50  60 
240
480
900
Y1:6.420,37
Y2: 46,49x  4.095,87
Y3:
10.848,21
Y5:13.670,96
Y4: 33,21x  9.187,71
Y6: 28,78x  11.944,16
Y7: 26,57x  12.474,56
Y8: 23,24x  14.072,96
Y9: 18,81x  18.059,96
1.800
2.200
Y10: 13,28x  28.013,96
Y11: 55.992,04
El menú GRPH-TBL permite graficar curvas en el plano Oxy dependiendo de los intervalos de dominio y rango
que el usuario haya previamente definido en la ventana de visualización.
4. Presiona las teclas [SHIFT] / [OPTN] (V-Window) para activar la ventana de
visualización y actualiza dicha pantalla tal cual se indica.
5. Presiona las teclas [F4] (STO) / [1] / [EXE] para almacenar en la memoria 1
dicha ventana de visualización V-Win y así poder llamarla cuando la necesita.
6. Presiona la tecla [ESC] para salir de la ventana de visualización y presiona
seguidamente la tecla [F5] (DRAW) para obtener las gráficas de todos los Planes
Residenciales sobre el intervalo 0,2.200 .
Para la toma de decisiones por medio del proceso de la comparación gráfica de los diferentes Planes, se sabe que
existen siete intervalos en donde en cada uno de ellos un Plan es mejor que los restantes. Para dividir el plano en
estas siete regiones se deben graficar las rectas verticales de ecuaciones x  50 , x  60 , x  240 , x  480 ,
x  900 , x  1.800 .
7. Presiona la tecla [ESC] para regresar a la pantalla de definición de funciones y
selecciona a través de la tecla direccional elíptica [REPLAY] (▼) el área de memoria
Y12:.
15
8. Presiona en forma secuencial las teclas [F3] (TYPE) / [4] (4: X=c) / [5] / [0] /
[EXE] / [6] / [0] / [EXE] / [2] / [4] / [0] / [EXE] / [4] / [8] / [0] / [EXE] / [9] / [0] /
[0] / [EXE] / [1] / [8] / [0] / [0] / [EXE].
9. Presiona la tecla [F5] (DRAW) y aparecen las gráficas de todos los Planes
Residenciales Y1 :, Y2 :, Y3 :,..., Y11 con las rectas verticales X12 :, X13 :, X14 :,..., X17 .
Se puede observar en la pantalla anterior que en algunos casos parece imposible determinar con certeza sobre qué
intervalo se sitúa el plan más económico. Por lo tanto se requiere disponer de una opción de ampliación de una
determinada zona con la finalidad de aclarar este tipo de duda.
10. Presiona la tecla [F2] (ZOOM) para realizar una ampliación de la gráfica en una
zona determinada.
11. Presiona seguidamente la tecla [1] (Box) con la finalidad de determinar el
recuadro de ampliación. Aparece en la pantalla el cursor .
12. A través de la tecla direccional [REPLAY] (◄) mueve el cursor
posición indicada y presiona seguidamente la tecla [EXE].
hasta la
13. A través de la tecla direccional [REPLAY] (◄) mueve el cursor
posición indicada y presiona seguidamente la tecla [EXE].
hasta la
14. A través de la tecla direccional [REPLAY] (▼) mueve el cursor
posición indicada. Aparece en la pantalla el recuadro de ampliación.
hasta la
15. Presiona la tecla [EXE] y aparece en la pantalla una ampliación de la curva
delimitada dentro del recuadro definido anteriormente. En este momento los
parámetros que definen la ventana de visualización se modificaron.
¿Cómo calcular las coordenadas del punto de corte entre dos rectas?
16. Presiona la tecla [ESC] para regresar a las definiciones de las funciones gráficas.
Presiona la tecla [F1] (SEL) para desactivar en forma secuencial cada una de las
funciones Y1, Y3, Y5, Y6, Y7, Y8, Y9, Y10, Y11, X14, X15, X16, X17.Presiona la tecla [F5]
(DRAW) para obtener las gráficas de Y2, Y4, X12, X13.
16
17. Presiona la tecla [F4] (G.SLV) para desplegar dicho menú y presiona
seguidamente la tecla [5] (5:Isect) con la finalidad de determinar las coordenadas del
punto de intersección de ambas rectas.
18. Aparece en la pantalla las coordenadas de dicho punto de intersección.
El participante deberá proceder de la misma manera para todos los demás casos y chequear que la
solución encontrada a través del método gráfico correponde a la solución analítica.
CÁLCULO DE LOS PRONÓSTICOS DE CONSUMOS MENSUALES DE LA SEÑORA BELL
Con la finalidad de poseer mayor información sobre el comportamiento de los consumos mensuales de teléfono de la
señora Bell durante los diez últimos años, se ilustra gráficamente los datos referentes a la Tabla 1 tal cual se muestra
en el Gráfico 2.AGraficar los datos de la serie de tiempo tiene como único objetivo facilitar la interpretación visual de
los mismos.
GRÁFICO 2
GRÁFICO DE LA SERIE DE TIEMPO DEL CONSUMO MENSUAL TELEFÓNICO DE LA SEÑORA BELL
DESDE EL AÑO 1996 HASTA EL AÑO 2005
3000
2500
2000
1500
1000
500
Sep-05
Ene-05
May-05
Sep-04
Ene-04
May-04
Sep-03
May-03
Ene-03
Sep-02
May-02
Ene-02
Sep-01
May-01
Ene-01
Sep-00
May-00
Ene-00
Sep-99
May-99
Ene-99
Sep-98
May-98
Ene-98
Sep-97
May-97
Ene-97
Sep-96
Ene-96
0
May-96
MINUTOS MENSUALES CONSUMIDOS
3500
MESES
¿Cuál es la tendencia a lo largo del tiempo del consumo de teléfono de la señora Bell?
Al examinar detenidamente el Gráfico 2 se observa que el consumo mensual de teléfono de la señora Bell
tiende a aumentar continuamente a lo largo de los diez años, y en consecuencia tiene una “tendencia
lineal creciente”.
17
PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS:
El objetivo principal de esta parte es mostrar que todos los cálculos realizados anteriormente con el uso de una hoja
de cálculo EXCEL pueden efectuarse también a través de la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS mediante el
uso de los menus STAT y PRGM.
La primera etapa consiste en el proceso de captación de los datos de la Tabla 1 con la finalidad de introducirlos
directamente en las listas List 1 y List 2 del menú STAT a través del menú PRGM. Se consideran las dos variables
estadísticas tiempo t y consumo telefónico mensual Yt de la señora Bell.
En List 1 se introduce el tiempo t mientras que en List 2 el consumo telefónico mensual Yt.
Realza y activa el menú PRGM a través de la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄) y [EXE], selecciona [F3] (NEW),
introduce el nombre SAISIE del nuevo programa, presiona la tecla [EXE] y teclea las instrucciones que aparecen a
continuación:
El docente facilitirá al participante una calculadora con sus respectivos programas.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = SAISIE = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
‘CAPTACIÓN DE LOS DATOS 
Seq(X, X, 1, 120, 1) → List 1 
{1264,730,870,1113,969,1502,1425,1096,618,1207,1061,1041,1024,1533,1093,1190,1009,983,1029,1068,654,72
4,889,1171,853,961,911,1266,1750,1427,1294,956,701,815,1514,1730,1211,744,1071,1331,1455,1121,1456,201
4,1253,675,1491,1966,1850,2019,2104,2532,1900,1925,1868,1866,1474,1632,2336,1589,1184,1641,1926,1907,2
195,2665,1557,1601,1118,1695,1776,1436,839,977,1926,1511,1720,2026,2063,2122,3059,2479,2800,2030,1899,
1893,1885,2581,1383,2023,2608,1683,1539,1850,2509,2701,1973,2269,2172,1824,2726,2267,2079,2776,1379,2
353,2670,1728,846,2214,2002,1718,1093,2051,2410,1821,1136,1547,1576,1229}→ List 2 
1. Ahora bien, una vez introducidos los datos en el programa SAISIE, presiona la
tecla [EXE] y aparece en la pantalla el mensaje Done, presiona la tecla [MENU],
realza y activa el menú STAT a través de la tecla direccional elíptica [REPLAY] (▲,
►, ▼, ◄) , presiona la tecla [EXE], y los datos correspondientes a la variable
independiente t y a la variable dependiente Yt quedan registrados respectivamente en
List 1 y List 2 en el menú STAT.
2. Presiona las teclas [F1] (GRPH) / [5] (5:set) y selecciona las opciones tal cual
aparecen en la pantalla.
3. Presiona seguidamente las teclas [ESC] / [F1] (GRPH) / [1] (1:S-Gph1) y
aparece en la pantalla la graficación de todos los consumos mensuales del señor Bell
en un diagrama de dispersión como función del tiempo.
4. Presiona la tecla [F4] (CALC) / [2] (2: Linear) con la finalidad de seleccionar el
modelo de regresión lineal.
5. Presiona la tecla [EXE] y aparecen en la pantalla los parámetros del modelo de
regresión lineal aplicado a todos los datos registrados en las listas List 1 y List 2.
18
,
6. Presiona la tecla [F6] (DRAW) y aparece en la pantalla la recta de regresión
lineal.
7. Presiona en forma secuencial [F6] ( ) / [F2] (Y.CAL) / [EXE] / [1] / [2] / [1]
con la finalidad de calcular el consumo de teléfono del mes de enero del año 2005,
bajo la suposición que la tendencia se mantiene en el tiempo.
8. Presiona la tecla [EXE] y aparece en la pantalla el pronóstico del consumo
telefónico de la señora Bell para el mes de enero del año 2006.
9. Presiona las teclas [EXE] / [1] / [2] / [2] / [EXE] y aparece en la pantalla el
pronóstico del consumo telefónico de la señora Bell para el mes de febrero del año
2006.
Repite el procedimiento anterior hasta el mes de diciembre del año 2006, es decir para el valor de x  132 y se
obtienen los pronósticos de todos los consumos de teléfono de la señora Bell para el año 2006, como se muestra a
continuación:
TABLA 7
PRONÓSTICO DEL CONSUMO TELEFÓNICO DE LA SEÑORA BELL PARA EL AÑO 2006
Meses
Consumo
ENE
2.200
FEB
2.209
MAR
2.219
ABR
2.229
MAY
2.239
JUN
2.248
JUL
2.258
AGO
2.268
SEP
2.278
OCT
2.288
NOV
2.297
DIC
2.307
Ahora bien sobre la base de los pronósticos obtenidos en la Tabla 7 y de la Selección de los Planes
Residenciales Tarifarios según el consumo telefónico obtenida en la Tabla 6, llena la Tabla 8 que se le
presenta a continuación.
TABLA 8
PRESUPUESTO DE LA SEÑORA BELL PARA EL AÑO 2006 EN EL CONSUMO TELEFÓNICO
ULMeses
Consumo
Plan
Total Bs.
ENE
2.200
FEB
2.209
MAR
2.219
ABR
2.229
MAY
2.239
JUN
2.248
JUL
2.258
AGO
2.268
SEP
2.278
OCT
2.288
NOV
2.297
DIC
2.307
Suponga que la señora Bell haya elegido el Plan Limitado para todo el año 2006, ¿cuánto hubiera pagado
en total?
Suponga que la señora Bell haya elegido el Plan Clásico para todo el año 2006, ¿cuánto hubiera pagado
en total?
Suponga que la señora Bell haya elegido el Plan Habla más por menos para todo el año 2006, ¿cuánto
hubiera pagado en total?
Suponga que la señora Bell haya elegido el Plan Tarifa plana para todo el año 2006, ¿cuánto hubiera
pagado en total?
19
VISIÓN PROSPECTIVA:
Suponga ahora que con respecto al Plan Habla Más Por Menos, CANTV decide en referencia al valor del
minuto o fracción de minuto adicional a los sesenta minutos gratis lo siguiente:
“Los valores de los minutos adicionales previstos en el Plan Habla Más Por Menos, en atención al
volumen del consumo, serán aplicados uniformemente para todos los minutos adicionales que
excedan del nivel de minutos gratis establecido en la resolución”
Es decir si un cliente consume:

