MEDIOS DE TRANSMISIÓN Guías de ondas Ignacio Flores Llamas 1

Guías de ondas
MEDIOS DE TRANSMISIÓN
Ignacio Flores Llamas
1
ECUACIONES DE MAXWELL

La propagación de las ondas electromagnéticas en
las guías de ondas se analiza por medio de la
solución de las ecuaciones de Maxwell:

E   B
t

H  D J
t
D  
B  0
E: Intensidad de campo eléctrico [V/m]
H: Intensidad de campo magnético [A/m]
D: Densidad de flujo eléctrico [C/m2]
B: Densidad de flujo magnético [Wb/m2]
J: Densidad de corriente eléctrica [A/m2]
: Densidad de carga eléctrica [C/m3]
Se tienen las relaciones constitutivas: B = mH y D = eE.
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2
ONDA ELECTROMAGNÉTICA PLANA

Una onda TEM (transversal electromagnética) es
aquella cuyos campos E y H son perpendiculares
entre sí, y ambos también son perpendiculares a
la dirección de propagación (z).
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3
ONDA ELECTROMAGNÉTICA PLANA



Ambos campos están en fase, pues alcanzan sus
valores máximos al mismo tiempo.
Si la magnitud y fase de los campos son iguales
en todos los puntos de un plano, con z constante,
entonces la onda es plana.
En el espacio libre se puede considerar que  y J
valen cero, así que las ecuaciones de Maxwell se
simplifican.
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4
ONDA ELECTROMAGNÉTICA PLANA
Fasores

Suponiendo que los campos E y H tienen
variación senoidal con respecto al tiempo,
entonces
E(r, t )  E0 (r ) cos[t  q (r )]
H(r, t )  H 0 (r ) cos[t  q (r )]
E0: magnitud de campo eléctrico, H0: magnitud
de campo magnético, q: fase.
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5
ONDA ELECTROMAGNÉTICA PLANA
Fasores
 Utilizando la identidad de Euler
e jt  cost  j sent

H(r, t )  ReH
obtenemos: E(r, t )  Re E 0 (r )e jt e jq


jt jq
(
r
)
e
e
0
donde se definen los fasores de E y H como
E(r )  E 0 (r )e jq
H (r )  H 0 (r )e
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jq
6
ONDA ELECTROMAGNÉTICA PLANA
 Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell,
considerando las relaciones constitutivas, y dado
que derivar con respecto al tiempo equivale a
multiplicar por j, se obtienen las ecuaciones
fasoriales:
  E   jm H
  H  je E
En general E tiene componentes Ex, Ey y Ez, y H
tiene componentes Hx, Hy y Hz.
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ONDA ELECTROMAGNÉTICA PLANA
 Para la onda plana:
E
E
 0,
 0, E z  0,
x
y
H
H
 0,
 0, H z  0
x
y
 Así que las ecuaciones de Maxwell se convierten
en un sistema de ecuaciones simultáneas, del
cual se puede obtener la ecuación de segundo
orden
2 Ex
2
z
2
  meE x  0
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8
ONDA ELECTROMAGNÉTICA PLANA
 Las soluciones de la ecuación anterior son
E x  Ae  jz ,
E x  Be jz
donde A y B son constantes,    me es la
constante de fase.
 También se puede encontrar que
 1   j z
H y   Ae
 
  m / e es la impedancia de la onda (intrínseca del
medio).
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9
ONDA ELECTROMAGNÉTICA PLANA
 Las expresiones completas (no en fasores) de los
campos de una onda plana que viaja en la dirección
positiva de z, quedan
E( z , t )  A cos(t  z )a x
1
H( z , t )   A cos(t  z )a y
 
 La velocidad de fase se obtiene considerando que
t  z  cierta fase constante
dz 
 
derivando con respecto al tiempo v 
dt 
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1
me
10
MODOS TE
 Los modos TE (transversales eléctricos) tienen
un campo eléctrico transversal a la dirección de
propagación z (Ez = 0) y una componente Hz ≠ 0.
 Del sistema de ecuaciones simultáneas se obtiene
la ecuación:
 2H z  2H z
2
2


(



me )H z  0
2
2
x
y
donde     j es la constante de propagación.
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11
MODOS TE
 Una vez resuelta la ecuación anterior, las demás
componentes del campo electromagnético se
encuentran con
H z

jm
Hx   2
Ex 
Hy
2
   me x

H z

Hy   2
   2 me y
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Ey  
jm

Hx
12
MODOS TM
 Los modos TM (transversales magnéticos) tienen
un campo magnético transversal a la dirección de
propagación z (Hz = 0) y una componente Ez ≠ 0.
 Con un procedimiento similar, del sistema de
ecuaciones simultáneas se obtiene la ecuación:
 2E z  2E z
2
2


