Christian Cortés D Polinomios www.geocities.com/jc_cortes Hoja

Christian Cortés D
Polinomios
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POLINOMIOS
1)
Determinar un polinomio P(x) de tercer grado, sise sabe además que:
P(x) admite las raíces 2 y –3
P(0) = -6
P(1) + P(-1) = 0
2)
a)Determinar dos polinomios A(x) y B(x) de los que se sabe:
i)
A(x) es de cuarto grado y coeficiente principal –4
ii)
A(x) dividido B(x) da cociente ( x 2 − 3 x + 2 ) y resto (x-1)
iii)
La suma de loa raíces de B(x) es 1
iv)
El producto de las raíces de A(x) es –45/4
b)Resolver A(x) = 0
3)
Sea P(x) = 12 x 3 + 4 x 2 − 27 x − 9
Resolver P(x)= 0 sabiendo que P(x) es divisible entre (x + 1/3)
4)
a) Determinar P(x) del que se sabe que:
i)
P(x) es de 4º grado
ii) P(x) dividido ( 2 x 2 − 2 x + 4) da resto (31x+18)
iii) P(0) =-18
iv) La suma de las raíces de P(x) es 10/4 y el producto es
– 9/4
5) Se considera el polinomio:
A( x) = 2 x 4 − 3x 3 − ( 2m 2 + 6m + 9) x 2 + ( m 2 + 3m + 8) x + (16 m 2 + 18m + 12)
a) Resolver A(x) = 0 sabiendo que admite R.I.P.
b) Hallar los valores de m que hacen que A(x) tenga una raíz doble.
6)
a) Determinar un polinomio P(x) de tercer grado tal que:
P(x) es divisible entre ( x 2 + 5 x + 6)
P(x) dividido (x-2) da resto 20
P(x) dividido X da resto –18
b) Resolver P(x) = 0 y escribir su descomposición factorial.
7)
a) Hallar los polinomios A(x) y B(x) sabiendo que verifican:
A( x) − B ( x ) = x 2 − 2 x − 8
A( x) ⋅ B( x) = 4 x 3 + 16 x 2 + 16 x
gr. A(x) >gr. B(x)
b) Resolver la ecuación A(x) + B(x) = A(x) . B(x) sabiendo que admite una
solución entera.
c)Resolver A(x) . B(x) ≤ B(x) + A(x).
8) Determinar las raíces de los siguientes polinomios:
A( x) = 12 x 3 + 4 x 2 − 6 x − 2 sabiendo que tiene dos raíces opuestas.
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B( x) = 6 x 3 + 11x 2 − 4 x − 4 sabiendo que tiene dos raíces inversas.
5
C ( x ) = 6 x 3 + 17 x 2 − 5 x − 6 sabiendo que α − β = ( α y β raíces )
2
3
2
D( x ) = −2 x − x − 22 x − 24 sabiendo que α = −2 β (α yβ raíces )
9) Sea A(x) = ( 2 m 2 − 4m + 2) x 3 − 3( m 2 + 1) x 2 + (8m 2 + 11m + 2) x − 3(4 m2 + m + 1)
a) Hallar R.I.P
b) Determinar m para que las raíces dependientes de m ( sean α y β ), cumplan
1 1
que + = −1 .
α β
10) Hallar las raíces de los siguientes polinomios sabiendo que admiten raíces
comunes
a)
c)
A( x) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12
B( x) = x 2 −4
E (x ) = 2 x 4 − 5 x 3 + 2 x + 1
F ( x) = x 3 − 7 x + 6
C ( x ) = 18 x 3 + 9 x 2 − 8 x − 4
b)
d)
D( x ) = 3x 3 − x 2 − 20x − 12
G( x) = 2 x 4 + 9 x 3 − 23x 2 − 81x + 45
H ( x ) = 3x 4 − x 3 − 57 x 2 + 109 x − 30
11) a) Dado el polinomio A( x) = 4 x 3 − 5 x 2 + mx + 3
Determinar m para que A(x) dividido (x-2) de resto 1.