120 minutos al mes, la empresa CANTV le facturará en el próximo recibo la siguiente cantidad:
13.670,96  28,78  (120  60)  15.397,76 bolívares;

320 minutos al mes, la empresa CANTV le facturará en el próximo recibo la siguiente cantidad:
13.670,96  26,57  (320  60)  20.579,16 bolívares;

650 minutos al mes, la empresa CANTV le facturará en el próximo recibo la siguiente cantidad:
13.670,96  23,24  (650  60)  27.382,56 bolívares;

954 minutos al mes, la empresa CANTV le facturará en el próximo recibo la siguiente cantidad:
13.670,96  18,81 (954  60)  30.487,10 bolívares;

1960 minutos al mes, la empresa CANTV le facturará en el próximo recibo la siguiente cantidad:
13.670,96  13,28  (1.960  60)  38.902,96 bolívares.
Sobre la base de la nueva modificación aportada al Plan Habla Más Por Menos, define análiticamente PH como
función de x, y decida matemáticamente tanto como gráficamente, según el consumo total mensual x de minutos
locales, cuál es el Plan que debería elegir la señora Bell y establecer el presupuesto de la señora Bell para el año 2006
para su consumo telefónico.
Definición analítica del Plan Habla Más Por Menos modificado:
13.670,96 si 0  x  60
28,78x  11.944,16 si 60  x  240
26,57x  12.076,76 si 240  x  480
PH (x)  
23,24x  12.276,56 si 480  x  900
18,81x  12.542,36 si 900  x  1.800
13,28x  12.874,16 si x  1.800
Tabla resumen de todos los Planes Tarifarios:
TABLA 9
DEFINICIONES ANALÍTICAS DE LOS PLANES TARIFARIOS CON PH MODIFICADO PARA EL AÑO 2006
Consumo
PL
PC
PH
PP
0
50 
6.420,37
10.848,21
13.670,96
55.992,04
60 
46,49x  4.095,87
240
46,49x  4.095,87
480
46,49x  4.095,87
900
46,49x  4.095,87
1.800
46,49x  4.095,87
N
46,49x  4.095,87
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
13.670,96
55.992,04
28,78x  11.944,16
26,57x  12.076,76
23,24x  12.276,56
18,81x  12.542,36
13,28x  12.874,16
55.992,04
55.992,04
55.992,04
55.992,04
55.992,04
Solución analítica:
si
0  x  383 el Plan más económico es el Plan Limitado
si 383  x  435 el Plan más económico es el Plan Clásico
si 435  x  3.246 el Plan más económico es el Plan Habla Más Por Menos
si
x  3.246 el Plan más económico es el Plan Tarifa Plana
20
Solución gráfica:
GRÁFICO 3
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS PLANES PLIMI, PCLAS, PHMPM, PTAPL
180000
160000
PLIMI
PCLAS
PHMPM
PTAPL
PAGOS MENSUALES EN BOLÍVARES
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
1
192 383 574 765 956 1147 1338 1529 1720 1911 2102 2293 2484 2675 2866 3057 3248
CONSUMOS MENSUALES EN MINUTOS
¿Cuál es la diferencia fundamental que existe entre las ilustraciones gráficas 1 y 3 correspondientes al
Plan Habla Más Por Menos antes del cambio y después del cambio? Razone su respuesta en no más de
cinco líneas.
¿Cuánto pagaría una persona afiliada al nuevo Plan PH si consume 1.800 minutos al mes?
¿Cuánto pagaría una persona afiliada al nuevo Plan PH si consume 1.801 minutos al mes?
¿Qué les parece esta diferencia en el pago?
Según su opinión, ¿Cuál es la idea que está por detrás de este nuevo enfoque al Plan Habla Más Por
Menos?
¿Esta nueva definición del Plan Habla Más Por Menos no favorece a cierto tipo de consumidor?
¿Es ecnonomicamente hablando justa esta nueva proposición de CANTV sobre dicho Plan?
Suponga ahora que CANTV autoriza a sus clientes residenciales poder solicitar a su conveniencia cambio
de plan, hasta un máximo de dos oportunidades en el lapso de un año, sin cargo alguno. A partir del tercer
cambio inclusive y cualquier cambio adicional dentro del mismo lapso, se cobrará un maximo de 5.000,00
bolívares. ¿Cuál sería entonces la nueva estrategia de la señora Bell para el año 2006?
En el cálculo anterior de los pronósticos de los consumos mensuales de teléfono de la señora Bell para el año 2006,
se aplicó a los datos originales la técnica del método de regresión lineal, y evidentemente a lo largo de todo el año
2006 el incremento mensual ha sido el mismo, lo cual no ocurre realmente. Por lo tanto se le presenta a continuación
un método alterno más sofisticado, para evaluar mejores pronósticos de los consumos mensuales de teléfono de la
señora Bell para el año 2006, el cual reposa sobre el concepto de estudio de una serie de tiempo. El método que se
utiliza es el método de los promedios móviles simples centrados (PMSC) con proyecciones de tendencias
ajustadas por variaciones estacionales.
21
ESTUDIO DE UNA SERIE DE TIEMPO:
¿QUÉ ES UNA SERIE DE TIEMPO?
Se llama serie de tiempo a un conjunto de datos estadísticos, recopilados, observados o registrados a intervalos
regulares y ordenados de tiempo.
Los consumos telefónicos mensuales de la señora Bell correspondientes a los diez últimos años constituyen una serie
de tiempo y se ilustran gráficamente en un sistema bidimensional, donde el eje de las abscisas representa el tiempo t
expresado en meses y el eje de las ordenadas el consumo telefónico mensual Yt expresado en minutos como lo
muestra el Gráfico 2.
Graficar los datos de la serie de tiempo tiene como único objetivo facilitar la interpretación visual de los mismos.
GRÁFICO 2
GRÁFICO DE LA SERIE DE TIEMPO DEL CONSUMO MENSUAL TELEFÓNICO DE LA SEÑORA BELL DESDE
EL AÑO 1996 HASTA EL AÑO 2005
MINUTOS MENSUALES CONSUMIDOS
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
Jul-05
Ene-05
Jul-04
Ene-04
Jul-03
Ene-03
Jul-02
Ene-02
Jul-01
Ene-01
Jul-00
Ene-00
Jul-99
Ene-99
Jul-98
Ene-98
Jul-97
Ene-97
Jul-96
Ene-96
0
MESES
Al examinar detenidamente el Gráfico 2 se observa que el consumo mensual de teléfono de la señora Bell tiende a
aumentar continuamente a lo largo de los diez años, y en consecuencia tiene una “tendencia lineal creciente”.
El interés del análisis de nuestra serie de tiempo es el de predecir el consumo futuro mensual de teléfono de la señora
Bell para el año 2006 sobre la base de los consumos mensuales pasados correspondientes a los últimos diez años, y
bajo la suposición que dicha tendencia se mantendrá en el futuro.
¿CUÁLES SON LOS CUATRO COMPONENTES RELEVANTES DE UNA SERIE DE TIEMPO?
Tendencia: movimiento regular de la serie, ascendente o descendente a largo plazo.
Variaciones estacionales: oscilaciones a corto plazo de período regular, menor o igual a un año.
Variaciones cíclicas: movimientos a medio plazo en torno a la tendencia, cuyo período y amplitud presentan cierta
regularidad a veces.
Variaciones irregulares: recoge la influencia que ejercen sobre la serie circunstancias aleatorias y accidentales.
22
¿QUÉ SIGNIFICA DESCOMPONER UNA SERIE DE TIEMPO?
Descomponer una serie de tiempo significa determinar los cuatro componentes básicos definidos anteriormente.
¿CUÁL ES EL MODELO MÁS UTILIZADO EN EL ESTUDIO DE UNA SERIE DE TIEMPO?
El modelo más utilizado es el Modelo Multiplicativo el cual supone que el valor de los datos originales es el producto
de los cuatro componentes, como sigue:
MODELO MULTIPLICATIVO: Yt  Tt  Et  Ct  It
Yt Serie temporal en estudio, f(t)
Tt  Tendencia
Et  Variación Estacional
Ct  Variación Cíclica
It  Variación Irregular
En el Modelo Multiplicativo sólo Tt se expresa en las unidades de Yt, y Et, Ct e It se expresan en términos de
porcentajes y se supone que los cuatro componentes interactúan entre sí.
¿CUÁL ES EL OBJETIVO PRINCIPAL DEL ESTUDIO DE UNA SERIE DE TIEMPO?
El objetivo principal es proporcionar “buenos pronósticos” o predicciones de valores futuros de la serie a partir
de valores pasados.
¿CUÁL ES EL MÉTODO UTILIZADO EN EL ESTUDIO DE UNA SERIE DE TIEMPO?
El método que se utiliza es el método de los promedios móviles simples centrados (PMSC) con proyecciones
de tendencias ajustadas por variaciones estacionales.
Partiendo de la idea que la variación estacional de una serie de tiempo se mide luego de considerar sin efecto los
componentes de tendencia, ciclo e irregularidad, se utiliza el método de “razones con respecto a promedios
móviles simples centrados” para obtener los índices porcentuales de variación estacional.
El índice porcentual de variación estacional se obtiene aislando el componente estacional de la serie como sigue:
Et 
Yt
Tt  Ct  It
¿CUÁLES SON LOS PASOS A SEGUIR EN EL ESTUDIO DE UNA SERIE DE TIEMPO?
En el primer paso se captan los componentes de tendencia y ciclo a través del método del promedio móvil simple
centrado. En el segundo paso se determinan los índices porcentuales de variación estacional e irregular al dividir
cada dato original entre su promedio móvil simple correspondiente y multiplicar el resultado por cien; luego se calculan
los valores estimados de los índices porcentuales de variación estacional eliminando el componente irregular a través
del proceso de promediación de los resultados anteriores relativos a una misma fecha, y enseguida se determinan
los índices porcentuales de variación estacional a través del proceso de normalización. En el tercer paso se
desestacionalizan los datos originales al dividir cada uno de ellos por su respectivo índice porcentual de variación
estacional calculado para tal fin. En el cuarto paso se determina la ecuación de regresión de tendencia lineal a
través de la técnica de los mínimos cuadrados para describir el movimiento medio subyacente a largo plazo de la
serie de tiempo. En el quinto paso, bajo la suposición que dicha tendencia se mantendrá en el futuro, se utiliza la
ecuación anterior para obtener las proyecciones desestacionalizadas deseadas y finalmente en el sexto paso se
obtienen las proyecciones finales al multiplicar cada uno de los resultados obtenidos anteriormente a través de la
ecuación de regresión de tendencia lineal por su respectivo índice de variación estacional.
23
PASO 1: Captación de los componentes tendencia Tt y ciclo Ct
Se realiza a través del método de los promedios móviles simples centrados, en vista de que se desean aislar las
variaciones estacionales Et e irregulares It y la media móvil suaviza la serie y capta únicamente los componentes de
tendencia Tt y de ciclo Ct.
La idea es construir artificialmente una nueva serie de tiempo al sustituir cada observación real Yt por la media Yt
de dicha observación con algunas observaciones que la preceden y algunas que la siguen.
Si L es el período impar de observaciones tal que L  2k  1 y n el número total de datos, entonces
t  k  1,k  2,....,n  k se tiene que:
jk
 Yt  j
k
k
Y  Yt k 1  ...  Yt 1  Yt  Yt 1  ...  Yt k 1  Yt k
Yt 
 t k
2k  1
2k  1
jk
donde se sustituye cada observación por el valor promedio de dicha observación con las k observaciones que la
preceden y las k que la siguen.
Si k  1, se tiene 3 períodos, y por lo tanto se pierde información de las 2 observaciones extremas.
Si k  2 , se tiene 5 períodos, y por lo tanto se pierde información de las 4 observaciones extremas.
Si k  3 , se tiene 7 períodos, y por lo tanto se pierde información de las 6 observaciones extremas.
A mayor período L seleccionado, más información se pierde.
Si L es el período par de observaciones tal que
t  k  1,k  2,....,n  k se tiene que:
extremo
k 1
L  2k
y n el número total de datos, entonces
k 1
extremo
Yt k
Y
 Yt k 1  ...  Yt 1  Yt  Yt 1  ...  Yt k 1  t k
2
2
Yt 
2k
donde se sustituye cada observación por el valor promedio de dicha observación con las k – 1 observaciones que la
preceden más la mitad de la observación extrema y las k – 1 observaciones que la siguen más la mitad de la
observación extrema.
En ambos casos la nueva serie obtenida está centrada y tiene 2k observaciones menos que la serie original.
No existe un criterio único para elegir el tamaño del período L a tomar en consideración para calcular el promedio
móvil simple centrado, pero se puede recomendar que:
1. Un promedio móvil de más términos suavizará más a la serie resultante, mientras que con menos términos el
suavizado será mucho menor.
2. Se pueden elegir diferentes tamaños de período L y calcular para cada uno de ellos la ecuación de tendencia
lineal así como la suma de los cuadrados de los errores que se cometen, y a menor error se selecciona el tamaño
correspondiente.
A título de ejemplo se presentan en la siguiente Tabla 9 los resultados de los cálculos de promedios móviles simples
centrados de tres, cuatro, cinco, seis y siete meses para los consumos mensuales de teléfono de la señora Bell
correspondientes al año 1996.
24
TABLA 9
CÁLCULO DE PROMEDIOS MÓVILES SIMPLES CENTRADOS DE TRES, CUATRO, CINCO SEIS Y
SIETE MESES PARA LOS CONSUMOS MENSUALES DE TELÉFONO DE LA SEÑORA BELL AÑO
1996
AÑO
1996
Consumo
mensual
Original Yt
Promedio
Promedio
Promedio
Promedio
Promedio
móvil centrado móvil centrado móvil centrado móvil centrado móvil centrado
Yt de 3 meses Yt de 4 meses Yt de 5 meses Yt de 6 meses Yt de 7 meses
ENE
1.264
L=3 -, k=1
L=4 -, k=2
L=5 -, k=2
L=6 -, k=3
L=3 -, k=3
FEB
730
954,67
-
-
-
-
MAR
870
904,33
957,38
989,20
-
-
ABR
1.113
984,00
1017,00
1036,80
1088,08
1124,71
MAY
969
1194,67
1182,88
1175,80
1132,00
1100,71
JUN
1.503
1298,67
1250,13
1221,00
1141,50
1084,71
JUL
1.425
1341,00
1204,13
1122,00
1128,33
1132,86
AGO
1.096
1046,33
1123,38
1169,60
1143,83
1125,43
SEP
618
973,67
1041,00
1081,40
1113,08
1135,71
OCT
1.207
962,00
988,63
1004,60
NOV
1.061
1103,00
-
-
-
-
DIC
1.041
-
-
-
-
-
Si se utiliza un promedio móvil simple de período L  3 al fijar el valor de k en 1 de tal manera que el resultado
obtenido esté ya centrado en t, desde t  k  1  2 hasta t  n  1  11 , se obtiene que:
Y
 YFEB96  YMAR96 1.264  730  870
YFEB96  ENE96

