ESTUDIO DE UNA SERIE DE TIEMPO

¿CÓMO AYUDAR A LA SEÑORA MATHILDE PÉREZ BELL A ELEGIR
SU PLAN DE TELÉFONO Y NO MORIR EN EL INTENTO?
PROFESOR JEAN-PIERRE MARCAILLOU
PROFESOR INVITADO DEL IESA
CASIO ACADÉMICO VENEZUELA
“Aprender sin pensar, es inútil; pensar sin aprender, peligroso”
Confucio
"Mr. Watson, venga, lo necesito."
Primeras palabras dichas por teléfono
RESUMEN
El objetivo principal de este artículo es mostrar cómo a través del menú GRPH-TBL se resuelve un
problema de toma de decisiones por medio del proceso de comparación gráfica de las diferentes opciones
definidas analíticamente.
RESEÑA HISTÓRICA
7 de marzo de 1876
Registro de patentes estadounidenses: ¡Aló! Señor Bell.
Señor Bell: Sí, dígame.
Registro de patentes estadounidenses: Le notificamos que su invento ha sido patentado bajo el número
174.465.
Hace exactamente 130 años, se notificaba en el registro de patentes de los Estados Unidos uno de los
inventos más trascendentales del final del siglo XIX, el teléfono, considerado hoy en día como instrumento
indispensable para el buen desarrollo de nuestra vida cotidiana. En estos momentos las telecomunicaciones
constituyen el mayor negocio multimillonario, y han sido calificadas como el “cuarto poder”. La competencia
entre las empresas de telefonía se hace cada día mayor, lo que permite a los consumidores tener más
opciones a la hora de elegir su mejor plan según sus necesidades y exigencias. La introducción en las
ofertas de servicios de telefonía fija y móvil de los planes de postpago y prepago, así como el cobro por
minuto o fracción de minuto o segundo adicional ha favorecido el negocio de las telecomunicaciones hacia
los mercados masivos, y ha provocado un gran cambio en las costumbres de los clientes.
INTRODUCCIÓN
Los modelos matemáticos más simples son los modelos lineales. En estos modelos, los fenómenos son
regidos por funciones lineales (estas se representan por rectas que pasan por el origen de las coordenadas)
y por funciones afines (representadas por rectas de cualquier tipo). Para la mayoría de los fenómenos
naturales, los modelos lineales son sólo aproximaciones y, en el momento de crear leyes, el hombre
necesita muchas veces modelos más complejos. Es el caso de las tarifas telefónicas. El modelo más simple
es el lineal: cada minuto tiene el mismo precio y se calcula el monto a pagar multiplicando este precio por el
número de minutos consumidos. Pero las compañías, por un lado, desean favorecer ciertos tipos de
usuarios (los que dan mayor rentabilidad a las instalaciones) y, por otro lado, no pueden mantener líneas sin
costo alguno para los clientes que no usan sus teléfonos. Por estas razones, las tarifas no son lineales sino
lineales por trozos (la palabra correcta es afín): la gráfica de estas funciones está formada por trozos de
rectas (segmentos y/o semirrectas). Desde el punto de vista matemático, el manejo de estas funciones
obliga a distinguir casos como: si la variable tiene un valor menor que..., entonces... o: si el valor de la
variable está entre... y..., entonces... o: si el valor de la variable es mayor que..., entonces...Con esto, el
resto del cálculo es muy simple porque sólo conduce a ecuaciones e inecuaciones de primer grado.
Como para todas las funciones reales de una variable real hay cuatro maneras de representar una función
afín por trozos: mediante gráficos o dibujos es decir en lenguaje gráfico; como una caja negra (un proceso
que el usuario no conoce pero que proporciona el valor de la función para cualquier valor de la variable);
mediante una tabla de valores; en forma descriptiva es decir en lenguaje verbal.
Este caso tiene el objetivo de adiestrar además al estudiante en dos aspectos: uno, definir analíticamente
una función a partir de un problema de la vida real expresado verbalmente; dos, graficar dicha función con
la finalidad de tomar decisiones económicas y saber pasar del primer aspecto al segundo sin inconveniente.