b) Dado el polinomio B( x) = −2 x 4 + ax + bx − 3
Determinar “a” y “b “ para que B(x) dividido (2x-1) de resto −
1
8
12) Sean A(x) = x 2 + ax + 2 y B(x) = 2x 2 − 4x + b
a- Determinar “a” y “b” ∈ Z, si se sabe que:
A(x).B(x)= 2 x 4 + ( 2a − 4) x 3 + 17 x 2 − 11x + 2b
b- Resolver A(x).B(x)=0
13) P(x)= 15x 3 − 16 x 2 − 21x + 10 y de Q(x)= 3x 3 − 5 x 2 + 3 x − 5
a-Hallar las raíces comunes a P( x) y Q( x ).
b-Resolver P(x)-Q(x)=0
14) Sea P(x)= ax 2 + bx + c determinar a , b y c ;
a ∈ Ν / [P(x )]2 = 4 x 4 − 6ax 3 + (b 2 + 2ac) x 2 − 6 x + c 2
15) Sea P(x)= ax 3 + bx 2 + cx − 1, Determinar " a", " b" y" c" si se sabe que
P(1) = 5, P( 2) = 1 y P (−1) = 1
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16) Sea A( x) = x 3 − 8 x 2 + αx − 12
a-Hallar α y las raíces de A( x), sabiendo que la suma de dos de sus raíces es
igual a la tercera.
A( x)
b-Resolver
≥ 0.
− x2 − 4
16) Sea A( x) = ax 2 + bx + c.
a-Determinar " a", " b" y " c" si se cumple que:
A(1 − x) − A(1 + x ) = 10 x + (3c − 2b); A(0) = 2a.
b-Resolver A( x). A(1 + x ) = 0.
17) Si se sabe que: A( x) = ( x 2 − 4). B( x) , A( x) es de tercer grado, A( −1) = − 3 y
A(1) + B (0) = − 12
a-Determinar A( x) y B( x).
b-Resolver A( x) = 0.
18) Sea P( x) = −6 x 4 + 2 x 3 − x + 10 . Hallar el cociente y el resto de dividir P( x)
entre
a) x + 2
b) x
1
c) x −
3
d) 2 x + 4
e) 2 x 2 + 2 x − 1
19) Sea A( x) = 12 x 3 mx 2 + nx + p . Se sabe que − 3 es raíz de A( x) y que el resto de
dividir A( x) entre ( x 2 + x + 4 )es ( − 43 x − 179 ).
a-Hallar m, n y p ; y las raíces de A( x) .
20)
21)
22)
23)
Sabiendo que P( x) = ax 3 + bx 2 + 5a 2 x + 16 a con ( a > 0)
a) Calcular “a” y “b” sabiendo que P(x) admite la raíz αdoble y que la
raíz β = 2α
b) Para los valores hallados resolver P(x) > 0
Hallar dos polinomios P(x) y Q(x) sabiendo que verifican:
P( x) + Q ( x ) = 2 x 3 + 2 x 2 − 7 x + 1
P( x) − 2Q( x) = 2 x 3 + 11x 2 − 10 x + 7
P( x) = ( 2 x 2 − a); Q( x) = bx 2 − x + c; R( x ) = ( a − 2) x 4 − 2 x 3 − 16 x 2 + 4 x − ac
a) Hallar “a”, “b” y “c” para que P(x).Q(x)=R(x)
b) Calcular las raíces de R(x) y escribir su descomposición factorial
Un polinomio P(x) dividido entre ( x 2 − 4 x − 5) da cociente Q(x) y resto
R(x). Se sabe que P(x) tiene raíz 5 y que R ( 4 ) = –3
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a) Hallar R(x)
b) Hallar P(x) sabiendo que Q(x) es de tercer grado, el coeficiente del
término de mayor grado de P(x) es –5, el producto de las raíces de
P(x) es 1, P ( 2 ) = 513/2 y la suma de las raíces de Q(x) es – 1/20
c) Resolver P(x) = 0 y escribir su descomposición factorial
24) A) Determinar dos polinomios P(x) y Q(x) sabiendo que:
i)
El coeficiente del término de mayor grado de P(x) es 1
ii)
Son divisibles entre x 2 + 1
iii)
El grado de P(x) es 4
iv)
P(x) tiene dos raíces opuestas cuyo producto es –1
v)
El grado de Q(x) es 3
vi)
Q( 0 ) = 3 y Q( 1 ) = 10
B) Hallar las raíces de P(x) y Q(x)
C) Resolver P(x) ≥ Q(x)
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