 954,67
3
3
Y
 YMAR96  YABR96 730  870  1.113
YMAR96  FEB96

 904,33
3
3
Y
 YABR96  YMAY96 870  1.113  969
YABR96  MAR96

 984,00
3
3
y así sucesivamente tal cual lo ilustra la Tabla 9.
Si se utiliza un promedio móvil simple de período L  4 al fijar el valor de k en 2 de tal manera que el resultado
obtenido esté ya centrado en t, desde t  k  1  3 hasta t  n  2  10 , se obtiene que:
YENE96
Y
1.264
969
 YFEB96  YMAR96  YABR96  MAY96
 730  870  1.113 
2
2
2
2  957,38
YMAR96 

4
4
YFEB96
Y
730
1.502
 YMAR96  YABR96  YMAY96  JUN96
 870  1.113  969 
2
2
2
2  1.017,00
YABR96 

4
4
YMAR96
Y
870
1.425
 YABR96  YMAY96  YJUN96  JUL96
 1.113  969  1.502 
2
2
2
2  1.182,88
YMAY96 

4
4
y así sucesivamente tal cual lo ilustra la Tabla 9.
25
Se pueden observar en el Gráfico 4 como los promedios móviles centrados identificados por
Tt  Ct tienden a
suavizar las fluctuaciones estacionales e irregulares de modo que cada promedio móvil centrado representa el valor de
la serie como si no hubiera influencias estacionales e irregulares .
GRÁFICO 2
TENDENCIAS DE PROMEDIOS MÓVILES CENTRADOS DE 3, 4, 5, 6 Y 7 MESES AJUSTADAS A LOS
CONSUMOS MENSUALES DE TELÉFONO DE LA SEÑORA BELL
3500
3000
Valor real
Promedio móvil centrado de tres meses
2000
1500
1000
500
Sep-05
May-05
Ene-05
Sep-04
May-04
Ene-04
Sep-03
May-03
Ene-03
Sep-02
May-02
Ene-02
May-01
Ene-01
May-00
Sep-00
Ene-00
Sep-99
May-99
Ene-99
Sep-98
May-98
Ene-98
Sep-97
May-97
Ene-97
Sep-96
Ene-96
0
May-96
Promedio móvil centrado de 7 meses
meses
Sep-01
MINUTOS MENSUALES
2500
MESES
PASO 2: Cálculo de los índices porcentuales de variación estacional I%VEt
El objetivo de calcular los índices porcentuales de variación estacional es para eliminar los efectos estacionales de
nuestra serie de tiempo y este proceso se denomina desestacionalizar una serie de tiempo.
Como sólo interesa captar el componente de variación estacional Et de nuestra serie de tiempo, basta con eliminar los
demás componentes de tendencia T t, de ciclo Ct y de irregularidad It. Primero se eliminan los componentes de
tendencia y ciclo y después el componente de irregularidad.
PASO 2 – 1: Eliminación de los componentes de tendencia Tt y ciclo Ct
Para eso se divide cada dato original
Yt entre su promedio móvil simple centrado correspondiente Tt  Ct , de manera
que se identifican los componentes de estacionalidad e irregularidad Et  It de nuestra serie de tiempo, y por lo tanto
se tiene que el índice porcentual de variación estacional e irregular es:
I%VEIt  100 
Yt
Yt
 100 
PMSC
Tt  Ct
El promedio móvil simple centrado representa la estimación del promedio de la variable
26
Yt a largo plazo.
Se presentan a continuación los cálculos del índice porcentual de variación estacional e irregular I%VEI t
correspondientes a los consumos telefónicos del señor Bell para los meses de febrero, marzo y abril del año 1996 con
promedio móvil simple centrado de tres meses:
Y
730
I%VEIFEB96  100  FEB96  100 
 76,47
954,67
YFEB96
%VEIMAR96  100 
YMAR96
%VEIABR96  100 
YABR96
YMAR96
YABR96
 100 
870
 96,20
904,33
 100 
1.113
 113,11
984,00
a partir de lo cual se puede decir que el consumo telefónico del mes de febrero del año 1996 fue 24,53% menos que
el valor del promedio móvil mensual correspondiente; el consumo telefónico del mes de marzo del año 1996 fue
13,80% menos que el valor del promedio móvil mensual correspondiente y el consumo telefónico del mes de abril del
año 1996 fue 13,11% más que el valor del promedio móvil mensual correspondiente y así succesivamente como lo
ilustra la siguiente Tabla 3.
TABLA 10
CÁLCULO DEL ÍNDICE PORCENTUAL DE VARIACIÓN ESTACIONAL E IRREGULAR
I%VEI t PARA LA SERIE DE CONSUMO TELEFÓNICO DE L A SEÑORA BELL DESDE EL AÑO
1996 HASTA EL AÑO 2005 PARA UN PROMEDIO MÓVIL SIMPLE CENTRADO DE TRES MESES
MESES
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
-
85,38
126,00
85,93
108,44
95,13
97,62
100,23
116,47
80,21
95,81
95,80
120,60
85,73
105,80
87,09
96,72
118,16
95,75
105,58
97,19
85,07
80,69
111,90
116,50
98,59
73,76
102,13
103,53
111,72
83,41
95,14
127,93
95,36
59,23
108,25
111,14
95,12
101,41
94,85
116,22
89,66
101,44
99,03
107,49
88,94
89,97
126,11
93,31
80,47
103,62
105,55
94,91
97,31
124,59
80,22
112,32
75,99
110,81
108,58
106,34
77,40
78,33
130,90
87,90
98,15
104,63
99,65
87,88
119,80
89,19
114,93
90,50
97,85
100,04
88,93
132,38
63,13
130,10
96,12
96,26
91,03
94,10
106,61
112,81
85,25
106,13
104,01
81,40
119,96
96,17
87,57
133,59
63,57
110,26
118,65
53,01
131,21
101,21
107,08
67,44
110,79
115,09
101,79
75,67
108,97
108,64
98,86
-
76,47
96,20
113,11
81,11
115,66
106,26
104,75
63,47
125,47
96,19
99,90
PASO 2 – 2: Eliminación del componente irregular It
Si se observan los resultados de la Tabla 10 referente al mes de enero correspondiente a los años 97, 98, 99, 00, 01,
02, 03, 04 y 05 se tienen los siguientes resultados 85,38; 85,73; 98,59; 95,12; 80,47; 77,40; 97,85; 85,25, 53,01. Con
la finalidad de eliminar el componente irregular se toma el valor promedio de los datos anteriores para obtener un
estimado del índice porcentual de variación estacional del mes de enero como sigue:
t N
 I%VEIENE
EI%VEENE 
t 1
N

