Movimiento de un sólido

Movimiento de un sólido
Cuando un sólido se traslada en MRU; todas las partes del mismo lo hacen con la misma
velocidad.
Sea un elemento del sólido de masa mi que está sometido a la aceleración a del sólido.



mi a  f i  Fi

f i  fuerza interna
Fi  fuerza externa

n
i

n
n
n 
Sumando sobre todo el sólido i mi a  i f i  i Fi
f i  0 por acción y reacción
Como: y
 m
n
M
i
i


entonces: F  Ma
Nota: el estudio del movimiento de un sólido puede sustituirse por el estudio del
movimiento de un punto material de masa igual a la del sólido y solicitado por una fuerza
igual al vector fuerza resultante de todas la fuerzas exteriores que actúan sobre el sólido.
Ahora bien, si el movimiento es distinto al de traslación, implica que la aceleración de las
partículas no es la misma, ai  a j


n
Entonces: F  i mi ai y el movimiento no es sólo de traslación.

 m a

n
i
i
i
Si llamamos acm= aceleración del centro de masa / acm
Resulta:
M


Macm  F
acm= aceleración del centro de masa cuyas coordenadas vienen dadas por:
 x m

n
xcm
i
i
i
M
 y m
n
ycm 
i
i
i
M
 z m

n
z cm
i
i
M
i
CM= Centro de Masa o Centro de Inercia.
Nota: El centro de masa es el punto al que se hace referencia en la nota anterior
 x m

n
ax
i
i
i
M
cm
 y m

n
ay
i
i
i
M
cm
 z m

ax; ay; az son las proyecciones de la aceleración del centro de masa
n
az
i
i
i
M
sobre los ejes de coordenadas del sistema de referencia.
cm
Rotación de un sólido
Momento de una fuerza y momento de inercia
Sea una fuerza f que se aplica en una masa a una distancia r de un punto O:
f t  f cos( )  m at
vt  wr at  vt  w r
w 
at
r
f cos( )  m rw m ult m.a.m
por r
fr cos( )  m r2 w
M  I w / I  m r2 y M  fd
I = Momento central de inercia
M= Momento de la fuerza respecto al punto O
d es la distancia perpendicular de la
recta de acción de la fuerza a O
Nota: dos fuerzas son equivalentes en el sentido de la rotación que originan si el
Momento Central M con respecto al centro de giro son iguales.
Nota: dos puntos materiales con diferente masa son equivalentes desde el punto de vista
de la rotación y aceleración angular adquirida, bajo el efecto de la misma fuerza, si su
Momento de Inercia I es el mismo.
Estudio de un sólido que gira alrededor de un eje fijo.
Momento de una fuerza respecto a un eje: “Momento Axial”
El momento axial sólo lo origina la componente de la fuerza que está en el plano
perpendicular al eje. Si llamamos a esta componente f i y el ángulo α es el formado por
esta componente y la tangente a la trayectoria de un elemento de masa mi nos queda:

f i ri cos( i )  mi ri2 w
por tratarse de un sólido w y w son únicos
Sumando sobre todos los mi
M  i f i ri cos( i )  w I  w i mi ri 2
n
n
M  Iw
M= sumatoria de los momentos de todas las fuerzas externas
I = momento de inercia del sólido
En realidad: I   r 2 dm   r 2 d (vol )
Teorema de los ejes paralelos: I p  I cm  Md 2
Nota: para que un cuerpo este en equilibrio:
M 0
F  0
Tanto w, w , r y M son vectores, por lo tanto:

M  Iw
M es perpendicular al plan que contiene a f y al punto y sigue la regla del “sacacorcho”.
 
Si
  ánguloentre f y r

  
2
 
 

 
M  f r cos( )  f r sin( )  r x f
Momento de un par de fuerzas
Sea el ángulo <r, f formado entre el vector fuerza y su vector r “de posición del punto de
aplicación de la fuerza con respecto al punto O”.
  r , f 

2
El momento producido por dos fuerzas de igual módulo y dirección, pero de distinta
orientación, aplicadas a dos puntos distintos es la suma de los momentos.
Mtotal  fr2 cos( 2 )  fr1 cos(1 )  f l
Como
M  I w
Podemos obtener la aceleración angular que imprime un par de fuerzas a un cuerpo de
momento de inercia I