Jean-Pierre Marcaillou – CASIO ACADÉMICO VENEZUELA
Pág.
1
¿QUÉ ES TOMAR UNA DECISIÓN?
Todos los días, desde el amanecer hasta el anochecer, cada uno de nosotros toma numerosas decisiones
relacionadas con cada uno de los aspectos de nuestra vida diaria. Sin embargo, dentro del proceso de toma
de decisiones, la mayoría de las veces no nos detenemos en saber cómo lo hacemos; como el tiempo
apremia, la tomamos y punto. Evidentemente, en la mayoría de los casos nunca evaluamos el costo que
acompaña la toma de una mala decisión, a pesar de que después padecemos las consecuencias de nuestra
falta de metodología en la elección de nuestra acción. ¿En qué consiste tomar una decisión? Tomar una
decisión significa elegir una acción entre dos o más opciones que se nos presentan. En la actualidad, es
muy raro que ocurra una situación sin opciones: las instituciones financieras, las empresas de seguros, los
servicios de salud, los supermercados, nos ofrecen sus productos con un abanico de opciones según
nuestras necesidades y exigencias. Frente a esta avalancha de opciones, rara vez el ciudadano común se
comporta como un consumidor racional, es decir: recoge toda la información que está a su alcance, la
organiza, fija criterios determinísticos con la finalidad de tomar la acción más satisfactoria según su
presupuesto, y realiza después un mecanismo de rastreo o escaneo con el objeto de detectar los posibles
errores y realiza los correctivos pertinentes.
PROBLEMA
La Compañía Anónima Nacional de Teléfonos de Venezuela (CANTV) propone cinco Planes Tarifarios a
sus clientes residenciales para permitirles escoger el suyo según su patrón de consumo telefónico. Cada
Plan tiene una renta básica, un cupo de minutos libres sin recargo (excepto el Prepago Fijo) y un precio por
minuto adicional. Un cliente puede establecer su presupuesto de comunicaciones telefónicas a partir de la
tarifa entregada por CANTV además de las cantidades de minutos que aparecen en las facturas de los años
anteriores. La señora Mathilde Pérez Bell ha recopilado sus consumos mensuales de teléfono de los últimos
diez años como lo indica la Tabla 1:
TABLA 1
CONSUMO TELEFÓNICO MENSUAL EN MINUTOS DE LOS ÚLTIMOS DIEZ AÑOS
AÑO
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
ENE
1.264
1.024
853
1.211
1.850
1.184
839
1.899
1.973
846
FEB
730
1.533
961
744
2.019
1.641
977
1.893
2.269
2.214
MAR
870
1.093
911
1.071
2.104
1.926
1.926
1.885
2.172
2.002
ABR
1.113
1.190
1.266
1.331
2.532
1.907
1.511
2.581
1.824
1.718
MAY
969
1.009
1.750
1.455
1.900
2.195
1.720
1.383
2.726
1.093
JUN
1.503
983
1.427
1.121
1.925
2.665
2.026
2.608
2.267
2.051
JUL
1.425
1.029
1.294
1.456
1.868
1.557
2.063
2.023
2.079
2.410
AGO
1.096
1.068
956
2.014
1.866
1.601
2.122
1.683
2.776
1.821
SEP
618
654
701
1.253
1.474
1.118
3.059
1.539
1.379
1.136
OCT
1.207
724
815
675
1.632
1.695
2.479
1.850
2.353
1.547
NOV
1.061
889
1.514
1.491
2.336
1.776
2.800
2.509
2.670
1.576
DIC
1.041
1.171
1.730
1.966
1.589
1.436
2.030
2.701
1.728
1.229
La Compañía Anónima Nacional de Teléfonos de Venezuela informa a todos los usuarios de los servicios de
telefonía básica prestados por CANTV, la nueva estructura tarifaria y los topes máximos de los diferentes
servicios, así como la definición de cada uno de los diferentes Planes ofrecidos tal cual lo ilustra la Tabla 2:
TABLA 2
PLAN
DENOMINACIÓN
GACETA
PLAN L
PLAN C
PLAN H
PLAN
DENOMINACIÓN
COMERCIAL
PLAN LIMITADO
PLAN CLÁSICO
MINUTOS
GRATIS
POR MES
50
50
PLAN HABLA
MÁS POR MENOS
PLAN P
PRE-PAGO-FIJO
RENTA
BÁSICA
Bs./MES
6.420,37
10.848,21
PLAN TARIFA PLANA
BAJO CONTROL
13.670,96
60
55.992,04
0
ilimitados
0
Jean-Pierre Marcaillou – CASIO ACADÉMICO VENEZUELA
Bs. / MINUTO ADICIONAL O
FRACCIÓN DE MINUTO
46,49
33,21
Escala de consumo
61´- 240´
241´- 480´
481´- 900´
901´-1800´
Desde 1801´
Bs.