85,38  85,73  98,59  95,12  80,47  77,40  97,85  85,25  53,01
 84,31
9
donde N representa el número total de consumos mensuales correspondientes a una misma fecha.
Se procede de la misma manera para obtener un estimado del índice porcentual de variación estacional de los meses
de febrero y marzo:
27
t N
 I%VEIFEB
t 1
EI%VEFEB 

N
76,47  126  105,80  73,76  101,41  103,62  78,33  100,04  106,13  131,21
 100,28
10
t N
 I%VEIMAR
96,20  85,93  87,09  102,13  94,85  105,55  130,90  88,93  101,21

 99,68
N
10
Se pueden observar en la Tabla 11 los resultados de los cálculos de los valores estimados de los índices porcentuales
de variación estacional correspondientes a los consumos telefónicos mensuales con promedio móvil simple centrado
de tres meses.
EI%VEMAR 
t01
TABLA 11
CÁLCULO DEL ESTIMADO DEL ÍNDICE PORCENTUAL DE VARIACIÓN ESTACIONAL EI%VE t
PARA LA SERIE DE CONSUMO TELEFÓNICO DEL SEÑOR BELL CORRESPONDIENTE A LOS
AÑOS 96,97,98,99,00,01,02,03,04 Y 05
MESES
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
1996
1997
1998
1999
-
85,38
126,00
85,93
108,44
95,13
97,62
100,23
116,47
80,21
95,81
95,80
120,60
85,73
105,80
87,09
96,72
118,16
95,75
105,58
97,19
85,07
80,69
111,90
116,50
98,59
73,76
102,13
103,53
111,72
83,41
95,14
127,93
95,36
59,23
108,25
111,14
76,47
96,20
113,11
81,11
115,66
106,26
104,75
63,47
125,47
96,19
99,90
AÑOS
2000
2001
95,12
101,41
94,85
116,22
89,66
101,44
99,03
107,49
88,94
89,97
126,11
93,31
80,47
103,62
105,55
94,91
97,31
124,59
80,22
112,32
75,99
110,81
108,58
106,34
2002
2003
2004
2005
77,40
78,33
130,90
87,90
98,15
104,63
99,65
87,88
119,80
89,19
114,93
90,50
97,85
100,04
88,93
132,38
63,13
130,10
96,12
96,26
91,03
94,10
106,61
112,81
85,25
106,13
104,01
81,40
119,96
96,17
87,57
133,59
63,57
110,26
118,65
53,01
131,21
101,21
107,08
67,44
110,79
115,09
101,79
75,67
108,97
108,64
98,86
-
EI%VEt
84,31
100,28
99,68
104,17
94,18
106,01
98,49
108,57
83,91
96,45
109,57
105,55
PASO 2 – 3: Normalización de los índices porcentuales de variación estacional
Como los índices obtenidos en la última columna de la Tabla 11 son porcentajes, y la base de un índice es 100, al
sumar los índices correspondientes a los doce meses, la suma total 1.191,16 debería ser igual a 1.200 (12  100) de
tal manera que su media sea 100; de modo que se deben normalizar dichos índices de tal manera que dicha suma
sea igual a 1.200 y por lo tanto se calcula el índice porcentual de variación estacional como sigue:
I%VEt 
1.200  EI%VEt
t 12
 EI%VEt
t 1
cuya fórmula aplicada a los meses de enero, febrero y marzo correspondientes a la Tabla 4 da los siguientes
resultados:
I%VEENE 
1.200  EI%VEENE

1.200  84,31
 84,94
84,31  100,28  99,68  104,17  94,18  106,01  98, 49  108,57  83,91  96, 45  109,57  105,55

1.200  100,28
 101,02
84,31  100,28  99,68  104,17  94,18  106,01  98, 49  108,57  83,91  96, 45  109,57  105,55
t 12
 EI%VEt
t 1
I%VEFEB 
1.200  EI%VEFEB
t 12
 EI%VEt
t 1
I%VEMAR 
1.200  EI%VEMAR
t 12
 EI%VEt

1.200  99,68
 100, 42
84,31  100,28  99,68  104,17  94,18  106,01  98, 49  108,57  83,91  96, 45  109,57  105,55
t 1
y así sucesivamente tal cual lo ilustra a continuación la Tabla 12.
28
TABLA 12
CÁLCULO DEL ÍNDICE PORCENTUAL DE VARIACIÓN ESTACIONAL I%VE t PARA LA SERIE DE
CONSUMO TELEFÓNICO DEL SEÑOR BELL CORRESPONDIENTE A LOS AÑOS
96,97,98,99,00,01,02,03,04,05
AÑOS
MESES 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 EI%VEt
84,31
85,38 85,73 98,59 95,12 80,47 77,40 97,85 85,25 53,01
ENE
76,47 126,00 105,80 73,76 101,41 103,62 78,33 100,04 106,13 131,21 100,28
FEB
96,20 85,93 87,09 102,13 94,85 105,55 130,90 88,93 104,01 101,21 99,68
MAR
113,11
108,44 96,72 103,53 116,22 94,91 87,90 132,38 81,40 107,08 104,17
ABR
94,18
81,11 95,13 118,16 111,72 89,66 97,31 98,15 63,13 119,96 67,44
MAY
106,01
115,66
97,62
95,75
83,41
101,44
124,59
104,63
130,10
96,17
110,79
JUN
106,26 100,23 105,58 95,14 99,03 80,22 99,65 96,12 87,57 115,09 98,49
JUL
104,75 116,47 97,19 127,93 107,49 112,32 87,88 96,26 133,59 101,79 108,57
AGO
83,91
63,47 80,21 85,07 95,36 88,94 75,99 119,80 91,03 63,57 75,67
SEP
96,45
125,47
95,81
80,69
59,23
89,97
110,81
89,19
94,10
110,26
108,97
OCT
96,19 95,80 111,90 108,25 126,11 108,58 114,93 106,61 118,65 108,64 109,57
NOV
105,55
99,90 120,60 116,50 111,14 93,31 106,34 90,50 112,81 98,86
DIC
I%VEt
84,94
101,02
100,42
104,94
94,88
106,80
99,22
109,37
84,53
97,17
110,38
106,33
1.191,16 1.200,00
Totales
El índice porcentual de variación estacional del mes de enero 84,94% indica que el consumo del mes de enero
representa el 84,94% del consumo promedio de todo el año, es decir que el consumo se queda en un 15,06% por
debajo del consumo promedio anual. Se puede observar en el Gráfico 5 el índice porcentual de variacón estacional.
GRÁFICO 5
GRÁFICO DEL ÍINDICE PORCENTUAL DE VARIACIÓN ESTACIONAL DEL CONSUMO TELEFÓNICO
MENSUAL DE LA SEÑORA BELL
ÍNDICE PORCENTUAL DE VARIACIÓN ESTACIONAL
115,00
110,00
105,00
100,00
95,00
90,00
85,00
80,00
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
MESES
PASO 3: Cálculo de los datos originales desestacionalizados YtD
A través de los resultados anteriores se puede desestacionalizar (es decir eliminar el efecto estacional) nuestra
serie original de la siguiente manera:
Yt
Valor Real

 100
Índice % V ar iación Estacional I%VEt
100
de modo que se tiene los primeros resultados como sigue
Valor desestacionalizado  YtD 
29
D
YENE96