(



me )E z  0
2
2
x
y
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13
MODOS TM
 Una vez resuelta la ecuación anterior, las demás
componentes del campo electromagnético se
encuentran con
E z

je
Ex   2
Hx  
Ey
2
   me x

E z

Ey   2
   2 me y
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Hy 
je

Ex
14
GUÍAS RECTANGULARES
 En una guía de ondas metálica rectangular sólo
se pueden propagar los modos TE y TM, no hay
propagación del modo TEM.
 La ecuación para cada tipo de modos se resuelve
con las condiciones de frontera apropiadas: el
campo eléctrico tangencial debe ser cero y el
campo magnético normal también debe ser cero.
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GUÍAS RECTANGULARES
Modos TE
 La solución general de la ecuación para los modos
TE es
H z  [A cos px  B sen px][C cos qy  D sen qy]e z
 Al diferenciar y sustituir en la ecuación original se

obtiene la relación
2
2
2
2
( p  q )     me
Los valores discretos p y q definen el orden del
modo TE.
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16
GUÍAS RECTANGULARES
Modos TE
 Las condiciones de frontera exigen que Hx = 0 en x
= 0 y x = a. También que Hy = 0 en y = 0 y y = b.
 Aplicando estas condiciones se puede llegar a las
ecuaciones
m
p
m  0,1,2,3,...
a
n
q
b
n  0,1,2,3,...
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GUÍAS RECTANGULARES
Modos TE
 Así que la solución final queda de la forma:
H zmn
m 
n   jz

 A 0  cos
x  cos
y e
a 
b 

 A partir de esta ecuación se pueden encontrar las
demás componentes de los campos E y H.
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18
GUÍAS RECTANGULARES
Modos TE
 Se puede encontrar una expresión para la constate
de propagación
 m   n 
2
2





me

 

 a   b 
2
2
 m   n 
2
 



me
 

 a   b 
2
2
 Para que el modo TE se propague,  debe ser
imaginaria pura, es decir, 2me > (m/a)2 + (n/b)2.
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19
GUÍAS RECTANGULARES
Modos TE
 Entonces, para un modo específico existe una
frecuencia de corte, a la cual inicia la propagación
c2mn
2
2

1  m   n  


 
 
me  a   b  
2
f cmn
v m n

   
2  a  b
2
porque
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v
1
me
20
GUÍAS RECTANGULARES
Modos TM
 La solución general de la ecuación para los modos
TM es
E z  [A cos px  B sen px][C cos qy  D sen qy]e z
 Al diferenciar y sustituir en la ecuación original se

obtiene la relación (igual que para modos TE)
( p 2  q 2 )   2   2 me
Los valores discretos p y q definen el orden del
modo TM.
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GUÍAS RECTANGULARES
Modos TM
 Las condiciones de frontera ahora exigen que Ez = 0
en x = 0, x = a, y = 0 y y = b.
 Aplicando estas condiciones se puede llegar a las
ecuaciones
m
p
m  1,2,3,...
a
n
q
b
n  1,2,3,...
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GUÍAS RECTANGULARES
Modos TM
 Así que la solución final queda de la forma:
m 
n   jz

E zmn  A 0  sen
x  sen
y e
a 
b 

 A partir de esta ecuación se pueden encontrar las


demás componentes de los campos E y H.
Se observa que las distribuciones de los modos TM
son distintas a las de los modos TE.
Es evidente que en este caso m y n no pueden valer
cero.
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23
GUÍAS RECTANGULARES
Modos TM
 La constante de propagación resulta ser la misma
que para los modos TE, para valores idénticos de m
y n, ya que p y q se determinan de la misma manera.
 Por lo tanto, la frecuencia de corte también es la
misma para estos modos TM.
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24
GUÍAS RECTANGULARES
Modo dominante
 La frecuencia de corte más baja para una guía
rectangular en donde a > b, siempre es la frecuencia
de corte del modo TE10.
 Después sigue la de los modos TE20 o TE01 o TE11 y
TM11, dependiendo de las magnitudes de a y b.
 Por lo tanto, siempre hay un rango de frecuencias en
el que solamente se propaga el modo TE10. Por esta
razón se le llama modo dominante.
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25
GUÍAS CIRCULARES
 Para analizar la propagación de los modos en una
guía de ondas circular, es conveniente emplear un
sistema de coordenadas cilíndricas.
Modos TE
 Al transformar la ecuación diferencial que se debe
resolver para los modos TE a coordenadas
cilíndricas se obtiene
2
1   H z  1  H z
2
2
r