28,78
26,57
23,24
18,81
13,28
70,66
Pág.
2
SOLUCIÓN ANALÍTICA:
PASO 1: Definición analítica de todos los Planes Tarifarios
Si la variable x representa el consumo total mensual de minutos locales en un determinado mes, y P(x)
el
i
pago total correspondiente en bolívares al Plan i con i  L,C,H,P , se tiene que:
PL (x) 
PC (x) 




6.420,37
si 0  x  50
6.420,37
si 0  x  50
 PL (x) 
6.420,37  46,49(x  50) si x  50
46,49x  4.095,87 si x  50
10.848,21
si 0  x  50
10.848,21
si 0  x  50
 PC (x) 
10.848,21  33,21(x  50) si x  50
33,21x  9.187,71si x  50
si 0  x  60
13.670,96
13.670,96  28,78(x  60)
si
60  x  240

13.670,96  28,78(240  60)  26,57(x  240)
si 240  x  480
PH (x)  
si 480  x  900
13.670,96  28,78(240  60)  26,57(480  240)  23,24(x  480)
13.670,96  28,78(240  60)  26,57(480  240)  23,24(900  480)  18,81(x  900)
si 900  x  1.800

x  1.800
13.670,96  28,78(240  60)  26,578480  240)  23,24(900  480)  18,81(1.800  900)  13,28(x  1.800) si
si 0  x  60
13.670,96
28,78x  11.944,16 si 60  x  240
26,57x  12.474,56 si 240  x  480
y PP (x)  55.992,04 si x 0
 PH (x)  
23,24x  14.072,96 si 480  x  900
18,81x  18.059,96 si 900  x  1.800
13,28x  28.013,96 si x  1.800
PASO 2: Comparación de todos los Planes Tarifarios entre sí
El objetivo principal de nuestro problema es comparar diferentes objetos matemáticos entre sí. La
representación de todos estos objetos matemáticos mediante el uso de tablas de doble entrada facilita la
organización de la información manteniendo un registro acumulativo de la misma y permite sin ambigüedad
realizar las comparaciones pertinentes. Por lo tanto, las definiciones analíticas de todos los diferentes
Planes Tarifarios establecidas en el PASO 1 pueden tabularse como sigue, con la finalidad de compararlos
de una manera más eficiente, a través de la resolución de inecuaciones lineales (la resolución de
ecuaciones no nos da ninguna información sobre la relación que existe entre los planes tarifarios, solamente
nos dice para qué consumo ambos planes son iguales; la resolución de inecuaciones nos da mayor
información, es decir nos indica además para qué rango de consumo un plan es preferible a otro) dentro de
cada dominio donde están definidas las respectivas funciones, eligiendo en cada caso, el Plan más
económico.