YENE96
1.264
 100 
 100  1.488,18
I%VEENE
84,94
D
YFEB96

YFEB96
730
 100 
 100  722,63
I%VEFEB
101,02
D
YMAR96

YMAR96
870
 100 
 100  866,36
I%VEMAR
100,42
Se pueden observar en la Tabla 13 los resultados de los cálculos de los consumos telefónicos mensuales
desestacionalizados correspondientes a los diez últimos años con promedio móvil simple centrado de tres meses.
TABLA 13
CÁLCULO DE LOS CONSUMOS TELEFÓNICOS MENSUALES ORIGINALES DESESTACIONALIZADOS
MES
Valor
real Yt
YtD
MES
Valor
real Yt
MES
Valor
real Yt
ENE-96
1264
FEB-96
730
84,94
1488,18
MAY-99
1455
94,88
101,02
722,63
JUN-99
1121
106,80
1533,55
SEP-02
3059
84,53
3618,70
1049,62
OCT-02
2479
97,17
MAR-96
870
100,42
866,36
JUL-99
1456
2551,31
99,22
1467,46
NOV-02
2800
110,38
ABR-96
1113
104,94
1060,58
AGO-99
2536,71
2014
109,37
1841,42
DIC-02
2030
106,33
MAY-96
969
94,88
1021,31
1909,09
SEP-99
1253
84,53
1482,26
ENE-03
1899
84,94
JUN-96
1502
106,80
2235,79
1406,35
OCT-99
675
97,17
694,69
FEB-03
1893
101,02
JUL-96
1425
1873,89
99,22
1436,21
NOV-99
1491
110,38
1350,80
MAR-03
1885
100,42
AGO-96
1877,11
1096
109,37
1002,09
DIC-99
1966
106,33
1848,90
ABR-03
2581
104,94
2459,45
SEP-96
618
84,53
731,07
ENE-00
1850
84,94
2178,10
MAY-03
1383
94,88
1457,66
OCT-96
1207
97,17
1242,21
FEB-00
2019
101,02
1998,62
JUN-03
2608
106,80
2441,92
NOV-96
1061
110,38
961,23
MAR-00
2104
100,42
2095,20
JUL-03
2023
99,22
2038,92
DIC-96
1041
106,33
978,99
ABR-00
2532
104,94
2412,76
AGO-03
1683
109,37
1538,79
ENE-97
1024
84,94
1205,61
MAY-00
1900
94,88
2002,57
SEP-03
1539
84,53
1820,59
I%VEt
I%VEt
YtD
I%VEt
YtD
FEB-97
1533
101,02
1517,53
JUN-00
1925
106,80
1802,42
OCT-03
1850
97,17
1903,97
MAR-97
1093
100,42
1088,43
JUL-00
1868
99,22
1882,70
NOV-03
2509
110,38
2273,07
ABR-97
1190
104,94
1133,96
AGO-00
1866
109,37
1706,11
DIC-03
2701
106,33
2540,12
MAY-97
1009
94,88
1063,47
SEP-00
1474
84,53
1743,69
ENE-04
1973
84,94
2322,92
JUN-97
983
106,80
920,40
OCT-00
1632
97,17
1679,61
FEB-04
2269
101,02
2246,10
JUL-97
1029
99,22
1037,10
NOV-00
2336
110,38
2116,34
MAR-04
2172
100,42
2162,91
AGO-97
1068
109,37
976,49
DIC-00
1589
106,33
1494,35
ABR-04
1824
104,94
1738,10
SEP-97
654
84,53
773,66
ENE-01
1184
84,94
1393,99
MAY-04
2726
94,88
2873,16
OCT-97
724
97,17
745,12
FEB-01
1641
101,02
1624,44
JUN-04
2267
106,80
2122,64
NOV-97
889
110,38
805,40
MAR-01
1926
100,42
1917,94
JUL-04
2079
99,22
2095,36
DIC-97
1171
106,33
1101,25
ABR-01
1907
104,94
1817,19
AGO-04
2776
109,37
2538,13
ENE-98
853
84,94
1004,28
MAY-01
2195
94,88
2313,49
SEP-04
1379
84,53
1631,31
FEB-98
961
101,02
951,30
JUN-01
2665
106,80
2495,29
OCT-04
2353
97,17
2421,64
MAR-98
911
100,42
907,19
JUL-01
1557
99,22
1569,25
NOV-04
2670
110,38
2418,93
ABR-98
1266
104,94
1206,38
AGO-01
1601
109,37
1463,81
DIC-04
1728
106,33
1625,07
MAY-98
1750
94,88
1844,47
SEP-01
1118
84,53
1322,56
ENE-05
846
84,94
996,04
JUN-98
1427
106,80
1336,13
OCT-01
1695
97,17
1744,44
FEB-05
2214
101,02
2191,66
JUL-98
1294
99,22
1304,18
NOV-01
1776
110,38
1609,00
MAR-05
2002
100,42
1993,62
AGO-98
956
109,37
874,08
DIC-01
1436
106,33
1350,47
ABR-05
1718
104,94
1637,09
SEP-98
701
84,53
829,26
ENE-02
839
84,94
987,80
MAY-05
1093
94,88
1152,00
OCT-98
815
97,17
838,77
FEB-02
977
101,02
967,14
JUN-05
2051
106,80
1920,39
NOV-98
1514
110,38
1371,63
MAR-02
1926
100,42
1917,94
JUL-05
2410
99,22
2428,97
DIC-98
1730
106,33
1626,95
ABR-02
1511
104,94
1439,84
AGO-05
1821
109,37
1664,96
ENE-99
1211
84,94
1425,78
MAY-02
1720
94,88
1812,85
SEP-05
1136
84,53
1343,85
FEB-99
744
101,02
736,49
JUN-02
2026
106,80
1896,99
OCT-05
1547
97,17
1592,13
MAR-99
1071
100,42
1066,52
JUL-02
2063
99,22
2079,23
NOV-05
1576
110,38
1427,80
ABR-99
1331
104,94
1268,32
AGO-02
2122
109,37
1940,17
DIC-05
1229
106,33
1155,80
30
PASO 4: Cálculo de la ecuación de regresión de tendencia lineal desestacionalizada TtD
La ecuación de regresión de tendencia lineal desestacionalizada TtD  a  bt se obtiene a través del método
convencional de regresión lineal tal cual se explica a continuación:
El modelo de regresión simple se describe a través de la relación y     t   donde  (la ordenada al origen) y 
(pendiente de la recta) son los parámetros del modelo y  es una variable aleatoria. La ecuación estimada de
regresión lineal simple es ŷ  a  bt donde ŷ, a y b son los estimados respectivamente de y, y de los parámetros  y  .
La determinación de los valores de a y b se realiza a través de la técnica de los mínimos cuadrados, la cual
consiste en minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores observados de la variable
in
in
i1
i1
dependiente y, y los valores estimados de la variable dependiente ŷ , es decir Min (yi  yˆ i )2   (yi  a  bti )2 cuya
resolución a través del cálculo diferencial conduce a la siguiente solución del sistema de ecuaciones normales (1) y
(2):
 in
  in
 in
 in
 (yi  a  bti )  0
2

2 (yi  a  bti )  0
 ei  0
(yi  a  bti )  0
 i1
 a i1
 i1
 i1
e
i









  in
 in
 in
 i n

2 (yi  a  bti )ti  0
 (yi  a  bti )ti  0
 ei t i  0
(yi  a  bti )2  0
 b



 i1
 i1
 i1
ei
 i1
in
in

in
in in
in
in
in in
na  b ti 
yi
(1)
n t i yi 
ti
yi
ti2
yi 
ti
t i yi

i1
i1

i1
i1 i1
i1
i1
i1 i1
 b
y a

2
2
in
in
in
in
 in
 in 
 in 
2
2
2
a ti  b ti 
n ti  
ti 
n ti  
ti 
ti yi (2)





i

1
i

1
i

1
i

1




i1
i1
 i1








 






 




donde yi  valor real de la observación i; ŷi  valor estimado de la observación i y n  número total de observaciones.
Ahora bien, las fórmulas anteriores se simplifican al máximo si se elige el punto medio de la serie como el origen de
i n
in
in
tal manera que
 t  0 , y por lo tanto se reducen a:
i
i1
 yi
 t i yi
b  i1
a  i1
n
y
in
 ti2
i1
i120
Si se aplica este método a nuestros 120 meses de tal manera que
 ti  0 , entonces el origen 0 se sitúa entre los
i1
dos meses centrales de la serie a saber entre el mes de diciembre del año 2000 y de enero del año 2001, es decir el
31 de diciembre a la medianoche del año 2000; en este caso no se coloca el valor 0 y por lo tanto se le asigna el valor
– 1 a dicho mes de diciembre del año 2000 y el valor +1 al mes de enero del año 2001, y así sucesivamente se
incrementa en 2 para valores superiores al mes base, y se decrementa en 2 para valores inferiores al mes base, tal
cual lo ilustra la Tabla 7.
¿Cómo sería la codificación de la variable tiempo si el número de datos fuese impar?
Por lo tanto se obtienen las siguientes estimaciones de los parámetros  y  :
in
i120
 
yi
a
i1
n

in
YtD
i1
120
i

192.700,07
 1.605,83 y b  i1
in
120
i120
ti yi
t
i1
31
tY
 i1
D
i ti
i120
2
i
t
i1
2
i

