MATEMATICA l (Algebra) Trabajo Práctico Nº 5 - Polinomios TRABAJO PRACTICO Nº 5 - Polinomios 1) Efectuar P Q ; posible a) P = x2 - 2 b) P = x + 2 3P+Q; P2 - Q e indicar su grado cuando esto sea Q = - 3 x2 + 6 Q = x2 + 4 x + 4 2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ? b) P3 c) P + Q d) P3 + Q3 a) P Q 3) Determinar a R : a) P = a x3 - a x + 2 b) P = x2 + 2 x + a c) P = a x2 - a x + 6 es tal que P(2) = - 1 es tal que 0 es una de sus raíces satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2 4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno de los siguientes casos : a) P = 2 x3 + 7 x2 - a Q = 2 x2 + 2 Q=x-2 1 4 b) P = x +1 4 5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 + 5 x + 3 sea divisible por Q = x2 - x + 3. 6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio P = x4 + a x3 - 1 2 x + b es divisible por 2 (x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ? 7) Determinar a, b, c R para que : a) P = a x2 + b x + c tenga a 1 y a 0 como raíces b) P = x2 - b x + a tengan a 2 como raíz común y Q = a x3 - b 8) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios : 7 a) P( x) 2 x 3 x 2 2 x 1 d) P( x ) x 4 3x 2 4 4 3 1 11 e) P( x) x 5x 7 x 2 5x 6 b) P( x ) x 3 3x 2 x 3 2 2 4 3 2 sabiendo que i es raíz c) P( x) x x 4 x 4 x Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE MATEMATICA l (Algebra) Trabajo Práctico Nº 5 - Polinomios 9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2 es una raíz doble. 10) Determinar en cada caso la multiplicidad de como raíz de P : a) P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1) b) P = x8 - x6 + 6 x3 11) =1 =0 a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1. b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m en los siguientes casos : i) las raíces son opuestas ii) las raíces son recíprocas iii) las raíces son reales e iguales. c) Hallar las raíces de los siguientes polinomios reales : i) P(x) = 2 x3 - x2 - 18 x + 19 ii) P(x) = x3 + 2 x2 + 3x+2 si 1 + 2 = 0 si 1 = 2 + 3 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1) Dados los polinomios P = x2 - 2 x + 4 ; Q = x3 - 1 ; R = x3 + 2 x ; calcular : a) P Q + R b) (P - Q) R c) Q - R + P d) P - Q R e) (Q + R) : P 2) Encontrar un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente principal no sea un número entero ; y que sea divisible por (x - 3) y por (2 x - 1). 3) Completar de ser posible los siguientes polinomios para que sean cuatrinomios cubos perfectos. 1 3 a) x9 + 27 x3 + 9 x6 + . . . b) x -1+x+.... 27 Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE MATEMATICA l (Algebra) Trabajo Práctico Nº 5 - Polinomios 4) Al rewalizar la división del polinomio P por (2x - 1) se obtienen un cociente C y un resto R. a) Expresar P en función de (2x - 1) ; C y R. ¿ Qué grado tiene R ? b) ¿ Cuáles son las raíces del polinomio (2x - 1) ? c) ¿ Para qué valores de a, P(a) es el resto de dividir P por (2x - 1) ? 5) Dado el polinomio P = x4 - x3 + 2 x2 - x +1, determinar para que P sea divisible por x2 + x +1. 6) Dadas las funciones : a) f(x) = 2 x3 + 2 x2 - 10 x + 6 b) g(x) = 4 x3 + 12 x2 - 4 x - 12 a) Verificar que x = -3 es un cero de ambas. b) ¿ Cuáles son los ceros de f y g ? c) ¿ Cuál es el dominio de la función h = f / g ? d) Expresar h en la forma mas sencilla posible. e) ¿ Se puede calcular h(-3) ? Justificar. 7) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios : a) P = x3 - 3 x + 2 b) P = x3 - 4 x2 + x + 6 8) Dadas las funciones : a) f(x) = 2 x3 + x2 - 2 x + 1 c) P = 3 x6 - 3 d) P = x4 + x3 - x2 + x - 2 b) g(x) = x3 + 2 x2 + x - 2 9) Sean a, b, c las raíces del polinomio 5 x3 + 2 x2 - x + 4 calcular : a) a + b +c b) a2 + b2 + c2 c) a-1 + b-1 + c-1 10) Determinar el polinomio P, con coeficientes reales, de grado mínimo que satisface simultáneamente (2 + i) es raíz doble y P(-1) = 2. Volver Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE