DETERMINANTES Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A. Determinante de A se puede escribir de dos formas: A determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un número real) Det A Esta se utiliza a veces en lugar de A para evitar la confusión. Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y definimos la determinante de A como A a11 y A a11 . Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo que a A 11 a 21 a12 a 22 es una matriz cuadrada de segundo orden. Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera: a A 11 a 21 a12 a 22 multiplicar multiplicar A ( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 ) RESTAR Ejemplo: Encuentre A si A 3 2 multiplicar multiplicar 3 1 4 2 3 8 3 8 5 4 1 RESTAR EJERCICIO I Hallar el determinante de las siguientes matrices: 1) A 2) A 3) B 4) C 1 3 2 1 3 1 5 3 3 2 6 4 m n p q MENOR Y COFACTOR MENOR Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden nn 2 , el menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. Asi, para 1 2 1 A= 2 4 5 3 6 7 Para hallar el menor M11: a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi 1 M11 = 2 1 2 4 5 3 6 7 b) tomamos los números que no quedan tapados ( los números rojos) 1 M11 = 2 1 2 4 5 3 6 7 4 6 5 7 c) Tercero hallamos el determinante 1 M11 = 2 1 2 4 5 3 6 7 4 6 47 56 28 30 2 5 7 Hallar los menores M12, M22 y M32 1 M12 = 2 1 2 4 5 3 6 7 2 6 27 16 14 6 8 1 7 1 M22 = 2 1 2 4 5 3 6 7 1 3 17 31 7 3 4 1 7 1 M32 = 2 1 2 4 5 3 6 7 1 3 16 23 6 6 0 2 6 COFACTOR aij se define como el menor Mij multiplicado por El cofactor nos da como resultado es el signo del El cofactor Aij de la entrada Aij 1 menor. i j M ij Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores MENOR M11 = -2 COFACTOR i j 11 2 Aij 1 M ij 1 2 1 2 1 2 2 M12 = 8 Aij M22 = 4 Aij M32 = 0 Aij 1 1 1 i j i j i j M M M ij 1 8 1 8 18 8 1 4 1 4 14 4 ij 1 0 0 ij 1 2 3 2 2 4 3 2 En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria: EJERCICIO II Hallar el menor y cofactor de cada elemento de la matriz dada. 1) A 3 1 0 2 2) 5) D 2 1 4 3 3 5 1 0 2 1 3 2 3) C 1 4 3 2 B 5 2 0 4 4) D 0 1 2 3 2 4 DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3 Definición: el determinante de a11 A a 21 a31 a12 a 22 a32 A de una matriz cuadrada de tercer orden se define así: a13 a 23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33 En esta definición se establece un patrón de multiplicar cada elemento de la fila 1 por su cofactor, luego se suman todos los resultados para hallar conoce como expandir A . A éste proceso se le A por primera fila, pero podemos expandir A por cualquier fila o columna. Teorema de expansión de determinantes: El determinante de una matriz A de orden nn 2 puede evaluarse multiplicando cada entrada en cualquier fila o (columna) por su cofactor y sumando los productos resultantes. Ejemplo: A Hallar el determinante de 6 5 3 A 2 4 5 1 2 3 Primero hallamos los cofactores de la primera fila Cofactor de Cofactor de Cofactor de A11 6 6 1 11 A12 5 5 1 1 2 A13 3 3 1 13 6 1 6 2 5 1 5 3 3 1 3 4 Luego hallamos los menores de la primera fila 6 5 3 4 5 A 2 4 5 M 11 2 3 1 2 3 6 5 3 2 5 A 2 4 5 M 12 1 3 1 2 3 6 5 3 2 4 A 2 4 5 M 13 1 2 1 2 3 Ahora lo colocamos como la definición a11 A a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33 6 5 3 4 5 2 5 2 4 A 2 4 5 6 5 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 Ahora operamos 64 3 5 2 52 3 5 1 32 2 1 4 6 22 5 11 30 132 55 77 Teorema sobre una fila o columna de ceros Si todo elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada A es cero, entonces A 0. Ejemplo: Calcule el determinante de 1 0 3 A 5 0 4 3 2 5 1 0 3 A 5 0 4 3 2 5 Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segunda columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la segunda columna. 5 4 1 3 1 3 A 0 0 2 0 0 24 15 22 3 5 3 5 5 4 Ejemplo 2: Calcule el determinante de: 0 1 0 0 1 0 A 2 3 0 1 5 2 3 4 0 6 Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la tercera columna. Desarrollamos A A a13 A13 a 23 A23 a33 A33 a 43 A43 0 A13 0 A23 0 A33 2 A43 2A43 0 1 0 0 1 0 A 2 3 0 1 5 2 2A43 2 3 4 0 6 1 0 3 0 1 4 2 3 0 Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de A43 así 1 4 0 4 0 1 0 3 3 0 2 0 2 3 2 1 12 0 32 2 1 6 26 12 2A43 2 143 1 EJERCICIOS Hallar el determinante de la matriz dada. 3 1 2 2 5 1) A 4 6 3 1 1 0 2 2) A 0 1 3 3 4 0 2 5 1 1 6 3) A 3 4 2 3 3 5 0 4) A 0 1 0 3 4 5 2 7 3 4 5) A 1 0 4 1 2 3 2 1 6) A 1 1 0 2 3 0 2 5 1 7) A 3 4 0 2 1 1 5 4 1 8) A 3 2 7 2 0 6 2 7 3 4 9) A 1 0 4 1 2