2.759.479,70
 4,79
575.960
y la ecuación de regresión de tendencia lineal desestacionalizada es TtD  4,79t  1.605,83 , donde el valor 4,79
indica que durante los últimos ciento veinte meses el consumo telefónico ha aumentado aproximadamente en 4,79
minutos cada 15 días es decir 9,58 minutos por mes, y el valor 1.605,83 representa el consumo telefónico mensual
promedio correspondiente al 31 de diciembre a la medianoche del año 2000 .
Nota: La ecuación de la recta de regresión lineal puede obtenerse directamente a través del uso de la hoja EXCEL.
Se presentan en la siguiente Tabla 14 los cálculos que justifican los resultados de los valores de a y b:
TABLA 14
CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN DE TENDENCIA LINEAL DESESTACIONALIZADA
(1)
(2)
(3)
MES ti
ti2
YtD
i
(4)
-119
-117
-115
-113
-111
-109
-107
-105
-103
-101
-99
-97
-95
-93
-91
-89
-87
-85
-83
-81
-79
-77
-75
-73
-71
-69
-67
-65
-63
-61
-59
-57
-55
-53
-51
-49
-47
-45
-43
-41
14161
1488,18
-177092,84
13689
722,63
-84548,00
13225
866,36
-99631,42
12769
1060,58
-119846,06
12321
1021,31
-113365,38
11881
1406,35
-153292,55
11449
1436,21
-153674,92
11025
1002,09
-105219,02
10609
731,07
-75300,60
10201
1242,21
-125463,14
9801
961,23
-95161,85
9409
978,99
-94962,43
9025
1205,61
-114532,97
8649
1517,53
-141130,12
8281
1088,43
-99046,88
7921
1133,96
-100922,30
7569
1063,47
-92521,81
7225
920,40
-78234,28
6889
1037,10
-86079,12
6561
976,49
-79095,30
6241
773,66
-61119,19
5929
745,12
-57374,22
5625
805,40
-60405,34
5329
1101,25
-80391,31
5041
1004,28
-71304,08
4761
951,30
-65639,78
4489
907,19
-60781,64
4225
1206,38
-78414,65
3969
1844,47
-116201,65
3721
1336,13
-81503,91
3481
1304,18
-76946,81
3249
874,08
-49822,69
3025
829,26
-45609,30
2809
838,77
-44455,04
2601
1371,63
-69953,32
2401
1626,95
-79720,78
2209
1425,78
-67011,44
2025
736,49
-33142,10
1849
1066,52
-45860,33
1681
1268,32
Total
277.320
43.877,38
YtD
i
 ti
-52001,04
(5)
(6)
(7)
MES
ti2
YtD
i
2209
1533,55
-59808,28
2025
1049,62
-38835,77
1849
1467,46
-51361,03
1681
1841,42
-60767,00
1521
1482,26
-45950,00
1369
694,69
-20146,02
1225
1350,80
-36471,51
1089
1848,90
-46222,44
961
2178,10
-50096,40
841
1998,62
-41971,09
729
2095,20
-39808,75
625
2412,76
-41016,89
529
2002,57
-30038,52
441
1802,42
-23431,43
361
1882,70
-20709,70
289
1706,11
-15354,95
225
1743,69
-12205,86
169
1679,61
-8398,03
121
2116,34
-6349,02
81
1494,35
-1494,35
49
1393,99
1393,99
25
1624,44
4873,31
9
1917,94
9589,71
1
1817,19
12720,34
1
2313,49
20821,44
9
2495,29
27448,24
25
1569,25
20400,29
49
1463,81
21957,20
81
1322,56
22483,48
121
1744,44
33144,45
169
1609,00
33788,94
225
1350,47
31060,73
289
987,80
24695,00
361
967,14
26112,77
441
1917,94
55620,33
529
1439,84
44635,08
625
1812,85
59824,09
729
1896,99
66394,50
841
2079,23
76931,69
ti
-39
-37
-35
-33
-31
-29
-27
-25
-23
-21
-19
-17
-15
-13
-11
-9
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
-3.486.779,58 Total
(8)
YtD
i
 ti
(9)
(10)
(11)
(12)
MES
ti2
YtD
i
YtD  ti
1681
3618,70
148366,57
1849
2551,31
109706,53
2025
2536,71
114151,82
2209
1909,09
89727,02
2401
2235,79
109553,95
2601
1873,89
95568,64
2809
1877,11
99487,03
3025
2459,45
135269,80
3249
1457,66
83086,55
3481
2441,92
144073,54
3721
2038,92
124374,13
3969
1538,79
96943,58
4225
1820,59
118338,13
4489
1903,97
127565,73
4761
2273,07
156841,88
5041
2540,12
180348,40
5329
2322,92
169573,09
5625
2246,10
168457,51
5929
2162,91
166544,31
6241
1738,10
137309,97
6561
2873,16
232725,82
6889
2122,64
176179,04
7225
2095,36
178105,67
7569
2538,13
220817,30
7921
1631,31
145186,75
8281
2421,64
220369,16
8649
2418,93
224960,62
9025
1625,07
154382,01
9409
996,04
96616,00
9801
2191,66
216973,86
10201
1993,62
201356,05
10609
1637,09
168620,56
11025
1152,00
120960,38
11449
1920,39
205482,13
11881
2428,97
264757,26
12321
1664,96
184810,78
12769
1343,85
151855,14
13225
1592,13
183094,65
13689
1427,80
167053,03
14161
1155,80
961
1940,17
75666,63
ti
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
21.320
68.045,00
19.125,14
Total
32
277.320 80.777,68
i
137539,74
6.227.134,14
Suponga ahora que se desea cambiar el origen de la ecuación de regresión de tendencia lineal de tal manera que
este sea el mes de diciembre del año 1995, es decir el valor 0 corresponde al mes de diciembre del año 1995, el valor
1 corresponde al mes de enero del año 1996, el valor 2 corresponde al mes de febrero del año 1996, el valor 3
corresponde al mes de marzo de 1996, y así sucesivamente hasta el valor 120 que corresponde al mes de diciembre
del año 2004. El objetivo del problema es encontrar la nueva ecuación de tendencia lineal en este nuevo sistema. Si
t  representa el tiempo medido a partir del nuevo origen se tiene que t  2t   121, y la ecuación de tendencia anterior
se transforma en:
TtD  4,79110(2t  121)  1.605,8339  9,58 t  1.026,11
Se puede observar en el Gráfico 5 la representación gráfica de la ecuación de regresión de tendencia lineal
correspondiente al nuevo cambio de origen.
GRÁFICO 5
GRÁFICO DE LA ECUACIÓN DE TENDENCIA LINEAL
4000,00
CONSUMOS MENSUALES DESESTACIONALIZADOS
3500,00
y = 9,58x + 1026,1
R2 = 0,3589
3000,00
2500,00
2000,00
1500,00
1000,00
500,00
0,00
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97 103 109 115
MESES
Ahora bien, el punto medio ( t,YtD )  (0,1.605,83) correspondiente a los datos de la Tabla 14 pertenece a la recta
representativa de la ecuación de tendencia lineal desestacionalizada TtD  4,79t  1.605,83 en vista de que sus
coordenadas verifican la ecuación. De la misma manera el punto medio ( t ,YtD )  (60,5,1.605,83) correspondiente a
los datos de la Tabla 14 con cambio de origen pertenece también a la recta representativa de la ecuación de
tendencia lineal desestacionalizada TtD  9,58t   1.026,11 en vista de que sus coordenadas verifican la ecuación.
¿Existe una razón matemática y/o física por la cual el punto medio ( t , Y) de los datos de la serie en
estudio pertenece a la recta representativa de la ecuación de regresión de tendencia lineal?
33
PASO 5: Cálculo de las proyecciones tendenciales lineales desestacionalizadas
Bajo la suposición que dicha tendencia se mantendrá en el futuro, se utiliza la ecuación TtD  4,79t  1.605,83 con la
codificación correspondiente para la variable independiente t para obtener las proyecciones desestacionalizadas del
consumo telefónico de la señora Bell para los próximos doce meses del año 2006 como sigue:
D
TENE06
 TtD121  1.605,83  4,79  2(121  60,5)  2.185,56
D
TFEB06
 TtD123  1.605,83  4,79  2(122  60,5)  2.195,14
D
TMAR06
 TtD125  1.605,83  4,79  2(123  60,5)  2.204,72
Se presentan a continuación los resultados de los cálculos de los valores estimados desestacionalizados de la
tendencia para el año 2006 del consumo telefónico mensual del señor Bell. Dichos valores reflejan como sería el
consumo mensual de teléfono si no estuviere sujeto a la variación estacional.
TABLA 15
CÁLCULO DE LOS VALORES ESTIMADOS DESESTACIONALIZADOS DE
LA TENDENCIA DEL CONSUMO MENSUAL TELEFÓNICO DE LA
SEÑORA BELL PARA EL AÑO 2006
MES
t
TtD  4,79t  1.605,83
ENE – 2006
121
2185,56
FEB – 2006
123
2195,14
MAR – 2006
125
2204,72
ABR – 2006
127
2214,30
MAY – 2006
129
2223,89
JUN – 2006
131
2233,47
JUL – 2006
133
2243,05
AGO – 2006
135
2252,63
SEP – 2006
137
2262,21
OCT – 2006
139
2271,80
NOV – 2006
141
2281,38
DIC – 2006
143
2290,96
PASO 6: Cálculo de las proyecciones tendenciales lineales con ajustes estacionales
A través de los índices porcentuales de variación estacional, se terminan de ajustar las estimaciones anteriores a
partir de la siguiente fórmula:
Valor estacionalizado  Valor tendencia desestacionalizado 
YtE 
Índice % de var iación estacional
100
TtD  I%VEt
100
Se obtienen para los tres primeros meses del año 2006 los siguientes resultados:
34
E
YENE06

D
TENE06
 I%VEENE 2.185,56  84,94

 1.856,33
100
100
E
YFEB06

D
TFEB06
 I%VEFEB 2.195,14  101.01

 2.217,52
100
100
E
YMAR06

D
TMAR06
 I%VEMAR 2.204,72  100,42

 2.213,98
100
100
Se presentan en la Tabla 16 los pronósticos de los consumos telefónicos mensuales del señor Bell correspondientes
al año 2006:
TABLA 16
CÁLCULO DE LOS PRONÓSTICOS DEL CONSUMO TELEFÓNICO
MENSUAL DEL SEÑOR BELL PARA EL AÑO 2006
TtD  I%VEt
100
MES
ti
TtD
I%VEt
ENE – 2006
121
2.185,56
84,94
1.856,33  1.857
FEB – 2006
123
2.195,14
101,02
2.217,52  2.218
MAR – 2006
125
2.204,72
100,42
2.213,98  2.214
ABR – 2006
127
2.214,30
104,94
2.323,74  2.324
MAY – 2006
129
2.223,89
94,88
2.109,98  2.110
JUN – 2006
131
2.233,47
106,80
2.385,37  2.386
YtE 
JUL – 2006
133
2.243,05
99,22
2.225,54  2.226
AGO – 2006
135
2.252,63
109,37
2.463,75  2.464
SEP – 2006
137
2.262,21
84,53
1.912,32  1.913
OCT – 2006
139
2.271,80
97,17
2.207,40  2.208
NOV – 2006
141
2.281,38
110,38
2.518,17  2.519
DIC – 2006
143
2.290,96
106,33
2.436,06  2.437
En la Tabla 17 se recopilan todos los cálculos realizados anteriormente con la finalidad para el estudiante de apreciar
la secuencia de los mismos desde el inicio con el cálculo del promedio móvil simple centrado hasta el final con las
proyecciones de los consumos telefónicos mensuales para el año 2006.
Sobre la base de la metodología de cálculo de los índices porcentuales de variación estacional:
¿Cuál sería la metodología de cálculo de los índices de variaciones cíclicas de la serie de tiempo en estudio?
Determine los valores de los índices de variaciones cíclicas y grafique los resultados obtenidos.
¿Cuál sería la metodología de cálculo de los índices de variaciones irregulares de la serie de tiempo en
estudio?
Determine los valores de los índices de variaciones irregulares y grafique los resultados obtenidos.
Si se trabaja con el Modelo Aditivo se tiene que Yt  Tt  Et  Ct  It .Por lo tanto:
¿Cuáles son las unidades de los cuatro componentes?
¿Se supone que existe dependencia o independencia entre los cuatro componentes?
35
TABLA 17
DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE TENDENCIA LINEAL MEDIANTE EL MODELO DE DESCOMPOSICIÓN DE SERIES CRONOLÓGICAS PARA EL CONSUMO TELEFÓNICO DE LA SEÑORA BELL
1
MES
2
3
VALOR
Yt 
REAL
Yt
Ene-96
Feb-96
Mar-96
Abr-96
May-96
Jun-96
Jul-96
Ago-96
Sep-96
Oct-96
Nov-96
Dic-96
Ene-97
Feb-97
Mar-97
Abr-97
May-97
Jun-97
Jul-97
Ago-97
Sep-97
Oct-97
Nov-97
Dic-97
Ene-98
Feb-98
Mar-98
Abr-98
May-98
Jun-98
Jul-98
Ago-98
Sep-98
Oct-98
Nov-98
Dic-98
Ene-99
Feb-99
Mar-99
Abr-99
May-99
Jun-99
Jul-99
Ago-99
Sep-99
Oct-99
Nov-99
Dic-99
Ene-00
Feb-00
Mar-00
Abr-00
May-00
Jun-00
Jul-00
Ago-00
Sep-00
Oct-00
Nov-00
Dic-00
Ene-01
Feb-01
Mar-01
Abr-01
May-01
Jun-01
Jul-01
Ago-01
Sep-01
Oct-01
Nov-01
Dic-01
Ene-02
Feb-02
Mar-02
Abr-02
May-02
Jun-02
Jul-02
Ago-02
Sep-02
Oct-02
Nov-02
Dic-02
Ene-03
Feb-03
Mar-03
Abr-03
May-03
Jun-03
Jul-03
Ago-03
Sep-03
Oct-03
Nov-03
Dic-03
Ene-04
Feb-04
Mar-04
Abr-04
May-04
Jun-04
Jul-04
Ago-04
Sep-04
Oct-04
Nov-04
Dic-04
Ene-05
Feb-05
Mar-05
Abr-05
May-05
Jun-05
Jul-05
Ago-05
Sep-05
Oct-05
Nov-05
Dic-05
1264
730
870
1113
969
1502
1425
1096
618
1207
1061
1041
1024
1533
1093
1190
1009
983
1029
1068
654
724
889
1171
853
961
911
1266
1750
1427
1294
956
701
815
1514
1730
1211
744
1071
1331
1455
1121
1456
2014
1253
675
1491
1966
1850
2019
2104
2532
1900
1925
1868
1866
1474
1632
2336
1589
1184
1641
1926
1907
2195
2665
1557
1601
1118
1695
1776
1436
839
977
1926
1511
1720
2026
2063
2122
3059
2479
2800
2030
1899
1893
1885
2581
1383
2608
2023
1683
1539
1850
2509
2701
1973
2269
2172
1824
2726
2267
2079
2776
1379
2353
2670
1728
846
2214
2002
1718
1093
2051
2410
1821
1136
1547
1576
1229
Totales
192990
Tt  Ct
954,67
904,33
984,00
1194,67
1298,67
1341,00
1046,33
973,67
962,00
1103,00
1042,00
1199,33
1216,67
1272,00
1097,33
1060,67
1007,00
1026,67
917,00
815,33
755,67
928,00
971,00
995,00
908,33
1046,00
1309,00
1481,00
1490,33
1225,67
983,67
824,00
1010,00
1353,00
1485,00
1228,33
1008,67
1048,67
1285,67
1302,33
1344,00
1530,33
1574,33
1314,00
1139,67
1377,33
1769,00
1945,00
1991,00
2218,33
2178,67
2119,00
1897,67
1886,33
1736,00
1657,33
1814,00
1852,33
1703,00
1471,33
1583,67
1824,67
2009,33
2255,67
2139,00
1941,00
1425,33
1471,33
1529,67
1635,67
1350,33
1084,00
1247,33
1471,33
1719,00
1752,33
1936,33
2070,33
2414,67
2553,33
2779,33
2436,33
2243,00
1940,67
1892,33
2119,67
1949,67
2190,67
2004,67
2104,67
1748,33
1690,67
1966,00
2353,33
2394,33
2314,33
2138,00
2088,33
2240,67
2272,33
2357,33
2374,00
2078,00
2169,33
2134,00
2250,33
1748,00
1596,00
1687,33
1978,00
1604,33
1620,67
1851,33
2094,00
1789,00
1501,33
1419,67
1450,67
4
I%VEIt 
100 
5
6
7
8
9
10
11
EI%VEt
I%VEt
YtD 
ti
ti2
YtD  ti
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95,80
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111,14
95,12
101,41
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101,44
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107,49
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112,81
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107,08
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estimado
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100,42
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99,22
109,37
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101,02
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104,94
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109,37
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106,80
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110,38
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101,02
100,42
104,94
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106,80
99,22
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84,53
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110,38
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110,38
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110,38
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101,02
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106,80
99,22
109,37
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110,38
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desestacionalizado
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2432,06
2445,10
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12
% de la
13
MES
tendencia