TABLA 3
DEFINICIONES ANALÍTICAS DE LOS PLANES TARIFARIOS PARA EL AÑO 2006
Consumo 0 
50 
60 
240
480
900
1.800
N
46,49x  4.095,87
46,49x  4.095,87
46,49x  4.095,87
46,49x  4.095,87
PL
6.420,37 46,49x  4.095,87 46,49x  4.095,87
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
33,21x  9.187,71
PC
10.848,21 33,21x  9.187,71
28,78x  11.944,16
26,57x  12.474,56
23,24x  14.072,96
18,81x  18.059,96
13,28x  28.013,96
PH
13.670,96 13.670,96
PP
55.992,04 55.992,04
55.992,04
55.992,04
55.992,04
55.992,04
55.992,04
N representa el consumo total máximo mensual: 40.320, 41.760, 43.200, 44.640 según el caso.
Por lo tanto a partir de la resolución de inecuaciones en cada intervalo se obtiene la siguiente solución:
TABLA 4
SELECCIÓN DE PLANES TARIFARIOS RESIDENCIALES SEGÚN CONSUMO TELEFÓNICO
Consumo 0 
50 
60 
240
383
480
489
900
1.800
2.106
N
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
L
L
L
L
C
C
H
H
H
P
N
Selección
PH
PC
PH
PP
Es decir bajo forma analítica:
si
0  x  383 el Plan más ec onómico es el Plan Limitado
si 383  x  489 el Plan más ec onómico es el Plan Clásico
si 489  x  2.106 el Plan más ec onómico es el Plan Habla Más Por Menos
si
x  2.106 el Plan más ec onómico es el Plan Tarifa Plana
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3
SOLUCIÓN GRÁFICA:
El menú GRPH-TBL de la calculadora científica, graficadora y programable CASIO ALGEBRA FX 2.0
PLUS permite graficar curvas en el plano Oxy, dependiendo de los intervalos dominio y rango que el usuario
haya definido previamente en la ventana de visualización.
1. Presiona en forma secuencial las teclas [AC/ON] / [MENU] para encender la
calculadora y abrir el menú principal MAIN MENU; selecciona a través de la tecla
direccional elíptica [REPLAY] (▲, ►, ▼, ◄) el menú GRPH-TBL. RÁFI
2. Presiona la tecla [EXE] y aparece una pantalla donde se pueden registrar
hasta 20 fórmulas de ecuaciones de la forma y  f(x) ó ecuaciones de rectas
verticales x  c ó ecuaciones paramétricas en el plano.
3. Registra cuidadosamente cada uno de los Planes Residenciales: Plan
Limitado, Plan Clásico, Plan Habla Más Por Menos, PlanTarifa Plana definidos
analíticamente en cada una de las áreas de memoria Y1 :, Y2 :, Y3 :,..., Y11
respectivamente tomando en cuenta la expresión algebraica de cada función con
su respectivo dominio de estudio definida en la Tabla 3.
Consumo 0 
50  60 
240
480
900
1.800
Y2: 46,49x  4.095,87
Y1:6.420,37
PL
Y4: 33,21x  9.187,71
Y3:10.848,21
PC
Y
:
Y
:
Y : 23,24x  14.072,96
Y : 18,81x  18.059,96
Y
28,78x

11.944,16
26,57x

12.474,56
Y5:13.670,96
PH
Y11: 55.992,04
PP
6
7
8
9
10:
2.200
13,28x  28.013,96
El menú GRPH-TBL permite graficar curvas en el plano Oxy dependiendo de los intervalos de dominio y
rango que el usuario haya previamente definido en la ventana de visualización.
4. Presiona las teclas [SHIFT] / [OPTN] (V-Window) para activar la ventana
de visualización y actualiza dicha pantalla tal cual se indica.
5. Presiona las teclas [F4] (STO) / [1] / [EXE] para almacenar en la memoria
1 dicha ventana de visualización V-Win y así poder llamarla cuando la necesita.
6. Presiona la tecla [ESC] para salir de la ventana de visualización y presiona
seguidamente la tecla [F5] (DRAW) para obtener las gráficas de todos los
Planes Residenciales sobre el intervalo  0,2.200 .