(



me )H z  0

 2
2
r r  r  r 
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26
GUÍAS CIRCULARES
Modos TE
 La solución general de esta ecuación es de la forma
H z  [A J m (hr)  B Ym (hr)][C cos m  D sen m ]e
z
donde A, B, C y D son constantes, Jm(hr) y Ym(hr)
son las funciones de Bessel de primera y segunda
clase respectivamente, y de orden m.
 B debe ser cero porque Ym(hr) → -∞ cuando r → 0.
 Sólo es necesario utilizar alguna de las funciones
cosm o senm, según la referencia para  = 0.
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27
GUÍAS CIRCULARES
Modos TE
 Utilizando cosm, la solución final es
H z  A 0 J m (hr ) cos m
 Además se obtiene la relación h 2   2   2 me .
 Las demás componentes se determinan con
H z 
1  m H z 
1 
E r  2  j
E  2  jm


r r 
h 
H z 
1 
H r  2  j
r 
h 
h 
1
H  2
h
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r 

 H z 
 j r  


28
GUÍAS CIRCULARES
Modos TE
 Aplicando las condiciones de frontera tenemos que
E = 0 en r = a. Esto conduce a que se debe cumplir
con
'
J m (ha)  0
 Si designamos a las raíces de la ecuación anterior
como smn, entonces ha = smn, es decir, h = smn/a.
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29
GUÍAS CIRCULARES
Modos TE
 Por lo tanto, la constante de propagación se
obtiene con
2
 smn 
2
2
2
2
  h   me  


me

 a 
 Habrá propagación en la guía a partir de la
frecuencia en la que  sea imaginaria pura, es
decir,   smn
smnv
f cmn 
cmn
a me
2a
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30
GUÍAS CIRCULARES
Modos TE
'
 Raíces de J m (ha)  0
n=1
m = 0 3.832
m = 1 1.841
m = 2 3.054
n=2 n=3
7.016 10.173
5.331 8.536
6.706 9.969
 El primer modo
TE que se propaga
es el TE11.
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GUÍAS CIRCULARES
Modos TM
 Al transformar la ecuación diferencial que se debe
resolver para los modos TM a coordenadas
cilíndricas se obtiene
1   E z  1  2 E z
2
2
r


(



me )E z  0

 2
2
r r  r  r 
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GUÍAS CIRCULARES
Modos TM
 La solución general es de la forma
E z  [A J m (hr)  B Ym (hr)][C cos m  D sen m ]e z
 Nuevamente B debe ser cero porque Ym(hr) → -∞

cuando r → 0.
De la misma manera, sólo es necesario utilizar
alguna de las funciones cosm o senm, según la
referencia para  = 0.
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GUÍAS CIRCULARES
Modos TM
 Utilizando cosm, la solución final es
E z  A 0 J m (hr ) cos m
 Las demás componentes se determinan con
E z 
1 
E r  2  j
r 
h 
1
Hr  2
h
1   E z 
E  2  j

r


h 

 e E z 
 j r  


1
H  2
h
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E z 

 je r 


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GUÍAS CIRCULARES
Modos TM
 Aplicando las condiciones de frontera tenemos que
Ez = 0 en r = a. Esto conduce a que se debe cumplir
con
J m (ha )  0
 Si designamos a las raíces de la ecuación anterior
como tmn, entonces ha = tmn, es decir, h = tmn/a.
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GUÍAS CIRCULARES
Modos TM
 Por lo tanto, la constante de propagación se
obtiene con
2
 t mn 
2
2
2
  h   me      2 me
 a 
 Habrá propagación en la guía a partir de la
frecuencia en la que  sea imaginaria pura, es
decir,   t mn
t mnv
f cmn 
cmn
a me
2a
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GUÍAS CIRCULARES
Modos TM
 Raíces de J m (ha )  0
n=1
m = 0 2.405
m = 1 3.832
m = 2 5.136
n=2 n=3
5.520 8.654
7.016 10.173
8.417 11.620
 El primer modo
TM que se propaga
es el TM01.
¿Cuál es el modo dominante en una guía circular?
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