Yt
YtD
14
15
16
ti
TtD  a  b t
I%VEt
estimado
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119,94
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116,01
114,96
90,08
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140,52
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90,66
106,06
107,26
109,59
156,92
126,32
141,74
102,09
94,88
93,96
92,96
126,48
67,34
126,19
97,27
80,42
73,08
87,31
117,68
125,92
91,42
104,51
99,44
83,01
123,33
101,96
92,96
123,41
60,95
103,41
116,67
75,08
36,55
95,12
85,53
72,99
46,18
86,18
100,71
75,69
46,96
63,61
64,46
50,00
17
TD  I%VEt
TtE  t
100
desestacio-
estimado
nalizado
Ene-06
Feb-06
Mar-06
Abr-06
May-06
Jun-06
Jul-06
Ago-06
Sep-06
Oct-06
Nov-06
Dic-06
121
123
125
127
129
131
133
135
137
139
141
143
estacionalizado
2185,56
2195,14
2204,72
2214,30
2223,89
2233,47
2243,05
2252,63
2262,21
2271,80
2281,38
2290,96
84,94
101,02
100,42
104,94
94,88
106,80
99,22
109,37
84,53
97,17
110,38
106,33
1856,33
2217,52
2213,98
2323,74
2109,98
2385,37
2225,54
2463,75
1912,32
2207,40
2518,17
2436,06
Modelo de regresión lineal
TtD  a  b t
in
b 
 ti
i1
in
xi
 ti2
i1
in
a 
 xi
i1
n
a= 1605,8339
b= 4,7911
Ecuación de t endencia lineal
TtD  1.605,83  4,79t
PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
El objetivo principal de esta parte es mostrar que todos los cálculos realizados anteriormente con el uso de una hoja
de cálculo EXCEL pueden efectuarse también a través de la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS mediante el
uso de los menus STAT y PRGM.
He aquí a continuación las diferentes etapas que conducen a la solución de nuestro problema:
ETAPA 1: Captación de los datos
La primera etapa consiste en el proceso de captación de los datos de la Tabla 1 con la finalidad de introducirlos
directamente en las listas List 1 y List 2 del menú STAT a través del menú PRGM.
Se consideran las dos variables estadísticas tiempo t y consumo telefónico mensual Yt del señor Bell.
En List 1 se introduce el tiempo t mientras que en List 2 el consumo telefónico mensual Yt. .
Realza y activa el menú PRGM a través de la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄) y [EXE], selecciona [F3] (NEW),
introduce el nombre SAISIE del nuevo programa, presiona la tecla [EXE] y teclea las instrucciones que aparecen a
continuación:
=======================
SAISIE
=======================
‘CAPTACIÓN DE LOS DATOS 
Seq(X, X, 1, 120, 1) → List 1 
{1264,730,870,1113,969,1502,1425,1096,618,1207,1061,1041,1024,1533,1093,1190,1009,983,1029,1068,654,7
24,889,1171,853,961,911,1266,1750,1427,1294,956,701,815,1514,1730,1211,744,1071,1331,1455,1121,1456,20
14,1253,675,1491,1966,1850,2019,2104,2532,1900,1925,1868,1866,1474,1632,2336,1589,1184,1641,1926,1907
,2195,2665,1557,1601,1118,1695,1776,1436,839,977,1926,1511,1720,2026,2063,2122,3059,2479,2800,2030,18
99,1893,1885,2581,1383,2023,2608,1683,1539,1850,2509,2701,1973,2269,2172,1824,2726,2267,2079,2776,137
9,2353,2670,1728,846,2214,2002,1718,1093,2051,2410,1821,1136,1547,1576,1229}→ List 2 
Ahora bien, una vez introducidos los datos en el programa SAISIE, presiona la tecla [EXE] y aparece en la pantalla el
mensaje Done, presiona la tecla [MENU], realza y activa el menú STAT a través de la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►,
▼, ◄) y la tecla [EXE], y los datos correspondientes a la variable independiente t y a la variable dependiente Yt
quedan registrados respectivamente en List 1 y List 2 en el menú STAT.
A continuación se presenta el procedimiento a seguir con la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2. 0 PLUS para llevar
a cabo dicha primera etapa.
37
PROCEDIMIENTO CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
1. Presione seguidamente las teclas [AC/ON] / [MENU] y seleccione el
menú PRGM a través de la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼,◄).
2. Presione las teclas [EXE] / [F3] (NEW) con la finalidad de registrar un
nuevo programa.
3. Presione las teclas [ALPHA] / [  ] (S) / [ALPHA] / [ X, ,T ] (A) /
[ALPHA] / [(] (I) / [ALPHA] / [  ] (S) / [ALPHA] / [(] (I) / [ALPHA] / [cos]
(E) / [EXE] con la finalidad de registrar el nombre SAISIE del programa. El
nombre de un programa puede tener a lo sumo ocho caracteres de
longitud.
4. Presione las teclas correspondientes con la finalidad de introducir las
primeras instrucciones. Se presenta a continuación la primera parte del
programa. Para escribir el comando Seq active primeramente el menú de
opciones OPTN, luego [F1] (List) / [3] (3:Seq).
5. Presione las teclas correspondientes con la finalidad de introducir las
instrucciones restantes. Se presenta a continuación la última parte del
programa.
6. Presione seguidamente las teclas [ESC] para salir del programa SAISIE
y entrar en “Lista de programa” donde aparece el nombre de nuestro
programa con a su derecha el número de bytes correspondientes.
7. Presione la tecla [F1] (EXE) para ejecutar el programa.
Sigue…
38
Continuación…
PROCEDIMIENTO CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
8. Presione seguidamente la tecla [MENU] y seleccione el menú STAT a
través de la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄).
9. Presione la tecla [EXE] y aparecen en List 1 los datos correspondientes
a la variable independiente t, y en List 2 los datos correspondientes a los
consumos telefónicos mensuales a la variable dependiente Yt.
10. Presione las teclas ▲ / ▲ con la finalidad de ubicarse en la parte
final de ambas listas y cerciorarse que los datos han sido bien registrados.
OBSERVACIÓN: Si no hay programas almacenados en la memoria la
pantalla aparece tal cual. Presione la tecla F3 (NEW) e introduce tu
programa.
ETAPA 2: Representación gráfica de los datos
La segunda etapa consiste en representar gráficamente la serie de tiempo original a estudiar.
Una serie de tiempo puede ilustrarse gráficamente a través del menú PRGM como:
 Un diagrama de barras mediante el programa BATON–1,y
 Un diagrama poligonal continuo mediante el programa POLYG–1
Los programas y subprogramas se detallan a continuación:
39
PROGRAMAS Y SUBPROGRAMAS
DESCRIPCIÓN
Diagrama de barras
Ejecución del programa
WINDOW
Ejecución del programa BATON
Almacenamiento del diagrama de
memoria de gráfico 1
BATON–1
Prog “ WINDOW” 
Prog “ BATON” 
StoPict 1
barras
en
Diagrama poligonal
POLYG –1
Prog ”
WINDOW ” 
Prog ”
POLYG “
Ejecución del programa
WINDOW
Ejecución del programa
POLYG
Ajuste de la ventana de visualización
Borra la pantalla de gráfico
Valor mínimo del eje x
Valor máximo del eje x
Incremento del eje x
Valor mínimo del eje y
Valor máximo del eje y
Incremento del eje y
WINDOW
ClrGraph 
0→ Xmin 
122→ Xmax 
1→ Xscl 
0→ Ymin 
Max(List 2)+100→ Ymax 
10→ Yscl 
Diagrama de barras
BATON
For 1→ A To Dim List 1 
Plot A,0 
Plot A,List 2[A] 
Line 
Next 
Registra el punto (t1,0)
Registra el punto (t1,Y1)
Traza la línea vertical (barra) que pasa por los dos
puntos (t1,0) y (t1,Y1)
PlotOn 0,0
Enciende el punto (0,0)
Diagrama poligonal
POLYG
For 1→ A To Dim List 1 
Plot A, List 2[A] 
Line 
Next 
PlotOn 0,0
RclPict 1
PlotOn 0,0
Registra el punto (t1,Y1)
Registra el punto (t2 ,Y2 )
Traza el segmento de recta que pasa por ambos
puntos y enciende el punto (0,0)
Almacena el gráfico en la memoria de gráfico 1.
Enciende el punto (0,0)
A continuación se presenta el procedimiento a seguir con la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.O PLUS para llevar a
cabo dicha segunda etapa.
40
PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
1. Presione seguidamente las teclas [AC/ON] / [MENU] y seleccione el
menú PRGM a través de la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄).
2. Presione la tecla [EXE] para ingresar en Lista de programa y seleccione
el programa BATON –1.
3. Presione la tecla [EXE] con la finalidad de ilustrar gráficamente los
datos mediante un gráfico de barras. Esta imagen se memoriza en la
memoria de gráfica bajo el número 1 a través de la instrucción StoPict 1.
4. Presione las teclas [ESC] / [ESC] para salir del programa y entrar en
Lista de programa y seleccione el programa POLYG – 1.
5. Presione la tecla [EXE] con la finalidad de ilustrar gráficamente los
datos mediante una poligonal.
6. Presione seguidamente la tecla [EXE] con la finalidad de superponer a
la gráfica poligonal el gráfico de barras. El diagrama de barras
memorizado en la memoria gráfica número 1 se superpone al gráfico
poligonal a través de la instrucción RclPict 1.
41
Una serie de tiempo puede ilustrarse gráficamente también a través del menú STAT como sigue:
PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
1. Presione la tecla [F1] (GRPH) para visualizar el menú de gráficos estadísticos y
seleccione con la tecla [REPLAY] el comando [5] (Set) para realizar los ajustes
correspondientes: tipo de gráfico, asignaciones de lista, frecuencia y tipo de marca.
2. Presione la tecla [EXE] y aparece la pantalla de ajustes de gráficos estadísticos.
Presione la tecla [F1] (GPH1) para realizar nuestra ilustración gráfica en el gráfico
1.
3. Presione las teclas ▼/ [F2] (xy) para realizar diagrama de línea.