Para la toma de decisiones por medio del proceso de la comparación gráfica de los diferentes Planes, se
sabe que existen siete intervalos en donde en cada uno de ellos un Plan es mejor que los restantes. Para
dividir el plano en estas siete regiones se deben graficar las rectas verticales de ecuaciones x  50 ,
x  60 , x  240 , x  480 , x  900 , x  1.800 .
7. Presiona la tecla [ESC] para regresar a la pantalla de definición de funciones
y selecciona a través de la tecla direccional elíptica [REPLAY] (▼) el área de
memoria Y12:.
8. Presiona en forma secuencial las teclas [F3] (TYPE) / [4] (4: X=c) / [5] / [0]
/ [EXE] / [6] / [0] / [EXE] / [2] / [4] / [0] / [EXE] / [4] / [8] / [0] / [EXE] /
[9] / [0] / [0] / [EXE] / [1] / [8] / [0] / [0] / [EXE] para almacenar las
ecuaciones de dichas rectas verticales.
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9. Presiona la tecla [F5] (DRAW) y aparecen las gráficas de todos los Planes
Residenciales Y1 :, Y2 :, Y3 :,..., Y11 con las rectas verrticales X12 :, X13 :, X14 :,...,
X 17 .Presiona las teclas [F3] (SKTCH) / [4] (4:Text) y aparece un cursor en
el centro de la pantalla; mueve el cursor a través de la tecla elíptica [REPLAY]
(▲, ►, ▼, ◄) e inserta PL, PC, PH y PP para identificar las cuatro gráficas.
Se puede observar en la pantalla anterior que en algunos casos parece imposible determinar con certeza
sobre qué intervalo se sitúa el plan más económico. Por lo tanto se requiere disponer de una opción de
ampliación de una determinada zona con la finalidad de aclarar este tipo de duda.
10. Presiona la tecla [F2] (ZOOM) para realizar una ampliación de la gráfica en
una zona determinada.
11. Presiona seguidamente la tecla [1] (Box) con la finalidad de determinar el
recuadro de ampliación. Aparece en la pantalla el cursor .
12. A través de la tecla direccional [REPLAY] (◄) mueve el cursor
posición indicada y presiona seguidamente la tecla [EXE].
hasta la
13. A través de la tecla direccional [REPLAY] (◄) mueve el cursor
posición indicada y presiona seguidamente la tecla [EXE].
hasta la
14. A través de la tecla direccional [REPLAY] (▼) mueve el cursor
posición indicada. Aparece en la pantalla el recuadro de ampliación.
hasta la
15. Presiona la tecla [EXE] y aparece en la pantalla una ampliación de la gráfica
delimitada dentro del recuadro definido anteriormente. En este momento los
parámetros que definen la ventana de visualización se modificaron.
¿Cómo calcular las coordenadas del punto de corte entre dos rectas?
16. Presiona la tecla [ESC] para regresar a las definiciones de las funciones
gráficas. Presiona la tecla [F1] (SEL) para desactivar en forma secuencial cada
una de las funciones Y1, Y3, Y5, Y6, Y7, Y8, Y9, Y10, Y11, X12, X13, X16,
X17.Presiona la tecla [F5] (DRAW) para obtener las gráficas deY2, Y4, X14, X15.
17. Presiona la tecla [F4] (G.SLV) para desplegar dicho menú y presiona
seguidamente la tecla [5] (5:Isect) con la finalidad de determinar las
coordenadas del punto de intersección de ambas rectas .
18. Aparecen en la parte alta de la pantalla la gráfica las ecuaciones de las
rectas tomadas en consideración y en la parte baja de la pantalla las
coordenadas de dicho punto de intersección.
El estudiante deberá proceder de la misma manera para todos los demás casos y chequear que la solución
encontrada a través del método gráfico correponde a la solución analítica.
REFERENCIAS
http://www.cantv.com.ve/seccion.asp?pid=1&sid=136&sid2=136&rowid=180&buscar=1
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