4. Presione las teclas ▼/ [F1] (List) / [1]
para asignar List 1como lista de datos
del eje x, es decir en nuestro caso la variable independiente tiempo t.
5. Presione las teclas ▼/ [F1] (List) / [2] para asignar List 2 como lista de datos
del eje y, es decir en nuestro caso la variable dependiente consumo telefónico
mensual Yt.
6. Presione las teclas ▼/ [F1] (1) para asignar la marcación de los puntos 1 a 1.
7. Presione las teclas ▼/ [F3] (.) para asignar el tipo de marca en la marcación de
los puntos en el diagrama de dispersión.
8. Presione las teclas [ESC] / [F1] (GPH) / [1] (S-Gph1) para realizar el diagrama
poligonal correspondiente a nuestra serie de datos.
42
ETAPA 3: Cálculo de los pronósticos de consumo telefónico mensual para el año 2006
Se presenta a continuación el programa PRONOSTI que permite calcular los pronósticos de los consumos telefónicos
de la señora Bell para el año 2006.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = PRONOSTI = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
‘BORRADO DE LAS LISTAS 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11 
ClrList 3 
ClrList 4 
ClrList 5 
ClrList 6 
ClrList 7 
ClrList 8 
ClrList 9 
ClrList 10 
ClrList 11 
‘PERÍODO DE PROMEDIOS MÓVILES SIMPLES CENTRADOS 
“PERIODO”? → L 
‘DIAGRAMA DE DISPERSIÓN DE LOS DATOS ORIGINALES 
Dim List 2→ N 
Prog “ NUAGE” 
‘ESTUDIO DE PARIDAD DEL PERÍODO Y CÁLCULO DE LOS PROMEDIOS MÓVILES SIMPLES
CENTRADOS 
Int (L  2) → K 
If K=L  2 
Then ‘ORDEN PAR 
For K+1→ I To N – K 
(∑(List 2[A] , A, I – K + 1, I + K – 1 ,1) + .5 List 2[I–K] + .5 List 2[I + K])  (2K) →List 4[I – K] 
‘ELIMINACIÓN COMPONENTES TENDENCIA Y CICLO 
100List 2[I]  List 4[I – K] →List 5[I – K] 
Next 
‘ELIMINACIÓN COMPONENTE IRREGULAR 
For 1→ I To 12 
If I  K 
Then ∑(List 5[A] , A, I +12 – K , N – 2K,12)  (N  12 – 1) →List 6[I] 
Else If I >K And I  12 – K 
Then ∑(List 5[A] , A, I – K , N – 2K,12)  (N  12) →List 6[I] 
Else ∑(List 5[A] , A, I – K , N – 2K,12)  (N  12 – 1) →List 6[I] 
IfEnd 
IfEnd 
Next 
‘NORMALIZACIÓN 
For 1→ I To 12 
1200List 6[I]  ∑(List 6[A] , A, 1,12,1) →List 7[I] 
Next 
‘DESESTACIONALIZACIÓN 
For 1→ J To N  12 
For 1→ I To 12 
List 7[I] → List 8[12(J-1)+I] 
Next 
Next 
For 1→ I To N 
Sigue…
100List 2[I]  List 8[I] → List 9[I] 
Next 
43
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = PRONOSTI = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
‘CÁLCULO DE LOS PROMEDIOS MÓVILES SIMPLES CENTRADOS 
Else ‘ORDEN IMPAR 
For K+1→ I To N – K 
(∑(List 2[A] , A, I – K , I + K,1))  (2K+1) →List 4[I – K] 
‘ELIMINACIÓN COMPONENTES TENDENCIA Y CICLO 
100List 2[I]  List 4[I–K] →List 5[I–K] 
Next 
‘ELIMINACIÓN COMPONENTE IRREGULAR 
For 1→ I To 12 
If I  K 
Then ∑(List 5[A] , A, I +12 – K , N – 2K,12)  (N  12 – 1) →List 6[I] 
Else If I >K And I  12 – K 
Then ∑(List 5[A] , A, I – K , N – 2K,12)  (N  12) →List 6[I] 
Else ∑(List 5[A] , A, I – K , N – 2K,12)  (N  12 – 1) →List 6[I] 
IfEnd 
IfEnd 
Next 
‘NORMALIZACIÓN 
For 1→ I To 12 
1200List 6[I]  ∑(List 6[A] , A, 1,12,1) →List 7[I] 
Next 
‘DESESTACIONALIZACIÓN 
For 1→ J To N  12 
For 1→ I To 12 
List 7[I] → List 8[12(J-1)+I] 
Next 
Next 
For 1→ I To N 
100List 2[I]  List 8[I] → List 9[I] 
Next 
IfEnd 
‘DIAGRAMAS POLIGONALES DE PROMEDIOS MÓVILES SIMPLES CENTRADOS Y DATOS
DESESTACIONALIZADOS 
Prog “ M-GRAPH” 
‘CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA DE REGRESIÓN DE TENDENCIA LINEAL 
LinearReg List 1, List 9,1
‘CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES TENDENCIALES DESESTACIONALIZADAS 
For N+1→ I To N+12 
I ŷ → List 10[I–N] 
Next 
‘CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES ESTACIONALIZADAS 
For 1→ I To 12 
List 7  List 10  100→ List 11[I] 
Next 
“FIN”
44
Finalmente se presentan los subprogramas
NUAGE y
M–GRAPH que se utilizan con la finalidad a través del
primero de ilustrar gráficamente el diagrama de dispersión (S–Gph1) de los datos originales de la serie de tiempo en
estudio, y a través del segundo el diagrama poligonal de la serie artificial correspondiente a los promedios móviles
simples centrados (S–Gph2) y el diagrama poligonal correspondiente a los datos originales desestacionalizados (S–
Gph3).
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = NUAGE = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
‘DIAGRAMA DE DISPERSIÓN DE LOS DATOS ORIGNALES 
ClrGrph 
S-WindAuto 
S–Gph1 DrawnOn, Scatter, List 1, List 2, 1, Dot 
S–Gph2 DrawnOff 
S–Gph3 DrawnOff 
DrawStat
=========================
M – GRAPH = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
‘DIAGRAMA POLIGONAL DE LOS PROMEDIOS MÓVILES SIMPLES CENTRADOS Y DE LOS DATOS
ORIGINALES DESESTACIONALIZADOS 
Seq(X, X, K+1, N–K, 1) → List 3 
S–Gph2 DrawnOn, xyLine, List 3, List 4, 1, Dot 
S–Gph3 DrawnOn, xyLine, List 1, List 9, 1, Dot 
DrawStat
A continuación se presenta el procedimiento a seguir con la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.O PLUS para llevar a
cabo dicha tercera etapa.
45
PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS
1. Presione seguidamente las teclas [AC/ON] / [MENU] y seleccione el menú PRGM a
través de la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄).
2. Presione la tecla [EXE] para ingresar en Lista de programa y seleccione el
programa PRONOSTI.
3. Presione la tecla [F1] (EXE) para ingresar en el programa PRONOSTI. Se le pide
el tamaño del período de los promedios móviles simples centrados.
4. Presione las teclas [3] / [EXE]. Aparece al inicio en StatGraph1 el diagrama
poligonal de los datos originales; después en StatGraph2 el diagrama poligonal de los
promedios móviles simples centrados; y finalmente en StatGraph3 el diagrama
poligonal de los datos originales desestacionalizados.
5. Presione la tecla [EXE] y aparece en la pantalla la ecuación de la recta de
regresíon de tendencia lineal determinada a partir de los datos originales
desestacionalizados.
6. Presione la tecla [EXE] y aparece en la pantalla las tendencias estacionalizadas
del consumo telefónico del señor Bell para los meses enero, febrero, marzo, abril,
mayo del año 2006.
7. Presione tantas veces como sea necesario la tecla▼con la finalidad de hacer
aparecer las tendencias estacionalizadas del consumo telefónico del señor Bell para
los meses junio, julio, agosto, septiembre, octubre del año 2005.
8. Presione las teclas ▼/▼y aparecen las tendencias estacionalizadas del consumo
telefónico del señor Bell para los meses de noviembre y diciembre del año 2006.
9. Presione la tecla [MENU] y seleccione el menú STAT a través de la tecla elíptica
[REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄). Seguidamente presione las teclas [F1] (GRPH) / [1] (SGph1) / [F1] (TRACE) y aparece en la pantalla identificado como StatGraph1 el
primer gráfico, y a través de una cruz el primer dato (1,1264) de la serie original.
10. Presione la tecla ► y aparece a través de una cruz el segundo dato (2,730) de la
serie original.
Sigue…
46
11. Sigue presionando la tecla ► hasta llegar al último dato (120,1229) de la serie
original.
12. Presione las teclas [ESC] / [ESC] / [F1] (GRPH) / [2] (S-Gph2) / [F1] (TRACE) y
aparece en la pantalla identificado como StatGraph2 el segundo gráfico, y a través de
una cruz el primer dato (2,954.66) de la serie artificial correspondiente a los promedios
móviles simples centrados.
13. Presione la tecla ► y aparece a través de una cruz el segundo dato (3,904.33) de
la serie artificial correspondiente a los promedios móviles simples centrados.
14. Sigue presionando la tecla ► hasta llegar al último dato (119,1450.66) de la serie
artificial correspondiente a los promedios móviles simples centrados.
15. Presione las teclas [ESC] / [ESC] / [F1] (GRPH) / [3] (S-Gph3) / [F1] (TRACE) y
aparece en la pantalla identificado como StatGraph3 el tercer gráfico, y a través de
una cruz el primer dato (1,1488.18) de la serie original desestacionalizada.
16. Presione la tecla ► y aparece a través de una cruz el segundo dato (2,722.63) de
la serie original desestacionalizada.
17. Sigue presionando la tecla ► hasta llegar al último dato (120,1155.80) de la serie
original desestacionalizada.
18. Presione la tecla [MENU] seleccione el menú STAT a través de la tecla elíptica
[REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄).
19. Presione la tecla [EXE]
y aparecen en List 3 y List 4 los nuevos datos
correspondientes a los promedios móviles centrados de período tres.
20. Presione la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄) y aparecen en List 5 los
índices porcentuales de variación estacional e irregular; en List 6 los índices
porcentuales de variación estacional; en List 7 los índices porcentuales de variación
estacional normalizados.
21. Presione la tecla elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄) y aparecen en List 8 los
índices porcentuales de variación estacional normalizados para los 120 meses; en List
9 los datos originales desestacionalizados; en List 10 las proyecciones
desestacionalizadas para el año 2006 y en List 11 las proyecciones estacionalizadas
para el año 2006.
47